高三数学测试题(含答案)
高三数学测试卷含答案解析
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在实数范围内是单调递增的是（）A. y = -x^2 + 2xB. y = x^3 - 3xC. y = 2^xD. y = log2(x)答案：C解析：选项A和B都是二次函数，开口向下，存在最大值，不是单调递增。
选项D 是底数为2的对数函数，在定义域内是单调递增的，但题目要求在实数范围内，所以排除。
选项C是指数函数，底数大于1，在整个实数范围内都是单调递增的。
2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则第10项an=（）A. 19B. 21C. 23D. 25答案：B解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，代入a1=1，d=2，n=10，得an = 1 + (10-1)×2 = 21。
3. 若复数z满足|z-2i|=|z+1|，则复数z在复平面内的对应点在（）A. x轴上B. y轴上C. 第一象限D. 第二象限答案：A解析：根据复数的模的定义，|z-2i|表示点z到点(0,2)的距离，|z+1|表示点z到点(-1,0)的距离。
若这两个距离相等，则点z位于这两点的垂直平分线上，即y轴上。
但由于|z-2i|是z到y轴的距离，|z+1|是z到x轴的距离，所以点z在x轴上。
4. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 0，f(-1) = 0，则函数的图像与x轴的交点坐标为（）A. (1,0)，(-1,0)B. (0,1)，(0,-1)C. (0,0)，(1,0)D. (-1,0)，(0,0)答案：A解析：由f(1) = 0和f(-1) = 0可知，1和-1是函数的根，因此函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)和(-1,0)。
5. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-3,1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (-1,2)B. (-1,1)C. (1,2)D. (1,1)答案：A解析：线段AB的中点坐标为两个端点坐标的算术平均值，即中点坐标为((2-3)/2, (3+1)/2) = (-1,2)。
高三数学试题及答案
高三数学试题及答案一、选择题1. 设函数 $f(x)=\sqrt{x}$，则 $f(2+3)=\underline{\qquad}$。
A. 5B. \(\sqrt{5}\)C. 7D. \(\sqrt{7}\)2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，其中 $a_1=3$，$S_n=12n$，则$d=\underline{\qquad}$。
A. -4B. -3C. 3D. 43. 设点 $A(3,4)$ 和 $B(-2,1)$，则直线 $AB$ 的斜率为\underline{\qquad}。
A. -\(\frac{3}{5}\)B. \(\frac{3}{5}\)C. \(-\frac{7}{5}\)D. \(\frac{7}{5}\)4. 若正方体的棱长为 $a$，则其表面积与体积的比为\underline{\qquad}。
A. \(a^2:2a^3\)B. \(a^2:4a^3\)C. \(a:6\)D. \(1:6a\)二、填空题1. 设集合 $A=\{x\mid x>0,x\leqslant 5\}$，则 $A$ 的基数为\underline{\qquad}。
2. 已知复数 $z=2+3i$，则 $\Bar{z}=$\underline{\qquad}。
3. 若函数 $f(x)$ 为偶函数，则 $f(-2)=$\underline{\qquad}。
4. 若 $f(x)=x^3-3x^2+4$，则 $f(x)$ 的极大值为\underline{\qquad}。
三、解答题1. 已知曲线 $y=\frac{2}{x}$，求曲线 $y$ 轴上的截距。
解：当 $x=0$ 时，$y=\frac{2}{0}$ 没有意义。
所以曲线 $y=\frac{2}{x}$ 在 $y$ 轴上没有截距。
2. 求解方程 $\log_4{(x+4)}-\log_4{(x-2)}=2$。
高三数学基础测试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 如果函数f(x) = 2x + 3在x = 2处的切线斜率为k，那么k的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，其图像的对称轴为：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 3，S5 = 55，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C4. 在三角形ABC中，a = 3，b = 4，c = 5，则cosA的值为：A. 1/3B. 2/3C. 1/2D. 3/2答案：B5. 已知复数z = 1 + i，那么|z|^2的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C6. 函数y = log2(x + 1)的图像过点(1, 0)，则该函数的定义域为：A. (-1, +∞)B. (-∞, -1)C. (-∞, 1]D. [1, +∞)答案：A7. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为：A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/5答案：C8. 若函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为1，则该函数在该区间上的最小值为：A. -1B. 0C. 1D. 2答案：A9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，若f'(x) = 0，则x的值为：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A10. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则该数列的前5项和S5为：A. 31B. 51C. 81D. 243答案：C二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的顶点坐标为______。
