简单线性规划问题的实际应用
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
线性规划的实际应用举例
线性规划的实际应用举例为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(即两个变量的线性规划)的实际应用举例加以说明。
1 物资调运中的线性规划问题例1 A，B两仓库各有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运40万个到甲地，20万个到乙地。
已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元／万个。
问如何调运，能使总运费最小?总运费的最小值是多少?解：设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为z元。
那么需从B仓库调运40-x万个到甲地，调运20-y万个到乙地。
从而有z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+7000。
作出以上不等式组所表示的平面区域(图1)，即可行域。
令z'=z-7000=20x+30y.作直线l：20x+30y=0，把直线l向右上方平移至l l的位置时，直线经过可行域上的点M(30，0)，且与原点距离最小，即x=30，y=0时，z'=20x+30y取得最小值，从而z=z'+7000=20x+30y+7000亦取得最小值，z min=20×30+30×0+7000=7600(元)。
答：从A仓库调运30万个到甲地，从B仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地，可使总运费最小，且总运费的最小值为7600元。
2 产品安排中的线性规划问题例2某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料1吨需耗玉米0.4吨，麦麸0.2吨，其余添加剂O.4吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3吨，其余添加剂0.2吨。
每1吨甲种饲料的利润是400元，每1吨乙种饲料的利润是500元。
可供饲料厂生产的玉米供应量不超过600吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过300吨。
问甲、乙两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大?最大利润是多少?分析：将已知数据列成下表1。
浅谈线性规划的简单应用
＝１ ４ｏ
点评 ： 由于线性 规划 的 目标 函数 ： ＝ ａ ｘ ＋ ｂ ｙ （ ｂ ≠
０ ） 可 变 形 为ｙ 一＿ ａ
０
Байду номын сангаас
＋ ÷ 则÷为 直 线 ｙ 一 导＋ ÷的
，
０
０
０
０
、
求 平 面 区 域 的 面 积
ｆ — ｙ ＋ ６≥０，
纵截距 ，那么我们在用线性规划求最值 时便 可以得 到如下结论 ：
Ｂ
的 距 离 公 式 得 Ｂｌ ：
ｖ
，
： ３ ６ 。
。
＼ ＿ ３
图 ｌ
５△
． ’ ． ・ ．
×
×
例３ 若关于 ， ｙ 的不等式组 ｛ ２ ｘ ＋ ｙ ≥１ ， 表示的 【 ＋ ｖ ≤２ 。
平 面 区域 是一 个 三 角形 ，则 实 数。 的取值 范 围是
（ １ ） 当ｂ ＞ ０ 时， 直 线ｙ ＝ －ａ ＋ 三 所 经 过 可 行 域 上
ｂ ｂ
例１ 求 不等式 组 ｛ 卅ｙ ≥０ ， 表示 的平 面区域
ｌ Ｉ ≤３
。
的面积。
ｆ ＋ ６ ≥ ０，
的点使其纵截距最大时 ，便是ｚ 取得最大值 的点 ； 反 之， 使纵截距 取得最小值 的点 ， 就是ｚ 取 得最小值 的
备 考 方略
善 囊 垂 囊
： ： ： ＝ ＝ ： ： ＝ ＝ ： ： ： ： ： ＝ ＝ ： ＝ ：
， 一
①
※： ※尊 ※
－
． Ｉ ， 一 ‘
■ 符 光宇
线 性 规 划 问题 是 近 几 年 高 考 的热 点 ，也 是 变 化 模式最多 、 最丰富的一种命 题形 式。 高考 中线性规划 问题 的命题模式有三种 ， 一是求 最值 ； 二是求区域面 积 ；三是知最优解情况或可行域情况确定数的值或 取 值 范 围 。下 面 通 过 例 题 介 绍 一 些 常 见 题 型 。
湖北省监利县第一中学高中数学必修五《3.4 简单的线性规划问题和线性规划的实际应用》导学案(无答案)
第4课 简单的线性规划问题和线性规划的实际应用预 习 案要点1线性规划中的基本概念要点21．最优解一定唯一吗？2．最优解一定在可行域的边界上取得吗？3．在线性目标函数z ＝x ＋y 和z ＝x －y 中，目标函数z 的几何意义分别是什么？探 究 案题型一 线性目标函数的最值例1已知x 、y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋7≥0，4x －3y －12≤0，x ＋2y －3≥0.（1）求z ＝x ＋y 的最大值和最小值； (2)求z ＝x －y 的最大值和最小值．思考题（1）(2013·新课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3.则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3题型二 非线性目标函数的最值例2已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.(1)求ω＝x 2＋y 2的最大值和最小值；(2)求t ＝y ＋1x ＋1的最大值、最小值．思考题(2)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋3y －3≤0，x ≥0，y ≥0.则不等式组表示区域的面积为________，z＝y ＋2x －1的取值范围是________．题型三 求解范围问题例3 已知函数f (x )＝ax 2－c 满足－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．思考题3 已知⎩⎨⎧1≤x －y ≤2，2≤x ＋y ≤4.求z ＝4x ＋y 的最值．题型四 最值问题例4 某企业生产A 、B 两种产品，每生产一吨产品所需要的劳动力和煤、电如下表：制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200度，试问该企业生产A 、B 两种产品各多少吨时，才能获得最大利润？最大利润为多少？题型五 最优整数解问题例5要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：的三种规格成品，且使所用钢板张数最少？。
