东南大学 线性代数 第一章 向量代数 平面与直线
大一线性代数知识点大纲

大一线性代数知识点大纲线性代数是大一学生数学学科中的一门重要课程,它是现代数学和其他学科的基础,也是理解和应用许多高级数学和工程科学课程的关键。
下面是大一线性代数课程的知识点大纲。
第一章:向量与矩阵基础知识1. 向量的定义和性质2. 向量的加法和数乘3. 空间中的点与向量4. 向量的表示与运算5. 矩阵的定义和性质6. 矩阵的加法和数乘7. 矩阵的乘法8. 线性方程组与矩阵方程第二章:线性方程组与矩阵变换1. 线性方程组的解集2. 线性方程组的矩阵表示3. 齐次线性方程组和齐次线性方程组的解集4. 线性方程组的等价变换5. 线性方程组的求解方法(高斯消元法、矩阵消元法)6. 矩阵的行列式和性质7. 逆矩阵与矩阵的可逆性8. 矩阵的转置、伴随矩阵和正交矩阵第三章:向量空间和子空间1. 向量空间的定义和性质2. 子空间的定义和判定3. 子空间的交集和和空间4. 线性相关和线性无关5. 基底和维数6. 坐标和基底变换7. 基变换的矩阵表示8. 基变换和线性变换第四章:向量的内积和正交性1. 向量的内积和性质2. 柯西-施瓦茨不等式和三角不等式3. 正交向量组和正交基4. 施密特正交化方法5. 格拉姆-施密特过程6. 向量在非标准正交基下的坐标表示第五章:特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义2. 特征值与特征向量的计算方法3. 特征值与矩阵的性质4. 对角化和相似矩阵5. 对称矩阵的对角化6. 正交矩阵和正交相似7. 线性变换的特征值问题第六章:线性变换和线性映射1. 线性变换的定义和性质2. 线性变换和矩阵的关系3. 线性变换与基变换的矩阵表示4. 线性变换的合成与逆5. 线性变换和坐标变换6. 线性变换的核、像和秩7. 线性映射的定义和性质8. 线性映射的矩阵表示和变换以上是大一线性代数课程的知识点大纲。
掌握这些基础知识将为学生在后续的学习和应用中打下坚实的基础。
在学习过程中,要注重理论与实践相结合,通过习题和实际问题的解决,加深对线性代数的理解和应用能力。
高等数学第1章向量代数、空间中的直线与平面

二、向量积 1、引例 力矩 = × ⃗
2、定义 向量积(矢量积)
⃗ × 大小: ⃗ × = ⃗ sin ⃗ , 方向:与 ⃗ , 都垂直,且 ⃗ , , ⃗ × 构成右手系
注 (1) 向量积是一个向量而非数量. (2) ⃗ ⃗ × = 0,规定 0 与任意向量都平行. (3) ⃗ × ⃗ = 0.
= (& − & , ' − ' , ( − ( ).
二、向量的坐标运算
设 = (& , ' , ( ), = (& , ' , ( ), + = &+ , '+ , (+ , ⃗ = (& , ' , (). (1) 加(减)法 ± = (& ± & , ' ±' , ( ± ( )
(2) 数乘向量 λ ⃗ = ( & , ' , ()
(2) ( ⃗ × ) ∙ ⃗ = ( × ⃗) ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ( × ⃗).
1.5 向量的坐标
一、向量的坐标 1、自由向量 起点为原点,则向量 被唯一确定, 称 为点 P 的径向或定位向量. 2、空间点集与向量集一一对应
!
P V3 3、向量的坐标
空间直角坐标系 {O ; x , y , z}," , # , $ 为单位向量. (1) 设 P (x , y , z), = %⃗,则 %⃗ = &" + '# + ($,记 %⃗ = (& , ' , (); (2) 设 = (& , ' , ( ), = (& , ' , ( ),则
线性代数第一章

根据二阶行列式的定义, 上述二阶线性方程组的解可以表示成
x1
=
b1a22 a11a22
− a12b2 − a12a21
=
b1 a12 b2 a22
a11 a12 a21 a22
,
x2
=
a11b2 − b1a21 a11a22 − a12a21
=
a11 b1 a21 b2 . a11 a12 a21 a22
推论1 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调换成标准排列的对换次数为偶数.