答案：(-1/3, 2/3)12. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 5，d = 3，则S10 = ______。
2024-2025学年四川省成都市高三上学期数学综合测试试题(含解析)
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年四川省成都市高三上学期数学综合测试试题.1. 已知复数112i z =+，则z 的虚部是（ ）A. 2B. 2iC. 2i 5-D. 25-【答案】D 【解析】【分析】应用复数的除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可.【详解】因为()()2112i 12i 12i 12i 12i 12i 14i 55z --====-++--，所以z 的虚部为25-.故选：D.2. 一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（ ）A.35B.23C.25D.13【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】根据题意，任取两球恰有一个红球的概率为112325C C 63C 105P ===.故选：A.3. 对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，则m 的取值范围为（ ）A. ()1,1-B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】分离参数，可得()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，结合基本不等式即可求得答案.【详解】对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，即对任意的()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，故1m <，故m 的取值范围为(),1∞-.故选：B4. 已知tan 2α=，则1cos2sin2αα+=（ ）A. 3B.13C. 2D.12【答案】D 【解析】【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.【详解】21cos22cos 11sin22sin cos tan 2αααααα+===.故选：D.5. 设,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 33a b > B. ()lg 0a b ->C. 22a b > D. a b>【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可.【详解】对于A ，33a b a b >⇔>，故33a b >是a b >的充要条件；对于B ，由()lg 0a b ->得1a b >+，能推出a b >，反之不成立，所以()lg 0a b ->是a b >的充分不必要条件；对于C ，由22a b >无法得到,a b 之间的大小关系，反之也是，所以22a b >是a b >的既不充分也不必要条件；对于D ，由a b >不能推出a b >，反之则成立，所以a b >是a b >的必要不充分条件．故选：B ．6. 定义在(0,)+∞上函数()f x 的导函数为()f x '，若()()0xf x f x '-<，且(3)0f =，则不等式(2)()0x f x -<的解集为（ ）A. (0,2)(2,3)⋃B. (0,2)(3,)+∞C. (0,2)(2,)⋃+∞D. (0,3)(3,)+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件构造函数()()f x g x x=，利用导数确定单调性，结合(3)0f =求解不等式即得.【详解】依题意，令()()f x g x x =，求导得2()()()0'-'=<xf x f x g x x，则()g x 在(0,)+∞上单调递减，由(3)0f =，得(3)0g =，不等式(2)0(2)0(2)0()()()f x f x x g x x xx -<⇔-⋅<⇔-<，则20()0x g x -<⎧⎨>⎩或20()0x g x ->⎧⎨<⎩，即203x x <⎧⎨<<⎩或23x x >⎧⎨>⎩，解得02x <<或3x >，所以不等式(2)()0x f x -<解集为(0,2)(3,)+∞ .故选：B7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（ ）A.B. 1C.D. 1+【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用几何关系得到12π2F PF ∠=，又21π6F F P ∠=，得到21,PF c PF ==，再结2c a -=，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)c c >，右焦点为2F ，直线OQ 交1F P 于点M ，连接2PF ，因为1PF Q △为正三角形，1OQ F P ⊥，所以M 为1F P 的中点，所以2//OM F P ，的的故12π2F PF ∠=，易知21π6F F P ∠=，所以21,PF c PF ==，由双曲线的定义知122PF PF a -=，2c a -=，得1c e a ===+故选：D ．8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是等边三角形，1AA =，2AB =，则点C 到直线1AB 的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】取AC 的中点O ，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】解：取AC 的中点O ，则,BO AC BO ⊥=，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，所以()()10,1,0,,0,1,0A B C -，所以()1,0,2,0AB CA ==-，所以CA 在1AB上的投影的长度为11||||CA AB AB ⋅==，故点C 到直线1AB的距离为d ===故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数()ln 1f x x =-，则下列判断正确的是（ ）A. 直线22exy =是()f x 过原点一条切线B. ()f x 关于y x =对称的函数是1e x y +=C. 