线性规划的应用
线性规划的实际应用指导教师：大连市第八中学数学组崔贺课题组成员：大连市第八中学高二（2）班全体同学课题背景：提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题。
近几十年来，线性规划在各个行业中都得到了广泛的应用。
根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，线性规划的应用程度名列前茅，有85%的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果。
所谓线性规划，是求线性函数在线性(不等式或等式)约束下达最(小或大)值的问题。
线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
常见的问题在：物资调运问题、产品安排问题、下料问题。
研究过程：一、研究性学习开题报告（一）教师提出总体要求（二）分析课题背景，可行性论证（三）制定总体目标与计划（四）明确具体操作过程（五）划分小组，确定活动地点（六）由组长负责小组成员分工（七）确定成果形式：论文（数学模型与解答）、心得体会二、小组活动（注：各小组数学模型见线性规划模型汇编）第一小组活动时间：2003.4.12活动地点：大连市天津街改造办活动目的：调查了解城市规划、布局与设计中的线性规划问题参加人员：组长：陈燕组员：丁琳许玲见琦任鑫王鑫刘姝言王全智孙颖李舒然冯昱黄漪墨活动过程：来到活动地点，我们见到了有关规划设计的负责人，通过他的讲解，我们对天津街规划有了初步的认识。
这个规划，考虑到了整体市容市貌，提升城市功能，加强布局的合理性，以及保护原有城市风貌，发挥天津街中心商业区的作用等各方面因素，为取得经济效益、社会效益和商业效益的最大化而建设的。
天津街改造工程预计投资10个亿，用五年左右的时间，完善各种服务设施，改善交通和购物环境，打造精品步行街和商业主力店，引入各种经营业态，让人们旅游购物更方便。
简单的线性规划问题(第1课时)课件2
x＋2y 8
x 2 y 8
4 4y x
16 12
x y
4 3
x 0
x
0
y 0
y 0
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获 利3万元，采用那种生产安排利润最大？
0.06 0.06
174xx174
y y
6 6
x 0
x 0
y 0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y 4 x z
它表示斜率为 4
3 28
3
随z变化的一组平行直
线系
6/7 y
z 28 是直线在y轴上 5/7 M
为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题，统称为线性规划问题。y
满足线性约可束行的域解 4 3
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成
的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做这个问题的最优解。
三、例题
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
y
y 2 x z
4
3
3
3
它表示斜率为
2 3
的
M
直线系，z与这条直线
的截距有关。
o
4
8x
如图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距
最大，即z最大。
线性规划 实际案例
线性规划实际案例
线性规划（LinearProgramming）是一种模型化工具，它可以帮
助我们更好地解决有限资源最大化利用的计算问题。
线性规划可以找出给定问题的最优解，这使得其在商业决策中受到越来越多的重视。
本文将介绍线性规划的一些实际案例，并阐述其优势以及在商业决策中的应用。
首先，我们从最简单的线性规划开始讨论。
在一组普通工作面前，线性规划可以让我们避免“最小化最大值”方面的问题，从而更容易找出最佳解决方案。
例如，假设我们正在解决以下简单的问题：有两种产品A和B，要在有限的资源内生产尽可能多的产品，并获得最大的利润。
在这种情况下，我们可以使用简单的线性规划，通过计算生产各种产品所消耗的资源，并将此类资源最大化利用以获得最大利润，最终找到最优解决方案。
其次，我们可以将线性规划作为其他更复杂问题的解决方案。
例如，我们可以使用线性规划来求解众多变量相互影响之间的最优解决方案。
它可以解决各种复杂的组合优化问题，例如投资组合优化、产品组合优化、成本优化等。
另外，它也可以用来解决货币及其它各种金融上的优化问题。
最后，线性规划可以用来解决各种决策问题。
例如，对于一个商业决策，管理者往往希望尽可能地实现最大的预期价值，以及尽可能最小的风险，这也是线性规划的一个典型应用场景。
同样，我们也可以使用线性规划来进行企业资源调度、供应链调度等各种决策，最终
获得最佳的结果。
综上所述，线性规划可以应用于众多场景，其优势是可以快速找出最优解决方案，在商业决策中可以起到非常有效的作用。
