湖北省武汉市2020年华师一附中数学分配生试卷
2020届湖北省华师一附中、黄冈中学等八校2017级高三第一次联考数学(理)试卷及解析
2020届华师一附中、黄冈中学等八校2017级高三第一次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()11i z i +=-,则z =（ ）A. 1i -B. 1i + + 【答案】C【解析】利用复数模与除法运算即可得到结果.【详解】解: )()())1111111222i i i z i i i i i ---=====-+++-, 故选：C 2.已知集合12x X x e ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,2}6{|0Y x x x =+-≤,则()R C X Y ⋂=（ ） A. [)3,2ln --B. []2,2ln --C. []3,2ln --D. []2,2ln -【答案】C【解析】先解指数型不等式,得到集合{}2,X x x ln =>-进而求其补集,然后与集合Y 取交集即可.【详解】解:集合{}2,X x x ln =>-,{}2,{|32}R C X x x ln Y x x =≤-=-≤≤所以(){}32R C X Y x x ln ⋂=-≤≤-故选：C3.已知等差数列{}n a 的前项n 和为n S ,且314,,3S a a 成公比为q 的等比数列,则q 等于（ ） A. 1或2B. 2C. 1D. 2或4【答案】A【解析】 由题意可得2314,3S a a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭求得0d =或1d a =,进而根据等比定义求q 即可. 【详解】解:314,,3S a a Q ,成公比为q 的等比数列, 23143S a a ⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭,又{}n a Q 为等差数列, ()2214a a a ∴=⋅, ()()1112.3a d a a d ∴+=+即()10d d a -=， 即0d =或1d a =.3211113S a a q a a a ∴===或1121a a =或2 故选：A4.若π4sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 A. 2425 B. 2425- C. 725 D. 725- 【答案】D【解析】 ∵sin（π6–x ）=–sin （x –π6）=45,∴sin（x –π6）=–45,∴sin（2x +π6）=sin （2x –π3+π2）=cos （2x –π3）=cos[2（x –π6）]=1–2sin 2（x –π6）=1–2×（–45）2=–725．故选D ． 5.已知0,0x y >>,且191x y +=,则x y +的最小值为（ ）。
2020年湖北省武汉市华中师大一附中分配生数学试卷(附答案详解)
2020年湖北省武汉市华中师大一附中分配生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2−a−2<0；②|a−b|+|b−c|=|a−c|；③(a+b)(b+c)(c+a)>0；④|a|<1−bc.其中正确的结论有()个A. 4B. 3C. 2D. 12.已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y=ac x+bc的一次函数称为“勾股一次函数”.若点P(−1,√33)在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是()A. 2√6B. 24C. 2√3D. 123.5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是()A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量4.已知函数y=x2+x−1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是−54，则m的取值范围是()A. m≥−2B. 0≤m≤12C. −2≤m≤−12D. m≤−125.如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=4，BO=8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为()A. 3√5B. 12√55C. 9√55D. 16√556.如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN=y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是()A. 24B. 20C. 12D. 10二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）7.2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为______．8.在△ABC中，AB=AC，若cosA=45，则BCAB=______．9.如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是______.(结果用m，n表示)10.如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG(图中阴影部分)的面积为6，则五边形ABDEF的面积为______．11.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为______．12.如图，点A是反比例函数y=kx的图象上位于第一象限的点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥x轴，与线段OA的延长线交于点C，与反比例函数的图象交于点D.若直线AD垂直OC，且使得AC=2OA，则sinC=______．三、解答题（本大题共4小题，共52.0分）13.(1)已知关于x的方程x2−(2k−1)+k2=0有两个实根x1、x2，且满足x1x2−|x1|−|x2|=2，求实数k的值；(2)已知a<b<0，且ab +ba=6，求(a+bb−a)2的值．14.如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD⏜上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．(1)求证：△ADF≌△BDG；(2)取AE⏜的中点H，若四边形OBEH为菱形，求∠EAB的大小；(3)若AB=4，且点E是BD⏜上靠近点B的一个三等分点，求线段DG的长．15.习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价(万元)A1518 1.5B2030 2.1(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：y={13x3−80x2+5040x,0≤x<14410x+72000,144≤x<300，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？(精确到0.1)16.如图②，已知抛物线y=ax2+2√3x+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，与y轴交3于点C(0,√3)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x 轴交于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．(1)填空：a=______ ，c=______ ；(2)求线段DE的长度；(3)如图②，点F是线段AE上的点，P是线段DE上的点，且点M为直线PF上方抛物线上的一点当△CPF的周长最小时，求△MPF面积的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意得：a <−1<0<b <c <1， 则①a 2−a −2=(a −2)(a +1)>0；②∵|a −b|+|b −c|=−a +b −b +c =−a +c ， |a −c|=−a +c ，∴|a −b|+|b −c|=|a −c|；③∵a +b <0，b +c >0，c +a <0， ∴(a +b)(b +c)(c +a)>0； ④∵|a|>1，1−bc <1， ∴|a|>1−bc ；故正确的结论有②③，一共2个． 故选：C ．根据数轴上各数的位置得出a <−1<0<b <c <1，依此即可得出结论．本题考查了数轴、绝对值和有理数的大小比较；弄清数轴上各数的大小是解决问题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵点P(−1,√33)在“勾股一次函数”y =ac x +bc 的图象上，∴√33=−a c +bc ，即a −b =−√33c ， 又∵a ，b ，c 分别是Rt △ABC 的三条边长，∠C =90°，Rt △ABC 的面积是4， ∴12ab =4，即ab =8，又∵a 2+b 2=c 2， ∴(a −b)2+2ab =c 2， 即∴(−√33c)2+2×8=c 2，解得c =2√6， 故选：A ．依据题意得到三个关系式：a −b =−√33c ，ab =8，a 2+b 2=c 2，运用完全平方公式即可得到c 的值．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：对于A ，由柱状图可得5月份出货量最高，故A 正确； 对于B ，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B 正确；对于C ，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C 正确；对于D ，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷(1−14.7%)=3569.05， 8月出货量为：3087.5÷(1−5.3%)=3260.3， 因为3260.3<3569.05， 故12月更高，故D 错误． 故选：D ．根据图象逐一分析即可．本题考查了学生合情推理能力，考查数据分析与图表分析能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵函数y =x 2+x −1的对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12时，y 有最小值，此时y =14−12−1=−54， ∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最小值是−54， ∴m ≤−12；∵当x =1时，y =1+1−1=1，对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12−[1−(−12)]=−2时，y =1，∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最大值是1，且m ≤−12； ∴−2≤m ≤−12． 故选：C ．先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出m ≤−12；再求得当x =1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m 的下限．本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵∠AOB =90°，AO =4，BO =8， ∴AB =√AO 2+BO 2=√42+82=4√5， ∵△AOB 绕顶点O 逆时针旋转到△A′OB′处， ∴AO =A′O =4，A′B′=AB =4√5， ∵点E 为BO 的中点， ∴OE =12BO =12×8=4，∴OE =A′O =4， 过点O 作OF ⊥A′B′于F ，S △A′OB′=12×4√5⋅OF =12×4×8，解得OF =8√55， 在Rt △EOF 中，EF =√OE 2−OF 2=√42−(8√55)2=4√55，∵OE =A′O ，OF ⊥A′B′， ∴A′E =2EF =2×4√55=8√55， ∴B′E =A′B′−A′E =4√5−8√55=12√55； 故选：B ．由勾股定理求出AB ，由旋转的性质可得AO =A′O ，A′B′=AB ，再求出OE ，从而得到OE =A′O ，过点O 作OF ⊥A′B′于F ，由三角形的面积求出OF ，由勾股定理列式求出EF ，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E =2EF ，然后由B′E =A′B′−A′E 代入数据计算即可得解．本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：由图2知：AB +BC =10，设AB =m ，则BC =10−m ， 如图所示，当点M 在BC 上时，则AB =m ，BM =x −m ，MC =10−x ，NC =y ， ∵MN ⊥AM ，则∠MAB =∠NMC ， tan∠MAB =tan∠NMC ，即BMAB =CNCM ， 即x−m m=y 10−x，化简得：y =−1m x 2+10+m mx −10，当x =−b2a =12(10+m)时， y =−10+(10+m m )24m=23， 解得：m =6， 则AM =6，BC =4， 故ABCD 的面积=24， 故选：A ．证明∠MAB =∠NMC ，则tan∠MAB =tan∠NMC ，即BMAB =CNCM ，得到y =−1m x 2+10+m mx −10，进而求解．本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．7.【答案】35【解析】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种，则最后确定的主持人是一男一女的概率为1220=35．故答案为：35．根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】√105【解析】解：过B点作BD⊥AC于点D，∵cosA=45，∴ADAB =45，设AD=4x，则AB=5x，∴BD=√AB2−AD2=3x，∵AB=AC，∴AC=5x，∴CD=5x−4x=x，∴BC=√BD2+CD2=√9x2+x2=√10x，∴BCAB =√10x5x=√105，故答案为：√10．5过B点作BD⊥AC于点D，设AD=4x，根据三角函数和勾股定理用x表示AB与BD，BC，然后求结果便可．本题主要考查了解直角三角形和，勾股定理，腰三角形的性质，关键是正确构造直角三角形．9.【答案】m+2019n【解析】解：由图可得，2个这样的图形(图1)拼出来的图形中，重叠部分的长度为m−n，∴用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度=2020m−2019(m−n)=m+ 2019n，故答案为：m+2019n．用2020个这样的图形(图1)的总长减去拼接时的重叠部分2019个(m−n)，即可得到拼出来的图形的总长度．本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．10.【答案】15【解析】解：如图，连接GC并延长交BD于点H，连接AE，∵ABCDEF正六边形，∴AB=BC=CD=DE=EF=AF，∠F=∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=120°，∴∠CBD=∠CDB=30°∵△BDG是等边三角形，∴BG=DG=BD，∠GBD=∠GDB=60°，又CG=CG，{BG=DG BC=DC CG=CG∴△BCG≌△DCG(SSS)，∵∠GBC=∠DBC=60°−30°=30°，{BG=BD∠DBC=∠GBC BC=BC∴△GBC≌△DBC(SAS)，∴S△BCG=S△DCG=S△BCD=3，∴S△AEF=3，设CH=x，则BC=CG=2x，BH=√3x，∴BD=2√3x，∴12CG⋅BH=3，即12×2x×√3x=3，∴√3x2=3，∴S四边形ABDE=AB⋅BD=2x⋅2√3x=4√3x2=12，∴五边形ABDEF的面积为：3+12=15．故答案为：15．连接GC并延长交BD于点H，连接AE，根据正六边形和等边三角形的性质可得，△BCG≌△DCG，△GBC≌△DBC，所以得S△BCG=S△DCG=S△BCD=2，S△AEF=3，进而可得五边形ABDEF的面积．本题考查了正多边形和圆、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的性质．11.【答案】4−2√3【解析】解：作AH⊥CD于H，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB//CD，∠D=180°−∠BAD=60°，∵AD=AB=4，∴AH=AD⋅sin60°=2√3，∵B，B′关于EF对称，∴BE=B′E，∴当BE最小时，AE最大，根据垂线段最短可知，当EB′=AH=2√3时，BE的值最小，∴AE的最大值为4−2√3，故答案为：4−2√3．作AH⊥CD于H，由B，B′关于EF对称，推出BE=EB′，当BE最小时，AE最大，根据垂线段最短即可解决问题．本题主要考查图形的翻折，熟练掌握菱形的性质，垂线段最短等知识是解题的关键．12.【答案】12【解析】解：如图，连接OD，∵AD垂直OC，∴AC=2OA，设A(a,b)，则C(3a,3b)，∴BC=3b，OB=3a，∴D(3a,13b)，∴BD=13b，又∵Rt△BOC中，OC=√OB2+BC2=3√a2+b2，∵∠ACD=∠BCO，∠CAD=∠CBO=90°，∴△ACD∽△BCO，∴ADOB =CDOC，∴AD=CD⋅OBOC =83b⋅3a3√a2+b2=8ab3√a2+b2，∵OA2+AD2=OD2=OB2+BD2，∴a2+b2+(8ab3√a2+b2)2=9a2+19b2，整理得，9a4=b4，∴b=√3a，∴OC=√OB2+BC2=3√a2+b2=6a，∴sinC=OBOC =3a6a=12故答案为：12．先连接OD，由AC=2OA，可设A(a,b)，则C(3a,3b)，通过证得△ACD∽△BCO，求得AD=3√a2+b2，再根据OA2+AD2=OD2=OB2+BD2，得出a2+b2+(3√a2+b2)2=9a2+19b2，整理得，9a4=b4，求得b=√3a，根据勾股定理求得OC，即可得到sin C 的值．本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是利用三角形相似和直角三角形的勾股定理，得到a与b之间的关系式．13.【答案】解：(1)∵方程有两个实数根，∴△=(2k−1)2−4k2≥0，解得：k≤14，∴x1+x2=2k−1<0，∵x1x2=k2≥0，∴x1≤0，x2≤0，∴x1x2−|x1|−|x2|=x1x2+(x1+x2)=k2+(2k−1)=2，即k2+2k−3=0，解得：k=1或k=3，∵k≤14，∴k=−3；(2)∵ab +ba=6，∴a2+b2=6ab，即a2+b2−2ab=4ab，a2+b2+2ab=8ab，∴(a+b)2=8ab，(a−b)2=4ab，∵a<b<0，∴a+b=−2√2ab，b−a=2√ab，∴(a+bb−a )3=(√2ab2√ab)3=−2√2．【解析】(1)由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围，再利用根与系数的关系判断出x1、x2的正负，将已知等式化简后计算即可求出k的值；(2)已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理后代入原式计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，以及根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.【答案】解：(1)∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG(AAS)；(2)连接OH、EH、OE，∵点H是AE⏜的中点，∴∠AOH=∠EOH，∵四边形OBEH为菱形，∴∠EOB=∠EOH，∴∠EOB=60°，∴∠EAB=1∠EOB=30°；2(3)由(1)知△ABD为等腰直角三角形，AB=4，∴BD=2√2，连接DO、OE，∵点E 是BD⏜上靠近点B 的一个三等分点， ∴∠DOE =23∠DOB =60°，∴∠DBE =30°，在Rt △GBD 中，DG =BDtan30°=√33×2√2=2√63．【解析】(1)证明∠DAF +∠BGD =∠DBG +∠BGD =90°，得到∠ABD =∠BAC =45°，故AD =BD ，进而求解；(2)四边形OBEH 为菱形，则∠EOB =∠EOH ，故∠EOB =60°，即可求解；(3)点E 是BD ⏜上靠近点B 的一个三等分点，则∠DOE =23∠DOB =60°，即∠DBE =30°，在Rt △GBD 中，DG =BDtan30°=√33×2√2=2√63．本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本知识、菱形的性质、三角形全等、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．15.【答案】解：(1)设建造A 型处理点x 个，则建造B 型处理点(20−x)个．依题意得：{15x +20(20−x)≤37018x +30(20−x)≥490，解得6≤x ≤9.17， ∵x 为整数，∴x =6，7，8，9有四种方案；设建造A 型处理点x 个时，总费用为y 万元．则：y =1.5x +2.1(20−x)=−0.6x +42， ∵−0.6<0，∴y 随x 增大而减小，当x =9时，y 的值最小，此时y =36.6(万元)， ∴当建造A 型处理点9个，建造B 型处理点11个时最省钱；(2)由题意得：每吨垃圾的处理成本为yx (元/吨)，当0≤x <144时，y x =1x (13x 3−80x 2+5040x)=13x 2−80x +5040， ∵13>0，故yx 有最小值，当x =−b 2a =−−802×13=120(吨)时，yx 的最小值为240(元/吨)，当144≤x <300时，y x =1x (10x +72000)=10+72000x，当x=300(吨)时，yx =250，即yx>250(元/吨)，∵240<250，故当x=120吨时，yx的最小值为240元/吨，∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，∴每个A型处理点每月处理量=9×19×1+11×1.2×120×19≈5.4(吨)，故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．【解析】(1)首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积<等于370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解；(2)分0≤x<144、144≤x<300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地将现实生活中的事件与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键．16.【答案】−√33√3【解析】解：(1)将A(−1,0)，C(0,√3)代入抛物线y=ax2+2√33x+c(a≠0)，{a−2√33+c=0 c=√3，∴a=−√33，c=√3，故答案为：−√33，√3．(2)由(1)得抛物线解析式：y=−√33x2+2√33x+√3，∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3)，∴D(2,√3)，∴DH=√3，令y=0，即−√33x2+2√33x+√3=0，得x1=−1，x2=3，∴A(−1,0)，B(3,0)， ∵AE ⊥AC ，EH ⊥AH ， ∴△ACO∽△EAH ， ∴OC AH=OAEH，即√33=1EH，解得：EH =√3， 则DE =2√3；(3)找点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)， 连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长=CF +PF +CP =GF +PF +PN 最小，∴直线GN 的解析式：y =√33x −√33，由(2)得E(2,−√3)，A(−1,0)， ∴直线AE 的解析式：y =−√33x −√33，联立{y =√33x −√33y =−√33x −√33，解得{x =0y =−√33， ∴F(0,−√33)， ∵DH ⊥x 轴，∴将x =2代入直线GN 的解析式：y =√33x −√33，∴P(2,√33) ∴F(0,−√33)与P(2,√32)的水平距离为2过点M 作y 轴的平行线交FP 于点Q ， 设点M(m,−√33m 2+2√33m +√3)，则Q(m,√33m −√33)(1−√172<m <1+√172)；∴S △MFP =S △MQF +S △MQP =12MQ ×2=MQ =(−√33m 2+2√33m +√3)−(√33m −√33)，S △MFP =−√33m 2+√33m +4√33=−√33(m −12)2+1712√3，∵对称轴为：直线m =12， ∵开口向下，1−√172<m1+√172，∴m =12时，△MPF 面积有最大值为1712√3．(1)将A(−1,0)，C(0,√3)代入抛物线解析式，求出a 、c 的值； (2)由(1)得抛物线解析式：y =−√33x 2+2√33x +√3，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3)，D(2,√3)，DH =√3，再证明△ACO∽△EAH ，得出比例线段OCAH =OAEH ，求出EH =√3，则可求出答案；(3)得出点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)，连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长=CF +PF +CP =GF +PF +PN 最小，根据S △MFP =−√33m 2+√33m +4√33，当m =12时，△MPF 面积有最大值1712√3．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．。