过一点(),a b 可以有3条直线与()f x 相切D. ()2f x x ≤-【答案】ABD 【解析】【分析】由导数的几何意义可判定A ，由反函数的概念可判定B ，利用对数函数的图像可判定C ，利用常用的切线放缩可判定D.【详解】对于A ，设切点(),ln 1m m -，则()1ln 100m k f m m m --=='=-，∴1ln 1m m m-=⋅，∴ln 2m =，∴2e m =，切点()2e ,1所以过原点的切线方程为222e 1e ex xy y --=⇒=，∴A正确；的对于B ，由反函数的概念可得111ln ee y x y x x y +++=⇒=⇒=，故与()f x 关于y x =对称的函数为1e x y +=，∴B 正确；对于C ，当点(),a b 在()f x 上方，如下图所示，结合图象可知，最多有两条切线，如果在()f x 下方，没有切线，在曲线上，只有一条切线C 正错误；对于D ，由于x +∀∈R ，设()()1ln 1x g x x x g x x'-=--⇒=，令()01g x x >'⇒>，令()001g x x <⇒<<'，∴()g x 在(1,+∞)上单调递增，在()01，上单调递减；∴()()()10ln 12g x g x x f x x ≥=⇒≤-⇒≤-，∴D 正确．故选：ABD10. 等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ）A. 若374a a +=，则918S =B. 若125a a +=，349a a +=，则7817a a +=C. 若150S >，250S <，则2219a a <D. 若910S S =，则110S >【答案】ABD 【解析】【分析】利用等差数列的性质，对于A ，()()193799922a a a a S ++==，计算即可；对于B ，由已知计算数列公差，再求值即可；对于C ，结合数列单调性比大小；对于D ，由10a >，100a =，得()111116111102a a S a +==>.【详解】等差数列{}n a 中，10a >，设公差为d ，若374a a +=，则()()19379991822a a a a S ++===，A 正确；若125a a +=，349a a +=，则()()3412954a a a a d +-+=-=，得1d =，27811251217a a a d a ++===++，B 正确；若()115158151502a a S a +==>，()1252513252502a a S a +==<，所以公差0d <，当90a >时，有190a a >>，则有2219a a >，当90a <时，有79820a a a +=>，得790a a >->，所以1790a a a >->>，则有2219a a >，C 错误；若910S S =，则100a =，因为10a >，所以()111116111102a a S a +==>，D 正确．故选：ABD ．11. 设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '.若()()42f x g x --=，()()2g x f x ''=-，且()2f x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于点()2,0对称B. ()()352g g +=-C.20241()2024k g k ==-∑D.20241()0k f k ==∑【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，结合奇函数性质，借助赋值法探讨对称性、周期性，再逐项分析判断即得.【详解】对于A ，由(2)f x +为奇函数，得(2)(2)f x f x -+=-+，即(2)(2)0f x f x -++=，因此函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，A 正确；由()(2)g x f x ''=-，得()(2)g x f x a =-+，则(4)(2)g x f x a -=-+，又()(4)2f x g x --=，于是()(2)2f x f x a =-++，令1x =，得2a =-，即()(2)f x f x =-，则(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 是周期函数，周期为4，对于B ，由()(2)2g x f x =--，得(3)(5)(1)2(3)24g g f f +=-+-=-，B 错误；对于C ，显然函数()g x 是周期为4的周期函数，(1)(3)(3)(5)4g g g g +=+=-，(2)(4)(0)2(2)24g g f f +=-+-=-，则2024411()506()506(8)4048k k g k g k ====⨯-=-∑∑，C 错误；对于D ，(1)(3)0f f +=，(2)(4)0f f +=，则2024411()506()0k k f k f k ====∑∑，D 正确.故选：AD【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 在5ax ⎛ ⎝展开式中2x 的系数为270-，则a 的值为__________.【答案】3-【解析】【分析】根据二项式定理可得展开式的通项为()35255C 1r rrrxa--⋅-，令3522r -=，求得r 代入运算即可.【详解】因为展开式的通项为()()3552555C C ,0,1,2,3,,145rr r r rrrax x r a ---⎛⋅= ⎝=-，令3522r -=，解得2r =，因为2x 的系数为()5323211C 2700a a -=-=，解得3a =-.故答案为：3-.13. 函数2()ln 2f x x ax =+-在[1,2]内存在单调递增区间，则a 的取值范围是______.【答案】1(,)2-+∞【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 的导数()f x '，再利用()0f x '>在(1,2)内有解即可.【详解】函数2()ln 2f x x ax =+-，求导得1()2f x ax x'=+，由函数()f x 在[1,2]内存在单调递增区间，得不等式()0f x '>在(1,2)内有解，不等式21()02f x a x'>->⇔，而函数212y x =-在(1,2)上单调递增，当(1,2)x ∈时，21122x ->-，因此12a >-，所以a 的取值范围是1(,)2-+∞.故答案为：1(,)2-+∞14. 双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数1y x=的图象是双曲线，它的实轴在直线y x =上，虚轴在直线y x =-上，实轴顶点是()()1,1,1,1--，焦点坐标是，(，已知函数y x =+e .