抛物型方程差分方法
抛物型方程的有限差分法
令
L(h3
)
u
k j
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u
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a
[
uk1 j1
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k j
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将截断误差
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h2
j
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j
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0
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( 1.8 ) 1
将(1.8)1改 写 为
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uk 1 j 1
r 2
uk j1
(1
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k j
1
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fj
(1.8)1
u(
t x,0)
a x2
(x),
f (x), 0 x
0 l
t
T (1.3)1
u(0,
t)
u(l, t)
0,
抛物型方程的差分方法
抛物型方程的差分方法抛物型方程是描述物理现象中的薄膜振动、热传导、扩散等过程的方程，具有非常重要的应用价值。
差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解微分方程，对于抛物型方程的数值求解也是非常有效的方法之一、本文将介绍抛物型方程的差分方法，并具体讨论用差分方法求解抛物型方程的一些具体问题。
首先，我们来介绍一下抛物型方程的一般形式。
抛物型方程一般可以表示为：∂u/∂t=α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u(x,y,t)是待求函数，t是时间，x和y是空间变量，α是常数。
这个方程描述的是物理过程中的扩散现象，如热传导过程、溶质的扩散过程等。
差分方法的基本思想是将求解区域离散化为一个个网格点，然后在每个网格点处用近似的方式来计算待求函数的值。
差分方法的求解步骤主要包括以下几个方面：1.选择适当的网格和步长。
在求解抛物型方程时，需要确定空间变量x和y所在的网格点以及步长，同时也需要确定时间变量t所在的网格点和步长。
通常，我们会选择均匀网格，步长选择合适的值。
2.建立差分格式。
差分格式是差分方法的核心部分，它包括对方程进行近似处理和离散化。
对于抛物型方程，常用的差分格式有显式差分格式和隐式差分格式等。
其中，显式差分格式的计算速度快，但是有一定的稳定性限制，而隐式差分格式的稳定性较好，但是计算量较大。
因此，在具体问题中需要根据实际情况选择适当的差分格式。
3.编写计算程序。
在建立差分格式后，需要编写计算代码来求解离散方程。
具体编写的过程包括定义初始条件、建立迭代计算过程、以及计算结果的输出等。
4.计算结果的验证与分析。
求解方程后，需要对计算结果进行验证和分析，主要包括对数值解和解析解的比较、对误差的估计和控制等。
在具体求解抛物型方程时，还会遇到一些问题，例如边界条件的处理、稳定性和收敛性的分析等。
下面将对其中一些问题进行详细讨论。
1.边界条件的处理。
边界条件对差分格式的求解结果有着重要的影响，常见的边界条件包括固定端（Dirichlet）边界条件和自由端（Neumann）边界条件等。
10_抛物型方程的有限差分方法
10_抛物型方程的有限差分方法抛物型方程是一类常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学和工程学的领域中。
有限差分方法是一种常用的数值求解抛物型方程的方法之一、本文将介绍抛物型方程的有限差分方法（II）。
有限差分方法主要基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，进而求解差分方程的数值解。
对于抛物型方程，其一般形式可以表示为：∂u/∂t=Δu+f(x,t)其中，u(x, t)是未知函数，表示空间位置x和时间t上的解，Δu表示Laplace算子作用于u的结果，f(x, t)是已知函数。
有限差分方法的基本思想是将空间和时间域进行离散化，将连续的空间和时间划分为有限个网格点，然后使用差分近似代替偏导数，得到差分方程。
假设空间域被划分为Nx个网格点，时间域被划分为Nt个网格点，对于每个网格点(i,j)，可以表示为(x_i,t_j)，其中i=0,1,...,Nx，j=0,1,...,Nt。