2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷-普通用卷
2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2−a−2<0；②|a−b|+|b−c|=|a−c|；③(a+b)(b+c)(c+a)>0；④|a|<1−bc.其中正确的结论有()个A. 4B. 3C. 2D. 12.已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y=ac x+bc的一次函数称为“勾股一次函数”.若点P(−1,√33)在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是()A. 2√6B. 24C. 2√3D. 123.5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是()A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量4.已知函数y=x2+x−1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是−54，则m的取值范围是()A. m≥−2B. 0≤m≤12C. −2≤m≤−12D. m≤−125.如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=4，BO=8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E 的长度为()A. 3√5B. 12√55C. 9√55D. 16√556.如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN=y，图2表示的是y 与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是()A. 20B. 18C. 10D. 9二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）7.2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为______．8.在△ABC中，AB=AC，若cosA=45，则BCAB=______．9.如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是______.(结果用m，n表示)10.如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN=8，PN=4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为______．11.如图，已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数y=1x 和y=4x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y=1x的图象于点C，连接AC.若△ABC是等腰三角形，则k 的值是______．12.如图，在正方形ABCD中，AB=4，点M在CD边上，且DM=1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为______．三、解答题（本大题共4小题，共52.0分）13.(1)已知关于x的方程x2−(2k−1)x+k2=0有两个实根x1，x2，且满足x1x2−|x1|−|x2|=2，求实数k的值；(2)已知a<b<0，且ab +ba=6，求(a+bb−a)3的值．14.习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价(万元)A1518 1.5B2030 2.1(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：y={13x3−80x2+5040x,0≤x<14410x+72000,144≤x<300，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？(精确到0.1)15.已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．(1)当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；(2)当FH//BE时，求AE的长；(3)若线段FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．16.如图①，已知抛物线y=ax2+2√3x+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与3y轴交于点C，点A坐标为(−1,0)，点C坐标为(0,√3)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．(1)求a，c的值；(2)求线段DE的长度；(3)如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意得：a <−1<0<b <c <1， 则①a 2−a −2=(a −2)(a +1)>0；②∵|a −b|+|b −c|=−a +b −b +c =−a +c ， |a −c|=−a +c ，∴|a −b|+|b −c|=|a −c|；③∵a +b <0，b +c >0，c +a <0， ∴(a +b)(b +c)(c +a)>0； ④∵|a|>1，1−bc <1， ∴|a|>1−bc ；故正确的结论有②③，一共2个． 故选：C ．根据数轴上各数的位置得出a <−1<0<b <c <1，依此即可得出结论．本题考查了数轴、绝对值和有理数的大小比较；弄清数轴上各数的大小是解决问题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵点P(−1,√33)在“勾股一次函数”y =ac x +bc 的图象上，∴√33=−a c+b c的一次函数，即a −b =−√33c ，又∵a ，b ，c 分别是Rt △ABC 的三条变长，∠C =90°，Rt △ABC 的面积是4， ∴12ab =4，即ab =8， 又∵a 2+b 2=c 2， ∴(a −b)2+2ab =c 2， 即∴(−√33c)2+2×8=c 2，解得c =2√6， 故选：A ．依据题意得到三个关系式：a −b =−√33c ，ab =8，a 2+b 2=c 2，运用完全平方公式即可得到c 的值．考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：对于A ，由柱状图可得5月份出货量最高，故A 正确； 对于B ，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B 正确；对于C ，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C 正确；对于D ，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷(1−14.7%)=3569.05， 8月出货量为：3087.5÷(1−5.3%)=3260.3， 因为3260.3<3569.05， 故12月更高，故D 错误． 故选：D ．根据图象逐一分析即可．本题考查了学生合情推理能力，考查数据分析与图表分析能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵函数y =x 2+x −1的对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12时，y 有最小值，此时y =14−12−1=−54， ∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最小值是−54， ∴m ≤−12；∵当x =1时，y =1+1−1=1，对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12−[1−(−12)]=−2时，y =1，∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最大值是1，且m ≤−12； ∴−2≤m ≤−12． 故选：C ．先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出m ≤−12；再求得当x =1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m 的下限．本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵∠AOB =90°，AO =4，BO =8， ∴AB =√AO 2+BO 2=√42+82=4√5， ∵△AOB 绕顶点O 逆时针旋转到△A′OB′处， ∴AO =A′O =4，A′B′=AB =4√5， ∵点E 为BO 的中点， ∴OE =12BO =12×8=4， ∴OE =A′O =4， 过点O 作OF ⊥A′B′于F ，S △A′OB′=12×4√5⋅OF =12×4×8，解得OF =8√55， 在Rt △EOF 中，EF =√OE 2−OF 2=(8√55)=4√55，∵OE =A′O ，OF ⊥A′B′， ∴A′E =2EF =2×4√55=8√55， ∴B′E =A′B′−A′E =4√5−8√55=12√55； 故选：B ．由勾股定理求出AB ，由旋转的性质可得AO =A′O ，A′B′=AB ，再求出OE ，从而得到OE =A′O ，过点O 作OF ⊥A′B′于F ，由三角形的面积求出OF ，由勾股定理列式求出EF ，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E =2EF ，然后由B′E =A′B′−A′E 代入数据计算即可得解．本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：由图2知：AB +BC =9，设AB =m ，则BC =9−m ， 如图所示，当点M 在BC 上时，则AB =m ，BM =x −a ，MC =9−x ，NC =y ，∵MN ⊥AM ，则∠MAB =∠NMC ， tan∠MAB =tan∠NMC ，即BMAB =CNCM ， 即x−m m=y 9−x ，化简得：y =−1mx 2+9+a ax −9，当x =−b2a =9+m 2时，y =−9+(9+m m )24m=45，解得：m =5， 则AM =5，BC =4， 故ABCD 的面积=20， 故选：A ．由图2知：AB +BC =9，设AB =m ，则BC =9−m ，则tan∠MAB =tan∠NMC ，即BMAB =CNCM ，即x−m m=y9−x，化简得：y =−1m x 2+9+a ax −9，当x =−b 2a=9+m 2时，y =−9+(9+m m )24m=45，即可求解．本题考查的是动点的图象问题，涉及到一次函数、二次函数、解直角三角形等知识，从图2中，确定AB +BC =9是本题解题的关键．7.【答案】35【解析】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种， 则最后确定的主持人是一男一女的概率为1220=35． 故答案为：35．根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】√105【解析】解：过B点作BD⊥AC于点D，∵cosA=45，∴ADAB =45，设AD=4x，则AB=5x，∴BD=√AB2−AD2=3x，∵AB=AC，∴AC=5x，∴CD=5x−4x=x，∴BC=√BD2+CD2=√9x2+x2=√10x，∴BCAB =√10x5x=√105，故答案为：√105．过B点作BD⊥AC于点D，设AD=4x，根据三角函数和勾股定理用x表示AB与BD，BC，然后求结果便可．本题主要考查了解直角三角形和，勾股定理，腰三角形的性质，关键是正确构造直角三角形．9.【答案】m+2019n【解析】解：由图可得，2个这样的图形(图1)拼出来的图形中，重叠部分的长度为m−n，∴用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度=2020m−2019(m−n)=m+2019n，故答案为：m+2019n．用2020个这样的图形(图1)的总长减去拼接时的重叠部分2019个(m−n)，即可得到拼出来的图形的总长度．本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．10.【答案】4+4√2【解析】解：如图，取MN 的中点E ，连接OE ，PE ，OP ，∵∠MON =90°，∴Rt △MON 中，OE =12MN =4，又∵∠MQP =90°，MN =8，PN =4，NE =4， ∴Rt △PNE 中，PE =√PN 2+NE 2=4√2， 又∵OP ≤PE +OE =4+4√2， ∴OP 的最大值为4+4√2，即点P 到原点O 距离的最大值是4+4√2， 故答案为：4+4√2．取MN 的中点E ，连接OE ，PE ，OP ，根据勾股定理和矩形的性质解答即可． 此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．11.【答案】2√55或√22【解析】解：∵点B 是y =kx 和y =4x 的交点，y =kx =4x ， ∴点B 坐标为(√k 2√k)，同理可求出点A 的坐标为(k √k)， ∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为√k ，纵坐标为12√k ，∴BA =√1k +k ，AC =√1k +k4，BC =32√k ，∴BA 2−AC 2=34k >0， ∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①当AB =BC 时，则√1k +k =32√k ， 解得：k =±2√55(舍去负值)；②当AC =BC 时，同理可得：k =√22；故答案为：2√55或√22． 根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A 、B 、C 的坐标(用k 表示)，再讨论①AB =BC ，②AC =BC ，即可解题．本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用k 表示点A 、B 、C 坐标是解题的关键．12.【答案】5【解析】解：如图，连接BM ．∵△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称， ∴AE =AD ，∠MAD =∠MAE ．∵△ADM 按照顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ， ∴AF =AM ，∠FAB =∠MAD ． ∴∠FAB =∠MAE ，∴∠FAB +∠BAE =∠BAE +∠MAE ． ∴∠FAE =∠MAB ． ∴△FAE≌△MAB(SAS)． ∴EF =BM ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC =CD =AB =4． ∵DM =1， ∴CM =3．∴在Rt △BCM 中，BM =√32+42=5， ∴EF =5， 故答案为：5．连接BM.先判定△FAE≌△MAB(SAS)，即可得到EF =BM.再根据BC =CD =AB =4，CM =3，利用勾股定理即可得到，Rt △BCM 中，BM =5，进而得出EF 的长．本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．13.【答案】解：(1)根据题意得△=(2k −1)2−4k 2≥0，解得k ≤14；(2)x1+x2=2k−1，x1x2=k2，∵k≤14，∴x1+x2=2k−1≤0，而x1x2=k2≥0，∴x1≤0，x2≤0，∵x1x2−|x1|−|x2|=2，∴x1⋅x2+x1+x2=2，即k2+(2k−1)=2，整理得k2+2k−3=0，解得k1=−3，k2=1，而k≤14，∴k=−3；(2)∵ab +ba=6，∴a2+b2=6ab，∴(a+b)2=8ab，∴(b−a)2=(a+b)2−4ab=4ab，∴(a+bb−a )2=(a+b)2(b−a)2=2，∴a+bb−a=±√2，∵a<b<0，∴a+b<0，b−a>0，∴a+bb−a<0，∴a+bb−a=−√2∴(a+bb−a)3=−2√2．答：(a+bb−a)3的值为−2√2．【解析】(1)利用判别式的意义得到△=(2k−1)2−4k2≥0，然后解不等式可得k的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=2k−1、x1x2=k2，结合x1x2−|x1|−|x2|=2，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可求实数k的值；(2)先通分可得a2+b2=6ab，再根据完全平方公式的变形可得a+bb−a 的值，进而可得(a+bb−a)3的值．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−ba，x 1x 2=ca .也考查了判别式的值．14.【答案】解：(1)设建造A 型处理点x 个，则建造B 型处理点(20−x)个．依题意得：{15x +20(20−x)≤37018x +30(20−x)≥490，解得6≤x ≤9.17， ∵x 为整数，∴x =6，7，8，9有四种方案；设建造A 型处理点x 个时，总费用为y 万元．则：y =1.5x +2.1(20−x)=−0.6x +42， ∵−0.6<0，∴y 随x 增大而减小，当x =9时，y 的值最小，此时y =36.6(万元)， ∴当建造A 型处理点9个，建造B 型处理点11个时最省钱；(2)由题意得：每吨垃圾的处理成本为yx (元/吨)，当0≤x <144时，y x =1x (13x 3−80x 2+5040x)=13x 2−80x +5040， ∵13>0，故yx 有最小值，当x =−b 2a =−−802×13=120(吨)时，yx 的最小值为240(元/吨)，当144≤x <300时，y x =1x (10x +72000)=10+72000x，当x =300(吨)时，yx =250，即yx >250(元/吨)， ∵240<250，故当x =120吨时，yx 的最小值为240元/吨，∵每个B 型处理点的垃圾月处理量是A 型处理点的1.2倍且A 型处理点9个，建造B 型处理点11个， ∴每个A 型处理点每月处理量=9×19×1+11×1.2×120×19≈5.4(吨)，故每个A 型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．【解析】(1)首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积<等于370m 2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y 与A 型处理点的个数x 之间的函数关系，进而求解；(2)分0≤x <144、144≤x <300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地将现实生活中的事件与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键．15.【答案】解：(1)如图1，连接EF，FA，∵CE为圆的切线且又和EB垂直，∴CE//AF∴∠CEF=∠AFE；又∵∠AFE=∠FEB，∴∠CEF=∠BEF，∴EF为∠BEC的平分线；∵∠EFB=90°，∴EF⊥BC，∴BE=CE∴△BEC为等腰三角形，∴BF为BC的一半；∵EA//CF，∴四边形CEAF为平行四边形，即AE=CF=2.5；(2)解：∵FH//BE，FH⊥CE，∴BE⊥CE，∴∠AEB+∠DEC=90°，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠DEC，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴ABDE =AECD，∵AB=2，AD=5，∴CD=AB=2，∴25−AE =AE2，∴AE=1或AE=4．