东南大学 线性代数 第一章 向量代数 平面与直线
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§1.2 §1.3 §1.4
笛卡儿[法] RenéDescartes (1596.3-1650.2)
费马[法] Pierre de Fermat (1601.8-1665.1)
伯努利[瑞士] Johann Bernoulli (1667.7-1748.1)
拉格朗日[法] Joseph-Louis Lagrange (1736.1-1813.4)
z P1
O x
P1P2 = OP2OP1 P2 = (x2, y2, z2) (x1, y1, z1) y = (x2x1, y2y1, z2z1).
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
例2. 设两个定点为P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2), 若点P(x, y, z)把有向线段P1P2分成定比, 即P1P = PP2 ( 1), 求分点P的坐标.
欧拉[瑞士] Leonhard Euler
(1707.4-1783.9)
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
点的 共线共面 问题
向量的 共线共面 问题
向量 的 运算
坐标 的 运算
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算 一. 向量的概念及其表示 1.什么叫向量？ 2.怎样表示向量？ 3.向量有哪些要素？ 4.什么是自由向量？ 5.什么是一个向量的负向量？ 6.什么是零向量？
注: 一个非零向量在一个轴或另一个非零向量 上的投影为标量, 其值可能是正数, 可能是 负数, 也可能为零(取决于).
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
二. 两个向量的向量积
M
1. 物理背景.
2. 向量积(叉积, 外积)的定义. || || = |||| || ||sin
(2) 若向量 = 或 = , 则 · = 0.
注: · = 0 ( = 或 = 或与 垂直) 4. 内积的性质. (1)正定性: · = ||||20, 且 · = 0 = . (2)对称性: · = · . (3) (m)· = m( ·) = · ). (m (4) (+)· = · + ·.
§1.1 几何向量及其线性运算
三. 向量与数量的乘法 1.定义 注:① m = m = 0 或 = . ② (1) = . ③ 单位向量; 非零向量的单位化.
2.运算性质
① 1 = ; ② m(n) = (mn); ③ (m+n) = m + n; ④ m(+) = m + m.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
四. 共线、共面向量的判定 定理1.2 若向量, 不平行, 则 向量与, 共面 存在唯一的有序实数组(m, n), 使得 = m + n (即可以由, 线性表示). 推论1.2 向量1, 2 , 3共面 存在不全为零的实数k1, k2 , k3, 使得 k11+k22+k33 = (即1, 2, 3线性相关).
(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示. (2) 在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示. k1
= k1 + k2
k 2
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系 一. 仿射坐标系、直角坐标系 1. 线性表示
(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示. (2) 在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示.
设AS = AP, BT =
2 3
2 3 BQ,
往证点S与点T重合, 即AS = AT.
AS = 1 (AB+AC) = 1 AB+ 2 AQ = 1 AB+ 2 AB+ 2 BQ = AB+BT = AT 3 3 3 3 3 3
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
例2.设M是ABC的重心, O是ABC所在平面上 任意一点, 证明: 1 OM= 3 (OA+OB+OC). 3OM= OA+OB+OC (OMOA)+(OMOB)+(OMOC) = AM+BM+CM = 1 1 1 3 (AB+AC)+ 3 (BA+BC)+ 3 (CA+CB) =
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系 一. 仿射坐标系、直角坐标系 1. 线性表示
(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示.
= 2 ,
1 = . 2
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系 一. 仿射坐标系、直角坐标系 1. 线性表示
O
O
2
左手仿射坐标系 3. 直角坐标系{O; i, j, k}
i
2
右手仿射坐标系 k
O
j
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
二. 用坐标进行向量的线性运算 设 = (x1, x2, x3), = (y1, y2, y3), 则 k1+k2 = (k1x1+k2y1, k1x2+k2y2, k1x3+k2y3). 例1.设两个定点为P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2), 求 向量P1P2的坐标.
向量空间 (vector space)
模 (module)
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
例1.设P, Q分别是ABC的BC, AC边的中点, 2 AP与BQ交于点M. 证明: AM = 3 AP.