在有限差分方法中，我们使用中心差分近似来代替偏导数。
对于时间导数，可以使用向前差分或向后差分，这里我们使用向前差分，即：∂u/∂t≈(u_i,j+1-u_i,j)/Δt对于空间导数，可以使用中心差分，即：∂^2u/∂x^2≈(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2将上述差分近似代入抛物型方程中，可以得到差分方程的离散形式：(u_i,j+1-u_i,j)/Δt=(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2+f_i,j其中，f_i,j=f(x_i,t_j)。
重排上式，可以得到递推关系式：u_i,j+1=αu_i-1,j+(1-2α)u_i,j+αu_i+1,j+Δt*f_i,j其中，α=Δt/Δx^2通过设置初始条件和边界条件，可以利用以上递推关系式得到抛物型方程的数值解。
总结来说，抛物型方程的有限差分方法（II）是一种常用的数值求解抛物型方程的方法。
它基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，然后利用中心差分近似代替偏导数，得到差分方程的离散形式。
二维抛物方程的有限差分法
二维抛物方程的有限差分法二维抛物方程的有限差分法摘要二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。
有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。
本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。
首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。
讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。
其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。
进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。
并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。
通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。
关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式FINITE DIFFERENCE METHOD FORTWO-DIMENSIONAL PARABOLICEQUATIONAbstractTwo-dimensional parabolic equation is a widely used class of partial differential equations. Because this kind of equation is so complex, we consider numerical methods instead of obtaining analytical solutions. finite difference method is the most simple and extremely important numerical methods for differential equations. The paper introduces the finite difference method for two-dimensional parabolic equation.Firstly, this paper introduces the background and common numerical methods for Parabolic Equation, Background and development of applications. Discusses the basement for the establishment of the finite difference method for parabolic equation And describes the convergence and stability for finite difference method.Secondly, Introduces some of the more common simple differential format,for example, the classical explicit scheme, the classical implicit scheme, Crank-Nicolson implicit scheme, Douglas difference scheme, weighted six implicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper focuses on the classical explicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper takes discusses the derivation convergence,and stability of the format . The paper takes And the heat conduction equation for the numerical example, using the differential method to solve. Through numerical examples, the classical explicit scheme is relatively simple for calculation, with more stringent stability conditions; and alternating direction implicit scheme is unconditionally stable.Keywords:Two-dimensional Parabolic Equation; Finite-Difference Method; Eclassical Explicit Scheme; Alternating Direction Implicit Scheme1绪论1.1课题背景抛物方程是一类特殊的偏微分方程，二维抛物方程的一般形式为u Lu t ∂=∂ (1-1)其中1212((,,))((,,))(,,)(,,)(,,)u u u u u u L a x y t a x y t b x y t b x y t C x y t x x y y x y∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂ 120,0,0a a C >>≥。
抛物方程的向前向后差分格式例题
抛物方程的向前向后差分格式例题抛物方程是描述物体受重力影响下的运动的数学模型，它在物理学和工程学中有着广泛的应用。
而求解抛物方程的数值方法中，向前差分和向后差分是最常用的两种格式之一。
向前差分格式是一种一阶时间导数的数值逼近方法，它将时间上的变化分为离散的小步长，并根据当前时刻的值和之前时刻的值来逼近下一个时刻的值。
其数值逼近公式可以表示为：u_i^{n+1} = u_i^n + alpha(u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n)其中，u_i^{n+1}表示网格点(i,n+1)处的解值，u_i^n表示网格点(i,n)处的解值，u_{i+1}^n和u_{i-1}^n分别表示网格点(i+1,n)和(i-1,n)处的解值，alpha是时间步长与空间步长的比值。
向后差分格式则是一种一阶时间导数的数值逼近方法，它与向前差分格式相比，将当前时刻的值和之后时刻的值来逼近下一个时刻的值。
其数值逼近公式可以表示为：u_i^{n+1} = u_i^n + alpha(u_{i+1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} +u_{i-1}^{n+1})其中，u_{i+1}^{n+1}和u_{i-1}^{n+1}分别表示网格点(i+1,n+1)和(i-1,n+1)处的未知解值，而u_i^{n+1}表示网格点(i,n+1)处的解值。
为了更好地理解这两种差分格式的应用，下面举一个例题：考虑一个一维热传导问题，其抛物方程可以表示为：frac{partial u}{partial t} = kfrac{partial^2 u}{partialx^2}其中，u是温度分布关于时间和空间的函数，k是热导率。
假设我们要求解在0≤x≤1的区域上的温度分布，且边界条件为u(0,t)=u(1,t)=0。
初始条件为u(x,0)=f(x)，其中f(x)是已知的初始温度分布。
我们可以使用向前差分或者向后差分格式来求解该问题。
抛物型方程的计算方法
分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班）指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。
差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式。
本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析。
关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian（Class 2, Grade 2011，College of Mathematics and Information Science）Advisor: Nie huaAbstract：The common methods to solve parabolic equations include differential method，finite element method etc。