(3)连接EF、OF、OG，如图3所示：则∠BFE =90°，设AE =x ，则EF ，=AB =2，BF =AE =x ，CF =DE =5−x ， 若△OFG 是等腰直角三角形，则∠FOG =90°， 连接BG 、EG ，设BG 、EF 交于点K ， ∴△BFK 和△EGK 都是等腰直角三角形，∴BF =KF =x ，BK =√2x ，EK =2−KF =2−x ，在等腰直角△EGK 中，根据勾股定理得：GK =EG =√22(2−x)，BG =GK +BK =√22(2+x)，又∵∠EBG =∠EFG =∠FCH ， ∴△BEG∽△CEF ， ∴BG BE=FCEF，即√22(2+x)√22(2−x)=5−x 2，解得：x =9−√572，或x =9+√572，∴AE 的长度是9−√572或9+√572．【解析】(1)连接EF ，FA ，由CE 为圆的切线且又和EB 垂直，可知CE//FA ，推出∠CEF =∠AFE ，而∠AFE =∠FEB 可得∠CEF =∠BEF ，所以EF 为∠BEC 的平分线．又因为∠EFB 为直角可知EF ⊥BC ，所以△BEC 为等腰三角形，得到BF 为BC 的一半，又因为EA//CF ，可知四边形CEAF 为平行四边形，即AD =BF =2.5；(2)根据平行线的性质得到BE ⊥CE ，由余角的性质得到∠ABE =∠DEC ，证得△ABE∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可得到结论；(3)连接EF ，由圆周角定理得出∠BFE =90°，设AE =x ，则EF ，=AB =2，BF =AE =x ，CF =DE =5−x ，由已知条件得出点G 在点F 上方，连接BG 、EG ，设BG 、EF 交于点K ，得出△BFK 和△EGK都是等腰直角三角形，得出BF =KF =x ，BK =√2x ，EK =2−KF =2−x ，GK =EG =√22(2−x)，BG =GK +BK =√22(2+x)，证明△BEG∽△CEF ，得出BG BE =FCEF ，得出方程，解方程即可．本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、切线的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(2)、(3)中，需要证明三角形相似才能得出结果．16.【答案】解：(1)将A(−1,0)，C(0,√3)代入抛物线y =ax 2+2√33x +c(a ≠0)， {a −2√33+c =0c =√3，∴a =−√33，c =√3(2)由(1)得抛物线解析式：y =−√33x 2+2√33+√3∵点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3) ∴D(2,√3)， ∴DH =√3， 令y =0，即−√33x 2+2√33x +√3=0，得x 1=−1，x 2=3， ∴A(−1,0)，B(3,0)， ∵AE ⊥AC ，EH ⊥AH ， ∴△ACO∽△EAH ， ∴OC AH=OA EH=即=√33=1EH，解得：EH =2√3， 则DE =2√3；(3)找点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)，连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长=CF +PF +CP =GF +PF +PN 最小，∴直线GN 的解析式：y =√33x −√33，由(2)得E(2,−√3)，A(−1,0)， ∴直线AE 的解析式：y =−√33x −√33，联立{y = √33x −√33；y =−√33x −√33 ； 解得{x =0y =−√33 ∴F(0,−√33)， ∵DH ⊥x 轴，∴将x =2代入直线AE 的解析式：y =−√33x −√33，∴P(2,√32) ∴F(0,−√33)与P(2,√32)的水平距离为2过点M 作y 轴的平行线交FH 于点Q ， 设点M(m,−√33m 2+2√33m +√3)，则Q(m,√33m −√33)(1−√172<m <1+√172)；∴S △MFP =S △MQF +S △MQP =12MQ ×2=MQ =(−√33m 2+2√33m +√3)−(√33m −√33)， S △MFP =−√3m 2+√3m +4√3=−√3(m −1)2+17√3 ∵对称轴为：直线m =12， ∵开口向下，1−√172<m1+√172，∴m =12时，△MPF 面积有最大值为1712√3..【解析】(1)：(1)将A(−1,0)，C(0,√3)代入抛物线y =ax 2+2√33x +c(a ≠0)，求出a 、c 的值；(2)由(1)得抛物线解析式：y =−√33x 2+2√33+√3，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3)，所以D(2,√3)，DH =√3，再证明△ACO∽△EAH ，于是 OCAH =OAEH =即=√33=1EH ，解得：EH =2√3，则DE =2√3；(3)找点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)，连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长=CF +PF +CP =GF +PF +PN 最小，根据S △MFP =−√33m 2+√33m +4√33=−√33(m −12)2+1712√3，m =12时，△MPF 面积有最大值1712√3． 本题考查了二次函数，熟练运用相似三角形的性质与二次函数图象的性质是解题的关键．。
5.2020届华师大一附中高三数学文科试题含答案
△ 14.在 ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b = 2 7 ，c = 3 ， B = 2C ，则cos 2C 的值为
____________.
15.正四棱锥S − ABCD 底面边长为2 ，高为1 ，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保
为 持PE ⋅ AC = 0 ，则动点P 的轨迹的周长为____________.
x1
<
x2
<
a
，都有
x2
ln
x1 x1− −x1 x2 Nhomakorabealn
x2
> 1 ，则a 的最大值为
A. 2e
B. e
1
C.
D.1
二.填空题(本大题共4 小题，每题5 分，共20 分.) 2
13.某校高三科创班共 48 人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按 1 至 48 的学号用系统抽样方法抽
取 8 人进行调查，若抽到的最大学号为 48，则抽到的最小学号为____________.
离得20心.△(本率((P小21A.))求若题B椭过是12圆原以分点CP)已的的为直知方直线椭程角圆；l顶1 :C点y:的=axk直22x+角与by三椭22 角圆=形1C(，a交>求于b实>A数0，)kB，的点两取(点1值,，e范)且和围在.直2线, l222:
都在椭圆C
上，其中e
为椭圆C
的
2kx − y + k − 2 = 0 上存在点P ，使
=
1 n2 + n
=
1 n
−
1 n +1
…………9
， 分 1
a12 + b1
【初升高】湖北华中师范大学第一附属中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析
中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．±3D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．＝±6C．a2b÷2ab＝a2D．（2ab2）3＝8a3b63．（3分）如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝40°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（）A．B．2C．D．7．（3分）已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则﹣y2的值为（）A．0B．C．1D．8．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，当y＜0时x的取值范围是（）A．x＞2B．0＜x＜4C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1 或x＞4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．（3分）“五一”小长假期间，扬州市区8家主要封闭式景区共接待游客528600人次，同比增长20.56%．用科学记数法表示528600为．10．（3分）若有意义，则x的取值范围是．11．（3分）分解因式：mx2﹣4m＝．12．（3分）若方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，则k＝．13．（3分）一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为cm2．14．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是．15．（3分）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为．16．（3分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是．17．（3分）如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝．18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为弧AB的中点，P为弧BC上一动点，连接AP、CP，过C作CD⊥CP交AP于点D，连接BD，则BD的最小值是．三、解答题（本大题有10小题，共96分．）19．（8分）（1）计算：|﹣3|﹣tan30°+20180﹣（）﹣1；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．20．（8分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；（4）若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．21．（8分）若关于x的分式方程＝1的解是正数，求m的取值范围．22．（8分）小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．23．（10分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB ⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF．25．（10分）观察下表：我们把某一格中所有字母相加得到的多项式称为特征多项式，例如：第1格的“特征多项式”为x+4y．回答下列问题：（1）第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为；（2）若第1格的“特征多项式”的值为2，第2格的“特征多项式”的值为﹣6．①求x，y的值；②在①的条件下，第n格的“特征多项式的值”随着n的变化而变化，求“特征多项式的值”的最大值及此时n值．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为3，ED＝4，延长EO交⊙O于F，连接DF，与OA交于点G，求OG的长．27．（12分）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣8，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α＝45°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式；（2）如图3，若α为锐角，且tanα＝，当EA⊥x轴时，正方形对角线EG与OF相交于点M，求线段AM的长；（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴正半轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，是否存在△OEP的两边之比为：1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．28．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△P AD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．故选：A．2．【分析】直接利用合并同类项法则以及算术平方根、整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误；B、＝6，故此选项错误；C、a2b÷2ab＝a，故此选项错误；D、（2ab2）3＝8a3b6，正确．故选：D．3．【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．【解答】解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．故选：C．4．【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【解答】解：A、原来数据的平均数是3，添加数字3后平均数仍为3，故A与要求不符；B、原来数据的众数是3，添加数字3后众数仍为3，故B与要求不符；C、原来数据的中位数是3，添加数字3后中位数仍为3，故C与要求不符；D、原来数据的方差＝＝，添加数字3后的方差＝＝，故方差发生了变化．故选：D．5．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠P AO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，∴∠P AO＝90°．又∵∠P＝40°，∴∠POA＝50°，∴∠ABC＝∠POA＝25°．故选：B．6．【分析】求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，∴AB＝AH+BH＝3，∵l1∥l2∥l3，∴＝＝．故选：A．7．【分析】根据x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x与y的关系和y2﹣的值，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，∴x＝y+3，y2+﹣＝0，∴y2﹣＝﹣∴﹣y2＝＝1+＝1﹣（﹣）＝1+＝，故选：D．8．【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：∵y3＝（kx+b）（mx+n），y＜0，∴（kx+b）（mx+n）＜0，∵y1＝kx+b，y2＝mx+n，即y1•y2＜0，有以下两种情况：（1）当y1＞0，y2＜0时，此时，x＜﹣1；（2）当y1＜0，y2＞0时，此时，x＞4，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：528600＝5.286×105，故答案为：5.286×10510．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案是：x≠2．11．【分析】首先提取公因式m，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：mx2﹣4m＝m（x2﹣4）＝m（x+2）（x﹣2）．故答案为：m（x+2）（x﹣2）．12．【分析】根据根判别式△＝b2﹣4ac的意义得到△＝0，即k2﹣4×1×9＝0，然后解方程即可．【解答】解：∵方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即k2﹣4•1•9＝0，解得k＝±6．故答案为±6．13．【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长＝2π•5＝10π，∴圆锥的侧面积＝•10π•2＝10π（cm2）．故答案为：10π．14．【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣8．故答案为：﹣8．15．【分析】根据平行线的性质可得出∠3＝∠4+∠5，结合对顶角相等可得出∠3＝∠1+∠2，代入∠1＝30°、∠3＝45°，即可求出∠2的度数．【解答】解：给各角标上序号，如图所示．∵∠3＝∠4+∠5，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∴∠3＝∠1+∠2．又∵∠1＝30°，∠3＝45°，∴∠2＝15°．故答案为：15°．16．【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：如图，∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，∴使图中黑色部诶的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．故答案为：．17．【分析】依据题意可得，A，C之间的水平距离为6，点Q与点P的水平距离为7，A，B之间的水平距离为2，双曲线解析式为y＝，依据点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4，即可得到mn的值．【解答】解：由图可得，A，C之间的水平距离为6，2018÷6＝336…2，由抛物线y＝﹣x2+4x+2可得，顶点B（2，6），即A，B之间的水平距离为2，∴点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，由抛物线解析式可得AO＝2，即点C的纵坐标为2，∴C（6，2），∴k＝2×6＝12，∴双曲线解析式为y＝，2025﹣2018＝7，故点Q与点P的水平距离为7，∵点P'、Q“之间的水平距离＝（2+7）﹣（2+6）＝1，∴点Q“的横坐标＝2+1＝3，∴在y＝中，令x＝3，则y＝4，∴点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4，∴mn＝6×4＝24，故答案为：24．18．【分析】以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，依据∠ADC＝135°，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，依据△ACQ中，AQ＝4，【解答】解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ．∵⊙O的直径为AB，C为的中点，∴∠APC＝45°，又∵CD⊥CP，∴∠DCP＝90°，∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，又∵AB＝8，C为的中点，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝4，∴△ACQ中，AQ＝4，∴BQ＝＝4，∵BD≥BQ﹣DQ，∴BD的最小值为4﹣4．故答案为：4﹣4．三、解答题（本大题有10小题，共96分．）19．【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；（2）根据整式的混合计算解答即可．【解答】解：（1）原式＝＝﹣1．（2）原式＝1﹣a2+a2﹣2a＝1﹣2a20．【分析】（1）根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数；（2）根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数；（3）根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数；（4）利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比，从而求出喜欢社科类书籍的学生人数；【解答】解：（1）∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，∴此次调查的总人数为：76÷38%＝200人，故答案为：200；（2）∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%＝30人，∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30＝70人，如图所示：（3）∵喜欢社科类书籍的人数为：24人，∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：×100%＝12%，∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%＝35%，∴小说类所在圆心角为：360°×35%＝126°；（4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，∴该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2000×12%＝240人．21．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m的范围即可．【解答】解：去分母得：1+m＝x﹣2，解得：x＝m+3，由分式方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠2，解得：m＞﹣3且m≠﹣1．22．【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．（2）根据在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为＝（）2可得答案．【解答】解：（1）画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2，所以到第二个路口时第一次遇到红灯的概率为；（2）∵在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为＝（）2，∴到第n个路口都没有遇到红灯的概率为（）n，故答案为：（）n．23．【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD＝CH+HD＝CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．【解答】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6，在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，∴CH＝AH•tan∠CAH，∴CH＝AH•tan∠CAH＝6tan30°＝6×＝2（米），∵DH＝1.5，∴CD＝2 +1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED＝60°，sin∠CED＝，∴CE＝＝（4+）（米），答：拉线CE的长约为（4+）米．