推论2 n个元素的排列总数共有n!个, 其中奇偶排列各占一半(n > 1).
证明: 设奇排列有p个, 偶排列有q个. 设想将每一个奇排列都施以同一对换, 则p个奇排列全部变为偶 排列, 且互不相同, 从而p ≤ q; 同理可证q ≤ p, 从而p = q. 2
a11 · · · a1n−1 a1n
D=
a21 ...
··· ...
a2n−1
.
an1
0
解: 由行列式定义, 有
D = (−1)τ (p1p2···pn)a1p1 a2p2 · · · anpn ,
易见, 上式各项仅当pn ≤ 1, pn−1 ≤ 2, · · · , p1 ≤ n时可能不为零, 因此, 上述和式中可能的不为零的项 的pn只能取1, pn−1只能取2, 类似的, p1只能取n, 即上述和式中仅有一项: a1na2n−1 · · · an1 可能不为 零, 故
= a11a22 − a12a21
为上述数表所确定的二阶行列式.
说明: 行列式是一个数. aij的第一个下标i为行标, 表示元素aij所在的行; aij的第二个下标j为列标, 表 示元素aij所在的列; aij称为行列式的(i, j)元. 并称连接数表左上角与右下角元素的线为主对角线; 连 接右上角与左下角元素的线为副对角线.
线性代数第一章ppt

目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支,主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具,用于解决各种实际 问题中的线性关系问题,如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的,且对于任意 向量a,存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律,即对于任意向量a和b,存在唯一 的和向量a+b;且对于任意三个向量a、 b和c,(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律,即对于任意标量k和l,任意向量a 和b,存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律,例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律,例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用,例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量,通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长,即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义, 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵,但对于大规模矩阵 来说效率较低。
大一线性代数第一章知识点

大一线性代数第一章知识点线性代数是现代数学的一个重要分支,它研究向量空间和线性映射之间的关系。
在大一的线性代数课程中,第一章是介绍向量和矩阵的基本概念。
以下将对第一章的几个知识点进行论述。
一、向量的定义和性质在线性代数中,向量是一个有大小和方向的量。
它可以用一个有序的数组表示,每个数组元素代表向量在某个坐标轴上的分量。
向量有很多基本性质,包括加法、数乘、模长等。
其中,向量的加法和数乘是线性代数中最基本的运算。
向量的加法满足交换律和结合律,数乘满足结合律和分配律。
二、向量空间的定义和性质向量空间是指具有加法和数乘运算的集合,满足一定的公理。
在线性代数中,向量空间是向量运算的集合,它具有许多基本性质。
向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算,并且满足一些规律,如交换律、结合律和分配律等。
三、矩阵的定义和性质矩阵是线性代数中另一个重要的概念。
它由若干行和列组成的矩形阵列。
矩阵可以表示为一个矩阵元素的矩阵,每个矩阵元素代表矩阵在某个位置上的值。
矩阵有许多基本性质,包括加法、数乘、乘法等。
矩阵的加法和数乘满足一些基本规律,如交换律和结合律。
矩阵的乘法是线性代数中比较复杂的运算,它是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵,满足一定的规律。
四、矩阵的行列式和逆矩阵行列式是一个与矩阵相关的数值,它可以用来判断一个矩阵的特征。
对于一个n阶矩阵,它的行列式是一个数值,代表了矩阵的一些性质。
行列式有一些基本性质,如反演性、行列式的性质和行列式的计算方法等。
逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
只有非奇异矩阵才有逆矩阵,奇异矩阵没有逆矩阵。
矩阵的逆矩阵具有一些基本性质,如逆矩阵的性质和逆矩阵的计算方法等。
五、线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的一个重要概念,它由一系列线性方程组成。
线性方程组的解是指使得方程组成立的未知数的值。
线性方程组的解法有很多种,包括高斯消元法、矩阵求逆法和向量法等。
高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法,它通过一系列消元和代入操作,将方程组转化为简化的阶梯形矩阵,进而求得方程组的解。
