1精简-计算机算法概述(第一章)
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28
例：
问题分析图实例
29
30
5．伪代码
伪代码是用介于自然语言和计算机语言之间的文 字和符号来描述算法的工具。它不用图形符号，因此 书写方便，格式紧凑，易于理解，便于用计算机程序 设计语言实现。
如：类JAVA/类C/类C＋＋
31
6．程序设计语言的缺点：
① 算法的基本逻辑流程难于遵循。与自然语言一样， 程序设计语言也是基于串行的，当算法的逻辑流程较 为复杂时这个问题就变得更加严重。 ② 特定程序设计语言编写的算法限制了与他人的交流， 不利于问题的解决。 ③ 要花费大量的时间去熟悉和掌握某种特定的程序设 计语言。 ④ 要求描述计算步骤的细节而忽视算法的本质。 ⑤ 需要考虑语法细节，而扰乱算法设计的思路。 ⑥ 考虑到程序设计语言不断更新，不适于描述算法。 算法设计一般不用程序设计语言直接描述。
计算gcd(m,n)的连续整数检测算法
第一步：将min{m,n}的值赋给d。 第二步：m除以d，若余数为0，进入第三步；否则第四步。 第三步：n除以d，若余数为0，返回d值(结果)；否则第四步。 第四步：把d的值减1，返回第二步。 例如：对于60和24这两个数，该算法会先尝试24，然后是 23，这样一直尝试到12，算法结束。
32
自然语言
示例：求解斐波那契数
0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，… （1）
来源于 1202 年意大利数学家斐波那契（ L.P.Fibonacci） 在其《珠算之书》（Liber Abaci）中提出的“兔子问题”。
假设一对刚出生的兔子一个月后就能长大，再过一个月就能
生下一对兔子，并且此后每个月都能生一对兔子，且新生的
同一个问题有不同的解决方法！
22
欧几里德算法
gcd ( m, n ) = gcd ( n, m mod n ) gcd ( 24, 18 ) = gcd ( 18, 6 ) = gcd ( 6, 0 ) = 6 输入 正整数m和n 输出 m和n的最大公因子
同 一 个 1. 如果n = 0, 计算停止返回m, m即为结果；否则继续2。 算 法 2. 记r为m除以n的余数，即r=m mod n。 有 3. 把n赋值给m，把r赋值给n，继续1。 不 Begin 伪代码如下： 同 Euclid(m, n) 的 { 表 n=0? while n<> 0 达 { N 方 r = m ％ n; Y r=m mod n 式 m = n; m=n ！ n = r;
广播操图解是广播操的算法; 菜谱是做菜的算法； 歌谱是一首歌曲的算法； 空调说明书是空调使用的算法等
4
例1：给出求1+2+3+4+5的一个算法。
算法1 按照逐一相加的程序进行。
第一步
第二步 第三步 第四步
计算1+2,得到3；
将第一步中的运算结果3与3相加,得到6； 将第二步中的运算结果6与4相加,得到10；
学会对算法的时间和空间复杂性进行分析，掌握提 高算法效率的方法和途径。(评价有效算法)
12
学习目标：“用计算机求解问题”
一般计算机对现实问题无能为力，需要人类对 问题抽象化、形式化后才能去机械的执行。
问题分析：准确、完整地理解和描述问题 数学模型建立 算法设计与选择：创造性的活动 算法表示：思想的表示形式 算法分析：算法时空特性分析 算法实现 程序调试：测试 结果整理文档编制
13
绪 论
14
1.1 算法
1.
什么是算法？
算法是指解决问题的一种方法或一个过程。
算法是若干指令的有穷序列。
15
2.