24．【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD＝2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB＝2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB＝DF，等量代换即可得证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥CB，AB∥CD，∴∠ADB＝∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB＝∠FBD＝90°，∴∠ADE＝∠CBF，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（ASA）；（2）作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△ADH中，∠A＝30°，∴AD＝2DH，在Rt△DEB中，∠DEB＝45°，∴EB＝2DH，∵ED⊥DB，FB⊥BD．∴DE∥BF，∵AB∥CD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴FD＝EB，∴DA＝DF．25．【分析】（1）利用已知表格中x，y个数变化规律得出第2格的“特征多项式”以及第n 格的“特征多项式”；（2）①利用（1）中所求得出关于x，y的等式组成方程组求出答案；②利用二次函数最值求法得出答案．【解答】解：（1）由表格中数据可得：第4格的“特征多项式”为：16x+25y，第n格的“特征多项式”为：n2x+（n+1）2y（n为正整数）；故答案为：16x+25y，n2x+（n+1）2y（n为正整数）；（2）①由题意可得：，解得：答：x的值为﹣6，y的值为2．②设W＝n2x+（n+1）2y当x＝﹣6，y＝2时：W＝﹣6n2+2（n+1）2＝，此函数开口向下，对称轴为，∴当时，W随n的增大而减小，又∵n为正整数∴当n＝1时，W有最大值，W最大＝﹣4×（1﹣）2+3＝2，即：第1格的特征多项式的值有最大值，最大值为2．26．【分析】（1）首先连接OD，由BE＝EC，CO＝OA，得出OE∥AB，根据平行线与等腰三角形的性质，易证得△COE≌△DOE，即可得∠ODE＝∠OCE＝90°，则可证得ED 为⊙O的切线；（2）只要证明OE∥AB，推出，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）证明：连接OD，∵E为BC的中点，AC为直径，∴BE＝EC，CO＝OA，∴OE∥AB，∴∠COE＝∠CAD，∠EOD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠COE＝∠DOE，在△COE和△DOE中，，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∴ED⊥OD，∴ED是圆O的切线；（2）连接CD；由题意EC、ED是⊙O的切线，∴EC＝ED，∵OC＝OD，∴OE⊥CD，∵AC是直径，∴∠CDA＝90°，∴CD⊥AB，∴OE∥AB，∴，在Rt△ECO中，EO＝＝5，∵∠EOC＝∠CAD，∴cos∠CAD＝cos∠EOC＝，∴AD＝，设OG＝x，则有，∴x＝，∴OG＝．27．【分析】（1）求出E、F两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延长线于K．只要证明四边形AOMK 是正方形，证明AE+OA＝2AH即可解决问题；（3）如图2中，设F（0，2a），则E（﹣a，a）．构建一次函数利用方程组求出交点P 坐标，分三种情形讨论求解即可；【解答】解：（1）∵OE＝OA＝8，α＝45°，∴E（﹣4，4），F（0，8），设直线EF的解析式为y＝kx+b，则有，解得∴直线EF的解析式为y＝x+8．（2）如图3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延长线于K．在Rt△AEO中，tan∠AOE＝＝，OA＝8，∴AE＝4，∵四边形EOGF是正方形，∴∠EMO＝90°，∵∠EAO＝∠EMO＝90°，∴E、A、O、M四点共圆，∴∠EAM＝∠EOM＝45°，∴∠MAK＝∠MAH＝45°，∵MK⊥AE，MH⊥OA，∴MK＝MH，四边形KAOM是正方形，∵EM＝OM，∴△MKE≌△MHO，∴EK＝OH，∴AK+AH＝2AH＝AE+EK+OA﹣OH＝12，∴AH＝6，∴AM＝AH＝6．（3）如图2中，设F（0，2a），则E（﹣a，a）．∵A（﹣8，0），E（﹣a，a），∴直线AP的解析式为y＝x+，直线FG的解析式为y＝﹣x+2a，由，解得，∴P（，）．①当PO＝OE时，∴PO2＝2OE2，则有：+＝4a2，解得a＝4或﹣4（舍弃）或0（舍弃），此时P（0，8）．②当PO＝PE时，则有：+＝2[（+a）2+（﹣a）2]，解得：a＝4或12，此时P（0，8）或（﹣24，48），③当PE＝EO时，[（+a）2+（﹣a）2]＝4a2，解得a＝8或0（舍弃），∴P（﹣8，24）综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，8），（﹣8，24），（﹣24，48）．28．【分析】（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a＝3，故此可求得a的值，然后令y＝0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO＝60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO＝30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD＝1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD ＝P A、AD＝DP、AP＝DP三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN的解析式为y＝kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．【解答】解：（1）∵C（0，3）．∴﹣9a＝3，解得：a＝﹣．令y＝0得：ax2﹣2 ax﹣9a＝0，∵a≠0，∴x2﹣2 x﹣9＝0，解得：x＝﹣或x＝3．∴点A的坐标为（﹣，0），B（3，0）．∴抛物线的对称轴为x＝．（2）∵OA＝，OC＝3，∴tan∠CAO＝，∴∠CAO＝60°．∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO＝30°．∴DO＝AO＝1．∴点D的坐标为（0，1）设点P的坐标为（，a）．依据两点间的距离公式可知：AD2＝4，AP2＝12+a2，DP2＝3+（a﹣1）2．当AD＝P A时，4＝12+a2，方程无解．当AD＝DP时，4＝3+（a﹣1）2，解得a＝0或a＝2（舍去），∴点P的坐标为（，0）．当AP＝DP时，12+a2＝3+（a﹣1）2，解得a＝﹣4．∴点P的坐标为（，﹣4）．综上所述，点P的坐标为（，0）或（，﹣4）．（3）设直线AC的解析式为y＝mx+3，将点A的坐标代入得：﹣m+3＝0，解得：m ＝，∴直线AC的解析式为y＝x+3．设直线MN的解析式为y＝kx+1．把y＝0代入y＝kx+1得：kx+1＝0，解得：x＝﹣，∴点N的坐标为（﹣，0）．∴AN＝﹣+＝．将y＝x+3与y＝kx+1联立解得：x＝．∴点M的横坐标为．过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG＝+．∵∠MAG＝60°，∠AGM＝90°，∴AM＝2AG＝+2＝．∴+＝+＝+＝＝＝．中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．±3D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．＝±6C．a2b÷2ab＝a2D．（2ab2）3＝8a3b63．（3分）如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝40°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（）A．B．2C．D．7．（3分）已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则﹣y2的值为（）A．0B．C．1D．8．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，当y＜0时x的取值范围是（）A．x＞2B．0＜x＜4C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1 或x＞4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．（3分）“五一”小长假期间，扬州市区8家主要封闭式景区共接待游客528600人次，同比增长20.56%．用科学记数法表示528600为．10．（3分）若有意义，则x的取值范围是．11．（3分）分解因式：mx2﹣4m＝．12．（3分）若方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，则k＝．13．（3分）一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为cm2．14．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是．15．（3分）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为．16．（3分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是．17．（3分）如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝．18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为弧AB的中点，P为弧BC上一动点，连接AP、CP，过C作CD⊥CP交AP于点D，连接BD，则BD的最小值是．三、解答题（本大题有10小题，共96分．）19．（8分）（1）计算：|﹣3|﹣tan30°+20180﹣（）﹣1；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．20．（8分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；（4）若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．21．（8分）若关于x的分式方程＝1的解是正数，求m的取值范围．22．（8分）小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．23．（10分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB ⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF．25．（10分）观察下表：我们把某一格中所有字母相加得到的多项式称为特征多项式，例如：第1格的“特征多项式”为x+4y．回答下列问题：（1）第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为；（2）若第1格的“特征多项式”的值为2，第2格的“特征多项式”的值为﹣6．①求x，y的值；②在①的条件下，第n格的“特征多项式的值”随着n的变化而变化，求“特征多项式的值”的最大值及此时n值．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为3，ED＝4，延长EO交⊙O于F，连接DF，与OA交于点G，求OG的长．27．（12分）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣8，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α＝45°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式；（2）如图3，若α为锐角，且tanα＝，当EA⊥x轴时，正方形对角线EG与OF相交于点M，求线段AM的长；（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴正半轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，是否存在△OEP的两边之比为：1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．28．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△P AD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．故选：A．2．【分析】直接利用合并同类项法则以及算术平方根、整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误；B、＝6，故此选项错误；C、a2b÷2ab＝a，故此选项错误；D、（2ab2）3＝8a3b6，正确．故选：D．3．【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．【解答】解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．故选：C．4．【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【解答】解：A、原来数据的平均数是3，添加数字3后平均数仍为3，故A与要求不符；B、原来数据的众数是3，添加数字3后众数仍为3，故B与要求不符；C、原来数据的中位数是3，添加数字3后中位数仍为3，故C与要求不符；D、原来数据的方差＝＝，添加数字3后的方差＝＝，故方差发生了变化．故选：D．5．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠P AO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，∴∠P AO＝90°．又∵∠P＝40°，∴∠POA＝50°，∴∠ABC＝∠POA＝25°．故选：B．6．【分析】求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，∴AB＝AH+BH＝3，∵l1∥l2∥l3，∴＝＝．故选：A．7．【分析】根据x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x与y的关系和y2﹣的值，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，∴x＝y+3，y2+﹣＝0，∴y2﹣＝﹣∴﹣y2＝＝1+＝1﹣（﹣）＝1+＝，故选：D．8．【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：∵y3＝（kx+b）（mx+n），y＜0，∴（kx+b）（mx+n）＜0，∵y1＝kx+b，y2＝mx+n，即y1•y2＜0，有以下两种情况：（1）当y1＞0，y2＜0时，此时，x＜﹣1；（2）当y1＜0，y2＞0时，此时，x＞4，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：528600＝5.286×105，故答案为：5.286×10510．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案是：x≠2．11．【分析】首先提取公因式m，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：mx2﹣4m＝m（x2﹣4）＝m（x+2）（x﹣2）．故答案为：m（x+2）（x﹣2）．12．【分析】根据根判别式△＝b2﹣4ac的意义得到△＝0，即k2﹣4×1×9＝0，然后解方程即可．【解答】解：∵方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即k2﹣4•1•9＝0，解得k＝±6．故答案为±6．13．【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长＝2π•5＝10π，∴圆锥的侧面积＝•10π•2＝10π（cm2）．故答案为：10π．14．【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣8．故答案为：﹣8．15．【分析】根据平行线的性质可得出∠3＝∠4+∠5，结合对顶角相等可得出∠3＝∠1+∠2，代入∠1＝30°、∠3＝45°，即可求出∠2的度数．【解答】解：给各角标上序号，如图所示．∵∠3＝∠4+∠5，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∴∠3＝∠1+∠2．又∵∠1＝30°，∠3＝45°，∴∠2＝15°．故答案为：15°．。
2020年湖北省武汉市华师一附中光谷分校中考数学模拟试卷(3月份) 解析版
2020年武汉市华师一附中关谷分校中考数学模拟试卷（3月份）一．选择题（共10小题）1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果水位上升2米记为+2米，则水位下降3米记为（）A．+3米B．﹣3 米C．+2米D．﹣2 米2．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＝1B．x≠1C．x＝﹣1D．x≠﹣13．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为（）A．B．C．D．4．下列四个图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图几何体的俯视图是（）A．B．C．D．6．如图，已知抛物线y＝x2+2x﹣3，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图象中，能表示s与m的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．7．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（）A．B．C．D．8．如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y 轴于D，下列结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O 上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．10．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律，2020应在（）A．A位B．B位C．C位D．D位二．填空题（共6小题）11．计算的结果是．12．某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图的折线统计图，这组数据的中位数是，极差是，平均数是．13．计算：＝．14．E为▱ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，且EF＝DF．若∠C＝52°，那么∠ABE＝．15．已知a2﹣6a﹣5＝0和b2﹣6b﹣5＝0中，a≠b，则的值是．16．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是优弧AB上的一动点，BD⊥BC交直线AC于点D，当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过的路径长为．三．解答题（共8小题）17．计算：x2•（﹣x3）4．18．如图，点B在DC上，BE平分∠ABD，∠ABE＝∠C，求证：BE∥AC．19．为弘扬中华传统文化，了解学生整体数学阅读能力，某校组次阅读理解大赛的初赛，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图分组/分频数频率A组50≤x＜6060.12B组60≤x＜70a0.28C组70≤x＜80160.32D组80≤x＜90100.20E组90≤x≤10040.08（1）表中的a＝；抽取部分学生的成绩的中位数在组；（2）把上面的频数分布直方图补充完整；（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．20．如图，在下列7×7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（﹣1，2）、B（3，3）都是格点．（1）将线段AB向下平移2个单位长度，得到线段CD，请画出四边形ABDC，并写出该四边形的面积；（2）要求在图中仅用无刻度的直尺作图：作出正方形ABEF，并写出点E，F的坐标；（3）记平行四边形ABDC的面积为S1，平行四边形CDEF的面积为S2，则＝．21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝4，cos C＝时，求⊙O的半径．22．某客商准备采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型品的件数不大于B型商品的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润y与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元（0＜a＜80），若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，求的a值．23．如图1，在△ABC中，AC＝n•AB，∠CAB＝α，点E，F分别在AB，AC上且EF∥BC，把△AEF绕点A顺时针旋转到如图2的位置．连接CF，BE．（1）求证：∠ACF＝∠ABE；（2）若点M，N分别是EF，BC的中点，当α＝90°时，求证：BE2+CF2＝4MN2；（3）如图3，点M，N分别在EF，BC上且＝＝，若n＝，α＝135°，BE ＝，直接写出MN的长．24．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b与x轴交于点A（3，0），与y轴相交于点B（0，）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为抛物线上的点，且在第二象限，若△POA的面积等于△POB的面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图2，C为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点D使△DAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果水位上升2米记为+2米，则水位下降3米记为（）A．