2021重庆中考26题专题复习及答案5

重庆中考数学26题专题复习
1、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．
（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；
（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC 于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；
①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；
①如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，
直接写出AG与EF的数量关系．
（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．
在Rt△ABE中，∵OB＝OE，
∴BE＝2OA＝2，
∵MB＝ME，
∴∠MBE＝∠MEB＝15°，
∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，
∵AB2+AE2＝BE2，
∴（2x+x）2+x2＝22，
∴x＝（负根已经舍弃），
∴AB＝AC＝（2+）•，
∴BC＝AB＝+1．
方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．
（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．
∵BE⊥AP，
∴∠AHB＝90°，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAH+∠P AC＝90°，
∴∠ABE＝∠P AC，
在△ABE和△CAP中，
，
∴△ABE≌△CAP，
∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，
在△DCF和△DCP中，
，
∴△DCF≌△DCP，
∴∠DFC＝∠P，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴GE＝GF，∵GM⊥EF，
∴FM＝ME，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
∴AM＝CM，
在△GAH和△GAM中，
，
∴△AGH≌△AGM，
∴AH＝AM＝CM＝AC
（3）解：结论：AG＝EF．
理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．
由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，
∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF，
∵△EFP是由△EFG翻折得到，
∴EG＝EP＝GF＝PF，
∴四边形EGFP是菱形，
∴PG⊥AC，OE＝OF，
∵AE＝CF，
∴AO＝OC，
∵AB∥OP，
∴BP＝PC，
∵PF∥BE，
∴EF＝CF＝AE，
∵PB＝PC，AO＝OC，
∴PO＝OG＝AB，
∴AB＝PG，AB∥PG，
∴四边形ABPG是平行四边形，
∴AG∥BC，
∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，
∴AG＝EF
2、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接
CD；
（1）如图1，求证：AB＝2CD；
（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．
解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，
∴AD＝CD，
∵∠ACB＝90°，
∴BC∥DE，
∴AD＝BD，
∴CD＝BD，
∴AB＝2CD；
（2）如图2，连接CH，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵DE⊥AC，
∴CH＝AH，
∴∠ACH＝∠CAH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵CF⊥AB，
∴∠BAC+∠ACF＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，
∠AHG＝2∠B
∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，
∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），
∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，
∴CH＝GH，
∵CH＝AH，
∴AH＝GH；
（3）如图3，
由（1）知，DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，
∴△BFC≌△DEA，
∴BC＝AD，
∵AD＝BD＝CD，
∴BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠B＝60°，
在Rt△ABC中，AC＝6，
∴BC＝2，AB＝4，
∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝60°，
∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，
在Rt△DFG中，DF＝，
∴FG＝1，DG＝2，
∴CG＝CF﹣FG＝2
过点H作HN⊥CF，
由（2）知，CH＝GH，
∴NG＝CG＝1，
∴FN＝NG+FG＝2，
过点H作HM⊥AB，
∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，
∴四边形NFMH是矩形，
∴HM＝FN＝2，
在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，
∴DH＝，
在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．
3、一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB
于点G，求证：△CDE≌△EGF．
（1）阅读理解，完成解答
本题证明的思路可用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；
（2）特殊位置，证明结论
若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；
（3）知识迁移，探究发现
如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）
（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴CE＝EF，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴∠CDE＝∠EGF＝90°，
在△CDE和△EGF中，
，
∴△CDE≌△EGF（AAS）；
（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠1，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠2，
在△ACE和△BEF中，
，
∴△ACE≌△BEF（AAS），
∴AE＝BF；
（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：
设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，
∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，
∴BH＝x，
∴CH＝BC﹣BH＝x，
∵EC＝EF，
∴FH＝CH＝x，
∴BF＝x﹣x＝x，
∴＝，
∴AE＝．。