1.1变化率与导数(4课时)

作业：
P10习题1.1A组：2，3，4.
1.1
1.1.3
变化率与导数
导数的几何意义
问题提出
1.函数f(x)在x＝x0处的导数的含义是 什么？
Vy f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) f¢ (x 0 ) = lim = lim Vx 0 Vx Vx 0 Vx
2.求函数f(x)在x＝x0处的导数有哪 几个基本步骤？
若给定函数f(x)和x0的值，那么f′(x0) 是变量还是定值？
f¢ (x 0 ) = lim
思考3：如何求函数f(x)＝x2在x＝1处的 导数？一般地，求函数f(x)在x＝x0处的 导数有哪几个基本步骤？ 第一步，求函数值增量：
Vy Vx ® 0 Vx
△y＝f(x＋△x)－f(x0)； 第二步，求平均变化率：
思考2：如果将半径r表示为体积V的函数， 则该函数的解析式是什么？
r (V ) =
3
3V 4p
思考3：当空气容量V从0增加到1时，气 球的半径增加了多少？可以用哪个数据 来刻画气球的平均膨胀率？
r(1)－r(0)≈0.62(dm)，
r (1) - r (0) » 0.62(dm / L ) 1- 0
探究（一）：气球的膨胀率 【背景材料】在吹气球的过程中，随着 气球内空气容量的增加，气球的半径增 加的速度越来越慢.设气球的体积为V （单位：L），某一时刻的半径为r（单 位：dm）. 思考1：气球的体积V与半径r的函数关系 是什么？ 4 3 V (r ) = p r 3
4 3 pr 3
V (r ) =
3.函数的平均变化率与自变量的初始 值及其增量有关，它能刻画函数在某个 区间内函数值的平均取值情况，但不能 反映函数在区间内各点的函数值.
作业：
P10习题1.1A组：1.
1.1 1.1.2
变化率与导数 导数的概念
问题提出 1.函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 的含义是什么？ 某两个自变量对应的函数值的差与相应 自变量的差的比值. 2.函数的平均变化率用增量符号怎样表 示？
△t －0.01 －0.001 －0.000 1 －0.000 01 －0.000 001 ……
v
－13.051 －13.095 1 －13.099 51 －13.099 951 －13.099 995 1 ……
△t 0.01 0.001 0.000 1 0.000 01 0.000 001
v
－13.149 －13.104 9 －13.100 49 －13.100 049 －13.100 004 9 ……
……
在t＝2附近的时段内，当时间间隔 |△t|无限变小时，平均速度就无限趋 近于一个确定的值－13.1.
思考4：当△t趋近于0时，平均速度趋近 于－13.1，这个数据具有什么实际意义？ 它与h(2)相等吗？
－13.1是运动员在t＝2时的瞬时速度， h(2)≠－13.1.
思考5：数学上，我们把定值－13.1称 为 h(2 + Vt ) - h(2) 当△t趋近于0时的极限，
某两个自变量对应的函数值的差与相 应自变量的差的比值. 连结点（x1，f(x1)）和（x2，f(x2)） 的直线的斜率.
思考3：习惯上用△x表示x2－x1，用△y 表示f(x2)－f(x1)，则平均变化率可以 V y 表示为 ，如何进一步理解△x和△y
的含义？ △x是自变量的增加值， △y是对应的函数值增量.
h(2 + Vt ) - h(2) 并表示为 lim = - 13.1 ，那么 Vt ® 0 Vt
Vt
运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表 示？其化简结果是什么？
h(t 0 + Vt ) - h(t 0 ) lim = lim(- 9.8t 0 - 4.9Vt + 6.5) Vt 0 Vt 0 Vt = - 9.8t 0 + 6.5
第一步，求函数值增量：
△y＝f(x＋△x)－f(x0)；
第二步，求平均变化率：
Vy f¢ (x 0 ) = lim 第三步，取极限，求导数： Vx ® 0 Vx .