The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations。
In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover，the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words：differential method，finite element method, convergence，stability1 绪 论1。
一维抛物型方程的四阶紧致差分-MG算法
～ （ 手 ＋ ＋ （ 手 ＝ 旨一）ｌ５ｒ“旨一 ） ｎ‘ ）＋ ＋ “ 上 ２ （ ＋ ）＋ 一“（ 手 ＋（ Ｉ 手ｕ （ ｒ＋ Ｌ ： ） 吉＋ ） ｝ 。 ： 。 审＋ Ｊ ） ． （ ５ ）
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Ⅱ ， ）西 ， （ Ｏ＝ （） Ｍ ０ ｔ＝ （，） ０ （ ，） Ｍ Ｚｔ＝ ．
Ｏ ， ≤ ≤１ ｆ ． ≥０
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对 上述 问题 ， 献日 出 了一 种 无 条 件 稳 定 双 层格 式 ， 文 给 用
（ 治学 院 数 学 系， 西 长 治 长 山 ０６ １ ） ４ ０ １
摘
要： 文章提 出了数值 求解一维抛物型方程的四阶 紧致差分 一 ＭＧ算法 ， Ｆｒ ｒ 法证 明该格式是 无条件稳 定的． 用 ｏｅ方 ｉ 并
且利用 了多重网格方法 ， 采用数值试验验证 了方法的精确性 与可靠性 。
关键 词 ： 维抛 物 型 方程 ； 阶 紧致 差分 ； 一 四 多重 网格 法
３ 数值 例 子
利用 Ｆｒ ｒ ｏ ｅ 方法 ， ｉ 令
ｅ （） ７ 其中 ｉ 为虚数单位．
为 了 验证 格 式 的精 确 性 和多 重 网 格 方 法 的 效果 ， 们 考 我 察 如 下初 边 值 问题 ：
将（ ） ７ 代人（ ） ， ５ 式 消去 ， 则得增长 因子 ：
０５ ．
０． ７
０２ ０ ７ ６ ２ ６ ．９ ８ ８
０． ０ ７３ ７７ ３９ ７ ４
ｌ
注 意到 （
解二阶抛物型方程含参数高精度两层差分格式
解二阶抛物型方程含参数高精度两层差分格式引言在数值计算中，抛物型偏微分方程是一类重要的方程，涉及到热传导、扩散、反应扩散等许多实际问题的数值模拟。
而解二阶抛物型方程含参数的问题则更具有挑战性，建立高精度的差分格式成为研究的重点之一。
本文将详细探讨解二阶抛物型方程含参数的高精度两层差分格式。
二阶抛物型方程含参数先考虑一个边界平滑、参数依赖的二阶抛物型方程：其中，u(x,t)是未知函数，a(x)是参数函数，f(x,t)是外力项。
本文的目标是构建一个高精度的差分格式来求解这个方程。
高精度差分格式的结构由于我们要构建高精度的差分格式，自然而然地思路是采用两层差分格式的结构。
两层差分格式具有更高的精度和更好的稳定性，对于求解复杂的偏微分方程尤为有效。
一维差分格式首先，我们先介绍一维的差分格式。
对于一维问题，我们可以将区域进行离散化，将连续的问题转换为离散的问题。
一维差分格式可以表示为：这个差分格式包含三个部分，分别是时间项、空间项和外力项。
其中，时间项计算了时间导数，空间项使用中心差分方法计算了空间导数，外力项贡献了外力。
多维差分格式对于二维问题，我们可以将其推广为多维差分格式。
多维差分格式的基本思想是利用乘积形式构造更高维的差分格式。
在这里，我们只考虑二维情况：这个差分格式在时间、x方向和y方向都有相应的差分项。
同样，时间项计算了时间导数，空间项使用了中心差分方法计算了空间导数，外力项贡献了外力。
参数依赖的高精度两层差分格式在介绍了一维和多维差分格式后，我们接下来考虑含参数的高精度两层差分格式。
对于含参数的问题，我们需要在空间项中考虑该参数的影响。
高精度的两层差分格式可以表示为：其中，αi,j n是参数依赖的系数。
高精度差分格式的稳定性和收敛性分析在构建高精度差分格式时，我们不仅需要关注其精度，还需要考虑其稳定性和收敛性。
在这一部分，我们将对所构建的高精度差分格式进行稳定性和收敛性的分析。
稳定性稳定性是差分格式是否收敛的重要条件之一。
解二阶抛物型方程含参数高精度两层差分格式
解二阶抛物型方程含参数高精度两层差分格式
解二阶抛物型偏微分方程是许多领域中非常重要的问题，例如热传导、扩散、化学反应等。
然而，在实际计算中，由于参数的存在，往往需要使用高精度的差分格式来保证数值计算的准确性。
以下是一种含参数的高精度两层差分格式，可以用于解决二阶抛物型偏微分方程：
1. 先验估计
为了使用高精度两层差分格式，我们首先需要进行先验估计，以确定合适的时间步长和空间步长。
具体来说，我们可以使用稳定性分析来确定时间步长和空间步长的上限值。
2. 差分格式
在确定了时间步长和空间步长之后，我们可以开始使用高精度两层差分格式来求解二阶抛物型偏微分方程。