第一章 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示[学习目标]1.会用向量语言描述直线和平面.2.理解直线的方向向量和平面的法向量3.会求直线的方向向量和平面的法向量.(重点)导语牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构,一般较高大.如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢?一、空间中点的向量和直线的向量表示问题1在空间中,如何用向量表示空间中的一个点?提示在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP →来表示,我们把向量OP →称为点P 的位置向量.问题2空间中给定一个点A 和一个方向就能唯一确定一条直线l .如何用向量表示直线l ?提示如图1,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB →=a ,设P 是直线l 上的任意一点,由向量共线的条件可知,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP →=t a ,即AP →=tAB →.如图2,取定空间中的任意一点O ,可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP →=OA →+t a ,①将AB →=a 代入①式,得OP →=OA →+tAB →.②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.知识梳理1.设A 是直线l 上一点,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB →=a ,设P 是直线l 上任意一点,(1)点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP →=t a ,即AP →=tAB →.(2)取定空间中的任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP →=OA →+t a ,即OP →=OA →+tAB →.2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.注意点:(1)空间中,一个向量成为直线l 的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l 平行或重合.(2)与直线l 平行或重合的任意非零向量a 都是直线l 的方向向量,且直线l 的方向向量有无数个.例1(1)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,棱长为1,则直线DD 1的一个方向向量为________,直线BC 1的一个方向向量为________.答案(0,0,1)(0,1,1)(答案不唯一)解析因为DD 1∥AA 1,AA 1—→=(0,0,1),故直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1);因为BC 1∥AD 1,AD 1—→=(0,1,1),故直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1).(2)已知直线l 的一个方向向量m =(2,-1,3),且直线l 过A (0,y ,3)和B (-1,2,z )两点,则y -z 等于()A .0B .1C.32D .3答案A解析∵A (0,y ,3),B (-1,2,z ),∴AB →=(-1,2-y ,z -3),∵直线l 的一个方向向量为m =(2,-1,3),故设AB →=k m .1=2k ,-y =-k ,-3=3k .=-12,=32,=32.∴y -z =0.反思感悟理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.(2)直线的方向向量不唯一.跟踪训练1(1)(多选)若M (1,0,-1),N (2,1,2)在直线l 上,则直线l 的一个方向向量是()A .(2,2,6)B .(1,1,3)C .(3,1,1)D .(-3,0,1)答案AB解析∵MN →=(1,1,3),M ,N 在直线l 上,∴向量(1,1,3),(2,2,6)都是直线l 的一个方向向量.(2)已知直线l 1的方向向量a =(2,-3,5),直线l 2的方向向量b =(-4,x ,y ),若a ∥b ,则x ,y 的值分别是()A .6和-10B .-6和10C .-6和-10D .6和10答案A解析因为a ∥b ,a =(2,-3,5),则存在唯一的实数λ,使得b =λa ,即(-4,x ,y )=λ(2,-3,5)=(2λ,-3λ,5λ),4=2λ,=-3λ,=5λ,=-2,=6,=-10,所以x ,y 的值分别是6和-10.二、空间中平面的向量表示知识梳理1.如图,设两条直线相交于点O ,它们的方向向量分别为a 和b ,P 为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x ,y ),使得OP →=x a +y b .2.如图,取定空间任意一点O ,空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ,y ,使OP →=OA →+xAB →+yAC →.我们把这个式子称为空间平面ABC 的向量表示式.3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.如图,直线l ⊥α,取直线l 的方向向量a ,我们称向量a 为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a ,那么过点A ,且以向量a 为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P |a ·AP →=0}.