+3米B．﹣3 米C．+2米D．﹣2 米【分析】根据题意，可以知道负数表示下降，问题得以解决．【解答】解：∵水位上升2米记为+2米，∴﹣3米表示水位下降3米，故选：B．2．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＝1B．x≠1C．x＝﹣1D．x≠﹣1【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣1≠0．解得；x≠1．故选：B．3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部正面向上的概率＝．故答案为，故选：A．4．下列四个图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．故选：C．5．如图几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从几何体的上面看所得到图形即可．【解答】解：从上面看得到图形为，故选：C．6．如图，已知抛物线y＝x2+2x﹣3，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图象中，能表示s与m的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据图形平移后形状不变的性质，可把不规则阴影部分的面积转化为规则图形（矩形）即可判断．【解答】解：如图，我们把抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线及直线x ＝2，x＝﹣2所围成的阴影部分的面积S可以看做和矩形BB′C′C等积，于是可以看出S与m是正比例函数关系故选：B．7．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（）A．B．C．D．【分析】最后一个数字可能是0～9中任一个，总共有十种情况，其中开锁只有一种情况，利用概率公式进行计算即可．【解答】解：∵共有10个数字，∴一共有10种等可能的选择，∵一次能打开密码的只有1种情况，∴一次能打开该密码的概率为．故选：A．8．如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y 轴于D，下列结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据反比例函数的对称性、函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|及三角形中位线的判定作答．【解答】解：①反比例函数与正比例函数若有交点，一定是两个，且关于原点对称，所以正确；②根据A、B关于原点对称，S△ABC为即A点横纵坐标的乘积，为定值1，所以正确；③因为AO＝BO，OD∥BC，所以OD为△ABC的中位线，即D是AC中点，所以正确；④在△ADO中，因为AD和y轴并不垂直，所以面积不等于k的一半，即不会等于，所以错误．因此正确的是：①②③，故选：C．9．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．【分析】连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，如图中红线所示，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G 重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长．【解答】解：连接AC，AO，∵AB⊥CD，∴G为AB的中点，即AG＝BG＝AB，∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，∴OG＝2，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG＝＝2，又∵CG＝CO+GO＝4+2＝6，∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC＝＝4，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACG中，tan∠ACG＝＝，∴∠ACG＝30°，∴所对圆心角的度数为60°，∵直径AC＝4，∴的长为＝π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π．故选：C．10．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律，2020应在（）A．A位B．B位C．C位D．D位【分析】观察数的位置，发现规律：被4除余数是1的排在D位，被4除余数是2的排在A位，被4除余数是3的排在B位，被4正出的排在C位．利用规律即可求解．【解答】解：被4除余数是1的排在D位，被4除余数是2的排在A位，被4除余数是3的排在B位，被4整除的排在C位．2020÷4＝505，所以2020排在C位．故选：C．二．填空题（共6小题）11．计算的结果是2．【分析】根据算术平方根的定义把原式进行化简即可．【解答】解：∵22＝4，∴＝2．故答案为：2．12．某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图的折线统计图，这组数据的中位数是9，极差是4，平均数是9．【分析】此题根据中位数，极差，平均数的定义解答．【解答】解：由图可知，把45个数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以中位数是9．这组数据中最大值是11，最小值是7，所以极差是11﹣7＝4．平均数是（7×5+8×8+9×18+10×10+11×4）÷45＝9，所以平均数是9．故答案为9，4，9．13．计算：＝﹣．【分析】先通分，再根据同分母的分式相加减法则进行计算，再求出即可．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝﹣，故答案为：﹣．14．E为▱ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，且EF＝DF．若∠C＝52°，那么∠ABE＝51°．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠BFE＝∠A＝52°，∠FBE＝∠ABE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠EDF＝∠DEF＝∠BFE＝26°，由三角形内角和定理求出∠ABD＝102°，即可得出∠ABE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C＝52°，由折叠的性质得：∠BFE＝∠A＝52°，∠FBE＝∠ABE，∵EF＝DF，∴∠EDF＝∠DEF＝∠BFE＝26°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠EDF＝102°，∴∠ABE＝∠ABD＝51°；故答案为：51°．15．已知a2﹣6a﹣5＝0和b2﹣6b﹣5＝0中，a≠b，则的值是﹣．【分析】由a2﹣6a﹣5＝0和b2﹣6b﹣5＝0中，a≠b，可知a、b为方程x2﹣6x﹣5＝0的两个根，结合根与系数的关系可得出a+b＝6，ab＝﹣5，将变化成只含a+b与ab 的算式，代入数据即可得出结论．【解答】解：由已知可得：a、b为方程x2﹣6x﹣5＝0的两个根，∴a+b＝6，ab＝﹣5．∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣．16．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是优弧AB上的一动点，BD⊥BC交直线AC于点D，当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过的路径长为π．【分析】如图，以AB为边向上作等边三角形△ABF，连接OA，OB，OF，DF，OF交AB于H．说明点D的运动轨迹是以F为圆心，F A为半径的圆，再利用弧长公式求解即可．【解答】解：如图，以AB为边向上作等边三角形△ABF，连接OA，OB，OF，DF，OF 交AB于H．∵F A＝FB，OA＝OB，∴OF⊥AB，AH＝BH＝，∴sin∠BOH＝，∴∠BOH＝∠AOH＝60°，∴∠AOB＝120°∴∠C＝∠AOB＝60°，∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠CDB＝30°，∵∠AFB＝60°，∴∠ADB＝∠AFB，∴点D的运动轨迹是以F为圆心，F A为半径的圆，∵当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，BC绕点B顺时针旋转了30°，∴BD绕点B也旋转了30°，∴点D的轨迹所对的圆心角为60°，∴运动路径的长＝＝π，故答案为π．三．解答题（共8小题）17．计算：x2•（﹣x3）4．【分析】原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算，再利用同底数幂的乘方法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝x2•x12＝x14．18．如图，点B在DC上，BE平分∠ABD，∠ABE＝∠C，求证：BE∥AC．【分析】欲证BE∥AC，在图中发现BE、AC被直线AB所截，且已知BE平分∠ABD，∠ABE＝∠C，故可按同位角相等，两直线平行进行判断．【解答】解：∵BE平分∠ABD，∴∠DBE＝∠ABE；∵∠ABE＝∠C，∴∠DBE＝∠C，∴BE∥AC．19．为弘扬中华传统文化，了解学生整体数学阅读能力，某校组次阅读理解大赛的初赛，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图分组/分频数频率A组50≤x＜6060.12B组60≤x＜70a0.28C组70≤x＜80160.32D组80≤x＜90100.20E组90≤x≤10040.08（1）表中的a＝14；抽取部分学生的成绩的中位数在C组；（2）把上面的频数分布直方图补充完整；（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．【分析】（1）由A组频数及其频率可得总人数，总人数乘以B组频率可得a的值，根据中位数的定义可得答案；（2）根据以上所求数据可补全图形；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【解答】解：（1）∵样本容量为6÷0.12＝50，∴a＝50×0.28＝14，∵被调查的总人数为50，其中位数为第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在C组，∴这组数据的中位数落在C组，故答案为：14、C；（2）补全频数分布直方图如下：（3）估计该校进入决赛的学生大约有1000×＝80（人）．20．如图，在下列7×7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（﹣1，2）、B（3，3）都是格点．（1）将线段AB向下平移2个单位长度，得到线段CD，请画出四边形ABDC，并写出该四边形的面积；（2）要求在图中仅用无刻度的直尺作图：作出正方形ABEF，并写出点E，F的坐标；（3）记平行四边形ABDC的面积为S1，平行四边形CDEF的面积为S2，则＝．【分析】（1）直接利用平移的性质得出C，D点坐标进而得出答案；（2）直接利用正方形的性质得出E，F点的位置进而得出答案；（3）分别得出S1和S2的值，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：四边形ABDC即为所求，该四边形的面积为：2×4＝8；（2）如图所示：正方形ABEF即为所求，点E，F的坐标分别为：（4，﹣1），（0，﹣2）；（3）∵平行四边形ABDC的面积为S1＝8，平行四边形CDEF的面积为S2＝3×5﹣×1×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×1×2＝9，∴＝．故答案为：．21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝4，cos C＝时，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OM，证明OM∥BE，再结合等腰三角形的性质说明AE⊥BE，进而证明OM⊥AE；（2）结合已知求出AB，再证明△AOM∽△ABE，利用相似三角形的性质计算．【解答】（1）证明：连接OM，则OM＝OB∴∠1＝∠2∵BM平分∠ABC∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3∴OM∥BC∴∠AMO＝∠AEB在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴AE⊥BC∴∠AEB＝90°∴∠AMO＝90°∴OM⊥AE∵点M在圆O上，∴AE与⊙O相切；（2）解：在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴BE＝BC，∠ABC＝∠C∵BC＝4，cos C＝∴BE＝2，cos∠ABC＝在△ABE中，∠AEB＝90°∴AB＝＝6设⊙O的半径为r，则AO＝6﹣r∵OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴∴解得∴⊙O的半径为．22．某客商准备采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型品的件数不大于B型商品的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润y与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元（0＜a＜80），若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，求的a值．【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；（2）根据总利润＝两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；（3）设利润为w元．则w＝（80﹣a）m+70（250﹣m）＝（10﹣a）m+17500，分三种情形讨论即可解决问题，把w＝17100代入解答即可．【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．由题意：＝，解得x＝150，经检验x＝150是分式方程的解，答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元；（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．由题意：y＝80m+70（250﹣m）＝10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125；（3）设利润为w元．则w＝（80﹣a）m+70（250﹣m）＝（10﹣a）m+17500，①当10﹣a＞0时，即0＜a＜10时，w随m的增大而增大，所以m＝125时，最大利润为（18750﹣125a）元．②当10﹣a＝0时，最大利润为17500元．③当10﹣a＜0时，即10＜a≤80时，w随m的增大而减小，所以m＝80时，最大利润为（18300﹣80a）元．∴18750﹣125a＝17100或18300﹣80a＝17100，解得a＝13.2（不合题意，舍去）或15．答：若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，则a值为15．23．如图1，在△ABC中，AC＝n•AB，∠CAB＝α，点E，F分别在AB，AC上且EF∥BC，把△AEF绕点A顺时针旋转到如图2的位置．连接CF，BE．（1）求证：∠ACF＝∠ABE；（2）若点M，N分别是EF，BC的中点，当α＝90°时，求证：BE2+CF2＝4MN2；（3）如图3，点M，N分别在EF，BC上且＝＝，若n＝，α＝135°，BE ＝，直接写出MN的长．【分析】（1）证明△CAF∽△BAE即可解决问题．（2）延长BE交CF的延长线于H，连接BF，取BF的中点J，连接NJ，JM，设AC交BH于点O．首先证明CF⊥BE，利用三角形的中位线定理证明△NJM是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．（3）如图3中，延长BE交CF的延长线于H，连接BF，在FB上取一点J，使得FJ：JB＝1：2，连接NJ，JM．证明∠MJN＝45°，NJ＝，MJ＝，如图4中，在△NJM 中，作MK⊥NJ于K，解直角三角形求出MN即可．【解答】（1）证明：由如图1中可知，∵EF∥BC，∴＝，∴＝，如图2中，∵∠CAB＝∠EAF，∴∠CAF＝∠BAE，∵＝，∴△CAF∽△BAE，∴∠ACF＝∠ABE．（2）证明：延长BE交CF的延长线于H，连接BF，取BF的中点J，连接NJ，JM，设AC交BH于点O．∵∠OCH＝∠OBA，∠COH＝∠BOA，∴∠H＝∠OAB＝90°，∴CF⊥BE，∵CN＝BN，FJ＝JB，∴JN∥CF，JN＝CF，∵FM＝ME，FJ＝JB，∴MJ∥BE，MJ＝BE，∵CF⊥BE，∴NJ⊥JM，∴∠NJM＝90°，∴JN2+JM2＝MN2，∴（CF）2+（BE）2＝MN2，∴BE2+CF2＝4MN2．（3）解：如图3中，延长BE交CF的延长线于H，连接BF，在FB上取一点J，使得FJ：JB＝1：2，连接NJ，JM．同法可证∠H＝∠CAB＝135°，∵CN：BN＝FJ：JB＝1：2，∴NJ∥CF，NJ＝CF，∵FM：ME＝FJ：JB＝1：2，∴MJ∥BE，MJ＝BE，∴△MJN中∠MJN的外角为135°，∴∠MJN＝45°，由题意BE＝，CF＝2，∴NJ＝，MJ＝，如图4中，在△NJM中，作MK⊥NJ于K．∵∠J＝∠JMK＝45°，MJ＝，∴MK＝KJ＝，∴NK＝NJ﹣KJ＝1，∴MN＝＝＝．24．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b与x轴交于点A（3，0），与y轴相交于点B（0，）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为抛物线上的点，且在第二象限，若△POA的面积等于△POB的面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图2，C为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点D使△DAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把已知坐标代入抛物线求出a，b的值后易求抛物线的解析式．（2）求出OA，OB的值后可求出S1，S2．根据题意求出点P的坐标．（3）易求出C点的坐标，过点C作CE⊥y轴于点E，CG⊥x轴于点G，要使△ADC为直角三角形，可分三种情况讨论（以AC为斜边，则D在以AC为直径的圆上，取AC的中点H，OE的中点F，连接HF；以CD为斜边，过点A作AD1⊥AC交y轴于点D1；以AD为斜边，过点C作CD2⊥AC交y轴于点D2），利用相似三角形的判定以及线段比求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b过A（3，0），B（0，﹣），∴0＝9a﹣6a+b﹣＝b，解得a＝，b＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣﹣．（2）（x p，y p），△PDA的面积为S1，△POB的面积为S2，∵A（3，0），B（0，﹣），∴OA＝3，OB＝，∴S1＝OA•|y p|＝|y p|，S2＝OB•|x p|＝|x p|，3分∵P点在第二象限，∴S1＝y p，S2＝﹣x p，∵S1＝2s2∴y p＝﹣x p，∵点P在抛物线上，∴y p＝x p2﹣x p﹣，﹣x p＝x p2﹣x p﹣，解得，x p＝（舍去），x p＝﹣，当x p＝﹣时，y P＝，∴点P的坐标为（﹣，）．（3）∵C为抛物线的顶点，∴C点的坐标为（1，﹣3），过点C作CE⊥y轴于点E，CG⊥x轴于点G，则CE＝1，CG＝3，要使△ADC为直角三角形，分三种情况讨论：①以AC为斜边，则D在以AC为直径的圆上，取AC的中点H，OE的中点F，连接HF，则HF为直角梯形OECA的中位线，HF＝（EC+OA）＝2，即圆心H到y轴的距离为2，在Rt△CGA中，∵CG＝3，AG＝2，∴AC＝，AH＝，∵＜2，∴y轴与⊙H相离，∴y轴上不存在符合条件的D点．②以CD为斜边，过点A作AD1⊥AC交y轴于点D1，∵∠D1AO+∠OAC＝90°，∠GCA+∠GAC＝90°，∴∠D1AO＝∠ACG，∵AO＝CG，∴Rt△D1A0≌Rt△ACG，∴D1O＝AG＝2，∴y轴上存在点D1（0，2）使△D1AC为直角三角形．③以AD为斜边，过点C作CD2⊥AC交y轴于点D2，∵∠D2CA＝90°，∠GCE＝90°，∴∠D2GE＝∠ACG，∴Rt△ACG∽Rt△D2CE，∴＝＝，∵CE＝1，∴ED2＝，∵OE＝3，∴OD2＝OE﹣ED2＝，∴y轴上存在点D2（0，﹣）使△D2AC为直角三角形．。
2020年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学押题试卷(理科)(5月份)(含答案解析)