则其在一象限内的焦点横坐标是__________，其离心率2e =__________.【答案】 ①.②.43【解析】【分析】根据材料得到双曲线的轴和顶点的定义，根据双曲线的离心率和其渐近线的斜率之间的关系求双曲线的离心率，利用双曲线的离心率的定义求双曲线的焦点坐标.【详解】直线y x =和y 轴是双曲线的两条渐近线，由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线y =，由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得2y x x y ⎧⎫=+⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩(，若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线y x =，则双曲线的离心率e ==243e =，设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为()00,x y ，则01x =，所以0x =，所以002y ==，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为2⎫⎪⎪⎭，.43.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤15. 根据统计， 某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y (百千克)与某种液体肥料每亩的使用量x (千克)之间 的对应数据的散点图如图所示．（1）从散点图可以看出， 可用线性回归方程拟合 y 与x 的关系， 请计算样本相关系数r 并判断它们的相关程度；（2）求 y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+， 并预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量．附：()()()121ˆˆˆnn i i i n i i x x y y x x y y r b ay bx x x ==----===--∑∑，．【答案】（1）r = ； y 与x 程正线性相关， 且相关程度很强． （2） 1.50.7y x =+； 9.9 百千克．【解析】【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数r ，再由0.75r >即可求解；（2）求出线性回归方程，再取12x =代入，即可求解.【小问1详解】由题知： 24568345675555x y ++++++++====，所以()()()()55522111142010i i i i i i i x x y y x x y y ===--=-=-=∑∑∑，，所以50.75x x y y r --===>所以 y 与x 程正线性相关， 且相关程度很强．小问2详解】因为 ()()()51521140.70ˆ2i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆˆ50.75 1.5a y bx =-=-⨯=，所以 y 关于x 的线性回归方程为 1.507ˆ.yx =+，当 12x =时， 1.50.712ˆ9.9y=+⨯=．所以预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量为 9.9 百千克．16. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且223n S n n =+，数列{b n }满足24log 1n n a b =+.（1）求,n n a b ；（2）设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .【【答案】（1）41,2n n n a n b =+=（2）()16432n n T n +=+-⋅【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的关系，再结合24log 1n n a b =+即可求解；（2）由错位相减法即可求解.【小问1详解】由223n S n n =+，当2n ≥时，()221232(1)3141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦.当1n =时，115a S ==，也适合41n a n =+.综上可得，41n a n =+.由24log 141n n a b n =+=+，所以2n n b =.【小问2详解】由（1）知()412nn n a b n =+⋅()125292412nn T n =⨯+⨯+++ ()()23125292432412n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ ①①-②得()21104242412n n n T n +-=+⨯++⨯-+⋅ ②()()()111412104412643212n n n n T n n -++--=+⨯-+⋅=---⋅-，所以()16432n n T n +=+-⋅.17. 在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11AA A C =，2AC =，AC BC ⊥，11AA AC ⊥.（1）证明：1BB ⊥平面1A BC ；（2）若异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，求BC .【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到BC ⊥1AA ，结合11AA A C ⊥得到1AA ⊥平面1A BC ，再由平行关系得到证明；（2）作出辅助线，证明出1A P ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，设BC m =，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出m =，得到答案.