注意点:(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.(2)一个平面的法向量有无限多个,它们互相平行.课本例1如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =4,BC =3,CC 1=2,M 是AB 的中点.以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求平面BCC 1B 1的法向量;(2)求平面MCA 1的法向量.解(1)因为y 轴垂直于平面BCC 1B 1,所以n 1=(0,1,0)是平面BCC 1B 1的一个法向量.(2)因为AB =4,BC =3,CC 1=2,M 是AB 的中点,所以M ,C ,A 1的坐标分别为(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此MC →=(-3,2,0),MA 1—→=(0,-2,2).设n 2=(x ,y ,z )是平面MCA 1的法向量,则n 2⊥MC →,n 2⊥MA 1—→.2·MC →=-3x +2y =0,2·MA 1—→=-2y +2z =0.=23z ,=z .取z =3,则x =2,y =3.于是n 2=(2,3,3)是平面MCA 1的一个法向量.例2已知四边形ABCD 是直角梯形,∠ABC =90°,SA ⊥平面ABCD ,SA =AB =BC =2,AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中,分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量.解答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即为该平面的法向量).∵D (1,0,0),C (2,2,0),S (0,0,2),∴DC →=(1,2,0),DS →=(-1,0,2),设平面SCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),·DC →=x +2y =0,·DS →=-x +2z =0,令x =1,解得y =-12,z =12,∴n ,-12,即平面SCD 的一个法向量为n ,-12,∵x 轴⊥平面SAB ,∴m =(1,0,0)即为平面SAB 的一个法向量.反思感悟求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC 的法向量时,要选取平面内两个不共线向量,如AC →,AB →.(2)设平面的法向量为n =(x ,y ,z ).(3)·AC →=0,·AB →=0,并求解.(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系,设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.跟踪训练2在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为棱A 1D 1,A 1B 1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:(1)平面BDD 1B 1的一个法向量;(2)平面BDEF 的一个法向量.解设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则D (0,0,0),B (2,2,0),D 1(0,0,2),E (1,0,2),(1)设平面BDD 1B 1的一个法向量为n =(x 1,y 1,z 1),∵DB →=(2,2,0),DD 1—→=(0,0,2),·n =0,1→·n =0,x 1+2y 1=0,z 1=0,令x 1=1,则y 1=-1,z 1=0,∴平面BDD 1B 1的一个法向量为n =(1,-1,0).(答案不唯一)(2)∵DB →=(2,2,0),DE →=(1,0,2),设平面BDEF 的一个法向量为m =(x 2,y 2,z 2).·m =0,·m =0,x 2+2y 2=0,2+2z 2=0,令x 2=2,则y 2=-2,z 2=-1,∴平面BDEF 的一个法向量为m =(2,-2,-1).(答案不唯一)1.知识清单:(1)空间中点、直线、平面的向量表示.(2)直线的方向向量.(3)平面的法向量.2.方法归纳:待定系数法、赋值法.3.常见误区:不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性.1.若A (-1,0,1),B (1,4,7)在直线l 上,则直线l 的一个方向向量为()A .(1,2,3)B .(1,3,2)C .(2,1,3)D .(3,2,1)答案A解析因为AB →=(2,4,6),所以(1,2,3)是直线l 的一个方向向量.2.(多选)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,以下向量可以作为平面ABC 法向量的是()A.AB →B.AA 1—→C.B 1B —→D.A 1C 1—→答案BC3.若n =(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是()A .(0,-3,1)B .(2,0,1)C .(-2,-3,1)D .(-2,3,-1)答案D解析由题意可得要求平面α的一个法向量,即求与n 共线的一个向量.易知(2,-3,1)=-(-2,3,-1).4.已知平面α经过点O (0,0,0),且e =(1,2,-3)是α的一个法向量,M (x ,y ,z )是平面α内任意一点,则x ,y ,z 满足的关系式是________________.