Awenku.baidu.com
Q S P
A
Q C
M
B P
T
C B
由条件可知: BC = 2BP, AC = 2AQ.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
注: · = 0 ( = 或 = 或与 垂直)
4. 内积的性质. (1)正定性: · = ||||20, 且 · = 0 = . (2)对称性: · = · . (3) (m)· = m( ·) = · ). (m (4) (+)· = · + ·.
y , x2+y2+z2
(3)与一个非零向量的方向余弦成比例的三个数 叫做此向量的方向数.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
8. 投影 向量AB在轴u上的投影为
A A B
(AB)u = ||AB||cos,
其中为向量AB与轴u的夹角.
B u u
因此, AB · = ||CD||(AB)CD. CD
第一章 向量代数 平面与直线
伯努利[瑞士] 笛卡儿[法] JohannDescartes René Bernoulli (1667.7-1748.1) (1596.3-1650.2)
欧拉[瑞士] 费马[法] Pierre de Fermat Leonhard Euler (1601.8-1665.1) (1707.4-1783.9)
6. 模, 夹角, 距离公式 (1)设 = (x, y, z), 则|||| = x2+y2+z2 .
(2)设非零向量 = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2) 之间的夹角为, 则 x1x2+y1y2+z1z2 · cos = = |||| |||| x12+y12+z12 x22+y22+z22 (3)点P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2)之间的距离为
5. 直角坐标系下向量内积的计算. (1) i2 = j2 = k2 = 1, i · = j · = k · = 0. j k i
(2)设 = (x1, x2, x3), = (y1, y2, y3), 则 · = x1y1+x2y2+x3y3.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
z P1 OPOP1 = (OP2OP ) P P2 OP1+OP2 OP = O 1+ y x x1+x2 y1+y2 z1+z2 , y= , z= . x= 1+ 1+ 1+
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积 一. 两个向量的数量积 1. 物理背景. 2. 两个非零向量之间的夹角.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
2.仿射坐标系{O; 1, 2, 3 } 坐标原点; 坐标向量(基); 坐标(分量); 坐标轴; 坐标平面;
3
O
卦限
2
1
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
2.仿射坐标系{O; 1, 2, 3 }
3 1 1
3
||P1P2|| = (x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
7. 方向角和方向余弦 (1)非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为 此向量的方向角; 方向角的余弦称为此 向量的方向余弦.
z C
P
B
z C
z
P
B O x A
F
r
其中为向量与之间的夹角.
3. 外积的几何意义.
注:向量与共线(平行) = . 特别地, = .
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
4. 外积的性质. (1)反对称性: = . (2) (m) = m() = (m). (3) (+) = + . 例1. 证明( ·)2+()2 = 2 2. 例2. 已知|||| = 3, |||| = 11, 且 k · = 30. 求|| ||. O 5. 用向量的坐标计算向量的外积. j i (1) ij = k, jk = i, ki = j, i ji = k, kj = i, ik = j, ii = jj = kk = . j k
3. 数量积(点积,内积)的定义. (1) 若非零向量与之间的夹角为, 则 · = |||| ||||cos
(2) 若向量 = 或 = , 则 · = 0.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
3. 数量积(点积,内积)的定义. (1) 若非零向量与之间的夹角为, 则 · = |||| ||||cos
P
O x A
y
O x
y
y
OP的方向角: =AOP, =BOP, =COP 方向余弦: cos, cos, cos
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
(2)向量xi+yj+zk的方向余弦 x , cos = cos = x2+y2+z2 z , cos = x2+y2+z2 cos2 + cos2 + cos2 = 1.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
二. 向量的加法
1.平行四边形法则的物理学背景 2.平行四边形法则与三角形法则的等价性 3.向量加法有哪些运算性质？
①交换律; ②结合律; ③存在零向量; 阿贝尔群 (Abelian group)
④每个向量都有反向量.
第一章 向量代数 平面与直线
定理1.3 在空间中取定三个不共面的向量1, 2, 3, 则对空间中任一向量都存在唯一的 有序实数组(x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
P
3
O
M
Q
2
1
定理1.3 在空间中取定三个不共面的向量1, 2, 3, 则对空间中任一向量都存在唯一的 有序实数组(x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.
A
O
M
B C
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
四. 共线、共面向量的判定 1.定义 定理1.1 设向量, 则 向量与共线 存在唯一的实数m使得 = m (即可以由 线性表示). 推论1.1 向量1, 2共线 存在不全为零的实数k1, k2使得 k11+k22 = (即1, 2线性相关).
