高一数学集合练习题及答案

高一数学集合的练习题及答案

令狐采学

一、、知识点：

本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。

本章知识结构

1、集合的概念

集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。

对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。

整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。

确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。

不同的――集合元素的互异性。

2、有限集、无限集、空集的意义

有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。

我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。

几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。

3、集合的表示方法

（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：

①元素不太多的有限集，如{0，1，8}

②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，…，

100}

③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，…，n ，…} ●注意a 与{a}的区别

●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。

（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y ＝x2}， {y|y ＝x2}， {（x ，y ）|y ＝x2}是三个不同的集合。

4、集合之间的关系

●注意区分“从属”关系与“包含”关系

“从属”关系是元素与集合之间的关系。

“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn 图描述集合之间的关系是基本要求。

●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。

5、集合的运算

集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。

一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质：

还要尝试利用Venn 图解决相关问题。

二、典型例题

例1. 已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 。 解：∴∈A 1 根据集合元素的确定性，得：133,11,1222=++=+=+a a a a 或）或（ 若a ＋2＝1，得:1-=a ，但此时21332+==++a a a ，不符合集合元素的互异性。

若1)1(2=+a ，得：2-,0或=a 。但2-=a 时，22)1(133+==++a a a

，不符合集合元素的互异性。

若,1332=++a a 得：。或－2,1-=a

1)1(-2a 1;2a ,-1a 2=+==+=a 时，时但，都不符合集合元素的互异性。

综上可得，a ＝ 0。

【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。

例2. 已知集合M ＝{}012|2=++∈x ax R x 中只含有一个元素，求a 的值。

解：集合M 中只含有一个元素，也就意味着方程0122=++x ax 只有一个解。

（1）012,0=+=x a 方程化为时，只有一个解21-=x （2）只有一个解若方程时012,02=++≠x ax

a

1,044==-=∆a a 即需要. 综上所述，可知a 的值为a ＝0或a ＝1

【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外多体会知识转化的方法。

例3. 已知集合},01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 且B A ，求a 的值。

解：由已知，得：A ＝{－3，2}，若B A ，则B ＝Φ，或{－3}，或{2}。

若B ＝Φ，即方程ax ＋1＝0无解，得a ＝0。

若B ＝{－3}，即方程ax ＋1＝0的解是x ＝－3，得a ＝31

。

若 B ＝{2}，即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ 2，得a ＝

21

-。 综上所述，可知a 的值为a ＝0或a ＝31

，或a ＝

21-。

【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。

例4. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的实根x1， x2. 设C ＝{x1， x2}， A ＝{1，3，5，7，9}， B ＝{1，4，7，10}，若C B C C A =Φ= ,，试求b ， c 的值。

解：由B C C B C ⊆⇒= ，那么集合C 中必定含有1，4，7，10中的2个。

又因为Φ=C A ，则A 中的1，3，5，7，9都不在C 中，从而只能是C ＝{4，10}

因此，b ＝－（x1＋x2 ）＝－14，c ＝x1 x2 ＝40

【小结】对C B C C A =Φ= ,的含义的理解是本题的关键。 例5. 设集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ，

（1）若Φ=B A ，求m 的范围；

（2）若A B A = ，求m 的范围。

解：（1）若Φ=B A ，则B ＝Φ，或m ＋1>5，或2m －1<－2

当B ＝Φ时，m ＋1>2m －1，得：m<2

当m ＋1>5时，m ＋1≤2m－1，得：m>4

当2m －1<－2时，m ＋1≤2m－1，得：m∈Φ

综上所述，可知m<2，或m>4

（2）若A B A = ，则B ⊆A ，

若B ＝Φ，得m<2

若

B ≠ Φ，则⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤--≥+1215

1221m m m m ，得：32≤≤m 综上，得 m ≤ 3

【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。

例6. 已知A ＝{0，1}， B ＝{x|x ⊆A}，用列举法表示集合B ，并指出集合A 与B 的关系。

解：因为x ⊆A ，所以x ＝ Φ，或x ＝ {0}，或x ＝ {1}，或x ＝ A ，

于是集合B ＝ { Φ， {0}， {1}， A}，从而 A∈B

三、练习题

1. 设集合M ＝,24},17|{=≤a x x 则（）

A. M a ∈

B. M a ∉

C. a ＝ M

D. a > M

2. 有下列命题：①}{Φ是空集②若N b N a ∈∈,，则2≥+b a ③集合}012|{2=+-x x x 有两个元素④集合

},100|{Z x N x x B ∈∈=为无限

集，其中正确命题的个数是（）