答案x +2y -3z =0解析由题意得e ⊥OM →,则OM →·e =(x ,y ,z )·(1,2,-3)=0,故x +2y -3z =0.1.已知向量a =(2,-1,3)和b =(-4,2x 2,6x )都是直线l 的方向向量,则x 的值是()A .-1B .1或-1C .-3D .1答案A解析由题意得a ∥b ,x 2=2,x =-6,解得x =-1.2.向量n =(1,-1,1)为平面α的一个法向量,则下列向量中,也是平面α的一个法向量的是()A .(-1,0,1)B .(-1,1,-1)C .(-1,-1,-1)D .(1,1,-1)答案B解析非零向量(-1,1,-1)与n 平行,故(-1,1,-1)也是平面α的一个法向量,而A ,C ,D 中向量均不与向量n 平行,所以不能作为平面α的一个法向量.3.已知向量AB →=(2,4,x ),平面α的一个法向量n =(1,y ,3),若AB ⊂α,则()A .x =6,y =2B .x =2,y =6C .3x +4y +2=0D .4x +3y +2=0答案C解析由题意可知AB →·n =0,可得3x +4y +2=0.4.已知A (1,1,0),B (1,0,1),C (0,1,1),则平面ABC 的一个单位法向量是()A .(1,1,1),33,,13,,33,-答案B解析设平面ABC 的法向量为n =(x ,y ,z ),又AB →=(0,-1,1),BC →=(-1,1,0),·n =-y +z =0,·n =-x +y =0.∴x =y =z ,又∵单位向量的模为1,故只有B 正确.5.已知平面α内有一个点A (2,-1,2),它的一个法向量为n =(3,1,2),则下列点P 中,在平面α内的是()A .(1,-1,1),3,-31,3答案B解析对于选项A ,PA →=(1,0,1),则PA →·n =(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A ;对于选项B ,PA →,-4则PA →·n ,-4=0,故B 正确;同理可排除C ,D.6.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,则下列结论正确的是()A .直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)B .直线BC 1的一个方向向量为(0,-1,-1)C .平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)D .平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)答案ABC解析不妨设正方体的棱长为1,则DD 1—→=(0,0,1),故A 正确;C 1(1,1,1),B (1,0,0),BC 1—→=(0,1,1),向量(0,-1,-1)与向量(0,1,1)平行,故B 正确;AD ⊥平面ABB 1A 1,而AD →=(0,1,0),故C 正确;如图,连接BC ,A 1D ,AD 1,则平面B 1CD 即为平面B 1CDA 1,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD 1⊥A 1D ,由CD ⊥平面DAA 1D 1,AD 1⊂平面DAA 1D 1,得CD ⊥AD 1,又CD ∩A 1D =D ,CD ,A 1D ⊂平面B 1CDA 1,所以AD 1⊥平面B 1CDA 1,而AD 1—→=(0,1,1),即平面B 1CD 的一个法向量为(0,1,1),而向量(0,1,1)与向量(1,1,1)不平行,故D 错误.7.在空间直角坐标系中,两平面α与β分别以n 1=(2,1,1)与n 2=(0,2,1)为其法向量,若α∩β=l ,则直线l 的一个方向向量为________.(写出一个方向向量的坐标)答案1,-答案不唯一)解析设直线l 的方向向量为d =(x ,y ,z )⊥n 1,⊥n 2,x +y +z =0,y +z =0,令y =1,则z =-2,x =12,所以直线l 的一个方向向量为d 1,-8.已知A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),若点P (a ,1,1)在平面ABC 内,则a =________.答案-1解析设平面ABC 的法向量是n =(x ,y ,z ),又AB →=(-1,1,0),AC →=(-1,0,1),·AB →=-x +y =0,·AC →=-x +z =0,取x =1,得n =(1,1,1),因为P (a ,1,1)在平面ABC 内,则n ·AP →=a -1+1+1=0,解得a =-1.9.已知A (2,2,2),B (2,0,0),C (0,2,-2).(1)写出直线BC 的一个方向向量;(2)设平面α经过点A ,且BC →是α的法向量,M (x ,y ,z )是平面α内的任意一点,试写出x ,y ,z 满足的关系式.解(1)∵B (2,0,0),C (0,2,-2),∴BC →=(-2,2,-2),即(-2,2,-2)为直线BC 的一个方向向量.(答案不唯一)(2)由题意得AM →=(x -2,y -2,z -2),∵BC →⊥平面α,AM ⊂α,∴BC →⊥AM →,则BC →·AM →=0,∴(-2,2,-2)·(x -2,y -2,z -2)=0.∴-2(x -2)+2(y -2)-2(z -2)=0.化简得x -y +z -2=0.10.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC =1,E 是PC 的中点,求平面EDB 的一个法向量.