该差分格式通常包括以下几个步骤：
（1）先用向前差分公式求解第一层，得到一个中间解。
（2）再采用Crank-Nicolson格式对第二层进行差分，同时使用前一步得到的中间解进行修正。
（3）最后，将得到的数值解反推回到未知函数的值域中，得到方程的
数值解。
需要注意的是，在使用这种高精度差分格式进行计算时，我们需要使
用高精度的算法来保证计算的准确性。
3. 参数调节
由于实际问题中经常存在参数不确定性的情况，因此，在进行数值计
算时，我们需要对参数进行调节和优化。
具体来说，我们可以通过多
次求解不同的二阶抛物型偏微分方程，来不断调节参数并逐步优化计
算结果。
以上是一个含参数的高精度两层差分格式，可以用于解决二阶抛物型
偏微分方程的计算问题。
该方法能够保证数值计算的高精度和准确性，同时也能够应对实际问题中的参数不确定性。
解抛物型方程的一族高精度差分格式
Ａ ［ ｌ ＋ ２； ３“＋ ＋ １ ／ ＋１ “＋ ＋ ；１ ２ ＝ ［５？ ＋（一 ５ ７） ７“一］ ， “ “ 一 ＋ （ ｌ “一 ）２ ７（ｎ｝ ｕ２） ］ 口 ｒ“ ） ４ － ／ ／ １ —１ “ ＋１ ； ６ ６
（） ２
其 中 Ａ， 关 于 ｔ的 一阶 向前 差商 ， 是 关 于 的 二 阶中心 差商 ， ～ 是 待定 参数 ． 是 ６ ｌ ６ 将 （） ２ 中各节 点 上的 “以其 在节 点处 展开 的 Ｔ ｙ ｒ 数代入 ， 利用方 程 （ ） ａｌ 级 ｏ 并 １可得
均达 ０（ ￡ ＋ △ ） 在 不增 加节 点所 在 区间宽 度 的情况 下 ， ． 是否 存在精 度更 高 的－ ， 线型 隐格 式 ？文 ［ ］ －ｘ 角 ￣ ３ 曾给 出 了一个 截 断 误差 为 ０（ ＋ △￡ ） 隐 格 式， 由于 作 者 算 错 了 一个 误 差 项【 格 式 的 精 度 仍 为 ｔ ｈｓｐ ｐｒ Ｔ ｅｌ ａ ｔ ｎ ａｉｎｅｒｒｉ Ｏ （ ｔ ｅｅ ｔ ｌ ｕ ｔ ｎ ｒ ｒ ｎｅ ｉ ｔｉ ａｅ ． ｈ ｃｌ ｒ ｃｔ ｒ Ａ ＋ ａｅ ｏ ｓ ｄｎ ｏ ｕ ｏ ｏ ｓ
ａ ｓ ｌ ｅ ｙ ｓａ ｌ ｎｄ ｃ ｎ ａ ｉｙ ｓ ｌ ｅ ｏ ｂｌ ｗｅ ｐ ｎ ｔ ｏ ｂ ｕｔ ｌ ｔ ｂ ｅ ａ ａ ｂｅｅ ｓｌ ｖ ｄ ｂｙ ｄ ｕ ｅ ｓ ｅ ｉ ｇ ｍｅ ｈ ｄ． ｏ ｏ Ｋｅ ｒ ： ｎｅ ｄ ｍｅ ｉｎ ｌｐ ｒ ｂ ｉ ｑ ａ ｉｎ； ｉ ｈ ａ ｃ ａ ｙ；ｍｐｌ ｉ ｉｆｒ ｎｃ ｃ ｍｅ ｙ ｗｏ ｄｓ ｏ — ｉ ｎｓｏ ａ ａ ａ ｏｌ ｅ ｕ ｔｏ ｈ ｇ ｃ ｕｒ ｃ ｉ ｃ ｉ ｔｄ ｆｅ ｅ ｅｓ ｈｅ ｃ
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第 １ 第 ５期 ８卷
解抛物型方程的一族六点隐式差分格式
对 问题 （ ） １ 的求解 ， 限差 分法 是 解决 此 类 问题 的常用 方 法 ， 见 的差 分 格式 如 古 典 隐格 式 、 有 常
Ｃａｋ Ｎｃｌ ｎ格 式和 Ｄ ｆ ｔＦａｋｌ 式 等 ， 都是 绝对 稳 定 的 ， ｒｎ — ｉ ｓ ｏｏ ｕｏ — ｒｎｅ格 ｒ 虽 但其 截 断误 差均 较低 ， 两者 分 别是 前
３ 数 值 例 子
考 虑扩散 方程
＝
Ｍ ．）：ｓ （ ０ ｉ ｎ似 ， ≤ １ ０≤ ，
、 Ｊ
（ ｅａ ｍ ｎ ｔｅ ａ ｃ Ｅ ｕａｏ ， ｕｎｚｏ ｏｅｅｏ Ｓｕ ｈ ａＵ ｉ ｒ ｔ ｏ Ｔｃｎｌ ｙＧ ａｇｈｕ １ ０ ， ｈ ａ Ｄ ｐｒ ｅｔ ｆ ｈｍ ｔｓ ｄｃｔｎ Ｇ ａｇｈｕＣ ｌｇ ｏｔ Ｃ ｉ ｎ ｅ ｉ ｅｈｏ ｇ ，ｕｎ ｚｏ￣５０ ０ Ｃ ｉ ） ｔ ｏ Ｍａ ｉ ｉ ｌ ｆ ｈ ｎ ｖ ｓｙ ｆ ｏ ８ ｎ
在 渗流 、 扩散 、 热传 导等领 域 中经常会 遇到 求解抛 物 型方程 的 问题． 一维 的情形 ， 在 其模 型 为初边 值
Ｏ ２ Ｏ — ｔ
＿ ＿ ＿
ｕ ０ ≤ ≤
，
０ ≤ ￡≤ ， ＞ ０， 口
ｕ ｘ ０ ＝ ） ０≤ ≤ Ｌ （ ，） （ ， ，
ｕ Ｏ，） （ ｔ ＝０ ０≤ ｔ （ ￡ ＝ｕ Ｌ，） ， ≤
＋丁ａ ０Ｉ ＋Ｄ ｒ ） ｈ ｒ ＂） Ｚ ＋ Ｌ （ ，
：
△ ＋ ： ｃ ＋ 吐ｃ ｎ 雾
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ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ｓ ｐ ｏ ｅ ｏ ｂ ｎ ｏ ｄｉ ｏ ａｌ ｔｂ ｅ ｉ ／２ ≤ ０ ≤ １．ａ ｄ ｔ ｅ ｔ ｂｌｔ ｏ ｄ ｔｏ ｓ ｉｆｒ ｎ ｅ ｓ ｈ ｍｅ ｗａ ｒ ｖ ｄ ｔ ｅ ｕ ｃ ｎ ｔ ｎ ｌｙ ｓａ ｌ ｆ１ ｉ ｎ ｈ ｓａ ｉ ｙ ｃ ｎ ｉｉｎ ｗａ ｉ
一类四阶半线性抛物型方程的有限差分方法
（ 器） ＋ （
ｃｌ ｌ
一） 。 ≤ ： 一］
Ｉ ×
ｌ ｌ ｌ ｆ＋ △ ｌｌ ｌ
ＲＩ （ “ ＋ｃ Ｉ
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Ｉ Ｉ ２ 靠ｌ ？ ＋ 一 Ｉ ｌｌ Ｉ