以上是本文介绍的关于线性规划实际案例，欢迎各位读者积极探索这一领域，为商业决策及其它工作增加价值。
简单线性规划的应用
5x简单线性规划的应用张园和教学目标：1．会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题；2．培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；教学重、难点：教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答． 教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；2．寻找整点最优解的方法．教学方法：讲练结合、分组讨论法 教学过程：（一）讲解新课例1、医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每g 10含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每g 10含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元。
若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养又使费用最省？解析：设甲、乙两种原料分别用xg 10和yg 10，需要的费用为y x z 23+=，病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5735x y +≥。
同理，对铁质的要求可表示为40410≥+y x 。
问题成为：在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,0404103575y x y x y x 下，求目标函数y x z 23+=的最小值。
作出可行域，令0=z ，作直线023:0=+y x l 。
由图可知，把直线0l 平移至顶点A 时，z 取最小值。
由)3,514(404103575A y x y x ⇒⎩⎨⎧=+=+，572325143min =⨯+⨯=z 元。
所以用甲种原料g 2810514=⨯，乙种原料g 30103=⨯， 费用最省。
小结：简单线性规划应用问题的求解步骤：（教师示意学生观看板书，并给予适当的提示）1．将已知数据列成表格的形式(这一步可以省略)，设出变量x ，y 和z ; 2．找出约束条件和目标函数;3．作出可行域，并结合图象求出最优解; 4．按题意作答．例2、某厂生产一种产品，其成本为27元/kg ，售价为50元/kg ，生产中，每千克产品产生33.0m 的污水，污水有两种排放方式：方式一：直接排入河流方式二：经厂内污水处理站处理后排入河流，但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有%85，污水处理站最大处理能力是h m /9.03，处理污水的成本是5元/3m 另外，环保部门对排入河流的污水收费标准是6.17元/3m ，，且允许该厂排入河流中污水的最大量是h m /225.03，那么，该厂应选择怎样的生产与排污方案，可使其每净收益最大？分析：为了解决问题，首先要搞清楚是什么因素决定收益 净收益 = 售出产品的收入—生产费用其中生产费用包括生产成本、污水处理、排污费等设该厂生产的产量为h xkg /，直接排入河流的污水为h ym /3，每小时净收益为z 元，则：（1）售出产品的收入为x 50元/h（2）产品成本为x 27元/h （3）污水产生量为h xm /3.03，污水处理量为h m y x /)3.0(3-，污水处理费为)3.0(5y x -元/h（4）污水未处理率为15.0%851=-，所以污水处理厂处理后的污水排放量为h m y x /)3.0(15.03-，环保部门要征收的排污费为])3.0(15.0[6.17y y x +-元/h（5）y x y y x y x x x z 96.9708.20])3.0(15.0[6.17)3.0(52750-=+-----= 需要考虑的约束条件是：（1）污水处理能力是有限的，即9.03.00≤-≤y x（2）允许排入河流的污水量也是有限的即225.0)3.0)(85.01(≤--+y x y9x 解析：根据题意，本问题可归纳为：在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥-≤+≤-0,003.04517099.03.0y x y x y x y x 下，求目标函数y x z 96.9708.20-=的最大值作出可行域。
4.3 简单线性规划问题的实际应用教学反思.doc课后反思
4.3简单线性规划的实际应用教学反思本节课是简单的线性规划的应用的延伸，通过上一节课的学习，学生们已经掌握了利用线性规划知识解决实际应用的一般方法。
所以这节课的主要任务是巩固提高学生的应用能力，同时利用实际问题加强对德育目标的渗透。
一下是对整个教学过程的反思：在教学过程中，首先复习了上一节课的内容，帮助学生巩固所学内容，其中在填空题部分，要求学生总结利用线性规划问题解决实际问题的一般方法，这个环节，虽然简单但很重要，如果对上节课的内容掌握不好，将直接影响这节课的讲课效果。
通过抽查学生的导学案，看到学生对前一节课的掌握较好。
练习1，练习2，更测试了学生的实际应用能力，这确保了本节课可以进入的新知识的讲授过程。
这节课，我首先利用两个例题讲解资源配置问题，其中例一是以08年奥运会为背景的线性规划问题。
通过这个例题，我们可以向学生渗透爱国主义教育，体现出我们民族的自信，开放等优秀品格。
同时提到我们今年又成功申请冬季奥运会，是当今世界上唯一一个即申请了夏季奥运会，又申请了冬季奥运会的国家，足以让我们中国人引以为傲。
看学生们的反应，显然例一学生解决的比例二更好一些。
学生能更好的掌握解题的思路。
在板书过程中，学生板书认真，思路清楚。
