【高考状元】数学错题本：第10章概率统计易错题含解析

我的高考数学错题本

第10章

概率统计易错题

易错点1．重复计算或漏算导致错误

【例1】4名考生在三道选做题中任选一道进行做答，则这三道题都有人选做的概率为(

)

A ．

49

B ．

827

C ．

29

D ．

427

【错解】

【错因分析】第一种做法在计算的过程漏掉了“先选的三个人也可以有两个人同时做同一个题”这种情况；第

二种做法在计算过程中出现了重复计算．

【正解】4个人做三道题目，每题至少一人，则必有一个题目有两个人做，因此要先将四个人分成三组，然后

再排列，方法数为2

3

4336C A =，所求概率为

364

819

=．选A 【巩固练习1】从1,2,3，…，9这9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（

）

A ．

57

B ．

59

C ．

27D ．

49

【答案】C

易错点2．超几何分布与二项分布混淆

【例2】为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前组的频率之比为1:2:3，其中第组的频数为12．（1）求该校报考飞行员的总人数；

（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，

设X 表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望．【错解展示】

【错因分析】（1）对随机变量的含义不清楚，不能区分超几何分布与二项分布；（2）对于何时可以样本的频率代替总体的概率不清楚；【纠错提醒】（1）超几何分布的本质是“不放回抽样”，是一种古典概型，而二项分布的随机实验是“独立重复实验”，强调每次实验的结果发生的概率相同，可认为是“有放回抽样”．本题中，“若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人”，特别强调人数很多，意味着实验可以看做是“有放回抽样”，所以是一个二项分布；（2）本题明确要求“以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据”，其意思是：用频率来代替概率，即16个人中每个人的体重超过60公斤的概率是

105=168，也是说，全省每个学生的体重超过60公斤的概率为5

8

．【正解】（1）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为321,,p p p ，则由条件可得：

21

31

1

2323(0.0370.013)51

p p p p p p p =⎧⎪

=⎨⎪++++⨯=⎩，解得，1230.125,0.25,0.375.p p p ===又因为212

0.25p n

==

，故48=．（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为35

(0.0370.013)58

p p =++⨯=

，故X 服从二项分布，()335388k

k

k P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∴随机变量X 的分布列为：

则271352251251501235125125125128EX =⨯

+⨯+⨯+⨯=，或515388

EX np ==⨯=．【巩固练习2】盒子里装有大小相同的个球，其中个号球，个号球，个号球．

（1）若第一次从盒中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是的概率；（2）若从盒中一次取出个球，记取到球的号码和为随机变量X ，求X 的分布列及期望．【答案】记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是”为事件A ，则3223123()88886416

P A =

⨯+⨯==（Ⅱ）X

可能取的值是6

,5,4,3,223283(2)28C P X C ===，11

332

89

(3)28

C C P X C ===，112323289(4)28C C C P X C +===，11322863(5)2814C C P X C ====，

2

2281

(6)28

C P X C ===∴X 的分布列为：

X P

28

3928

928

314

128

X 0123

P

27512135512225512125512