第八章 统计回归模型

第八章 统计回归模型

回归分析是研究一个变量Y 与其它若干变量X 之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数.

回归分析所研究的主要问题是如何利用变量X 、Y 的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等.

回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归.

一、多项式回归

(1) 一元多项式回归

一元多项式回归模型的一般形式为εβββ++++=m

m x x y ...10.

如果从数据的散点图上发现y 与x 呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元多项式回归.

1. 用函数polyfit 估计模型参数，其具体调用格式如下：

p=polyfit(x,y,m) p 返回多项式系数的估计值；m 设定多项式的最高次数；x ，y 为对应数据点值.

[p,S]=polyfit(x,y,m) S 是一个矩阵，用来估计预测误差.

2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval 实现，其具体调用格式如下： Y=polyval(p,X) 求polyfit 所得的回归多项式在X 处的预测值Y.

[Y,DELTA]=polyval(p,X,S) p ，S 为polyfit 的输出，DELTA 为误差估计.在线性回归模型中，Y ±DELTA 以50%的概率包含函数在X 处的真值.

3. 模型预测的置信区间用polyconf 实现，其具体调用格式如下：

[Y,DELTA]=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit 所得的回归多项式在X 处的预测值Y 及预测值的显著性为1-alpha 的置信区间Y±DELTA，alpha 缺省时为0.05.

4. 交互式画图工具polytool ，其具体调用格式如下： polytool(x,y,m)； polytool(x,y,m,alpha)；

用m 次多项式拟合x ，y 的值，默认值为1，alpha 为显著性水平，默认值为0.05. 例1 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s.

s (cm) 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48

解 根据数据的散点图，应拟合为一条二次曲线.选用二次模型，具体代码如下： %%%输入数据 t=1/30:1/30:14/30;

s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];

%%%多项式系数拟合 [p,S]=polyfit(t,s,2); 则得回归模型为：

1329.98896.652946.489ˆ2++=t t s

. %%%y 的拟合值及预测值y 的置信半径delta [y,dalta]=polyconf(p,t,S); 得结果如下： y=

Columns 1 through 11

11.8729 15.7002 20.6148 26.6168 33.7060 41.8826 51.1465 61.4978 72.9363 85.4622 99.0754

Columns 12 through 14 113.7759 129.5637 146.4389 dalta=

Columns 1 through 11

0.0937 0.0865 0.0829 0.0816 0.0817 0.0823 0.0827 0.0827 0.0823 0.0817 0.0816

Columns 12 through 14 0.0829 0.0865 0.0937 %%%交互式画图 polytool(t,s,2);

polytool 所得的交互式图形如图8-1所示.

图8-1

(2) 多元二项式回归

多元二项式回归模型的一般形式为εβ

βββ∑≤≤++

+++=m

k j k j jk

m m x x x x y ,1110....

多元二项式回归命令：rstool(x,y,’model’,alpha) x 表示n´m 矩阵；y 表示n 维列向量；alpha 为显著性水平(缺省时为0.05)；model 表示由下列4个模型中选择1个(用字符串输入，缺省时为线性模型)：

linear(线性)：m m x x y βββ+++= 110；

purequadratic(纯二次)：∑=++++=n

j j jj

m m x x x y 1

2110β

βββ ；

interaction(交叉)：∑≤≠≤+

+++=m

k j k j jk

m m x x x x y 1110β

βββ ；

quadratic(完全二次)：∑≤≤+

+++=m

k j k j jk

m m x x x x y ,1110β

βββ .

例2 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量.

解 选择纯二次模型，即2222211122110x x x x y βββββ++++=.

%%%输入数据

x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300]; x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9]; x=[x1' x2'];

y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]'; %%%多元二项式回归

rstool(x,y,'purequadratic'); 得如下结果：