2020高考：中点弦问题

圆锥曲线的中点弦问题

一：圆锥曲线的中点弦问题：

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.

①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；

②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；

③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。

注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！

1、以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、过椭圆

14

162

2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 例2、已知双曲线12

22

=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

2、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

例3、已知椭圆

1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2

1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

例4、 已知椭圆

125

752

2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

3、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为

2

1

，求椭圆的方程。 ∴所求椭圆的方程是

1257522=+x y

4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例6、已知椭圆13

42

2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

例7、已知斜率为的直线与椭圆

交于

，

两点，线段

的中点为

．

（1）证明：

；

（2）设为的右焦点，为上一点,且

．证明：

，

，

成等差数列，

并求该数列的公差．

注意的问题

（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。

利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣

答案：1.解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B

Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642

12

1=+y x ，1642

22

2=+y x

两式相减得0)(4)(222

12

22

1=-+-y y x x

于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2

1

244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y

即21-

=AB k ，故所求直线的方程为)2(2

1

1--=-x y ，即042=-+y x 。 2.解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B

则221=+x x ，221=+y y 122

12

1=-y x ，12

2

22

2=-y x

两式相减，得0))((2

1

))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121

=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩

⎪⎨⎧=--=-12)

1(2122y x x y 消去y ，得03422

=+-x x

∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆

这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。

评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2） 若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。

3.解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则2

10=

x 12021==+x x x ， 0212y y y =+ 又 125752

12

1=+x

y ，125

752

22

2=+x y

两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y

即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴0

212123

y x x y y -=--

Θ 32121=--=

x x y y k ∴ 3230=-y ，即210-=y ∴点M 的坐标为)2

1

,21(-。

4.解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，则

x x x 221=+， y y y 221=+ 又 125752121=+x

y ，125

752

222=+x y

两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y