2020年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学押题试卷（理科）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知复数，则复数的虚部为（）A. 1B. -1C. iD. -i2.已知集合，B={x|y=lg（2x-1）}，则A∩B=（）A. （0，1]B. [0，1]C.D.3.设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（）A. -B. -C.D.4.已知等差数列{a n}满足4a3=3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A. a6B. a8C. a10D. a125.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”，成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级，某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到：如图表针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A. 获得A等级的人数减少了B. 获得B等级的人数增加了倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A. 22019-1B. 22019-2C. 22020-2D. 22020-17.设函数f（x）=cos（2x-）+sin（2x-），将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的最小值是（）A. B. C. D.8.设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝（﹣1）n a n+，则S1+S3+S5＝（）A. 0B.C.D.9.已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线与C交于A，B两点，O是坐标原点，记△AOB的面积为S，且满足|AB|=3|FB|=，则p=（）A. B. 1 C. D. 210.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A. πB. πC. πD. π11.已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.12.在△ABC中，A，B、C为其三内角，满足tan A，tan B、tan C都是整数，且A＞B＞C，则下列结论中错误的是（）A. A＞B. B＞C. A＜D. B＜二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知（2+x）5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+……+a5（1+x）5，则a2=______．14.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆交C的一条渐近线于点P（P在第一象限内），若线段PF1的中点Q在C的另一条渐近线上，则C 的离心率=______．15.中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接面成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作，由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（10000，102），且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为体对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1）），现有以下判断，①A1D⊥C1P②若BD1⊥平画PAC，则λ=③△PAC周长的最小值是2+2④若△PAC为钝角三角形，则λ的取值范国为（0，）．其中正确判断的序号为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，∠BAC=90°，AD是∠BAC的内角平分线，点D在线段BC上，且BD=2CD．（1）求sin B的值；（2）若AD=1，求△ABC的面积18.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A-PE-C的余弦值．19.已知点M（，）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上，且点M到C的左、右焦点的距离之和为2（1）求C的方程（2）设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求・的取值范围20.武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城，其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风量区等等（1）为了解“五・一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在[42，52]内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[47，52]内的人数为ξ，求P（ξ=3）（2）为了给游客提供更舒适的旅的体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投人至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光，由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于1．将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5频数（年）244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量（单位艘）要受当日客流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5A型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A 型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元记Y（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投人多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大．21.已知函数f（x）=（x+1）e x++2ax，a∈R（1）讨论f（x）极值点的个数;（2）若x0（x0≠-2）是f（x）的一个极值点，且f（-2）＞e-2，证明：f（x0）≤1．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（）=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P（-1，0），直线l和曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+2|x-1|（a＞0）．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）＞4-2x对任意的x∈[-3，-1]恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由=，得．则复数的虚部为1．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：解：∵集合={0＜x≤1}，B={x|y=lg（2x-1）}={x|x＞}，∴A∩B={x|}=（]．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析：解：因为，均为单位向量，且，的夹角为，所以在方向上的投影为：=，故选：B．在方向上的投影为，代入数值计算即可．本题考查了平面向量投影的计算，属基础题．4.答案：A解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵4a3=3a2，∴4（a1+2d）=3（a1+d），可得：a1+5d=0，∴a6=0，则{a n}中一定为零的项是a6．故选A．5.答案：B解析：【分析】本题考查了频率分布直方图和扇形图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．根据频率分布直方图扇形图，利用频率与样本容量的关系即可解答．【解答】解：由题可知：设2016年参加选择考的总人数为：a人；则：2018年参加选择考的总人数为：2a 人；2016年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：A：0.28a、B：0.32a、C：0.30a、D：0.08a、E：0.02a；2018年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：A：0.48a、B：0.80a、C：0.56a、D：0.12a、E：0.04a；对各个选项进行比较可得B正确．故选：B．6.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2+22+23+…+22019的值，由于S=2+22+23+…+22019==22020-2．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2+22+23+…+22019的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.答案：A解析：解：函数f（x）=cos（2x-）+sin（2x-），=sin（2x+），将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x+2φ+）的图象，由于g（x）为偶函数，故：2x+2φ+（k∈Z），解得：φ=（k∈Z），当k=0时，φ的最小值为．故选：A．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换和伸缩变换的应用和性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.答案：D解析：【分析】直接利用函数的关系式的应用和偶函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的应用，偶函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=（-1）n a n+，则：当n为偶数时，，所以：．故选：D．9.答案：D解析：解：设直线AB的方程为：x=ty+，将其代入抛物线C的方程得：y2-2pty-p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pt①，y1y2=-p2②，又|AB|=3|BF|，∴|AF|=2|BF|，∴y1=-2y2，③∴s=|OF|×|y1-y2|=××=×=，联立①②③可得t2=，由弦长公式得|AB|=x1+x2+p=ty1++ty2++p=t（y1+y2）+2p=2pt2+2p=，∴=×，解得：p=2．故选：D．联立直线与抛物线，根据韦达定理以及面积公式烈士可得．本题考查了抛物线的性质，属中档题．10.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以：d=，故：，所以：．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，进一步求出球的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11.答案：A解析：【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y=-kx-1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可.本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．【解答】解：∵函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=-1的对称点在y=kx-1的图象上，而函数y=kx-1关于直线y=-1的对称图象为y=-kx-1，∴f（x）=的图象与y=-kx-1的图象有且只有四个不同的交点 .作函数f（x）=的图象与y=-kx-1的图象如下，易知直线y=-kx-1恒过点A（0，-1），设直线AC与y=x lnx-2x相切于点C（x，x lnx-2x），y′=ln x-1，故ln x-1=，解得，x=1；故k AC=-1 .设直线AB与y=x2+x相切于点B（x，x2+x），y′=2x+，故2x+=，解得，x=-1 .故k AB=-2+=-；故-1＜-k＜-，故＜k＜1 .故选A．12.答案：A解析：解：△ABC中，由于A＞B＞C，所以B，C都是锐角，由于tan B，tan C都是整数，由A+B+C=π，得tan A=-tan（B+C）=-=＞0，可得A也为锐角，这时，tan C≥1，tan B≥2，tan A≥3，可得：=tan C≥1，即（tan A-1）（tan B-1）≤2，由于：tan A-1≥2，tan B-1≥1，比较可知只可能tan A=3，tan B=2，tan C=1，由于：tan B，可知B＞，故B正确；由于：tan=2+＞tan A，可知A＜，又＜，故选项C正确；又由于＞A＞B，可得选项D正确；故选：A．由题意易得B，C都是锐角，利用诱导公式，两角和的正切函数公式可求tan A=＞0，可得A也为锐角，由tan C≥1，tan B≥2，tan A≥3，可得（tan A-1）（tan B-1）≤2，结合tan A-1≥2，tan B-1≥1，比较可知只可能tan A=3，tan B=2，tan C=1，逐项分析即可得解．本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式的应用问题，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．13.答案：10解析：解：（2+x）5=[1+（1+x）]5，则[1+（1+x）]5展开式的通项为T r+1（1+x）r，令r=2得a2==10，故答案为：10．由二项式定理及展开式通项公式得：[1+（1+x）]5展开式的通项为T r+1（1+x）r，令r=2得a2==10，得解．本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属简单题．14.答案：2解析：解：如图：因为Q，O分别是PF1，F！F2的中点，所以OQ∥F2P，∵F1F2为圆的直径，∴OQ⊥PF1，直线PF1的方程为：y=（x+c）与y=-x联立解得Q（-，），根据中点公式得P（，），将其代入y=x得：c2=4a2，∴e2==4，∴e=2．故答案为：2．如图：因为Q，O分别是PF1，F！F2的中点，所以OQ∥F2P，∵F1F2为圆的直径，∴OQ⊥PF1，再根据直线PF1的方程与y=-x联立得Q的坐标，根据中点公式得P 的坐标，将其代入y=x可得c2=4a2，可得离心率．本题考查了双曲线的性质，属中档题．15.答案：375解析：解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（10000，102），得：三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为P=，设A={超过10000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过10000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过10000小时}．则P（A）=1-（1-）2=，P（B）=，∵事件A，B为相互独立事件，事件C为A、B同时发生的事件，∴P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=．∴这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为1000×=375．故答案为：375．先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过10000小时”当且仅当“超过10000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过10000小时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘，最后乘以1000得答案．本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，是中档题．16.答案：①②④解析：解：对于①，A1D⊥面ABC1D1，C1P⊂面ABC1D1，∴A1D⊥C1P，①正确；对于②，若BD1⊥平面PAC，几何体是正方体，∴P在平面AB1C中，则λ=，②正确；对于③，建立空间直角坐标系，如图所示，设P（x，x，2-x），x∈[0，2]，A（2，0，0），C（0，2，0）；|PA|=|PB|===≥=，∴△PAC的周长最小值为2+2×=2+，∴③错误；对于④，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），∴=（-1，-1，1），=（-λ，-λ，λ），=+=（λ，λ-1，-λ），=+=（λ-1，λ，-λ），显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos＜，＞=＜0，等价于•＜0，即λ（λ-1）+（λ-1）λ+（-λ）（-λ）=λ（3λ-2）＜0，故0＜λ＜，④正确；故答案为：①②④．①根据空间中的垂直关系，即可判断A1D⊥C1P的正误；②利用正方体的特征，判断BD1⊥平面PAC时对应λ的值即可；③建立空间直角坐标系，即可求得△PAC周长的最小值；④通过建立空间直角坐标系，求出△PAC为钝角三角形时λ的取值范围．本题考查空间直角坐标系的应用，夹角与距离的关系，考查空间想象能力以及计算能力．17.答案：解：（1）在△ABD中，由正弦定理可得：，即：，在△ACD中，由正弦定理可得：，即，两式子相除可得：=，即sin B=cos B，可得：sin2B=cos2B=（1-sin2B），即sin2B=，又0＜B＜π，可得：sin B=．（2）由∠BAC=90°，可得B是锐角，于是cos B=，所以sin∠BDA=sin（B+45°）=sin B cos45°+cos B sin45°=，在△ABD中，由正弦定理可得：AB=AD•=，于是AC=AB tanB=，所以S△ABC=AB•AC==．解析：（1）在△ABD中，由正弦定理可得，在△ACD中，由正弦定理可得，两式相除可得sin B=cos B，结合范围0＜B＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．（2）由同角三角函数基本关系式可求cos B，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠BDA，在△ABD中，由正弦定理可得AB的值，可求AC=AB tanB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：（I）证明：连接BD，设AE的中点为O，∵AB∥CE，AB=CE=CD，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，∴△ADE，△ABE为等边三角形，∴OD⊥AE，OB⊥AE，又OP∩OB=O，OP，OB⊂平面POB，∴AE⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（II）解：在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，∴直线PB与平面ABCE夹角为∠PBO=，又OP=OB，∴OP⊥OB，∴O、Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴=（，0，-），=（，，0），设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），则，即，令x=得=（，-1，1），又OB⊥平面PAE，∴=（0，1，0）为平面PAE的一个法向量，设二面角A-EP-C为α，则|cosα|=|cos＜＞|===，易知二面角A-EP-C为钝角，所以cosα=-．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．（1）连接BD，设AE的中点为O，可证AE⊥PO，AE⊥BO，故而AE⊥平面POB，于是AE⊥PB；（II）证明PO⊥OB，建立空间坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．19.答案：解：（1）由题意可得：+=1，2a=2，解得a=，b=1．∴椭圆的标准方程为：+y2=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OM的方程为：y=x．弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，∴=×，化为：x1+x2=2（y1+y2）．由+=1，+=1，相减可得：+（y1+y2）（y1-y2）=0．∵x1-x2≠0，∴+（y1+y2）=0．∴=-1=k AB．设直线AB的方程为：y=-x+m，代入椭圆方程可得：3x2-4mx+2m2-2=0．△=16m2-24（m2-1）=8（3-m2）＞0．解得m2＜3．又=∈（0，），∴．由根与系数的关系可得：x1+x2=，x1x2=．∴・=x1x2+y1y2=x1x2+（-x1+m）（-x2+m）=2x1x2--m（x1+x2）+m2=2×-+m2=m2-．而．∴・=m2-∈．解析：（1）由题意可得：+=1，2a=2，解得a，b．即可得出椭圆的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OM的方程为：y=x．弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，可得=×．由+=1，+=1，相减可得：=-1=k AB．设直线AB的方程为：y=-x+m，代入椭圆方程可得：3x2-4mx+2m2-2=0．△＞0．解得m2＜3．把根与系数的关系代入・=x1x2+y1y2=x1x2+（-x1+m）（-x2+m）化简即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、不等式的解法、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.答案：解：（1）年龄在[42，47）内的游客人数为150，年龄在[47，52]内的游客人数为100，若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42，47）内的人数为6人，年龄在[47，52）内的人数为4人，∴P（ξ=3）==．（2）①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E（Y）=3（万元），②当投入2艘A型游船时，若1＜X＜3，则Y=3-0.5=2.5，此时P（Y=）=P（1＜X＜3）=，若X≥3，则Y=3×2=6，此时P（Y=6）=P（3≤X≤5）+P（X＞5）=，此时，Y的分布列为：Y 2.5 6P此时E（Y）=（万元）．③当投入3艘A型游船时，若1＜X＜3，则Y=3-1=2，此时P（Y=2）=P（1＜K＜3）=，若3≤X≤5，则Y=3×2-0.5=5.5，此时P（Y=5.5）=P（3≤X≤5）=，若X＞5，则Y=3×3=9，此时P（Y=9）=P（X＞5）=，此时，Y的分布列如下表：Y 2 5.5 9P此时，E（Y）=2×=6.2（万元）．由于6.2＞5.3＞3，则该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．解析：（1）采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42，47）内的人数为6人，由此能求出年龄在[47，52）内的人数为4人，P（ξ=3）的值．（2）当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E（Y）=3（万元），当投入2艘A型游船时，求出Y的分布列，从而E（Y）=（万元）．当投入3艘A型游船时，求出Y的分布列，从而E（Y）=2×=6.2（万元），由此能求出该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．