【小问1详解】因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，AC BC ⊥，⊂BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11AAC C ，因为1AA ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥1AA ，因为11AA A C ⊥，1A C BC C = ，1,AC BC ⊂平面1ABC ，所以1AA ⊥平面1A BC ，又1//BB 1AA ，所以1BB ⊥平面1A BC ；【小问2详解】取AC 的中点P ，连接1PA ，因为11AA A C =，所以1A P ⊥AC ，因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，1A P ⊂平面11AAC C ，所以1A P ⊥平面ABC ，取AB 的中点H ，连接PH ，则//PH BC ，因为AC BC ⊥，所以PH ⊥AC ，故以P 为坐标原点，1,,PH PC PA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为2AC =，所以1112A P AC ==，故()()()101,0,0,1,0,0,0,1A C A -，设BC m =，则(),1,0B m ，设()1,,B s t h ，由11AA BB = 得()()0,1,1,1,s m t h =--，解得,2,1s m t h ===，故()1,2,1B m ，()()11,3,1,0,1,1AB m CA ==- ，因为异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，所以11cos ,3AB =，解得m =，故BC =18. 已知抛物线Γ：24y x =，在Γ上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a >．（1）若A 到抛物线Γ准线的距离为3，求a 的值；（2）当4a =时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线Γ上，求O 到直线AB 的距离；（3）直线l ：3x =-，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为.Q 若在P的位置变化过程中，4HQ >恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）a =（2（3）(]0,2【解析】【分析】（1）先求出点A 的横坐标，代入抛物线方程即可求解；（2）先通过中点在抛物线上求出点B 的坐标，进一步求出直线AB 方程，利用点到直线距离公式求解即可；（3）设22(,),(,),(3,)(0)44t a P t Aa H t t a -≠>，联立方程求出点Q 的坐标，根据4HQ >恒成立，结合基本不等式即可求解.【小问1详解】抛物线Γ：24y x =的准线为1x =-，由于A 到抛物线Γ准线的距离为3，则点A 的横坐标为2，则2428(0)a a =⨯=>，解得a =【小问2详解】当4a =时，点A 的横坐标为2444=，则()4,4A ，设(),0B b ，则AB 的中点为4,22b +⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得24242b +=⨯，解得2b =-，所以B (−2,0)，则402423AB k -==+，由点斜式可得，直线AB 的方程为()223y x =+，即2340x y -+=，所以原点O 到直线AB =；【小问3详解】如图，设()22,,,,3,(0)44t a P t A a H t t a ⎛⎫⎛⎫-≠> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22444AP t a k t a t a -==+-，故直线AP 的方程为244a y a x t a ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，令3x =-，可得2434a y a t a ⎛⎫=-+⋅ ⎪+⎝⎭，即243,34a Q a t a ⎛⎫⎛⎫--+⋅ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则2434a HQ t a t a ⎛⎫=-++⋅ ⎪+⎝⎭，依题意，24344a t a t a⎛⎫-++⋅> ⎪+⎝⎭恒成立，又2432204a t a a a t a⎛⎫+++⋅-≥-> ⎪+⎝⎭，则最小值为24a ->，即2a >+2a >+，则221244a a a +>++，解得02a <<，又当2a =时，1624442t t ++-≥-=+，当且仅当2t =时等号成立，而a t ≠，即当2a =时，也符合题意．故实数a 的取值范围为(]0,2．19. 已知函数22()ln(1),(1,)2x f x x x x ax=+-∈-+∞++.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当0a =时，试判断()f x 零点的个数，并说明理由；（3）是否存在实数a ，使(0)f 是()f x 的极大值，若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由.【答案】（1）388ln270x y -+-=；（2）1个，理由见解析；（3）存在，1{}6a ∈-.【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）把0a =代入，利用导数探讨函数的单调性即可得解.（3）利用连续函数极大值意义求出a 值，再验证即可得解.【小问1详解】当1a =时，22()ln(1)2x f x x x x =+-++，求导得222142()1(2)x f x x x x -=-+++'，则3(1)8f '=，而1(1)ln22f =-，于是切线方程是13ln2)(1)(28x y -=--，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程388ln270x y -+-=.【小问2详解】当0a =时，24()ln(1)ln(1)222x f x x x x x=+-=++-++，的求导得22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=≥++++，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f =，所以函数()f x 有且仅有一个零点，是0.【小问3详解】由(0)f 是()f x 的极大值，得0,0m n ∃<>，使得当(,)x m n ∈时，220x ax ++>且()(0)f x f ≤恒成立，求导得22222(461)()(1)(2)x a x ax a f x x ax x '+++=+++，因此0x =是22()461h x a x ax a =+++的变号零点，即(0)0h =，解得16a =-，经检验，当16a =-时，322(24)()(1)(612)x x f x x x x -=+--'，则当(1,0)x ∈-时()0f x '>，当(0,24)x ∈时()0f x '<，于是(0)f 是()f x 的极大值，符合条件，所以a 的取值集合为1{}6-.【点睛】结论点睛：函数()y f x =是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
