高中数学-椭圆常考题型汇总及练习

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习

第一部分：复习运用的知识

（一）椭圆几何性质

椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数

()a 2(大于2

1F F ）的点的轨迹叫做椭圆.

两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

()c 2. 椭圆的几何性质:以

()012

2

22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122

22≤≤b

y a x ，即

b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用

于求最值、轨迹检验等问题.

2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--

4. 长轴、短轴：

21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.

5. 离心率

（1）椭圆焦距与长轴的比a

c

e =，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ∆,

2

22

22

22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且

22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.

（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=

越小，

椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而2

2c a b -=越大，椭圆越接近圆。

6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），a

b 2

2.

7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，

21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：

c F F a PF PF 2,22121==+.

（二）运用的知识点及公式

1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =

2、韦达定理：若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则

1212,b c x x x x a a

+=-=。

3、中点坐标公式：1212

,y 22

x x y y x ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，

则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

AB =

或者

AB =

（三）转方向：

方向一：向斜率转化，变为函数最值及最优解问题，或者变为不等式问题 方向二：向距离转化

第二部分：椭圆常考题型解题方法典例 一、椭圆定义相关题目

例1、已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩

⎪

⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

，且4≠k ．

说明：本题易出现如下错解：由⎩

⎨⎧<-<-,03,

05k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例2、已知1cos sin 2

2

=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在

y 轴上的椭圆，求α的取值范围．

解：方程可化为1cos 1sin 12

2=+α

αy x ． 因为焦点在

y 轴上，所以0sin 1

cos 1>>-

α

α． 因此0sin >α且1tan -<α从而)4

3

,2(ππα∈．

说明：(1)由椭圆的标准方程知

0sin 1>α，0cos 1

>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α

sin 12

=b ．

(3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．

例3、 以椭圆

13

122

2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须用点直线对称就可解决．

解：如图所示，焦点为()031，-F ，()032，F ．F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为

032=-+y x ．

解方程组⎩

⎨

⎧=+-=-+090

32y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．

所求椭圆的长轴：562221==+=

FF MF MF a ，

∴53=a ，又3=c ， ∴()

3635322

222

=-=-=c a b

．

因此，所求椭圆的方程为

136

452

2=+y x ． 二、椭圆与直线的位置关系及弦长相关题目 例4、 已知椭圆142

2

=+y x 及直线

m x y +=．

（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为

5

10

2，求直线的方程． 解：（1）把直线方程

m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得

()142

2=++m x x ，

即01252

2

=-++m mx x ．

()()

020*********

≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2

5

25≤

≤-

m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，

由（1）得5

221m

x x -=+，51221-=m x x ．

根据弦长公式得 ：5102514521122

2

=-⨯

-⎪⎭

⎫

⎝⎛-⋅+m m ． 解得0=m ．方程为x y =．

说明：对比直线与椭圆和直线与圆的位置关系问题及有关弦长问题的解题方法？．