解建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得D (0,0,0),,12,B (1,1,0),于是DE →,12,DB →=(1,1,0).设平面EDB 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ⊥DE →,n ⊥DB →,·DE →=12y +12z =0,·DB →=x +y =0,取x =1,则y =-1,z =1,故平面EDB 的一个法向量为n =(1,-1,1).(答案不唯一)11.在三棱锥P -ABC 中,CP ,CA ,CB 两两垂直,AC =CB =1,PC =2,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量是平面PAB 的一个法向量的是(),1B .(1,2,1)C .(1,1,1)D .(2,-2,1)答案A 解析因为PA →=(1,0,-2),AB →=(-1,1,0),设平面PAB 的法向量为n =(x ,y ,1),·PA →=0,·AB →=0,-2=0,x +y =0,=2,=2,所以n =(2,2,1).,1=12n ,因此,平面PAB ,112.(多选)已知直线l 1的方向向量a =(2,4,x ),直线l 2的方向向量b =(2,y ,2),若|a |=6,且a ⊥b ,则x +y 的值是()A .1B .-1C .3D .-3答案AD 解析因为|a |=22+42+x 2=6,所以x =±4.因为a ⊥b ,所以a ·b =2×2+4y +2x =0,即y =-1-12x ,所以当x =4时,y =-3;当x =-4时,y =1.所以x +y =1或x +y =-3.13.从点A (2,-1,7)沿向量a =(8,9,-12)的方向取线段长|AB →|=34,则B 点的坐标为()A .(18,17,-17) B.(-14,-19,17),72, D.2,-112,答案A 解析设B 点坐标为(x ,y ,z ),则AB →=λa (λ>0),即(x -2,y +1,z -7)=λ(8,9,-12),因为|AB →|=34,即64λ2+81λ2+144λ2=34,解得λ=2,所以x =18,y =17,z =-17.14.若,2,-1C 2,1α内三点,设平面α的一个法向量为a =(x ,y ,z ),则x ∶y ∶z =________.答案2∶3∶(-4)解析由已知得,AB →,-3AC →2,-1∵a 是平面α的法向量,∴a ·AB →=0,a ·AC →=0,-3y -74z =0,2x -y -74z =0,=23y ,=-43y ,∴x ∶y ∶z =23y ∶y -43y 2∶3∶(-4).15.(多选)已知平面α内两向量a =(1,1,1),b =(0,2,-1),且c =m a +n b +(4,-4,1),若c 为平面α的一个法向量,则()A .m =-1B .m =1C .n =2D .n =-2答案AC 解析c =m a +n b +(4,-4,1)=(m ,m ,m )+(0,2n ,-n )+(4,-4,1)=(m +4,m +2n -4,m -n +1),由c 为平面α·a =0,·b =0,+4+m +2n -4+m -n +1=0,(m +2n -4)-(m -n +1)=0,=-1,=2.16.已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,如果AB →=(2,-1,-4),AD →=(4,2,0),AP →=(-1,2,-1).(1)求证:AP →是平面ABCD 的法向量;(2)求平行四边形ABCD 的面积.(1)证明因为AP →·AB →=(-1,2,-1)·(2,-1,-4)=0,AP →·AD →=(-1,2,-1)·(4,2,0)=0,所以AP ⊥AB ,AP ⊥AD .又AB ∩AD =A ,所以AP ⊥平面ABCD .所以AP →是平面ABCD 的法向量.(2)解因为|AB →|=22+(-1)2+(-4)2=21,|AD →|=42+22+02=25,AB →·AD →=(2,-1,-4)·(4,2,0)=6,所以cos 〈AB →,AD →〉=621×25=335,故sin 〈AB →,AD →〉=3235,S ▱ABCD =|AB →|·|AD →|sin 〈AB →,AD →〉=8 6.。
向量代数平面与直线

注: 轮换对称性.
()· = ( )· = ()· .
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
3. 性质.
(1) (, , ) = 0.
(2) (, , ) = (, , ).
(3) (1+2, , ) = (1, , ) + (2, , ). (4) (m, , ) = m(, , ), 其中m为一实数.
§1.2 空间坐标系
2.仿射坐标系{O; 1, 2, 3 }
坐标原点; 坐标向量(基); 坐标轴; 坐标(分量)
坐标平面; 卦限; 左(右)手仿射坐标系
3
O
1
3. 直角坐标系{O; i, j, k}
2 k
O
j
i
注: 建立了空间坐标系后, 空间内的全体向量所成的集
合与集合{(x,y,z)|x,y,zR}之间就有了一一对应. 而
第一章 向量代数 平面与直线
一.向量的概念及其表示 ➢ 1.1 几何向量及其线性运算 ➢ 什么叫向量? ➢ 怎样表示向量? ➢ 向量有哪些要素? ➢ 什么是自由向量? ➢ 什么是一个向量的负向量? ➢ 什么是零向量?
§1.2 §1.3 §1.4
第一章 向量代数 平面与直线
二. 向量的加法
§1.1 几何向量及其线性运算
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
例2.设M是ABC的重心, O是ABC所在平面上
任意一点, 证明:
OM= 13(OA+OB+OC).