算法的五个重要特性
确定性、输入、输出、有穷性/有限性
1）确定性 算法每种运算必须有确切定义，不能有二义性。 例：不符合确定性的运算： ①5/0 ②将6或7与x相加 ③未赋值变量参与运算
兔子在第二个月后也是每个月生一对兔子。 问：一对兔子一年内可繁殖成多少对兔子？
求解斐波那契数
在序列（1）中，每个数都是它的前两个数之和；
用Fn表示这个序列的第n个数，
该序列可以形式化地定义为： F0=0，F1=1，Fn+2=Fn+1+Fn，n≥0
递归定义
求斐波那契数列的前n个数
斐波那契数列：F0=0，F1=1，Fn+2=Fn+1+Fn (n≥0)
设变量 X 表示前一个已经求出的数 ( 对应于 Fn) ，变量 Y 表示当前求出的数(对应于Fn+1)，变量Z表示下一个将要求的 数(对应于Fn+2)；变量I表示当前求出的是第I个数。 则：
（1）如果n=0，则将0赋值给Y，输出Y，转步骤（11）； （2）将0赋给X，将1赋值给Y；
（3）输出X、Y；
X=0,Y=1
Print X,Y
I=1
Y
I>n-1?
N
Z=X+Y X=Y Y=Z
Print Y
结束
I=I+1
伪代码
，
示例：求解斐波那契数
if n = =0 { Y←0 Print Y } else { X←0 Y←1 Print X，Y For (i=1;i<=n–1;i++) { Z ← X+Y X←Y Y←Z Print Y } }
程序＝数据结构＋算法
9
现代科学研究的三大支柱
理 论 研 究 科 学 实 验 科 学 计 算
研究算法
10
21世纪信息社会的两个主要特征：
“计算机无处不在”
“数学无处不在” 21世纪信息社会对科技人才的要求：
--会“用数学”解决实际问题。
--会用计算机进行科学计算。
11
How to study？
本课程为计算机科学与技术学科本科生的专业课。 通过该课程的学习，对计算机常用算法有一个全 盘的了解，掌握通用算法的一般设计方法。
斐波那契数列： F0=0，F1=1
Y=0
Print Y
，Fn+2=Fn+1+Fn (n≥0) 设变量X , Y, Z, I表示……
（1）如果n=0，则将0赋值给Y，输 出Y，转步骤（11）； （2）将0赋给X，将1赋值给Y； （3）输出X、Y； （4）将1赋值给I； （5）如果 I 大于 n -1 ，则转到步骤 （11），否则继续执行； （6）将X和Y的和赋值给Z； （7）将Y赋值给X； （8）将Z赋值给Y； （9）将Y输出； （ 10 ）将 I 加 1 ，转步骤（ 5 ）继续 执行； （11）算法结束。
例1.1
求两个正整数的最大公约数。
数学模型：m，n>0 整数，求d，d能整除m，n，且m/d 与n/d互质。 一般求d=gcd(m,n)的过程用自然语言可以描述如下： (1) 找出m的素因子。 (2) 找出n的素因子。 (3) 从第(1) (2)步求得的素因子中找出m，n的公共素因子。 (4) 将第(3)步找到的素因子相乘，其结果即为m，n的最 大公约数。
25
2．流程图
主要缺点：
①使算法设计人员过早考虑算法 控制流程，而不去考虑全局结 构，不利于逐步求精。 ②随意性太强，结构化不明显。 ③不易表示数据结构。 ④层次感不明显。
开始 输入正整数m和n
r←m被n除的余数
Y
r等于0?
