四年级数学整数与数列知识点分析与例题解析
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四年级整数与数列主要内容及解题思路
一、等差数列公式:
末项=首项+(项数-1)×公差
项数=(末项-首项)÷公差+1
和=(首项+末项)×项数÷2;
如果项数为奇数,则:和=中间项×项数
如:1,3,5,7,9;和=5×5=25
二、分组思想
1、等差数列按固定个数依次分组,每组的和仍然是等差数列。
2、非等差数列按照一定的规则分组后,变成若干个等差数列。
三、平方差,平方和
a2-b2=(a+b)(a-b)
12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)÷6
四、常用计算技巧
⏹天下无双,个数平方
从1开始的连续奇数等差数列,和等于奇数个数的平方。
1+3+5+7+9=52=25(由5个奇数相加)
1+3+5=32=9(3个奇数相加)
⏹由从小到大,再从大到小的连续自然数相加,和等于中间最大
的自然数的平方。
如:
1+2+3+4+3+2+1=42=16(4是中间最大的数,两边的数从1
到3对称连续)
例题解析:
1、5,8,11,14,...,125,请问这个等差数列有多少项?
解题思路:
第一步:通过观察可以知道这个数列是一个等差数列,公差为3,首项是5,末项是125;
第二步:由项数=(末项-首项)÷公差+1公式可以求得结果。
项数=(125-5)÷3+1=41
2、4,7,10,13,...,请问这个数列的第25项是多少。
解题思路:
略。4+(25-1)×3=76
3、计算:1+3+5+...+59+60+59+57+...+5+3+1
解题思路
第一步:通过观察,这个求和的数列由三部分组成,分别是等差数列A+60+等差数列B
等差数列A
第二步:等差数列A和B仅仅是顺序不一样,A为递增的等差数列,B为递减的等差数列,因此这两个数列的和是相同的。
第三步:分别求各自的数列和:
等差数列A:先求项数,(59-1)÷2+1=30,然后求和,(59+1)×30÷2=900
等差数列B=等差数列A=900
第四步:求和,等差数列A+60+等差数列
B=900+60+900=1860
4、计算
12×11 - 11×10 + 10×9 - 9×8 + 8×7 - 7×6 +
6×5 - 5×4 + 4×3 - 3×2 + 2×1
解题思路:应用等差数列分组思想和提取公因式
第一步:观察数列
第二步:按照分组和提取公因式计算,可以得到:
原式=11×(12-10)+9×(10-8)+7×(8-6)+
5×(6-4)+3×(4-2)+2×1----分组
=11×2+9×2+7×2+5×2+3×2+1×2----提取公因式2
=2×(11+9+7+5+3+1)----直接计算或者应用等差数列公式
=2×((11+1)×6÷2)
=72
5、计算:502-492+482-472+...+22-12
解题思路:应用平方差公式
第一步:分析
第二步:原式=(50+49)(50-49)+(48+47)(48-47)+
(2+1)(2-1)
=(50+49)+(48+47)+...+(2+1)----去括号
=50+49+48+47+...+2+1----等差数列
=(1+50)×50÷2=1275
6、计算:12+22+32+42+52+62+72+82
解题思路:应用平方和公式,12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)÷6
n=8,原式=8(8+1)(2×8+1)÷6=8×9×17÷6=204
7,计算:62+72+82+...+232+242
解题思路:应用平方和公式,12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)÷6
第一步:题目不符合平方和公式,应采用补的方式,使题目符合平方和公式的要求。
原式=12+22+32+42+52+62+72+82+...+232+242
-(12+22+32+42+52)----先补后减,分别应用平方和公式
=24×(24+1)(24×2+1)÷6-5×(5+1)(5×2+1)÷6 =24×25×49÷6 - 5×6×11÷6
=4900 - 55
=4845