3OM= OA+OB+OC
(OMOA)+(OMOB)+(OMOC) =
AM+BM+CM =
线性代数各章知识点概述

线性代数辅导东南大学数学系2006年11月目录第一部分行列式第二部分矩阵的运算第三部分矩阵的初等变换和矩阵的秩第四部分向量组的线性相关性和向量组的秩第五部分线性方程组第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量第七部分实对称矩阵和二次型第八部分空间解析几何第一部分 行列式一.定义1.定义 设()ijn nA a ⨯=,则121212(,)12,(1)n n ni i i i i ni i i i A a a a τ=-∑是!n 项代数和;不同行,不同列;正、负号。
【例1】32241342a a a a 是不是4阶行列式中展开式中的项,正、负号是什么?不是【例2】512312123122x x x x x x中34,x x 的系数。
345,10x x -2.注:(1). 对角线法则一般地不再成立。
举例。
(2). 记住上、下三角阵的行列式。
二.性质1. 性质(1) 行列式的基本性质; (2) 按行(列)展开; (3) 乘法定理。
2. 需记住的结果:(1) Vandermonde 行列式;(2) 分块上、下三角阵的行列式。
3. 例:【例3】已知()3312A ααα⨯=,()33122323232B αααααα⨯=+-+,2A =,求B 。
1232312321327277714B A αααααααααααα=+-+=+-=-==【例4】已知120200561,350350461A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
求31A B -。
4. 注:(1) 矩阵的加法、数乘之后的行列式; (2) 容易出现的错误:1103272537212--r r ;*0*07/2,7253722112r r r r --; (3) 分块矩阵的行列式.三.计算1. 典型方法:(1) 化成低阶行列式; (2) 化成三角形行列式。
2. 注:很少直接用定义计算;应先化简,后计算。
3. 例【例5】13141516;【例6】2013312102312314-; 【例7】12341111111111111111λλλλ++++,1234,,,λλλλ均不为零;【例8】111222a a nnn a+++;【例9】123112211132345122341n n n n n n n n n n------;【例10】n a b b c a b D c ca=;第二部分 矩阵的运算一.矩阵的乘法1. 运算规律【例1】1221230101⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,()312012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,()312102⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, ()312102n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
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第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
7. 方向角和方向余弦 (1)非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为 此向量的方向角; 方向角的余弦称为此 向量的方向余弦.
z C
P
B
z C
z
P
B O x A
定理1.3 在空间中取定三个不共面的向量1, 2, 3, 则对空间中任一向量都存在唯一的 有序实数组(x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
P
3
O
M
Q
2
1
定理1.3 在空间中取定三个不共面的向量1, 2, 3, 则对空间中任一向量都存在唯一的 有序实数组(x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.
第一章 向量代数 平面与直线
伯努利[瑞士] 笛卡儿[法] JohannDescartes René Bernoulli (1667.7-1748.1) (1596.3-1650.2)
欧拉[瑞士] 费马[法] Pierre de Fermat Leonhard Euler (1601.8-1665.1) (1707.4-1783.9)
(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示. (2) 在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示. k1
= k1 + k2
k 2
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系 一. 仿射坐标系、直角坐标系 1. 线性表示
(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示. (2) 在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示.
P
O x A
y
O x
y
y
OP的方向角: =AOP, =BOP, =COP 方向余弦: cos, cos, cos
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
(2)向量xi+yj+zk的方向余弦 x , cos = cos = x2+y2+z2 z , cos = x2+y2+z2 cos2 + cos2 + cos2 = 1.
z P1
O x
P1P2 = OP2OP1 P2 = (x2, y2, z2) (x1, y1, z1) y = (x2x1, y2y1, z2z1).
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
例2. 设两个定点为P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2), 若点P(x, y, z)把有向线段P1P2分成定比, 即P1P = PP2 ( 1), 求分点P的坐标.
F
r
其中为向量与之间的夹角.
3. 外积的几何意义.
注:向量与共线(平行) = . 特别地, = .