笛卡儿[法] RenéDescartes (1596.3-1650.2)
费马[法] Pierre de Fermat (1601.8-1665.1)
伯努利[瑞士] Johann Bernoulli (1667.7-1748.1)
拉格朗日[法] Joseph-Louis Lagrange (1736.1-1813.4)
z P1
O x
P1P2 = OP2OP1 P2 = (x2, y2, z2) (x1, y1, z1) y = (x2x1, y2y1, z2z1).
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
例2. 设两个定点为P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2), 若点P(x, y, z)把有向线段P1P2分成定比, 即P1P = PP2 ( 1), 求分点P的坐标.
欧拉[瑞士] Leonhard Euler
(1707.4-1783.9)
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
点的 共线共面 问题
向量的 共线共面 问题
向量 的 运算
坐标 的 运算
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算 一. 向量的概念及其表示 1.什么叫向量？ 2.怎样表示向量？ 3.向量有哪些要素？ 4.什么是自由向量？ 5.什么是一个向量的负向量？ 6.什么是零向量？
注: 一个非零向量在一个轴或另一个非零向量 上的投影为标量, 其值可能是正数, 可能是 负数, 也可能为零(取决于).
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
二. 两个向量的向量积
M
1. 物理背景.
2. 向量积(叉积, 外积)的定义. || || = |||| || ||sin
(2) 若向量 = 或 = , 则 · = 0.
注: · = 0 ( = 或 = 或与 垂直) 4. 内积的性质. (1)正定性: · = ||||20, 且 · = 0 = . (2)对称性: · = · . (3) (m)· = m( ·) = · ). (m (4) (+)· = · + ·.
§1.1 几何向量及其线性运算
三. 向量与数量的乘法 1.定义 注:① m = m = 0 或 = . ② (1) = . ③ 单位向量; 非零向量的单位化.
2.运算性质
① 1 = ; ② m(n) = (mn); ③ (m+n) = m + n; ④ m(+) = m + m.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
四. 共线、共面向量的判定 定理1.2 若向量, 不平行, 则 向量与, 共面 存在唯一的有序实数组(m, n), 使得 = m + n (即可以由, 线性表示). 推论1.2 向量1, 2 , 3共面 存在不全为零的实数k1, k2 , k3, 使得 k11+k22+k33 = (即1, 2, 3线性相关).
(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示. (2) 在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示. k1
= k1 + k2
k 2
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系 一. 仿射坐标系、直角坐标系 1. 线性表示
(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示. (2) 在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示.
设AS = AP, BT =
2 3
2 3 BQ,
往证点S与点T重合, 即AS = AT.
AS = 1 (AB+AC) = 1 AB+ 2 AQ = 1 AB+ 2 AB+ 2 BQ = AB+BT = AT 3 3 3 3 3 3
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
例2.设M是ABC的重心, O是ABC所在平面上 任意一点, 证明: 1 OM= 3 (OA+OB+OC). 3OM= OA+OB+OC (OMOA)+(OMOB)+(OMOC) = AM+BM+CM = 1 1 1 3 (AB+AC)+ 3 (BA+BC)+ 3 (CA+CB) =
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系 一. 仿射坐标系、直角坐标系 1. 线性表示
(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示.
= 2 ,
1 = . 2
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系 一. 仿射坐标系、直角坐标系 1. 线性表示
O
O
2
左手仿射坐标系 3. 直角坐标系{O; i, j, k}
i
2
右手仿射坐标系 k
O
j
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
二. 用坐标进行向量的线性运算 设 = (x1, x2, x3), = (y1, y2, y3), 则 k1+k2 = (k1x1+k2y1, k1x2+k2y2, k1x3+k2y3). 例1.设两个定点为P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2), 求 向量P1P2的坐标.
向量空间 (vector space)
模 (module)
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
例1.设P, Q分别是ABC的BC, AC边的中点, 2 AP与BQ交于点M. 证明: AM = 3 AP.