Vy f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) = Vx Vx
；
3.导数f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处 的瞬时变化率，这是导数的代数意义， 导数是否具有某种几何意义，是一个需 要探究的问题.
探究（三）：平均变化率 思考1：如果将上述两个问题中的函数关 系用y＝f(x)表示，那么平均膨胀率和平 均速度可用什么代数式表示？
f (x 2 ) - f (x 1 ) x 2 - x1
思考2：把式子
f (x 2 ) - f (x 1 ) x 2 - x1
称为函数
y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，那么函 数的平均变化率用文字语言怎样表述？ 其几何意义是什么？
f¢ (x 0 ) = lim
Vx
Vy f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) = lim 0 Vx Vx 0 Vx
思考2：数学上，函数f(x)在x＝x0处的 瞬时变化率叫做函数f(x)在x＝x0处导 数，记作 f ′(x0)或y′|x=x0，即
Vy f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) f¢ (x 0 ) = lim = lim Vx 0 Vx Vx 0 Vx
3
3 1 2 2 3 3 3 4p ( V 2 ) + V 2V 1 + ( V 1 )
平均膨胀率逐渐变小.
探究（二）：高台跳水的平均速度
【背景材料】在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h（单位：m）与起 跳后的时间t（单位：s）存在函数关系： h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m / s ) 0.5 - 0
f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) 思考4：代数式 表示的含 Vx
Vx
义是什么？
函数f(x)从x0到x0＋△x的平均变化率.
理论迁移 例1 求函数y＝5x2＋6在区间 [2，2＋△x]内的平均变化率. 20＋5△x.
例2 某盏路灯距离地面高8m，一个身 高1.7m的人从路灯的正底下出发，以 1.4m/s的速度匀速沿某直线离开路灯， 求人影长度的平均变化率.
Vs 17 = (m / s ) Vt 45
8 1.7
1.4△t △s
小结作业 1.函数的平均变化率是函数值增量与 自变量增量的比值，在实际问题中它具 有相应的实际意义，如膨胀率，平均速 度，平均增长率等. 2.自变量增量△x的值可以是正数， 也可以是负数，但△x≠0；函数值增量 △y可以为任意实数，当△y＝0时，平均 变化率为零.
【背景材料】在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h（单位：m）与起 跳后的时间t（单位：s）存在函数关系： h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. 思考1：显然，运动员在不同时刻的速度 是不同的.一般地，我们把物体在某一时 刻的速度称为瞬时速度，那么运动员在 起跳后2s时的瞬时速度与运动员在0s到 2s时段内的平均速度相等吗？
探究（二）：导数的概念 思考1：一般地，函数f(x)在x＝x0处的 瞬时变化率的含义是什么？用极限符号 怎样表示？ 含义：f(x)在x＝x0附近的平均变化率当 增量△x趋近于0时的极限.
Vy f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) lim = lim 表示：V x 0 Vx Vx 0 Vx
f (x 0 - Vx ) - f (x 0 ) lim = - f¢ (x 0 ) Vx ® 0 Vx
f (x 0 + 2Vx ) - f (x 0 ) lim = 2f ¢ (x 0 ) Vx ® 0 Vx
理论迁移
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶 等各种不同产品，需要对原油进行冷却 和加热.如果在第xh时，原油的温度（单 位：°C）为f(x)＝x2－7x＋15 （0≤x≤8），计算第2h与第6h时，原油 温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
f′(2)＝－3，说明在第2h附近，原油温度大 约以3°C/h的速率下降； f′(6)＝5. 说明在第6h附近，原油温度大约 以5°C/h的速率上升.
例2
1 求函数 f (x ) = x
在x＝1处的导数.