N
m ← n; n ← r
r←m被n除的余数
输出n的值
结束
26
3．盒图（NS流程图）
例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因而
不是一个算法。
操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题 由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该 子程序得到输出结果后便终止。
18
4.问题求解
理解问题 精确解或近似解 选择数据结构 算法设计策略 设计算法
证明正确性
分析算法 设计程序
将第三步中的运算结果10与5相加,得到15。
5
算法2
可以运用公式
n(n 1) 1 2 3 n 直接计算; 2
第一步 第二步 第三步 取n=5; 计算 n(n 1)
2
输出运算结果。
6
例2：三个牧师和三个野人过河，只有一条能装下 两人的船，在河的任一边或者船上，若野人人数 大于牧师人数，那么牧师就会有被吃掉的危险。 你能不能找出一种安全的渡河算法呢？ 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 两个野人先过河，一个野人回来； 再两个野人过河，一个野人回来； 两个牧师过河，一个野人和一个牧师回来； 两个牧师过河，一个野人回来； 两个野人过河，一个野人回来； 两个野人过河。
输入正整数m和n
（1）盒图具有以下优点： ① 层次感强、嵌套明确。 ② 支持自顶向下、逐步求精。 ③ 容易转换成高级语言源算法。 （2）主要缺点：
r←m被n除的余数
当r不等于 0
m ← n; n ← r
r←m被n除的余数
输出n的值
不易扩充和修改，不易描述大型复杂算法。
27
4． PAD图
问题分析图(Problem Analysis Diagram, 简称PAD)表示 的算法是一个二维树形结构图，层次感强、嵌套明确且有 明确的控制流程。 PAD图的主要优点： ①设计出来的算法必是结构化的。 ②PAD图描绘的算法结构清晰。 ③用PAD图表现的算法逻辑，易读、易懂、易记。 ④容易用软件工具自动将PAD图转换成高级语言源算法。 ⑤既可用于表示算法逻辑，也可用于描绘数据结构。 ⑥支持自顶向下、逐步求精。 缺点：由于是图形符号书写、编辑、录入不方便。
20
计算gcd(m,n)的短除法
算法设计：计算机没有“宏观”能力来“看出”公约数， 但通过“枚举尝试”（逐个尝试）就可以“试出”m,n有 哪些是公约数，并将这些公约数“累乘”，就能得到最大 公约数。 算法描述如下： main( ) 为什么用while? {int m,n,d,i; input (m,n); d=1； //变量d是为累乘因数而设置的； for (i=2; i<=m and i<=n; i++) //“枚举”可能的公约数 while (m mod i=0 and n mod i=0 ) //“试”i是否为公约 数 {d=d*i; m=m/i; n=n/i;} 21 print(d ,“is maximal common divisor”);
2
与其他课程的关系
数据结构
算法分析设计
高级程序设计语言（JAVA, C, C++）
与数据结构的区别： 考虑问题的角度：数据结构关心不同的数据结构在解题中 的作用和效率；算法关心不同设计技术的适用性和效率。
考虑问题的高度：数据结构关心的是解具体问题，算法不 仅如此，它提供一种解决问源自文库的通用方法。
3
What？
（4）将1赋值给I；
求斐波那契数列的前n个数
（5）如果I大于n-1，则转到步骤（11），否则继续执行；
（6）将X和Y的和赋值给Z； （7）将Y赋值给X； （8）将Z赋值给Y； （9）将Y输出； （10）将I加1，转步骤（5）继续执行； （11）算法结束。
流程图
示例：求解斐波那契数
开始 n=0? Y N
7
算法
广义：在解决问题时，按照某种机械步骤一定可 以得到问题结果（有解时给出问题的解，无解时 给出无解的结论）的处理过程。 狭义：用计算机解决问题的方法和步骤的描述。
8
Why to study？
20 世纪最伟大的科学技术发明---计算机； 计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维； 没有软件的支持，超级计算机只是一堆废铁而已。 软件的核心就是算法 ！
} }
n=r
end
23
1.2 算法描述
算法 = 控制结构 + 原操作
表示算法的语言主要有： 自然语言 流程图 盒图 PAD图 伪代码 计算机程序设计语言
24
1．自然语言
自然语言是人们日常所用的语言。 自然语言描述算法的缺点： ①自然语言的歧义性易导致算法执行的不确定性。 ②自然语言语句一般太长导致描述的算法太长。 ③当算法中循环和分支较多时就很难清晰表示。 ④不便翻译成程序设计语言理解的语言。