例二是一个环保相关的问题，围绕工厂生产某种产品所用的资源设计。
阅读量较大。
学生在阅读教材的时候，不能前后联系，理解过程较长。
但最终两道习题都成功解决；这说明学生在课下也做了相当好的准备。
本题除了讲解线性规划的相关知识外，也使学生了解到我们现在的社会中，环境污染的严重性。
应该告诉多少人，是大家明白，爱护环境人人有责。
在具体的板演的过程中，两组同学都没能够发现作为应用题的解答，应该在最后有一个“答：”这说明学生在规范化训练上还要多下功夫。
课后及时的更上作业，加强书写练习，将有助于学生解题能力的提高。
深化提高环节，由于习题运算量较大，课堂上有师生共同完成分析过程，这里有一个小插曲：在梳理各个量之间的关系的时候，由于回答问题的同学口误，将y说成了x，我竟然没有发现，是同学们及时指出了错误，虽然是小问题，但也看出学生们的细心和敏锐。
简单线性规划
简单线性规划线性规划（Linear Programming，LP）是一种运用数学方法，以规定的约束条件为前提，通过建立数学模型，求解线性目标函数最大或最小值的一种优化方法。
线性规划方法可用于解决许多实际问题，如资源分配、生产计划、物流管理等。
线性规划的基本形式是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性的目标函数。
目标函数和约束条件必须是线性的，即目标函数和约束条件中的变量的系数必须为常数。
例如，假设有两种可供选择的产品A和B，它们的产量分别为x和y。
目标是通过调整x和y的值，使得总利润最大化。
同时，需要考虑的约束条件包括资源的使用限制、产品的产能限制等。
如果将总利润表示为目标函数，资源使用和产能限制等表示为约束条件，那么这个问题可以用线性规划的方法来解决。
线性规划的解法有多种，其中最常见的是单纯形法。
单纯形法基于一个重要的性质，即在一个凸多边形的顶点上，目标函数的最优解一定存在。
单纯形法通过迭代计算，逐步接近最优解，直到找到最优解为止。
此外，还有其他的方法来解决线性规划问题，如对偶理论、内点法等。
线性规划的应用十分广泛。
在资源有限的情况下，如何合理地分配资源是一个重要的问题。
例如，在生产计划中，如何安排生产任务，对产品的产量进行合理分配，以最大化利润；在物流管理中，如何合理地安排货物的运输路线，以最小化运输成本等。
线性规划提供了一种直观且有效的工具，可以帮助我们在有限的资源下得到最优的解决方案。
尽管线性规划方法在许多场景下表现良好，但它也有一些局限性。
首先，线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，因此对于非线性的问题，线性规划方法并不适用。
其次，线性规划方法在求解大规模问题时可能面临计算复杂度的问题。
不过，有许多方法可以对线性规划的问题进行转化，从而将非线性问题转化为线性问题，或者通过并行计算等方法来加快计算速度。
总的来说，线性规划是一种强大的优化工具，可用于解决各种实际问题。
它的优势在于简单、直观，能够得到全局最优解。
§4 4.3 简单线性规划的应用
4 2
A
2 4 6 8
-2
14 所以用甲种原料 ×10 = 28(g) ， 5
费用最省． 乙种原料 3×10 = 30(g) ，费用最省．
o
x
5x +7y = 35
例 2 某厂生产一种产品，其成本为 27 元／kg，售价为 50 元/kg，生产 某厂生产一种产品， kg， /kg， 的污水，污水有两种排放方式： 中，每千克产品产生 0.3 m 的污水，污水有两种排放方式： 方式一：直接排入河流； 方式一：直接排入河流； 方式二： 经厂内污水处理站处理后排入河流， 方式二： 经厂内污水处理站处理后排入河流， 后排入河流 但受污水处理站技术水平的限制， 但受污水处理站技术水平的限制， 85%. 污水处理率只有 85%.污水处理站最大处理能力是 0.9 m / h， 处理污水的成本 是 5 元／ m ． 另外， 环保部门对排入河流的污水收费标准是 17.6 元／ m ， 另外， 且允许该厂排入 那么， 河流中污水的最大量是 0.225 m / h。那么，该厂应选择怎样的生产和排污方 案，可使其每小时净收益最大？ 可使其每小时净收益最大？
o
的最大值. 下，求目标函数 z = 20.708x −9.96y 的最大值.
作出可行域，如图， 作出可行域，如图，
令 z = 0作直线 l0 :20.708x −9.96y = 0 ，
y
l0
2
9x +170y = 45 1
由图形可以看出， 由图形可以看出，平移直线 l0 ， 取得最大值. 在可行域中的顶点 A 处， z 取得最大值.
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐， 例 1：医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲 单位铁质， 种原料每 10g 含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质，售价 3 元;乙种原 料每 10g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质，售价 2 元，若病人每餐 单位铁质， 单位铁质，试问：应如何使用甲、 至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，试问：应如何使用甲、 乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？ 乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
线性规划的实际应用
３.根据教育学和心理学的理论，创设一种学 习情景要符合学生的 心理机制和感情因素， 本课从实 际问题开始引入课题,使学生变得 “心求通，口欲言”， 给学生创设一种“求 通欲言”的情境, 因此本课教学过程的主要 精力花在第三部份分组 探究交流上，为学生 展示自我提供一个平台。