高三数学试卷含答案文库
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[0, 2]上的图像是单调递增的，则f(0)的值是（）A. 0B. 1C. -1D. -2答案：B解析：由导数的定义，f'(x) = 3x^2 - 3，当x∈[0, 2]时，f'(x) > 0，即f(x)在[0, 2]上单调递增。
因此，f(0) = 1。
2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 25答案：C解析：由等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得an = 3 + (10 - 1)×2 = 23。
3. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则该圆的半径是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：将圆的方程配方，得(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4，即圆心坐标为(2, 3)，半径r = √4 = 2。
4. 若函数y = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则a、b、c之间的关系是（）A. a > 0，b > 0，c > 0B. a < 0，b < 0，c < 0C. a > 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b > 0，c < 0答案：C解析：由二次函数的性质，当a > 0时，函数开口向上，x = -b/2a处取得最小值；当a < 0时，函数开口向下，x = -b/2a处取得最大值。
因此，当函数在x = 1时取得最小值，a > 0，b < 0，c > 0。
5. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的实部是（）A. 0B. 1C. -1D. 不确定答案：A解析：设复数z = x + yi，则|z - 1| = |(x - 1) + yi|，|z + 1| = |(x + 1) + yi|。
新高三数学测试题及答案
新高三数学测试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，则f(3)的值为：A. -1B. 1C. 9D. 11答案：B2. 已知等差数列{a_n}中，a_1 = 2，公差d = 3，求a_5的值。
A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A3. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)答案：A4. 函数y = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-1, 1]B. [-√2, √2]C. [0, 2]D. [1, 2]答案：B5. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B =：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案：B6. 已知向量a = (3, 4)，b = (-4, 3)，则向量a与向量b的夹角θ满足：A. cosθ = 1/7B. cosθ = -1/7C. cosθ = 7/√50D. cosθ = -7/√50答案：A7. 函数y = x^3 - 3x^2 + 4x的导数y'为：A. 3x^2 - 6x + 4B. x^2 - 3x + 4C. 3x^2 - 6x + 1D. x^2 - 3x + 2答案：A8. 已知复数z = 2 + 3i，求|z|的值。
A. √13B. √19C. √7D. √17答案：A9. 已知双曲线方程为x^2/9 - y^2/16 = 1，求其渐近线方程。
A. y = ±(4/3)xB. y = ±(3/4)xC. y = ±(16/9)xD. y = ±(9/16)x答案：A10. 已知等比数列{b_n}中，b_1 = 2，公比q = 2，求b_4的值。
A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = _______。
高三数学试卷题库及答案
1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 1/3D. 无理数答案：C2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为（）A. -1B. 0C. 3D. 5答案：B3. 在△ABC中，∠A=60°，AB=AC，若BC=4，则△ABC的面积为（）A. 2√3B. 4√3C. 6D. 8答案：A4. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列的前10项和为（）A. 144B. 155C. 166D. 177答案：C5. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(-1) = 0，f(1) = 3，且△=b^2 - 4ac=0，则f(2)的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C二、填空题6. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 2，则f(x)的最小值为______。
答案：27. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，∠C=105°，则cosC的值为______。
答案：√6/48. 已知数列{an}的通项公式为an = (-1)^n n，则数列的前10项和为______。
答案：-559. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的零点为______。
答案：-1，210. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差为______。