1 f¢ (1) = 2
例3
已知f′(x0)＝2， f (x 0 - t ) - f (x 0 ) 求 lim 的值. t® 0 2t
Vy f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) = Vx Vx
；
Vy ¢ f lim 第三步，取极限，求导数： (x 0 ) = V x ® 0 Vx .
f (x 0 + 2Vx ) - f (x 0 ) lim Vx ® 0 Vx
f (x ) - f (x 0 ) 思考4： lim x ® x0 x - x0
原式＝－1
小结作业 1.导数可以描述任何事物的瞬时变化 率，如生产效率、增长率，气球的瞬时 膨胀率，物体运动的瞬时速度等，在实 际问题中有着广泛的应用. 2.根据导数的定义求导数，就是求平 f (x + Vx ) - f (x ) 均变化率的极限，即求lim ，
0 0 Vx ® 0
Vx
其中对平均变化率的恒等变形，是运算 的主要内容.
高中数学新课程选修2-2
第一章
1.1 1.1.1
导数及其应用
变化率与导数 变化率问题
问题提出 1. 在物理学中，求变速运动的物体 在某一时间段内的平均速度可以用公 Vs 式v= ，但它不能真实反映物体在某
Vt
一时刻的运动状态，必须用瞬时速度来 刻画.
2.我们都有过爬山的体验，在爬山的 过程中，当山坡平缓时，步履轻盈；当 山坡陡峭时，气喘吁吁.如果山路是平直 的，可以用坡度来反映山坡的平缓与陡 峭程度，如果登山的路线是弯曲的，用 什么数据来刻画山路的平缓与陡峭程度， 就成为一个有待研究的数学问题.
思考4：当空气容量V从1增加到2时，气 球的半径增加了多少？气球的平均膨胀 率为多少？ r(2)－r(1)≈0.16(dm)，
r (2) - r (1) » 0.16(dm / L ) 2- 1
Hale Waihona Puke 思考5：一般地，当空气容量从V1增加到 V2时，气球的平均膨胀率如何计算？
r (V 2 ) - r (V 1 ) = V2 - V1
思考1：运动员在0s到0.5s时段内的平均 速度为多少？
h(0.5) - h(0) v= = 4.05(m / s ) 0.5 - 0
v= 0
思考2：运动员在1s到2s时段内的平均速 度为多少？
h(2) - h(1) v= = - 8.2(m / s ) 2- 1 65 思考3：如何计算运动员在0s到 s时段 49
Vy f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) = Vx Vx
3.在物体的运动过程中，我们可以 用平均变化率反映物体在某个时间段的 平均速度，但不能刻画物体在某个时刻 的运动速度，因此，如何在平均变化率 的基础上进一步研究物体在某一时刻的 运动速度，就成为新的学习内容.
探究（一）：瞬时速度与平均变化率
v= 0
内的平均速度？运动员在该时段内是静 止的吗？
v= 0
思考4：一般地，运动员在t1s到t2s时段 内的平均速度如何计算？ h(t 2 ) - h(t 1 ) v= = - 4.9(t 2 + t 1 ) + 6.5 t 2 - t1 思考5：在单位时段内，运动员的平均速 度如何变化？
平均速度逐渐增大.
3
3 3 V2 - 3 V1 ? 4p V 2 - V 1
3
3 1 4p ( 3 V 2 )2 + 3 V 2V 1 + ( 3 V 1 )2
思考6：随着气球体积逐渐增大，气球 的平均膨胀率如何变化？
r (V 2 ) - r (V 1 ) = V2 - V1
3
3 3 V2 - 3 V1 ? 4p V 2 - V 1
思考2：设t＝2时的时间增量为△t，那 么运动员在△t时间段的平均速度如何计 算？ Vh h(2 + Vt ) - h(2)
v= Vt = Vt = - 4.9Vt - 13.1
思考3：下表数据反映了在t＝2附近运动 员的平均速度的变化情况，你能发现平 均速度有什么样的变化趋势吗？在理论 上如何解释？
f (x 0 - Vx ) - f (x 0 ) , lim Vx ® 0 Vx
,
分别与f′(x0)有什
么关系？
f (x 0 + 2Vx ) - f (x 0 ) = 2f ¢ (x 0 ) Vx ® 0 Vx lim
f (x ) - f (x 0 ) lim = f¢ (x 0 ) x ® x0 x - x0