4.研究性学习是仿照科学研究 的 过程 来学 习科学内容，从而在掌握科学内容的同时， 体验、理解和应 用科学研究的方法，培养 科研能力 的一种学习方法。它的基本特 征 是：提出问题-收集数据-形成解释-得 出结 论-检验结果。这一节课的最终目的是为学 生完成本课的实习作业 提供帮助，因此， 本节课的教学过 程按照这些特征分为上述 五个步骤。
组长 班级
六、板书设计
线性规划的实际应用
1.复习：线性约束条件，线性目标函数，可 行域，可行解，解线性规划问题的四个环 节：画-移-求-解 2.解答书中例题
最后我说一下本课为什么要这样设计。
1.根据素质教育的要求， 数学教学应由“教 给学生数学的结果”转变为“引导学生参与 学习数学的过程”，这样就必须使学生参与 到数学探索活动中来，让学生在学习中进行 探索,并主动建构知识，发展学生自主学习的 行为模式，达到增强学生的思维能力、创造 能力与问题解决能力的目的，因此，本课采 用探究法教学。
再见！
研 究 课 题
2.引入本节所要学习的线性规划在 实际中的应用,如:物质调运,产品安 排,下料问题。
提出问题
用时：5分
二 明确下列问题：
创 （１）线性规划问题的数学模型。
设 问 题
（２）中学可解的线性规划问题的特点及 解题步骤。
情 （３）用自已的话描述线性规划的理论和
境 方法在实际应用中的基本问题模式。
简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题篇一：典型例题：简单的线性规划问题典型例题【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?参考答案例1：【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为或其平面区域如图：或或∴面积S=×4×4=8【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．【知识梳理】简单的线性规划问题一、知识点1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验． 3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B0时，Ax0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)①二元一次不等式Ax+By+C>0（或②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
简单线性规划问题
② 174xx174
y y
6 6
x0
y 0
4 7
3 7
2 7
1 7
0
1 2 3 4 5 6x
7 7 7 7 77
14x 7 y 6 7x 7 y 5
7x 14 y 6
y 设z=28x+21y，求z的最小值。 第一步：点（x，y）在此
6
平面区域内运动时，如何
0满使.001足 目..010⑤5⑥47线 标如x可xx最上性 函行优题0x约 数y00域.中解.1.01束 取④0：的：74005：可yy条得zy=行件最⑤⑥200解80可最的大...00x如0：行优66为求餐x+解值7上25域解成并（或1题：：71y人且即中最x,,y设的花小y：）：计费值74，最出17的时7叫4x少符x可,xz可的合xmy行i1n行7营医7解4y解yy00养生。1。6配要566
练习：课本91页练习第一题的第一小题：
求 z 2x y 的最大值，使 x, y
满足约束条件：x
y
y
x
1
③②平作移图目，标由函二数元的一图次象不，等求式出组最表优示解的；平面区域作出可行域；
y 1
①寻找线性约束条件，线性目标函数；
y x+y = 1
y=x
②作图，由二元一次1不等式组表示的平面区域作出可行域；
少kg?
整理数据，列表得：
食物 碳水化合物 蛋白质
脂肪
（千克） （千克） （千克） （千克）
A B 最少摄入量
0.105 0.105 0.075
0.07 0.14 0.06
0.14 0.07 0.06
人教a版必修五课件：简单线性规划的应用(74页)
作直线l： 3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0. 平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数 取得最大值．
x＋y＝300 联立 5x＋2y＝900，
解得x＝100，y＝200.
∴点M的坐标为(100,200)．
∴zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)． 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
典例导悟
类型一 [例1] 求最大值的实际应用题 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超
过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视 台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定 甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司
带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在 甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大， 最大收益是多少万元？ [分析] 根据题意列出约束条件，写出目标函数．转
[点评]
解答线性规划应用题应注意以下几点：
