高一数学数列部分经典习题及答案

.数 列

一．数列的概念：

（1）已知*

2

()156n n a n N n =

∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125

）； （2）数列}{n a 的通项为1

+=bn an

a n ，其中

b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为__（答：n a <1+n a ）；

（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）

； 二．等差数列的有关概念：

1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

设{}n a 是等差数列，求证：以b n =

n

a a a n

+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：8

33

d <≤）

3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=

，1(1)

2

n n n S na d -=+

。 （1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+

≥∈，32n a =，前n 项和15

2

n S =-，求1a ，n （答：13a =-，10n =）；

（2）已知数列 {}n a 的前n 项和2

12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：

2*

2*

12(6,)1272(6,)

n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）. 三．等差数列的性质：

1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次

函数，且率为公差d ；前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，

则为常数列。

3．当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a +=.

（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____ （答：

27）

（2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则 A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021

,S S 都

大于0 C 、125,S S S 都小于0，67

,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122

,S S 都

大于0

（答：B ）

4．若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、

*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n

a a 成等比数列；

若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列. 等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。（答：225）

5．在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，

S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S S k k =+。如

（1）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；

（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

6．若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且

()n

n

A f n

B =，则 21

21

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. 如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3

41

3-+=

n n T S n n ，求

n n b a （答：62

87

n n --） 7．“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的

递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）； 法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。