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
4. 外积的性质. (1)反对称性: = . (2) (m) = m() = (m). (3) (+) = + . 例1. 证明( ·)2+()2 = 2 2. 例2. 已知|||| = 3, |||| = 11, 且 k · = 30. 求|| ||. O 5. 用向量的坐标计算向量的外积. j i (1) ij = k, jk = i, ki = j, i ji = k, kj = i, ik = j, ii = jj = kk = . j k
§1.2 §1.3 §1.4
笛卡儿[法] RenéDescartes (1596.3-1650.2)
费马[法] Pierre de Fermat (1601.8-1665.1)
伯努利[瑞士] Johann Bernoulli (1667.7-1748.1)
拉格朗日[法] Joseph-Louis Lagrange (1736.1-1813.4)
5. 直角坐标系下向量内积的计算. (1) i2 = j2 = k2 = 1, i · = j · = k · = 0. j k i
(2)设 = (x1, x2, x3), = (y1, y2, y3), 则 · = x1y1+x2y2+x3y3.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
§1.1 几何向量及其线性运算
三. 向量与数量的乘法 1.定义 注:① m = m = 0 或 = . ② (1) = . ③ 单位向量; 非零向量的单位化.
2.运算性质
① 1 = ; ② m(n) = (mn); ③ (m+n) = m + n; ④ m(+) = m + m.
6. 模, 夹角, 距离公式 (1)设 = (x, y, z), 则|||| = x2+y2+z2 .
(2)设非零向量 = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2) 之间的夹角为, 则 x1x2+y1y2+z1z2 · cos = = |||| |||| x12+y12+z12 x22+y22+z22 (3)点P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2)之间的距离为
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
四. 共线、共面向量的判定 定理1.2 若向量, 不平行, 则 向量与, 共面 存在唯一的有序实数组(m, n), 使得 = m + n (即可以由, 线性表示). 推论1.2 向量1, 2 , 3共面 存在不全为零的实数k1, k2 , k3, 使得 k11+k22+k33 = (即1, 2, 3线性相关).
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
二. 向量的加法
1.平行四边形法则的物理学背景 2.平行四边形法则与三角形法则的等价性 3.向量加法有哪些运算性质?
①交换律; ②结合律; ③存在零向量; 阿贝尔群 (Abelian group)
④每个向量都有反向量.
第一章 向量代数 平面与直线
设AS = AP, BT =
2 3
2 3 BQ,
往证点S与点T重合, 即AS = AT.
AS = 1 (AB+AC) = 1 AB+ 2 AQ = 1 AB+ 2 AB+ 2 BQ = AB+BT = AT 3 3 3 3 3 3
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
例2.设M是ABC的重心, O是ABC所在平面上 任意一点, 证明: 1 OM= 3 (OA+OB+OC). 3OM= OA+OB+OC (OMOA)+(OMOB)+(OMOC) = AM+BM+CM = 1 1 1 3 (AB+AC)+ 3 (BA+BC)+ 3 (CA+CB) =
欧拉[瑞士] Leonhard Euler
(1707.4-1783.9)
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
点的 共线共面 问题
向量的 共线共面 问题
向量 的 运算
坐标 的 运算
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算 一. 向量的概念及其表示 1.什么叫向量? 2.怎样表示向量? 3.向量有哪些要素? 4.什么是自由向量? 5.什么是一个向量的负向量? 6.什么是零向量?
z P1 OPOP1 = (OP2OP ) P P2 OP1+OP2 OP = O 1+ y x x1+x2 y1+y2 z1+z2 , y= , z= . x= 1+ 1+ 1+
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积 一. 两个向量的数量积 1. 物理背景. 2. 两个非零向量之间的夹角.
向量空间 (vector space)
模 (module)
第一章 向量代数 平面与直线
§1.1 几何向量及其线性运算
例1.设P, Q分别是ABC的BC, AC边的中点, 2 AP与BQ交于点M. 证明: AM = 3 AP.
A
Q S P
A
Q C
M
B P
T
C B
由条件可知: BC = 2BP, AC = 2AQ.
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
注: · = 0 ( = 或 = 或与 垂直)
4. 内积的性质. (1)正定性: · = ||||20, 且 · = 0 = . (2)对称性: · = · . (3) (m)· = m( ·) = · ). (m (4) (+)· = · + ·.
O
O
2
左手仿射坐标系 3. 直角坐标系{O; i, j, k}
i
2
右手仿射坐标系 k
O
j
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
二. 用坐标进行向量的线性运算 设 = (x1, x2, x3), = (y1, y2, y3), 则 k1+k2 = (k1x1+k2y1, k1x2+k2y2, k1x3+k2y3). 例1.设两个定点为P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2), 求 向量P1P2的坐标.