(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较 多，因此认真审题非常重要； (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断； (3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如 x，y为正整数、非负数等；
(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件 一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式； (5)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上 都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作 尽可能规范．但作图中必然会有误差，假如图上的最优点 不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出 来，然后逐一检查，以确定最优解．
类型二 [例2]
求最小值的实际应用题 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画
3.4.3《简单线性规划的应用》课件(北师大版必修5)
• 某运输公司接受了向抗洪抢险地方每天至少
运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重 为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车， 有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数是： A型卡车为4次，B型卡车为3次．每辆卡车每 天往返的成本费为：A型卡车为320元，B型卡 车为504元，请你为该公司调配车辆，使公司 所花成本费最低．
• 2.某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装
置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳， 已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每 张面积2 m2，可做A，B外壳分别为3个和5个， 乙种薄钢板每张面积3 m2，可做A，B外壳各6 个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用 料面积最小． 解析： 设用甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则
标都是整数的点)且与原点距离最近的直线经过的整点是 (7,0)，即为最优解． 答：至少安排7艘轮船和0架飞机．
• 1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，
设需载重6吨的汽车x辆，载重4吨的汽车y辆， 则要运送最多的货物，完成这项运输任务的线 性目标函数为( ) • A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y • C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y • 答案： A
• 2．配制A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，
2x＋2y＝20 由 9x＋5y＝70 x＝5 得 ’00y－z＝0过(5,5)点时，z
取得最大值． • 即生产甲、乙两种肥料各5车皮时可获得最大
•
某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每 吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每 吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每 吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获 得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该 企业可获得最大利润是多少？
简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题「_x +y _2 兰0,例1画出不等式组」x+y—4兰0,表示的平面区域.x -3y 3 _ 0.分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分.解：把x=0 , y=0 代入-x y-2中得-00-2：：：0二不等式-x * y-2乞0表示直线-X，y-2=0下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示.说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法.例2画出2x-3：m表示的区域，并求所有的正整数解（x,y）.分析：原不等式等价于'而求正整数解则意味着x , y "3. '上>0, y >0,x € z y w z有限制条件，即求；y J .j y〉2x-3,yg解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知2x-3：：：八3表示的区域如下图:x>0, y >0,对于2x-3曲空3的正整数解，先画出不等式组.X Z ，r Z，所表示y>2x-3,八3.的平面区域，如图所示.容易求得，在其区域内的整数解为（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,2）、（2,3）. 