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第 ８卷
第２ ３期
２０ ０８年 １ ２月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖｏ＿ Ｎｏ ２ ｌ８ ．３
Ｄｅ ． ２ ０８ ｃ ０
１７ —８ ９ ２０ ）３６ ２ —３ ６ １ １１ （０ ８ ２ —３ １０
Ｓ ｉｎ ｅ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｎ ｃ ｅ ｃ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ａ ｄ Ｅ ｇｎ ｅｉ ｇ
６＋ ＝ ＋ ６一 － Ｌ
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Ｃ ｕｈ （Ｚ ， ａ ｃｙ ／ ＞１Ｐ＞１ 问题 ： ／ ＇ ） 艿 ＝ √＝ ， ， ， 一 ； 。 ｌ … － ２ ，
关键词 四阶抛物方程
中图法分类号
Ｏ ４ ．２ ２ １８ ；
文献标志码
Ａ
本文研究 文献 ［ ］ ｕ＝ 时 的 四阶半 线 性抛 １ 中“ ” 物 型方程 的初 边值 问题 。 ｆ ＋ ｌ／ Ｉ， ｔ ∈ ×（ ， ］ ｚＺ ＝Ｉ （ ） ｐ ， ０Ｔ ，
区间［ ， ］ －等 分 ， 长 ＝ 满 足 △ ＝Ｏ（ ； ０１作 ， 步 ￡ ｈ ）
＋ ＝
＿ 。
，
＝
０， ， ， １… ． ，一１ ；
解四阶抛物型方程的两层显式差分格式
解四阶抛物型方程的两层显式差分格式四阶抛物型方程是指具有四个导数项的抛物型偏微分方程，可以写成如下形式：u_t = a*u_xx + b*u_xxx + c*u_xxxx + f(x,t)其中，u表示未知函数，t表示时间，x表示空间，a、b、c为系数，f(x,t)为已知的源项函数。
为了数值求解这类方程，我们可以使用显式差分格式。
显式差分格式是指通过将方程中的导数项用差分运算进行离散化，将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程。
两层显式差分格式指使用两个时间层次的差分方程进行迭代求解。
下面我们将介绍两种常用的两层显式差分格式：双边五点差分格式和五点中心差分格式。
1.双边五点差分格式（BDF5）双边五点差分格式采用五点差分近似导数，其中时间层次的差分使用五阶向前差分，空间层次的差分使用五阶中心差分，可以得到如下差分方程：(u_i^(n+1)-u_i^n)/Δt=a*(u_{i-2}^n-4u_{i-1}^n+6u_i^n-4u_{i+1}^n+u_{i+2}^n)/(Δx^2)+b*(u_{i-2}^n-2u_{i-1}^n+2u_{i+1}^n-u_{i+2}^n)/(2Δx^2)+c*(u_{i-2}^n-u_{i-1}^n-u_{i+1}^n+u_{i+2}^n)/(Δx^2)+f_i^n其中，i表示空间格点的索引，n表示时间层次的索引，Δt和Δx 分别表示时间和空间的步长，u_i^n表示在第n个时间层次上的第i个空间点的解，f_i^n表示在第n个时间层次上的第i个空间点的源项。
2.五点中心差分格式（CD5）五点中心差分格式采用五点差分近似导数，其中时间层次的差分使用五阶前后向差分，空间层次的差分使用五阶中心差分，可以得到如下差分方程：(u_i^(n+1)-u_i^(n-1))/(2Δt)=a*(u_{i-2}^n-4u_{i-1}^n+6u_i^n-4u_{i+1}^n+u_{i+2}^n)/(Δx^2)+b*(u_{i-2}^n-2u_{i-1}^n+2u_{i+1}^n-u_{i+2}^n)/(2Δx^2)+c*(u_{i-2}^n-u_{i-1}^n-u_{i+1}^n+u_{i+2}^n)/(Δx^2)+f_i^n这两个差分方程可以通过逐步迭代求解，用现有的时间层次上的解来计算下一个时间层次上的解。
抛物型方程的差分方法
tn nk xm mh
n
0,1,2,
,
N;
N
T k
m 0,1,2,
在 t 0上的结点称为边界结点，属于 内的结点 称为内部结点。
对于初边值问题，设 (x,t) | 0 x 1,0 t T
，则网格是
tn nk xm mh
n
0,1,2,
,
N;
N
T k
m 0,1,2, , M ; Mh 1
u(0,t) 1(t),u(1,t) 2 (t) 0 t T (2.4)
2.1 差分格式建立的基础
为了构造微分方程(2.1)的有限差分逼近，首 先将求解区域用二组平行于t 轴和 x轴的直线构 成的网格覆盖，网格边长在方向 t为 t k，在 x 方向为x h (如图2.1所示)。h,k分别称为空间方向 和时间方向的步长，网格线的交点称为网格的结 点。对初值问题来说，网格是
4x
umn
2 x
3 x
11 12
3x
umn
2 x
1 12
4 x
1 90
6 x
umn
(2.19.1)
(2.19.2)
(2.19.3)
返回 返回 35 42
对于三阶、四阶偏导数的差分表达式为
h3
(
3u x3