Awenku.baidu.com
Q S P
A
Q C
M
B P
T
C B
由条件可知: BC = 2BP, AC = 2AQ.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
注: · = 0 ( = 或 = 或与 垂直)
4. 内积的性质. (1)正定性: · = ||||20, 且 · = 0 = . (2)对称性: · = · . (3) (m)· = m( ·) = · ). (m (4) (+)· = · + ·.
y , x2+y2+z2
(3)与一个非零向量的方向余弦成比例的三个数 叫做此向量的方向数.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
8. 投影 向量AB在轴u上的投影为
A A B
(AB)u = ||AB||cos,
其中为向量AB与轴u的夹角.
B u u
因此, AB · = ||CD||(AB)CD. CD
第一章 向量代数 平面与直线
伯努利[瑞士] 笛卡儿[法] JohannDescartes René Bernoulli (1667.7-1748.1) (1596.3-1650.2)
欧拉[瑞士] 费马[法] Pierre de Fermat Leonhard Euler (1601.8-1665.1) (1707.4-1783.9)
6. 模, 夹角, 距离公式 (1)设 = (x, y, z), 则|||| = x2+y2+z2 .
(2)设非零向量 = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2) 之间的夹角为, 则 x1x2+y1y2+z1z2 · cos = = |||| |||| x12+y12+z12 x22+y22+z22 (3)点P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2)之间的距离为
5. 直角坐标系下向量内积的计算. (1) i2 = j2 = k2 = 1, i · = j · = k · = 0. j k i
(2)设 = (x1, x2, x3), = (y1, y2, y3), 则 · = x1y1+x2y2+x3y3.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
z P1 OPOP1 = (OP2OP ) P P2 OP1+OP2 OP = O 1+ y x x1+x2 y1+y2 z1+z2 , y= , z= . x= 1+ 1+ 1+
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积 一. 两个向量的数量积 1. 物理背景. 2. 两个非零向量之间的夹角.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
2.仿射坐标系{O; 1, 2, 3 } 坐标原点; 坐标向量(基); 坐标(分量); 坐标轴; 坐标平面;
3
O
卦限
2
1
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
2.仿射坐标系{O; 1, 2, 3 }
3 1 1
3
||P1P2|| = (x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
7. 方向角和方向余弦 (1)非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为 此向量的方向角; 方向角的余弦称为此 向量的方向余弦.
z C
P
B
z C
z
P
B O x A
F
r
其中为向量与之间的夹角.
3. 外积的几何意义.
注:向量与共线(平行) = . 特别地, = .
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
4. 外积的性质. (1)反对称性: = . (2) (m) = m() = (m). (3) (+) = + . 例1. 证明( ·)2+()2 = 2 2. 例2. 已知|||| = 3, |||| = 11, 且 k · = 30. 求|| ||. O 5. 用向量的坐标计算向量的外积. j i (1) ij = k, jk = i, ki = j, i ji = k, kj = i, ik = j, ii = jj = kk = . j k
3. 数量积(点积,内积)的定义. (1) 若非零向量与之间的夹角为, 则 · = |||| ||||cos
(2) 若向量 = 或 = , 则 · = 0.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
3. 数量积(点积,内积)的定义. (1) 若非零向量与之间的夹角为, 则 · = |||| ||||cos
P
O x A
y
O x
y
y
OP的方向角: =AOP, =BOP, =COP 方向余弦: cos, cos, cos
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
(2)向量xi+yj+zk的方向余弦 x , cos = cos = x2+y2+z2 z , cos = x2+y2+z2 cos2 + cos2 + cos2 = 1.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
二. 向量的加法
1.平行四边形法则的物理学背景 2.平行四边形法则与三角形法则的等价性 3.向量加法有哪些运算性质？
①交换律; ②结合律; ③存在零向量; 阿贝尔群 (Abelian group)
④每个向量都有反向量.
第一章 向量代数 平面与直线
定理1.3 在空间中取定三个不共面的向量1, 2, 3, 则对空间中任一向量都存在唯一的 有序实数组(x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
P
3
O
M
Q
2
1
定理1.3 在空间中取定三个不共面的向量1, 2, 3, 则对空间中任一向量都存在唯一的 有序实数组(x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.
A
O
M
B C
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
四. 共线、共面向量的判定 1.定义 定理1.1 设向量, 则 向量与共线 存在唯一的实数m使得 = m (即可以由 线性表示). 推论1.1 向量1, 2共线 存在不全为零的实数k1, k2使得 k11+k22 = (即1, 2线性相关).