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来.y 环+1 _1例3求不等式组< ''所表示的平面区域的面积.“兰-x+1分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积.而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论.解：不等式y A|x+1| -1 可化为y X x（x 兰-1）或y 二-x~2（x v -1）；不等式y _ _x 1 可化为y - -x 1（x 一0）或y 1（x ：： 0）.在平面直角坐标系内作出四条射线AB: y =x（x _ -1），AC : y - -x-2（x ：： -1）DE : y = —x 1（x 亠0），DF : y = x 1（x ：： 0）则不等式组所表示的平面区域如图由于AB与AC、DE与DF互相垂直，所以平面区域是一个矩形.根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为2和注.2 2所以其面积为3.2‘2x + y -12 喳0,例4 若x、y满足条件』3x-2y+10^0,求z = x+ 2y的最大值和最小值.x -4y +10 兰0.分析：画出可行域，平移直线找最优解.解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示. 作直线I:x2y = z，即y = -1x -z，它表示斜率为一丄，纵截距2 2 2为2的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l过点时，Z取得最大值，当I过点B时，z取得最小值.二Z max = 2 28 = 18二Z min _ -2 22 =2说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值.例5用不等式表示以A(1,4) , B(-3,0) , C(-2,-2)为顶点的三角形内部的平面区域.分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。
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课题：简单线性规划问题的实际应用
【学习目标】
1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题 特别注意求最优解是整数解的问题。
2.培养观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高“建模”和解决实际问题的能力。
【重点和难点】教学重、难点：应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。
【使用说明及学法指导】
1.先预习课本P87-P 91内容，然后开始做导学案。
预习案
一．问题导学
1.线性规划解应用题的一般步骤是什么？
二．知识梳理 线性规划解应用题的一般步骤：
（1）设出___________；（2）列出_______ __, 确定____ _____；
（3）画出__________；（4）作目标函数表示的一族平行直线，使其中某条直线与_________有交点，且使其截距最大或最小；（5）判断 ，求出目标函数的 ，并回到原问题中作答。
三.预习自测
四.1、预习自测
1、已知变量y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ，则y x +的最小值为（ ）.
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2.已知变量y x ,满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≤-≥09201y x y x x ，则y x z 32+=的取值范围 。
探究案
一、合作探究
探究1．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个和55个，所用原料为A 、B 两种规格
金属板每张面积分别为2 和3 ，用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个，用B 种规格金属板可造甲、乙品种各6个，问两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并能使总的用料面积最省？
探究2、甲、乙、丙三种食物的维生素
、 含量及成本如下表： 甲 乙 丙
维生素
（单位/千克） 600 700 400 维生素 （单位/千克） 800
400 500 成本（元/千克）
11 9 4 某食物营养研究所想用 千克甲种食物， 千克乙种食物， 千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素 和63000单位维生素 ．（1）用 、 表示混合物成本
．（2）确定 、 、 的值，使成本最低．
训练案
一、课中检测与训练（能在5分钟之内完成）
1、设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）
2、某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨：生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨。
甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大，并求最大利润.
3、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元。
为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？。