答案：3三、解答题11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)的对称中心。
答案：f(x)的对称中心为(0, 2)。
12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=50，S20=150，求该数列的通项公式。
答案：an = 3n - 1。
13. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与x轴的交点。
答案：f(x)的图像与x轴的交点为(1, 0)和(3, 0)。
河南省部分名校2024-2025学年高三上学期阶段性测试(二)数学试题含答案
河南省部分名校2024-2025学年高三上学期阶段性测试（二）数学试题考生注意：（答案在最后）1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(2)30},(,2)(4,)A xx x B =-+>=-∞⋃+∞∣，则()R A B ⋂=ð（）A.[2,3)B.(1,2)-C.(,3)(4,)-∞⋃+∞D.(1,4]-【答案】A 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据交，并，补的运算，即可求解.【详解】()2230230x x x x -+>⇔--<，即()()130x x +-<，得13x -<<，即()13A ,=-,[]R 2,4B =ð，所以()[)R 2,3A B ⋂=ð.故选：A2.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点31,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.-1B.32-C.12-D.32【答案】C 【解析】【分析】结合三角函数的定义求cos α和sin α，再代入两角和的余弦公式，即可求解.【详解】由终边点31,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭可知，cos 2α=-，1sin 2α=-，所以πππ111cos cos cos sin sin 66622222ααα⎛⎫+=-=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C3.已知函数e ,1()ln 2,1(4),1x x f x x f x x -⎧<⎪==⎨⎪->⎩，则()(9)f f =（）A.2eB.1C.ln 2D.12【答案】D 【解析】【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的应用.【详解】由题意，()()()1lnln 221(9)(5)(1)(ln 2)ee2f f f f f f f -======.故选：D.4.已知π6cos 46α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.56-B.23-C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解.【详解】由条件可知，22ππ2cos 22cos 1212463αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而π2sin 2cos 223αα⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.故选：C5.函数2e ()e 1xx x f x =+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项.【详解】函数的定义域为R ，且()()22e e e 1e 1x xx x x x f x f x ---⋅-⋅-===-++，所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，且当0x >时，()0f x >，故排除C ，()1e e x xx f x =+，当x →+∞时，0y →，故排除D ，满足条件的只有B.故选：B6.若命题“21,e e 10x x x k +∃∈-+<R ”是假命题，则实数k 的取值范围是（）A.(,-∞B.(∞-C.(),-∞⋃+∞D.)⎡+∞⎣【答案】A 【解析】【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果.【详解】由题意，命题“21,e e 10x x x k +∃∈-+<R ”是假命题，等价于其否定“21,e e 10x x x k +∀∈-+≥R ”是真命题，令()e0xt t =>，则2e 10t kt -+≥对0t ∀>恒成立，即1e k t t ≤+，需满足min 1e k t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，而0t >，1e t t +≥=，当且仅当1e t t =，即e et =时取等号.所以min1e t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭k ≤故选：A.7.将函数π()cos (06)6f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，若()g x 是奇函数，则()f x 在区间(0,π)内的极值点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由平移关系与奇函数性质可得()f x 的对称性，求得()f x 的解析式，然后根据余弦函数的性质求解即可.【详解】若()g x 是奇函数，则()g x 图象关于(0,0)对称，由题意得()g x 的图象向左移π6个单位长度得到函数()f x 的图象，故()f x 的图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则cos 066ππω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则,662k k πππωπ-+=+∈Z ，解得62,k k ω=--∈Z ，又因为06ω<<，则当1k =-时，4ω=.()cos 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π()0,x ∈，令ππ25π4,666t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()cos h t t =在π25π,66⎛⎫⎪⎝⎭极值点的个数与()f x 在区间(0,π)内的极值点个数相同.