62等差数列典型例题及详细解答

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示．

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .

3．等差中项

如果A ＝a ＋b 2

，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .

(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .

(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．

5．等差数列的前n 项和公式

设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2

d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系

S n ＝d 2

n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)．

7．等差数列的前n 项和的最值

在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )

(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ )

(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )

(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( × )

(5)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．( × )

(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ )

1．(2015·重庆)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．6

答案 B

解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.

2．(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )

A ．8

B ．10

C ．12

D ．14

答案 C

解析 由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22

×d ＝12， 解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.

3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )

A ．58

B ．88

C ．143

D ．176

答案 B

解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2

＝88. 4．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )

A ．14

B ．21

C ．28

D ．35

答案 C

解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4，

∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.

5．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．

答案 8

解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．

题型一 等差数列基本量的运算

例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )

A ．2

B ．10 C.52 D.54

(2)已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10等于( )

A ．100

B ．210

C ．380

D ．400

答案 (1)C (2)B

解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12

， 所以数列{a n }是首项为－2，公差为12

的等差数列， 所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52

. (2)因为a 2＝7，a 4＝15，所以d ＝4，a 1＝3，

故S 10＝10×3＋12

×10×9×4＝210. 思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．

(1)(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5

等于( )

A ．5

B ．7

C ．9

D ．11