21.答案：（1）解：f（x）的定义域为R，f′（x）=（x+2）（e x+a）；若a≥0，则e x+a＞0；∴当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（-2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴x=-2是f（x）唯一的极小值点，无极大值点，故此时f（x）有1个极值点；若a＜0，令f′（x）=（x+2）（e x+a）=0，则x1=-2，x2=ln（-a）；当a＜-e-2时，x1＜x2，可知当x∈（-∞，x1）∪（x2,+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0；∴x1，x2分别是f（x）的极大值点和极小值点，故此时f（x）有2个极值点；当a=-e-2时，x1=x2，f′（x）≥0，此时f（x）在R上单调递增，无极值点；当-e-2＜a＜0时，x1＞x2，同理可知，f（x）有2个极值点；综上，当a=-e-2时，f（x）无极值点；当a≥0时，f（x）有1个极值点；当a＜-e-2或-e-2＜a＜0时，f （x）有2个极值点;（2）证明：若x0（x0≠-2）是f（x）的一个极值点，由（1）知a∈（-∞，-e-2）∪（-e-2，0）；又f（-2）=-e-2-2a＞e-2；∴a∈（-∞，-e-2）；则x0=ln（-a）；∴；令t=ln（-a）∈（-2，+∞），则a=-e t；∴；∴；又∵t∈（-2，+∞）；∴t+4＞0；令g′（t）=0，得t=0；当t∈（-2，0）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t∈（0，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减；∴t=0是g（t）唯一得极大值点，也是最大值点，即g（t）≤g（0）=1；∴f[ln（-a）]≤1，即f（x0）≤1．解析：（1）对f（x）求导，对于a的取值进行分类讨论，进而得出f（x）的增减性与极值点的个数；（2）根据题目条件和第（1）问，确定a的范围，得到f（x0）的表达式，再利用换元法令t=ln（-a），求出函数g（t）的最大值，从而得证f（x0）≤1．本题考查了利用导数求函数的单调区间、极值，涉及转化思想，分类讨论，换元法，属难题．22.答案：解：（1）由消去参数α，得+=1，即曲线C的普通方程为：+=1，由ρsin（θ-）=，得ρsinθ-ρcosθ=1，化为直角坐标方程为：x-y+1=0．（2）由（1）知，点P（-1，0）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），代入+=1并化简得2t2--8=0，△＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，得t1+t2=，t1t2=-1，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==，所以|PA|+|PB|=．解析：（1）消去参数α可得曲线C的普通方程；根据互化公式可得直线l的直角坐标方程；（2）根据参数t的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.答案：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+2|x-1|，∴f（x）＞4等价于或或，解得x＜-1或，∴不等式的解集为{x|x＜-1或}；（2）当x∈[-3，-1]时，由f（x）＞4-2x得|x+a|+2-2x+2x-4＞0即|x+a|＞2，∴a＞2-x或a＜-2-x对任意的x∈[-3，-1]恒成立，又（2-x）min=5，（-2-x）min=-1，∴a＜-1或a＞5，又a＞0，∴a＞5，∴a的取值范围为：（5，+∞）．解析：（1）将a=1代入f（x）中，去绝对值，然后分别解不等式；（2）由条件可得|x+a|＞2，即a＞2-x或a＜-2-x对任意的x∈[-3，-1]恒成立，然后解出a的范围即可．本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，属基础题．。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2020-2021学年高一下学期期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．下列命题正确的是（）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．两条不平行的直线确定一个平面D．梯形可确定一个平面2．已知向量，且，则m＝（）A．8B．2C．﹣2D．﹣83．某同学对他进入高中以来的数学测验的成绩进行了统计，得到如图所示的茎叶图其中的“茎”指竖线左边的一列数，它表示个数的高位，本茎叶图中的“茎”表示一个三位数的百位、十位数；“叶”指竖线右边的从“茎”旁边生出来的数，它表示一个数的低位，本茎叶图中的“1”表示相应三位数的个位数如第二行：竖线左边为“12”，竖线右边第5个数为“7”，这两个数字结合起来就是该同学某次数学测验的成绩“127”．则这组成绩的中位数、众数、极差分别是（）A．130，122，36B．131.5，122，36C．131，136，29D．131.5，122，294．在三棱锥D﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，AD⊥平面ABC，AD＝1，E是线段AC 的中点，则异面直线AB和DE所成的角等于（）A．135°B．120°C．60°D．45°5．用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角．已知过圆锥SO的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥SO的轴截面，则圆锥SO的顶角的取值范围是（）A．（0，π）B．C．D．6．在△ABC巾，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为，则（）A．a2≠bc sin A B．C．的最大值为D．的最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.7．已知复数和θ都是实数，若z1＝z2，则m＝．8．已知直线y＝a（常数a＞0）与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离＝．9．在三棱锥S﹣ABC中，作SO⊥平面ABC，垂足为O．给出下列命题：①若三条侧棱SA，SB，SC与底面ABC所成的角相等，则O是△ABC的外心；②若三个侧面SAB，SBC，SCA与底面ABC所成的二面角相等，则O是△ABC的内心；③若三组对棱SA与BC，SB与CA，SC与AB中有两组互相垂直，则O是△ABC的垂心．则其中真命题的序号是．10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，△ABD是边长为2的正三角形，P 是平面ABCD内的动点，，设，则λ+μ的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11．设z，ω∈C，且|z|+＝．（1）求z；（2）在|ω﹣2|＝|z|，求复数ω的模的取值范围．12．已知向量，设函数（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间和对称中心的坐标；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若关于x 的方程g（x）＝m在区间上有解求实数m的取值范围．13．袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球．现由甲乙两人从袋中轮流取球，取后不放，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，按下来再由乙取到有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率是相等，记事件A i＝“第i次取到的球是白球”，i＝1，2，3．试将下列件A1，A2，A3表示，并求出相应事件的概率．（1）取球2次即终止；（2）最后一次取球的是甲．14．如图，在△ABC中，B＝60°，点D在边AB上，AD＝CD，BD＝1．（1）若△BCD的面积为，求AB的长：（2）若，求角A的大小．15．从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～350（度）之间，在进行适当分组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布方图的全部6个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这6个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”．（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图x的值；（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的中均数；（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的平均数为140（度），方差为1600，所有这100户的月川电量的平均数为188（度），方差为5200，且月用电最落在区间[50，200）（度）内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间[200，350）（度）内的用户用电量的标准差．（参考数据：142＝196，262＝676，722＝5184，482+1600＝3904，1402+1600＝21200，1882+5200＝40544）16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB．点E是PD的中点，作EF⊥PC，交PC于点F．（1）设平面PAB与平面ACE的交线为l，试判断直线PB与直线/的位置关系，并给出证明；（2）求平面PAB与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线PD与平面AEF所成角的正切值．参考答案一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．下列命题正确的是（）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．两条不平行的直线确定一个平面D．梯形可确定一个平面【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可．【解答】对选项A，当三点共线时，不能确定一个平面，故A错误；对选项B：一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B错误；对选项C：如果这两条直线异面，则不可以确定一个平面，故C错误；对选项D，梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故D正确．故选：D．2．已知向量，且，则m＝（）A．8B．2C．﹣2D．﹣8【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：∵向量，且，∴＝﹣4+2m＝0．解得m＝2．故选：B．3．某同学对他进入高中以来的数学测验的成绩进行了统计，得到如图所示的茎叶图其中的“茎”指竖线左边的一列数，它表示个数的高位，本茎叶图中的“茎”表示一个三位数的百位、十位数；“叶”指竖线右边的从“茎”旁边生出来的数，它表示一个数的低位，本茎叶图中的“1”表示相应三位数的个位数如第二行：竖线左边为“12”，竖线右边第5个数为“7”，这两个数字结合起来就是该同学某次数学测验的成绩“127”．则这组成绩的中位数、众数、极差分别是（）A．130，122，36B．131.5，122，36C．131，136，29D．131.5，122，29【分析】共有22个数据，第11个数据和第12个数据的平均数为中位数；122出现的次数最多，为众数；找到最大值和最小值，差值为极差．解：共有22个数据，第11个数据为131，第12个数据为132，所以中位数为；数据122出现3次，出现次数最多，所以众数为122；最大值为112，最小值为148，所以极差为148﹣112＝36；故选：B．4．在三棱锥D﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，AD⊥平面ABC，AD＝1，E是线段AC 的中点，则异面直线AB和DE所成的角等于（）A．135°B．120°C．60°D．45°【分析】作BC的中点F，则EF∥AB，所以异面直线AB和DE所成的夹角即直线EF和DE所成的夹角，求出DE，EF，FD，结合余弦定理可求出∠DEF＝120°，进而得到异面直线AB和DE所成的角为60°．解：如图，作BC的中点F，则EF∥AB，所以异面直线AB和DE所成的夹角即直线EF和DE所成的夹角，即∠DEF或其补角，因为AC⊥BC，CA＝CB＝2，所以，所以，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC，所以，连接AF，则，因为AD⊥平面ABC，又AF⊂平面ABC，所以AD⊥AF，所以，在△DEF中，由余弦定理可得，又∠DEF∈（0，180°），所以∠DEF＝120°，故直线EF和DE所成的夹角为60°．故选：C．5．用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角．已知过圆锥SO的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥SO的轴截面，则圆锥SO的顶角的取值范围是（）A．（0，π）B．C．D．【分析】设圆锥的母线长为l，顶角为θ，求出过圆锥SO的两条母线的截面三角形面积S，求出S取得最大值时θ的值，即可求出θ的取值范围．解：设圆锥的母线长为l，顶角为θ，则过圆锥SO的两条母线的截面三角形面积为S＝l2sinθ，当sinθ＝1时S取得最大值，此时θ＝，所以圆锥的轴截面中，顶角θ的取值范围是（0，]．故选：B．6．在△ABC巾，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为，则（）A．a2≠bc sin A B．C．的最大值为D．的最大值【分析】根据三角形的面积公式可得出，从而得出A错误；根据余弦定理和可得出B错误；可得出，进而得出，从而判断C正确；可得出，从而判断D错误．解：∵△ABC的面积为，∴，∴a2＝bc sin A，∴A错误；根据余弦定理，，且，∴，∴B错误；，∴，∴，且tanφ＝2，∴的最大值为，∴C正确；∵，∴的最大值为1，∴D错误．故选：C．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.7．已知复数和θ都是实数，若z1＝z2，则m＝﹣．【分析】由题意利用两个复数相等的条件，结合同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得结果．解：∵复数和θ都是实数，若z1＝z2，则2＝tanθ，且m（cos2θ+2sin2θ）＝cos2θ，∴m＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣．8．已知直线y＝a（常数a＞0）与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离＝．【分析】根据直线y＝a与曲线的图象交点成周期性出现，利用函数的周期性求出交点间的距离．解：根据直线y＝a与曲线的图象交点成周期性出现，其中3个相邻的交点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离恰好是1个周期，且y＝2|tan（3x﹣）|的最小正周期为T＝，所以AC＝．故答案为：．9．在三棱锥S﹣ABC中，作SO⊥平面ABC，垂足为O．给出下列命题：①若三条侧棱SA，SB，SC与底面ABC所成的角相等，则O是△ABC的外心；②若三个侧面SAB，SBC，SCA与底面ABC所成的二面角相等，则O是△ABC的内心；③若三组对棱SA与BC，SB与CA，SC与AB中有两组互相垂直，则O是△ABC的垂心．则其中真命题的序号是①②③．【分析】连接OA，OB，OC，由线面角的定义和三角形的外心的定义，可判断①；过S作SD⊥AC，垂足为D，连接OD，过S作SE⊥BC，垂足为E，连接OE，过S作SF ⊥AB，垂足为F，连接OF，由二面角平面角的定义和三角形的内心的定义，可判断②；连接OA，OB，OC，由三垂线定理的逆定理和三角形的垂心的定义，可判断③．解：对于①，连接OA，OB，OC，见图1．由SO⊥平面ABC，可得∠SAO为SA与平面ABC所成角，∠SBO为SB与平面ABC所成角，∠SCO为SC与平面ABC所成角，且∠SAO＝∠SBO＝∠SCO，所以AO＝BO＝CO，即O为△ABC的外心，故①正确；对于②，过S作SD⊥AC，垂足为D，连接OD，过S作SE⊥BC，垂足为E，连接OE，过S作SF⊥AB，垂足为F，连接OF，见图2．由三垂线定理的逆定理可得OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，可得∠SFO为侧面SAB与底面ABC所成角的平面角，∠SEO为侧面SCB与底面ABC所成角的平面角，∠SDO为侧面SAC与底面ABC所成角的平面角，且∠SFO＝∠SEO＝∠SDO，所以OD＝OE＝OF，即O为△ABC的内心，故②正确；对于③，连接OA，OB，OC，见图3．若SA⊥BC，SB⊥AC，由三垂线定理的逆定理可得OA⊥BC，OB⊥AC，即为•＝0，•＝0，即有•（﹣）＝0，•（﹣）＝0，所以•＝•＝•，即有•（﹣）＝•＝0，则OC⊥AB，即O为△ABC的垂心，故③正确．故答案为：①②③．10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，△ABD是边长为2的正三角形，P 是平面ABCD内的动点，，设，则λ+μ的取值范围是[1，2]．【分析】首先根据梯形所在的位置，建立平面直角坐标系，进一步利用||＝，建立单位圆的参数方程，再利用三角函数关系式，求出λ+μ的关系式，最后求出函数的关系式的取值范围即可求解答结论．解：根据题意建立平面直角坐标系：直角梯形ABCD中，CB⊥CD，AD∥BC，△ABD是边长为2的正三角形，解得：BC＝1，CD＝，AB＝BD＝AD＝2，所以A（﹣2，0），B（﹣1，），C（0，），D（0，0），则＝（2，0），＝（1，）由||＝，可得点P在以C为圆心，为半径的圆上运动，该圆方程为x²+（y﹣）²＝，设P（cosα，sinα+），则＝（cosα+2，sinα+），由于，则：（cosα+2，sinα+）＝λ（2，0）+μ（1，），整理得：，所以，所以λ+μ＝sinα+cosα+＝sin（α+）+，因为﹣1≤sin（α+）≤1，所以1≤sin（α+）+≤2，所以λ+μ的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11．设z，ω∈C，且|z|+＝．（1）求z；（2）在|ω﹣2|＝|z|，求复数ω的模的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数模的计算公式，求解即可．（2）设ω＝x+yi，x，y∈R，由已知，可得（x﹣2）2+y2＝4，求出x的范围，再求出复数ω的模的取值范围即可．解：（1）设z＝a+bi，a，b∈R，∵|z|+＝，∴＝，则，解得，∴z＝﹣2i．（2）设ω＝x+yi，x，y∈R，由|ω﹣2|＝|z|，可得（x﹣2）2+y2＝4，∴y2＝4﹣（x﹣2）2≥0，∴0≤x≤4，∴|ω|＝＝，∴|ω|∈[0，4]．12．已知向量，设函数（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间和对称中心的坐标；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若关于x 的方程g（x）＝m在区间上有解求实数m的取值范围．【分析】（1）利用向量坐标运算法则及三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）的范围，可得m的范围．解：（1）由题可得f（x）＝＝（2cos x，cos x）（sin x，﹣2cos x）＝2cos x sin x ﹣2cos²x＝sin2x﹣cos2x+1＝2sin（2x﹣）+1，令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）；令2x﹣＝kπ，k∈Z，解得x＝+（k∈Z），即f（x）的对称中心坐标为（+，0）（k∈Z）；（2）由（1）可知g（x）＝2sin[2（x+）﹣]+1＝2sin（2x+）+1，若关于x的方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，在区间[0，]上，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，g（x）∈[0，2]．若方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，则m∈[0，2]．13．袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球．现由甲乙两人从袋中轮流取球，取后不放，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，按下来再由乙取到有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率是相等，记事件A i＝“第i次取到的球是白球”，i＝1，2，3．试将下列件A1，A2，A3表示，并求出相应事件的概率．（1）取球2次即终止；（2）最后一次取球的是甲．【分析】（1）取球2次终止情况为第一次取黑球，第二次取白球，结合概率的乘法公式，即可求解．（2）最后一次取球的是甲，则意味着取到白球的次数为奇数，则包括A1，A3两种情况，分别求出两种情况，并求和，即可求解．解：（1）取球2次终止情况为第一次取黑球，第二次取白球，则P2＝．（2）最后一次取球的是甲，则意味着取到白球的次数为奇数，则包括A1，A3两种情况，A1事件对应的概率P1＝，A3事件对应的概率P3＝，∴最后一次取球的是甲的概率P＝P1+P2＝．14．如图，在△ABC中，B＝60°，点D在边AB上，AD＝CD，BD＝1．（1）若△BCD的面积为，求AB的长：（2）若，求角A的大小．【分析】（1）由三角形面积公式可求得BC，再由余弦定理可求得CD，从而可求得AB 的长；（2）设A＝∠ACD＝θ，在△ACD中，利用正弦定理可求得CD＝，在△BCD中，利用正弦定理可得cosθ＝sin（﹣2θ），利用诱导公式即可求解θ的大小，即角A的大小．解：（1）在△BCD中，B＝60°，BD＝1，若△BCD的面积为，则S△BCD＝BD•BC•sin B＝，所以BC＝，所以BC＝2，则CD＝＝＝，所以AD＝CD＝，所以AB＝AD+BD＝+1．（2）在△ACD中，AD＝CD，可设A＝∠ACD＝θ，则∠ADC＝π﹣2θ，又，由正弦定理，得＝，所以CD＝，在△BCD中，∠BDC＝2θ，∠BCD＝﹣2θ，由正弦定理，得＝，即＝，化简得cosθ＝sin（﹣2θ），于是sin（﹣θ）＝sin（﹣2θ），因为0＜θ＜，所以0＜﹣θ＜，﹣＜﹣2θ＜，所以﹣θ＝﹣2θ或﹣θ+﹣2θ＝π，解得θ＝或θ＝，即角A的大小为或．