第4章 斯特瓦尔特定理及应用
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第四章 特瓦尔特定理及应用
【基础知识】
斯特瓦尔特定理 设P 为ABC △的BC 边上任一点(P B ≠,P C ≠),则有 222AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅
①
或 2222PC BP BP PC
AP AB AC BC BC BC BC BC
=⋅
+⋅-⋅⋅
. ② 证明 如图4-1,不失一般性,不妨设90APC <︒∠,则由余弦定理,有 图4-1
P
C
B A
2222cos AC AP PC AP PC APC =+-⋅⋅∠, 2222cos(180)AB AP BP AP BP APC =+-⋅⋅︒-∠ 222cos AP BP AP BP APC =++⋅⋅∠.
对上述两式分别乘以BP ,PC 后相加整理,得①式或②式.
斯特瓦尔特定理的逆定理 设B ,P ,C 依次分别为从A 点引出的三条射线AB ,AP ,AC 上的点,若
22AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅,
或 2222PC BP BP PC
AP AB AC BC BC BC BC BC
=⋅
+⋅-⋅⋅
, 则B ,P ,C 三点共线. 证明 令1BPA θ=∠,2APC θ=∠,对△ABP 和△APC 分别应用余弦定理,有 22212cos AB AP PB AP PB θ=+-⋅⋅,22222cos AC AP PC AP PC θ=+-⋅⋅.
将上述两式分别乘以PC ,BP 后相加,再与已知条件式相比较得 ()122cos cos 0AP BP PC θθ-⋅⋅⋅+=,由此推出12180θθ=︒-,即证.
斯特瓦尔特定理的推广 (1)设P 为ABC △的BC 边延长线上任一点,则
2222PC BP PC BP
AP AB AC BC BC BC BC BC
=-⋅+⋅+⋅⋅
. ③ (2)设P 为ABC △的BC 边反向延长线上任一点,则 2222PC BP PC BP
AP AB AC BC BC BC BC BC
=⋅
-⋅+⋅⋅
.
④
注 若用有向线段表示,则②,③,④式是一致的.
推论1 设P 为等腰ABC △的底边BC 上任一点,则22AP AB BP PC =-⋅. 注 此推论也可视为以A 为圆心,AB 为半径的圆中的圆幂定理. 推论2 设AP 为ABC △的BC 边上的中线,则2222111
224
AP AB AC BC =
+-. 推论3 设AP 为ABC △的A 的内角平分线,则2AP AB AC BP PC =⋅-⋅. 推论4 设AP 为ABC △的A 的外角平分线,则2AP AB AC BP PC =-⋅+⋅. 推论5 在ABC △中,若P 分线段BC 满足BP
BC
λ=,则 2222(1)(1)AP BC AB AC λλλλ=-+-+⋅.
注 若
BP
k PC =,则()
22222
1111k k AP AB AC BC k k k =⋅+-⋅+++. 【典型例题与基本方法】
1.选择恰当的三角形及一边上的一点,是应用斯特瓦尔特定理的关键.
例1 如图4-2,凸四边形ABCD 中,60ABC =︒∠,90BAD BCD ==︒∠∠,2AB =,1CD =,对角线AC ,BD 交于点O .求sin AOB ∠. (1996年北京中学生竞赛题)
D
C B
A
P
O
图4-2
解 延长BA ,CD 相交于P ,设BC x =,则2PB x =
,PC ,对△PBC 及PB 边上的点A ,应用斯特瓦尔特定理,有
222AB PA
CA PC BC AB PA PB PB
=⋅+⋅-⋅
)
()2
222222222x x x x x
-=
⋅
+⋅-- 224x x =-+.
由Rt Rt ADP CBP △∽△,有PD PC PA PB ⋅=⋅,
即
)
()1222x x -=-⋅,
求得
4BC x == 于是
,215CA =-.又在Rt BCD △中
,22120BD x =+=-,从而BD AC ⋅=
12=.
而(
)(
1242ABCD ABD BCD S S S =+=+△△ 故
(
)
112sin 2AOB ⋅∠
,即sin AOB =∠为所求. 例2 如图4-3,在ABC △中,60A =︒∠,AB AC >,点O 是外心,两条高BE ,CF 交于H 点,点M ,
N 分别在线段BH ,HF 上,且满足BM CN =,求
MH NH
OH
+的值.
(2002年全国高中联赛题)
L S
T
图4-3
解 延长BE 交O 于L ,由三角形垂心性质,知L 为H 关于AC 的对称点,则LC CH =.
设O 的半径为R ,OH d =,CH x =,BH y =,由60CLB A =︒∠=∠,知LH LC CH x ===.延长
OH 两端交O 于T ,S ,如图4-3,由相交弦寇理有TH HS BH HL ⋅=⋅,即()()R d R d x y +-=⋅,即
22R d xy
=+.
在△BCL 及边BL 上的点H ,应用斯特瓦尔特定理,并注意到2sin BC R A =⋅=∠ ,可得 222BC LH LC BH LH BH BL CH BL ⋅+
⋅=⋅⋅+⋅,
即
)
()()2
22x x y x y x y x x y ⋅+⋅=⋅⋅++⋅+,
亦即 ()22
213
R x xy y =++. 于是,有
()2
2213
x xy y d xy ++=+. 亦即
()
2
2
3x y d -=,即
x y d
-=
而当AB AC >时,MH NH BH BM CN CH BH CH y x x y +=-+-=-=-
=-,
故
x y MH NH OH d
-+=
2.注意斯特瓦尔特定理的推论的应用 例3 如图4-4,自O 外一点引圆的两条切线PE ,PF ,E ,F 为切点,过P 点任意引圆的割线交O
于A ,B ,交EF 于C .证明:
211
PC PA PB
=+
. (2001年湖南中学生夏令营试题)