高考数学大二轮复习4.2递推数列及数列求和的综合问题学案理

高考数学大二轮复习4.2递推数列及数列求和的综合问题学案理

第2讲 递推数列及数列求和的综合问题

考点1 由递推关系式求通项公式

(1)累加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式．

(2)累积法：形如

a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n

a n －1

，求其通项公式． (3)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q

1－p

，再转化为等比数列求解．

(4)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n

(其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q

n ＋1

，得

a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{

b n }⎝ ⎛⎭

⎪⎫其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n

＋1q ，接下来用

待定系数法求解．

[例1] 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1； (2)a 1＝1，a n ＝

n －1

n

a n －1(n ≥2)； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.

【解析】 (1)由题意得，当n ≥2时，

a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)

＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)

2＋1.

又a 1＝2＝1×(1＋1)

2＋1，符合上式，

因此a n ＝

n (n ＋1)

2

＋1.

(2)∵a n ＝n －1

n

a n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝

n －2n －1a n －2，…，a 2＝1

2

a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1

n

.

当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立． ∴a n ＝1n

.

(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴

a n ＋1＋1

a n ＋1

＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，

又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1

，

∴a n ＝2·3n －1

－1.

由数列递推式求通项公式的常用方法

『对接训练』

1．根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n

； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n

a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝

2a n

a n ＋2

. 解析：(1)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1

＋2

n －2

＋…＋2＋1＝

1－2

n

1－2

＝2n

－1.

(2)∵

a n ＋1a n

＝2n

，

∴a 2a 1

＝21

，a 3a 2

＝22

，…，

a n a n －1

＝2n －1

， 将这n －1个等式叠乘，

得a n a 1

＝2

1＋2＋…＋(n －1)

＝2

+12

n n ()，

∴a n ＝2

-12

n n ().

(3)∵a n ＋1＝2a n

a n ＋2， 取倒数得：1a n ＋1

＝

a n ＋22a n ＝1a n ＋1

2

， ∴

1

a n ＋1－1a n ＝12

， ∵a 1＝1，∴1

a 1

＝1，

∴⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是以1为首项，1

2为公差的等差数列，

∴1a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋1

2， ∴a n ＝2

n ＋1

.

考点2 错位相减法求和

错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．

[例2] [2019·天津卷]设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，

b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.

(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

1，n 为奇数，b n

2

，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *

)．

【解析】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .

依题意，得⎩

⎪⎨⎪⎧

3q ＝3＋2d ，

3q 2

＝15＋4d ，解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

d ＝3，

q ＝3，或⎩

⎪⎨

⎪⎧

d ＝－3，

q ＝－1，(舍)