)nm
3x 3x
3 2
4x
3 2
4 x
7 4 7 4
5x
5 x
umn umn
(2.20.1) (2.20.2)
)U
n m
代入
2 x
的表达式，则得差分方程
(2.28)
古典显式差分格式
U
n1 m
rU
抛物型和双曲型微分方程方程的差分方法
抛物型和双曲型微分方程方程的差分方法双曲型微分方程的解，对求解区域内一点(慜，惭)而言，在初值区域内有一个依赖域,差分方程也是如此,对于差分方程(6),点(jΔx,nΔt)的依赖域是初值线上区间【(j-n)Δx,jΔx】。
如令Δt/Δx=r=常数,慜=jΔx,惭=nΔt，则差分方程(6)在点(慜,惭)的依赖域为【慜-a惭/r，慜】,并且步长比r固定时，依赖域与Δx，Δt无关。
差分方程(9)在(慜,惭)的依赖域是【慜-a惭/r,慜+a惭/r】，而差分方程(11)的依赖域则是【慜，慜+│a│惭/r】,R.库朗等人曾经证明，差分格式收敛的一个必要条件是差分方程的依赖域应包含微分方程的依赖域，这个条件叫作"库朗条件"。
从图3中可以看到，对于差分方程(6)，这个条件是慜-a惭/r≤慜-a惭≤慜，即对于格式(9)，库朗条件是,两者不同。
对于格式(11),库朗条件是慜≤慜-a惭≤慜+│a│惭/r；在a>0时,显然不能成立,所以格式(11)当a>0时不收敛，因而也是无用的。
格式(6)a>0在而库朗条件满足时，的确是收敛的。
因为的离散化误差适合由此可知：又因差分格式与微分方程的初值相同，于是可知：这说明条件满足时，格式(6)收敛。
如果a<0，格式(6)不收敛。
但当时，格式(11)收敛。
这两个格式称为"迎风格式",因为a>0时，用向后差商代替,往上风取近似值；当a<0时则用向前差商代替,也是往上风取近似值。
可见作(1)的差分格式时，要考虑波的传播方向。
⑤差分格式的稳定性用一个差分格式计算时，初值的误差必然要影响到以后各层。
通常希望这误差的影响不会越来越大，以致完全歪曲了差分方法的真解，这便是稳定性问题。
讨论时，常把问题化简，设初值有误差ε，而以后的计算并不产生误差,由于误差ε，使变成了+ε，但+ε仍满足所适合的差分格式。
定义一种衡量t=tn层格点上ε的大小的所谓范数‖ε‖，若有常数K>0使当Δt、Δx→0而0≤t=nΔt≤T时，恒有‖ε‖≤K‖ε‖,则称此差分格式是稳定的。
3-抛物型方程的差分方法
，则退化为古典隐式格式；
(3)取 1/ 2 ，则退化为Crank-Nicholson六点格式
为了提高对时间的截断误差，可用中心差分
u
n 1 j
u
n 1 j
2
a
u
n j 1
2u u h
n j 2
n j 1
0
Richardson格式，它是二阶精度的三层显式格式。 通过将其化为等价的二层差分格式，可给出其增 长矩阵为
n u1n u1n 1 au0 n n 1 u2 0 u2 n n 1 u u 0 3 3 n n 1 a u N 2 u N 2 u n u n 1 au n 1 2a N 1 N 1 N
u 2u 0 x 1, t 0 t a x 2 , u ( x, 0) ( x), 0 x 1 u / x u t0 x0 g1 (t ), t0 u / x u x 1 g 2 (t ),
古典显式格式
u
截断误差是 增长因子是
n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
2u u h
n j 2
n j 1
0
T O( h2 )
kh G( , k ) 1 4a sin 2 其中网格比 / h2
2
稳定性条件是
1 a 2
古典隐式格式
n 1 un u j j
0
a 0 0
a 0
如用Crank-Nicholson六点格式 n n n n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 a u (1 a ) u a u u a ( u 2 u u j 1 j j 1 j j 1 j j 1 ) 2 2 2 可得如下代数方程组
抛物形扩散方程的有限差分法与数值实例
偏微分方程数值解所在学院：数学与统计学院课题名称：抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例学生：向聘抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例1.1抛物型扩散方程抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。
考虑一维热传导方程：22(),0u ua f x t T t x∂∂=+<≤∂∂ (1.1.1) 其中a 是常数，()f x 是给定的连续函数。
按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1)的定解分为两类：第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件：()()x x u ϕ=0,, ∞<<∞-x (1.1.2)第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件：()()x x u ϕ=0,, 0x l << (1.1.3) 及边值条件()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 (1.1.4)假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。