16
2）输入 每个算法有0个或多个输入。 3）输出 一个算法产生一个或多个输出。
4）有穷性/有限性 一个算法总是在执行了有穷步的运算之后终止。也就是 说算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条指令的 时间也是有限的。
17
3. 程序与算法的区别
程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。
程序可以不满足算法的性质(4)。
算法分析设计
Design and Analysis to Algorithms
黄新艳
1
教材：
算法设计与分析 王晓东编 清华大学出版社
算法设计与分析 吕国英主编 清华大学出版社
参考书：
计算机算法基础 余祥宣等编 华中科大出版社 计算机算法导引——设计与分析 卢开澄编 清华大学出版社
学时：3+1学时/周
例：
问题分析图实例
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30
5．伪代码
伪代码是用介于自然语言和计算机语言之间的文 字和符号来描述算法的工具。它不用图形符号，因此 书写方便，格式紧凑，易于理解，便于用计算机程序 设计语言实现。
如：类JAVA/类C/类C＋＋
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6．程序设计语言的缺点：
① 算法的基本逻辑流程难于遵循。与自然语言一样， 程序设计语言也是基于串行的，当算法的逻辑流程较 为复杂时这个问题就变得更加严重。 ② 特定程序设计语言编写的算法限制了与他人的交流， 不利于问题的解决。 ③ 要花费大量的时间去熟悉和掌握某种特定的程序设 计语言。 ④ 要求描述计算步骤的细节而忽视算法的本质。 ⑤ 需要考虑语法细节，而扰乱算法设计的思路。 ⑥ 考虑到程序设计语言不断更新，不适于描述算法。 算法设计一般不用程序设计语言直接描述。
计算gcd(m,n)的连续整数检测算法
第一步：将min{m,n}的值赋给d。 第二步：m除以d，若余数为0，进入第三步；否则第四步。 第三步：n除以d，若余数为0，返回d值(结果)；否则第四步。 第四步：把d的值减1，返回第二步。 例如：对于60和24这两个数，该算法会先尝试24，然后是 23，这样一直尝试到12，算法结束。
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自然语言
示例：求解斐波那契数
0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，… （1）
来源于 1202 年意大利数学家斐波那契（ L.P.Fibonacci） 在其《珠算之书》（Liber Abaci）中提出的“兔子问题”。
假设一对刚出生的兔子一个月后就能长大，再过一个月就能
生下一对兔子，并且此后每个月都能生一对兔子，且新生的
同一个问题有不同的解决方法！
22
欧几里德算法
gcd ( m, n ) = gcd ( n, m mod n ) gcd ( 24, 18 ) = gcd ( 18, 6 ) = gcd ( 6, 0 ) = 6 输入 正整数m和n 输出 m和n的最大公因子
同 一 个 1. 如果n = 0, 计算停止返回m, m即为结果；否则继续2。 算 法 2. 记r为m除以n的余数，即r=m mod n。 有 3. 把n赋值给m，把r赋值给n，继续1。 不 Begin 伪代码如下： 同 Euclid(m, n) 的 { 表 n=0? while n<> 0 达 { N 方 r = m ％ n; Y r=m mod n 式 m = n; m=n ！ n = r;
广播操图解是广播操的算法; 菜谱是做菜的算法； 歌谱是一首歌曲的算法； 空调说明书是空调使用的算法等
4
例1：给出求1+2+3+4+5的一个算法。
算法1 按照逐一相加的程序进行。
第一步
第二步 第三步 第四步
计算1+2,得到3；
将第一步中的运算结果3与3相加,得到6； 将第二步中的运算结果6与4相加,得到10；
学会对算法的时间和空间复杂性进行分析，掌握提 高算法效率的方法和途径。(评价有效算法)
12
学习目标：“用计算机求解问题”
一般计算机对现实问题无能为力，需要人类对 问题抽象化、形式化后才能去机械的执行。
问题分析：准确、完整地理解和描述问题 数学模型建立 算法设计与选择：创造性的活动 算法表示：思想的表示形式 算法分析：算法时空特性分析 算法实现 程序调试：测试 结果整理文档编制
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绪 论
14
1.1 算法
1.
什么是算法？
算法是指解决问题的一种方法或一个过程。
算法是若干指令的有穷序列。
15
2.