15．从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～350（度）之间，在进行适当分组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布方图的全部6个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这6个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”．（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图x的值；（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的中均数；（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的平均数为140（度），方差为1600，所有这100户的月川电量的平均数为188（度），方差为5200，且月用电最落在区间[50，200）（度）内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间[200，350）（度）内的用户用电量的标准差．（参考数据：142＝196，262＝676，722＝5184，482+1600＝3904，1402+1600＝21200，1882+5200＝40544）【分析】（1）根据折线图的频率即可作出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图求出各组电量，可求得平均数；（3）根据方差公式设前60户的月用电分别为x i，（i＝1，2．…，60），平均数为＝140，方差＝1600，后60户的月用电量分别为y i，（i＝1，2．…，60）．平均数为，方差为，进而可依公式求解．解：（1）频率分布直方图：由频率分布折线图或频率分布直方图得（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）×50＝1，即x＝0.0044；（2）月用电量落在区间[50，100）（度），[100，150）（度），[150，200）（度）内的用户数分别为0.0024×50×100＝12，0.0036×50×100＝18，0.0060×50×100＝30所平均数＝（25×12+125×18+175×30）÷60＝140（度）；（3）由（2）知，月用电落在（间[50，200）（度）的户数＝12+18+30＝60月用电量在区间[200，350）（度）内的户数＝100﹣60＝40设前60户的月用电分别为x i，（i＝1，2．…，60），平均数为＝140，方差＝1600后60户的月用电量分别为y i，（i＝1，2．…，60）．平均数为，方差为全部100户的月用电量分别为，平均数，方差为s2＝5200060+40＝100，即．故有，有，所以：，故．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB．点E是PD的中点，作EF⊥PC，交PC于点F．（1）设平面PAB与平面ACE的交线为l，试判断直线PB与直线/的位置关系，并给出证明；（2）求平面PAB与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线PD与平面AEF所成角的正切值．【分析】（1）根据线面平行的性质定理进行证明即可．（2）先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，（3）根据线面角的定义进行求解即可，【解答】证明：（1）连结BD交AC交于G，∵ABCD是正方形，∴G为BD的中点，又∵E是PD的中点，∴EG//PB，又∵PB⊄平面ACE，EG⊂平面ACE，∴．PB//平面ACE，又PB⊂平面PAB，平面PAB∩平面ACE＝l，∴PB//l．解：（2）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，设正方形ABCD的边长为4，∵PA＝PB，∴△PAB的中线AH＝2，PB＝4，AH⊥PB，同理AE＝2，PD＝4，AE⊥PD，∵EG＝PB＝2，AG＝AC＝2，∴△AEG为正三角形，中线AI＝，且AI⊥EG，∵AH⊥PB，PB//l，∴AH⊥l，同理AI⊥l，∴∠HAI是二面角CE﹣l﹣PB的一个平面角，又∵在正三角形△PBD中HI＝，∴cos∠HAI＝＝＝，则平面PAB与平面ACE所成的较小的面角的余弦值为．解：（3）同（2）中PA⊥AB，得PA⊥CD，又∵在正方形ABCD中，AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，同理AE⊥平面PCD同理PF⊥面AEF∴∠PEF是直线PD与平面AEF所成的角，∵在Rt△PEF和Rt△PCD中得tan∠PEF＝cot∠CPD＝＝＝，∴直线PD与平面AEF所成角的正切值为．。
2020华一高数学分配生试卷
数学试题考试时间：90分钟 卷面满分：100分说明：所有答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
其中，将所有选择题答案用2B 铅笔在相应位置涂黑。
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．在数轴上和有理数a ，b ，c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论： ①220a a --<； ②||||||a b b c a c -+-=-； ③()()()0a b b c c a +++>； ④||1a bc <-． 其中正确的结论有（ ）个 A ．4B ．3C ．2D ．12．已知a ，b ，c 分别是Rt △ABC 的三条边长，c 为斜边长，90C ∠=︒，我们把关于x 的形如a by x c c=+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点(P -在“勾股一次函数”的图象上，且Rt △ABC 的面积是4，则c 的值是 A． B ．24 C． D ．123．5G 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如下统计图：根据该统计图，下列说法错误．．的是 A ．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B ．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C ．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D ．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量11-a b c-24-12 0 12 24 单位 ： %单 位 ： 万 部3653 3829.4 (万部)当月同比(%)2019年中国手机市场出货量统计及同比增长情况4．已知函数21y x x =+-在1m x ≤≤上的最大值是1，最小值是54-，则m 的取值范围是 A ．2m ≥- B ．102m ≤≤C ．122m -≤≤-D ．12m ≤- 5．如图，△AOB 中，90AOB ∠=︒，4AO =，8BO =，△AOB 绕点O 逆时针旋转到△''A OB 处，此时线段''A B 与BO 的交点E 为BO 的中点，则线段'B E 的长度为 A． BCD6．如图1，在矩形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A B C →→方向运动，当点M 到达点C 时停止运动，过点M 作MN AM ⊥交CD 于点N ，设点M 的运动路程为x ，CN y =，图2表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，则矩形ABCD 的面积是图1A ．24B ．20C ．12D ．10二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为 ． 8．在△ABC 中，AB AC =，若4cos 5A =，则BCAB= ． 9．如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 ．（结果用,m n 表示）ABOA 'B 'E图1图210．如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ 的顶点M ，N 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，顶点P 、Q 在第一象限，若8MN =，4PN =，在滑动过程中，点P 与坐标原点O 的距离的最大值为 ．第10题图 第11题图第12题图11．如图，已知直线(0)y kx k =>分别交反比例函数1y x =和4y x=在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，交1y x=的图象于点C ，连接AC ．若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是__________．12．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点M 在CD 边上，且1DM =，△AEM 与△ADM 关于AM 所在直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90︒得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为 ．三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程） 13．（本小题满分12分）（1）已知关于x 的方程22(21)0x k x k --+=有两个实根x 1, x 2，且满足1212||||2x x x x --=，求实数k 的值； （2）已知0a b <<，且6a b b a +=，求3()a b b a+-的值．14．（本小题满分12分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A 、B （1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m 2，如何分配A 、B 两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似的表示为：321805040,014431072000, 144300x x x x y x x ⎧-+≤<⎪=⎨⎪+≤<⎩，若每个B 型处理点的垃圾月处理量是A 型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A 型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨．．垃圾．．的月处理成本最低？（精确到0.1）15．（本小题满分14分）已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝5，点E 是AD 边上一动点，连接BE 、CE ，以BE 为直径作⊙O ，交BC 于点F ，过点F 作FH ⊥CE 于H ． （1）当直线FH 与⊙O 相切时，求AE 的长； （2）当FH ∥BE 时，求的长；（3）若线段FH 交⊙O 于点G ，在点E 运动过程中，△OFG 能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE 的长；如果不能，说明理由．16．（本小题满分14分）如图①，已知抛物线2y ax c =++(0a ≠)与x 轴交于点A (1,0)-，与y 轴交于点C ，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，连接CD ，过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，过点A 作AE ⊥AC 交DH 的延长线于点E ． （1）填空：a = ，c = ； （2）求线段DE 的长度；（3）如图②，点F 是线段AE 上的点，P 是线段DE 上的点，且点M 为直线PF 上方抛物线上的一点，当△CPF 的周长最小时，求△MPF 面积的最大值．AE图②图①。
2020届湖北省华师一附中、黄冈中学等八校高三第一次联考数学(文)试题(解析版)
2020届湖北省华师一附中、黄冈中学等八校高三第一次联考数学（文）试题一、单选题1．设i 是虚数单位，若复数()512ia a R i+∈+是纯虚数，则a =（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】C【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a 值． 【详解】 ∵a 512ii +=+a ()()()51221212i i a i i i -+=+++-是纯虚数， ∴a +2＝0，即a ＝﹣2． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合2560,{|}M x x x =--≤1,16xN y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．M N =D ．()R M C N ⊆【答案】B【解析】求出集合M ，N ，然后判断M ，N 的关系即可． 【详解】∵M ＝{x |﹣1≤x ≤6}，N ＝{y |0＜y ≤6}， ∴N ⊆M ． 故选：B ． 【点睛】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的值域和单调性，考查了计算能力，属于基础题．3．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与-一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则c 26os sin πθθπ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎭⎝+⎪⎝⎭（ ）A ．510+ B ．510-C ．510-+ D ．510-- 【答案】D【解析】设出直角三角形中较短的直角边，利用勾股定理求出x 的值，从而求出sinθ，cosθ的值，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果． 【详解】直角三角形中较短的直角边为x ，则：x 2+（x +2）2＝102，解得：x ＝6， ∴sinθ35=，cosθ45=，∴sin （2πθ-）﹣cos （6πθ+）＝﹣cosθ﹣（cosθcos66sin sinππθ-）12=sinθ﹣（12+）cosθ510-=， 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题． 4．定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，1()03f =.则满足18f log x ⎛⎫⎪⎭>⎝的x 取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．110,,282⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由已知结合奇函数的对称性可得，log 18x 13＞或13-＜log 18x ＜0，解对数不等式即可求解． 【详解】∵在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增． 故函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，∵f （13）＝0， ∴f （13-）＝0，则由f （log 18x ）＞0可得f （log 18x ）＞f （13）， ∴log 18x 13＞或13-＜log 18x ＜0，解可得，012x ＜＜或1＜x ＜2．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用奇函数的对称性求解不等式，解题的关键是灵活利用对称． 5．设1331411()11lo 34g ,,4a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】B【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【详解】∵a ＝log 1314=log 34＞1， 11040311,1311()(143)4b c ⎛⎫⎛⎫==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<= ∴a 最大， 又∵b ＝（14）14=（164）112，c ＝（13）13=（181）112，且幂函数y ＝x 112在（0，+∞）上单调递增， ∴c ＜b ， ∴c ＜b ＜a 故选：B ． 【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6．已知平面向量()()1,3,4,2a b =-=-，若a b λ-与b 垂直，则λ=（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】D【解析】利用向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系即可得出． 【详解】∵a b λ-=λ（1，﹣3）﹣（4，﹣2）＝（λ﹣4，﹣3λ+2），a b λ-与b 垂直，∴()4λ4a b b λ-⋅=-（）﹣2（﹣3λ+2）＝0，解得λ＝2．故选：D ． 【点睛】本题考查向量坐标运算，熟练掌握向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系是解题关键．7．圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ）A．36 B ．18 C ．D ．【答案】C【解析】判断直线与圆的位置关系，如果相切或相离最大距离与最小距离的差是直径； 相交时，圆心到直线的距离加上半径为所求． 【详解】圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0的圆心为（2，2），半径为，圆心到到直线x +y ﹣14＝0=，故圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝ 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离，是基础题．8．如图茎叶图表示的是甲.乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲，乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（ ）A ．29B ．15C ．310D ．13【答案】A【解析】根据茎叶图分别求出甲、乙的中位数，平均数，得到模糊成绩的值，利用古典概型求解即可 【详解】由题意可得：甲的成绩为：84、86、91、98、98；中位数为91，平均数为4575； 乙的成绩为：86，88，90+x ，90+y ，99 （x ≤y ）； ∵甲，乙中位数相同；∴90+x ＝91⇒x ＝1； 乙的平均数为4545y+； ∵乙的平均成绩低于甲； ∴1≤y ＜3；⇒y ＝1或2． ∴乙的平均成绩低于甲的概率p 29=； 故选：A ． 【点睛】本题考查了茎叶图，以及中位数、平均数的性质及古典概型，考查了学生的计算能力，属于基础题．9． ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()0sinB sinA sinC cosC -+=，2,a c ==则角C =（ ）A ．56π B ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B【解析】利用三角恒等变换求出A ，再利用正弦定理求出C ． 【详解】sin B ﹣sin A （sin C +cos C ）＝0，sin A cos C +cos A sin C ﹣sin A sin C ﹣sin A cos C ＝0，得cos A sin C ＝sin A sin C ， 因为()0,,sin 0C C π∈≠ 所以sin A ＝cos A ，则tan A ＝1，A 4π=，又a sinA =，则sin C 12=，故C 6π=或者56π， 因为c ＜a ，C ＜A ，故C 6π=，故选：B ． 【点睛】考查三角形的恒等变换，正弦定理、和内角和定理的运用，考查运算能力，注意大边对大角的应用，属于基础题．10．在 ABC 中，,A B 分别是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上若0BA BC =，()0BA BC AC +=，则双曲线E 的离心率为（ ）A 1B 1C D 【答案】B【解析】由（BA BC +）AC ⋅=0，得AB ＝BC ，结合BA BC ⋅=0，得△ABC 是一个等腰直角三角形，求出AC 的长，再利用双曲线的定义建立a 与c 的关系式，即可求出离心率． 【详解】∵（BA BC +）AC ⋅=0，又AC BC BA =-， ∴（BA BC +）•（BC BA -）220BC BA =-=， 则|BC |＝|BA |，即BA ＝BC ，又BA BC ⋅=0，∴△ABC 是一个等腰直角三角形， 由题意得：C 点在双曲线的右支上，∴AB ＝BC ＝2c ，AC ＝，又AC ﹣BC ＝2a ，即c ﹣2c ＝2a ，解得离心率e 1=， 故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的性质，考查了双曲线的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．11．《九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除111ABC A B C -中，111AA //BB //CC ，1AA a =，1BB b =，1CC c =，两条平行线1AA 与1BB 间的距离为h ，直线1CC 到平面11AA B B 的距离为h'，则该羡除的体积为()hh'V a b c .6=++已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为( )A ．B ．53C ．43D ．【答案】B【解析】根据三视图求出羡除的体积()hh'V a b c 6=++中所需数据，代入得答案． 【详解】由三视图还原原几何体知，羡除111ABC A B C -中，AB//EF ，底面ABCD 是矩形，AB CD 2==，EF 1=，平面ADE ⊥平面ABCD ，AB ，CD 间的距离h AD 2==， 如图，取AD 中点G ，连接EG ，则EG ⊥平面ABCD ， 由侧视图知，直线EF 到平面ABCD 的距离为h'1=，∴该羡除的体积为()()hh'125V a b c 221663⨯=++=++=． 故选：B ．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。