1.2抛物线扩散方程的求解下面考虑如下热传导方程22()(0.)(,)0(,0)()u ua f x t x u t u L t u x x ϕ⎧∂∂=+⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩(1.2.1) 其中，0x l <<，T t ≤≤0,a (常数)是扩散系数。
取N l h =为空间步长，MT=τ为时间步长，其中N ，M 是自然数，用两族平行直线jh x x j ==,()N j ,,1,0Λ=和k t t k τ==, ()M k ,,1,0Λ=将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。
其中 (),j k x t 表示网格节点；h G 表示网格点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。
活动边界抛物型方程迎风差分格式
活动边界抛物型方程迎风差分格式
活动边界抛物型方程是一种常见的微分方程，它可以用来描述物理系统中的活动边界。
它的形式是：u_t + f(u)u_x = 0，其中u是活动边界的位置，f(u)是活动边界的速度。
这个方程可以用来描述物理系统中的活动边界，比如水波、热传导、电磁场等。
迎风差分格式是一种用来解决活动边界抛物型方程的数值方法。
它的基本思想是，将活动边界抛物型方程分解为一系列的简单的差分方程，然后用这些差分方程来求解活动边界抛物型方程。
迎风差分格式的优点是，它可以很容易地解决复杂的活动边界抛物型方程，而且它的计算效率也很高。
迎风差分格式在物理系统中有着广泛的应用，比如水波传播、热传导、电磁场等。
它可以用来模拟物理系统中的活动边界，从而更好地理解物理系统的行为。
此外，迎风差分格式还可以用来解决复杂的活动边界抛物型方程，从而更好地模拟物理系统。
总之，迎风差分格式是一种非常有用的数值方法，它可以用来解决活动边界抛物型方程，并且可以用来模拟物理系统中的活动边界。
它的优点是，它可以很容易地解决复杂的活动边界抛物型方程，而且它的计算效率也很高。
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偏微分方程数值解复习提纲
一.基本内容:(1)椭圆型方程差分方法;(2)抛物型方程差分方法;(3)双曲型方程差分方法;(4)椭圆型方程的有限元方法.
二.基本概念:
(1)显式和隐式差分格式,网格比和加密路径;
(2)差分格式的截断误差、相容性、稳定性、收敛性、逼近精度阶和收敛阶;
(3)双曲型方程(组)的特征与Riemann不变量,差分格式的依赖区域和CFL条件;
(4)差分格式的增长因子和增长矩阵、振幅误差与相位误差、耗散与色散、群速度；
(5)双曲守恒方程的弱解与激波传播速度；
(6)守恒性与守恒型差分格式、有限体积法；
(7)差分格式的Fourier分析与L2稳定性、最大值原理与L∞稳定性、实用稳定性和强稳
定性、网格的P`e clet数;
(8)椭圆边值问题的变分形式与弱解、强制边界条件与自然边界条件；
(9)Galerkin方法与Ritz方法,协调与非协调有限元方法；
(10)有限元与有限元空间,有限元插值算子与插值函数,有限元方程与有限元解；
(11)有限元的仿射等价与等参等价,有限元剖分的正则性和拟一致性.
三.基本方法与技巧:
(1)比较函数与利用最大值原理的误差分析;
(2)Taylor展开、Fourier分析、最大值原理；
(3)修正方程分析、能量法分析；
(4)充分利用解的守恒性和特征,以及适当处理初始条件与边界条件；
(5)Sobolev空间及其基本性质，如嵌入定理、迹定理,Poincar´e-Friedrichs不等式;
(6)仿射等价、多项式不变算子、商空间与商范数、Sobolev空间半范数的关系;
(7)Aubin-Nische技巧,bramble-Hilbert引理,双线性引理.
四.基本格式:
(1)二维Poisson方程的五点差分格式;
(2)抛物型方程的显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson格式和θ-方法；
(3)具有热守恒性质的格式；
(4)ADI格式与LOD格式；
(5)双曲型方程的迎风格式、Lax-Wendroff格式、盒式格式和蛙跳格式；
(6)守恒型格式、有限体积格式；
(7)二阶椭圆型方程C0-类协调有限元方法.
五.基本定理与结论:
(1)最大值原理,比较定理;
(2)Lax等价定理;
(3)CFL条件、von Neumann条件、实用稳定性和强稳定性条件;
(4)Lax-Milgram引理、C´e a引理、第一和第二Strang引理；
(5)椭圆型方程有限元解的先验误差估计与收敛性.。