算法的五个重要特性
确定性、输入、输出、有穷性/有限性
1）确定性 算法每种运算必须有确切定义，不能有二义性。 例：不符合确定性的运算： ①5/0 ②将6或7与x相加 ③未赋值变量参与运算
兔子在第二个月后也是每个月生一对兔子。 问：一对兔子一年内可繁殖成多少对兔子？
求解斐波那契数
在序列（1）中，每个数都是它的前两个数之和；
用Fn表示这个序列的第n个数，
该序列可以形式化地定义为： F0=0，F1=1，Fn+2=Fn+1+Fn，n≥0
递归定义
求斐波那契数列的前n个数
斐波那契数列：F0=0，F1=1，Fn+2=Fn+1+Fn (n≥0)
设变量 X 表示前一个已经求出的数 ( 对应于 Fn) ，变量 Y 表示当前求出的数(对应于Fn+1)，变量Z表示下一个将要求的 数(对应于Fn+2)；变量I表示当前求出的是第I个数。 则：
（1）如果n=0，则将0赋值给Y，输出Y，转步骤（11）； （2）将0赋给X，将1赋值给Y；
（3）输出X、Y；
X=0,Y=1
Print X,Y
I=1
Y
I>n-1?
N
Z=X+Y X=Y Y=Z
Print Y
结束
I=I+1
伪代码
，
示例：求解斐波那契数
if n = =0 { Y←0 Print Y } else { X←0 Y←1 Print X，Y For (i=1;i<=n–1;i++) { Z ← X+Y X←Y Y←Z Print Y } }
程序＝数据结构＋算法
9
现代科学研究的三大支柱
理 论 研 究 科 学 实 验 科 学 计 算
研究算法
10
21世纪信息社会的两个主要特征：
“计算机无处不在”
“数学无处不在” 21世纪信息社会对科技人才的要求：
--会“用数学”解决实际问题。
--会用计算机进行科学计算。
11
How to study？
本课程为计算机科学与技术学科本科生的专业课。 通过该课程的学习，对计算机常用算法有一个全 盘的了解，掌握通用算法的一般设计方法。
斐波那契数列： F0=0，F1=1
Y=0
Print Y
，Fn+2=Fn+1+Fn (n≥0) 设变量X , Y, Z, I表示……
（1）如果n=0，则将0赋值给Y，输 出Y，转步骤（11）； （2）将0赋给X，将1赋值给Y； （3）输出X、Y； （4）将1赋值给I； （5）如果 I 大于 n -1 ，则转到步骤 （11），否则继续执行； （6）将X和Y的和赋值给Z； （7）将Y赋值给X； （8）将Z赋值给Y； （9）将Y输出； （ 10 ）将 I 加 1 ，转步骤（ 5 ）继续 执行； （11）算法结束。
例1.1
求两个正整数的最大公约数。
数学模型：m，n>0 整数，求d，d能整除m，n，且m/d 与n/d互质。 一般求d=gcd(m,n)的过程用自然语言可以描述如下： (1) 找出m的素因子。 (2) 找出n的素因子。 (3) 从第(1) (2)步求得的素因子中找出m，n的公共素因子。 (4) 将第(3)步找到的素因子相乘，其结果即为m，n的最 大公约数。
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2．流程图
主要缺点：
①使算法设计人员过早考虑算法 控制流程，而不去考虑全局结 构，不利于逐步求精。 ②随意性太强，结构化不明显。 ③不易表示数据结构。 ④层次感不明显。
开始 输入正整数m和n
r←m被n除的余数
Y
r等于0?
N
m ← n; n ← r
r←m被n除的余数
输出n的值
结束
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3．盒图（NS流程图）
例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因而
不是一个算法。
操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题 由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该 子程序得到输出结果后便终止。
18
4.问题求解
理解问题 精确解或近似解 选择数据结构 算法设计策略 设计算法
证明正确性
分析算法 设计程序
将第三步中的运算结果10与5相加,得到15。
5
算法2
可以运用公式
n(n 1) 1 2 3 n 直接计算; 2
第一步 第二步 第三步 取n=5; 计算 n(n 1)
2
输出运算结果。
6
例2：三个牧师和三个野人过河，只有一条能装下 两人的船，在河的任一边或者船上，若野人人数 大于牧师人数，那么牧师就会有被吃掉的危险。 你能不能找出一种安全的渡河算法呢？ 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 两个野人先过河，一个野人回来； 再两个野人过河，一个野人回来； 两个牧师过河，一个野人和一个牧师回来； 两个牧师过河，一个野人回来； 两个野人过河，一个野人回来； 两个野人过河。
输入正整数m和n
（1）盒图具有以下优点： ① 层次感强、嵌套明确。 ② 支持自顶向下、逐步求精。 ③ 容易转换成高级语言源算法。 （2）主要缺点：
r←m被n除的余数
当r不等于 0
m ← n; n ← r
r←m被n除的余数
输出n的值
不易扩充和修改，不易描述大型复杂算法。
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4． PAD图
问题分析图(Problem Analysis Diagram, 简称PAD)表示 的算法是一个二维树形结构图，层次感强、嵌套明确且有 明确的控制流程。 PAD图的主要优点： ①设计出来的算法必是结构化的。 ②PAD图描绘的算法结构清晰。 ③用PAD图表现的算法逻辑，易读、易懂、易记。 ④容易用软件工具自动将PAD图转换成高级语言源算法。 ⑤既可用于表示算法逻辑，也可用于描绘数据结构。 ⑥支持自顶向下、逐步求精。 缺点：由于是图形符号书写、编辑、录入不方便。
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计算gcd(m,n)的短除法
算法设计：计算机没有“宏观”能力来“看出”公约数， 但通过“枚举尝试”（逐个尝试）就可以“试出”m,n有 哪些是公约数，并将这些公约数“累乘”，就能得到最大 公约数。 算法描述如下： main( ) 为什么用while? {int m,n,d,i; input (m,n); d=1； //变量d是为累乘因数而设置的； for (i=2; i<=m and i<=n; i++) //“枚举”可能的公约数 while (m mod i=0 and n mod i=0 ) //“试”i是否为公约 数 {d=d*i; m=m/i; n=n/i;} 21 print(d ,“is maximal common divisor”);
2
与其他课程的关系
数据结构
算法分析设计
高级程序设计语言（JAVA, C, C++）
与数据结构的区别： 考虑问题的角度：数据结构关心不同的数据结构在解题中 的作用和效率；算法关心不同设计技术的适用性和效率。
考虑问题的高度：数据结构关心的是解具体问题，算法不 仅如此，它提供一种解决问源自文库的通用方法。
3
What？
（4）将1赋值给I；
求斐波那契数列的前n个数
（5）如果I大于n-1，则转到步骤（11），否则继续执行；
（6）将X和Y的和赋值给Z； （7）将Y赋值给X； （8）将Z赋值给Y； （9）将Y输出； （10）将I加1，转步骤（5）继续执行； （11）算法结束。
流程图
示例：求解斐波那契数
开始 n=0? Y N
7
算法
广义：在解决问题时，按照某种机械步骤一定可 以得到问题结果（有解时给出问题的解，无解时 给出无解的结论）的处理过程。 狭义：用计算机解决问题的方法和步骤的描述。
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Why to study？
20 世纪最伟大的科学技术发明---计算机； 计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维； 没有软件的支持，超级计算机只是一堆废铁而已。 软件的核心就是算法 ！
} }
n=r
end
23
1.2 算法描述
算法 = 控制结构 + 原操作
表示算法的语言主要有： 自然语言 流程图 盒图 PAD图 伪代码 计算机程序设计语言
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1．自然语言
自然语言是人们日常所用的语言。 自然语言描述算法的缺点： ①自然语言的歧义性易导致算法执行的不确定性。 ②自然语言语句一般太长导致描述的算法太长。 ③当算法中循环和分支较多时就很难清晰表示。 ④不便翻译成程序设计语言理解的语言。
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2）输入 每个算法有0个或多个输入。 3）输出 一个算法产生一个或多个输出。
4）有穷性/有限性 一个算法总是在执行了有穷步的运算之后终止。也就是 说算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条指令的 时间也是有限的。
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3. 程序与算法的区别
程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。
程序可以不满足算法的性质(4)。
算法分析设计
Design and Analysis to Algorithms
黄新艳
1
教材：
算法设计与分析 王晓东编 清华大学出版社
算法设计与分析 吕国英主编 清华大学出版社
参考书：
计算机算法基础 余祥宣等编 华中科大出版社 计算机算法导引——设计与分析 卢开澄编 清华大学出版社
学时：3+1学时/周