而函数()cos h t t =在π25π,66⎛⎫⎪⎝⎭内的所有极值点为π,2π,3π,4π，共4个.故()f x 在区间(0,π)内的极值点个数也为4个.故选：D.8.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为奇函数，()2f x +为偶函数，则()()()1216f f f =+++L （）A.0B.16C.22D.32【答案】B 【解析】【分析】由()1f x -为奇函数得对称中心为 벘ࢿ，结合(2)f x +为偶函数，求周期为8，从而求出()()()128f f f +++ ，即可得到()()()1216f f f +++ 的值.【详解】因为()1f x -为奇函数，则()01f =，且函数()f x 的图象关于 벘ࢿ中心对称，即()()2f x f x +-=，因为()2f x +为偶函数，所以()()22f x f x +=-，则()()4f x f x +=-，所以()()42f x f x ++=，()()482f x f x +++=，所以()()8f x f x =+，故()f x 的周期为8，因为()()()()()()()()152,262,372,482f f f f f f f f +=+=+=+=，所以()()()()()()1216212816f f f f f f ⎡⎤+++=+++=⎣⎦ ，故选：B .【点睛】关键点点睛：由()1f x -为奇函数，()2f x +为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数()f x 的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知110a b<<，则（）A.22a b >B.ln()ln()b a ->-C.()2222()a ba b +>+ D.2a ab<【答案】BCD 【解析】【分析】首先判断0b a <<，再结合不等式的性质，函数的单调性，以及作差法，即可判断选项.【详解】由110a b<<，可知，0b a <<，所以22a b <，故A 错误；0b a ->->，对数函数ln y x =单调递增，所以()()ln ln b a ->-，故B 正确；()()()222220a b a b a b +-+=->，即()()2222a b a b +>+，故C 正确；()2a ab a a b -=-，由0b a <<，可知()20a ab a a b -=-<，即2a ab <，故D 正确.故选：BCD10.已知函数1()sin 2sin cos f x x x x=+，则（）A.()f x 为奇函数B.()f x 的值域为(,)-∞-⋃+∞C.()f x 的图象关于直线3π4x =对称D.()f x 以π为周期【答案】ACD 【解析】【分析】首先化简函数()2sin 2sin 2f x x x=+，再根据奇函数的定义，判断A ，通过换元分析函数2y t t =+的单调性，即可求函数的值域，判断B ，证明()3π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，判断C ，根据()()πf x f x +=，即可判断D.【详解】()2sin 2sin 2f x x x=+，sin 20x ≠，则π2π2k x k x ≠⇒≠，Z k ∈，则函数的定义域为π,Z 2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，函数的定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，所以函数是奇函数，故A 正确；设[)(]sin 21,00,1t x =∈- ，2y t t=+在区间(]0,1单调递减，[)3,y ∈+∞，因为函数是奇函数，所以函数的值域是(][),33,∞∞--⋃+，故B 错误；()()()3π22sin 3π2sin 22sin 3π2sin 2f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=+= ⎪-⎝⎭，所以函数()f x 关于3π4x =对称，故C 正确；()()()()22πsin 22πsin 2sin 22πsin 2f x x x f x x x+=++=+=+，所以函数()f x 的周期为π，故D 正确.故选：ACD11.已知对任意0x >，不等式32e 2ln 0x ax ax x -+≥恒成立，则实数a 的可能取值为（）A.1B.e 2C.eD.2e 【答案】ABC 【解析】【分析】将不等式运算转化为指对同构形式，整体换元转化不等式，分离参数后再构造函数求最值可得a 的范围.【详解】由0x >，32e 2ln 0xax ax x -+≥可化为2e 2ln 0xax a x x-+≥，则又可化为()2222e e e ln 0ln 0x x x a x x a x x x--≥⇔-≥，令2()x e x xϕ=，则3e (2)()x x x x ϕ-'=，令()0x ϕ'=，得2x =，当02x <<时，()0x ϕ'<，则()ϕx 在(0,2)单调递减；当2x >时，()0x ϕ'>，则()ϕx 在(2,)+∞单调递增；故2mine ()(2)4x ϕϕ==，且当x →+∞，()x ϕ→+∞.再令2e xt x =，则2e ,4t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则关于t 的不等式ln 0t a t -≥在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，即ln ta t ≤在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，令()ln t h t t =，2e ,4t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2ln 1()(ln )t h t t -'=，由()0h t '=解得e t =，当2e e 4t ≤<时，()0h t '<，则()h t 在2e ,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减；当t e >时，()0h t '>，则()h t 在(e,)+∞单调递增；所以min ()(e)e h t h ==，要使ln t a t ≤在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，则e a ≤.故选：ABC.【点睛】方法点睛：解决指对混合不等式时，通常需要利用指对运算挖掘同构特点（指对同构）进行整体代换，从而构造新函数解决问题，其运算实质还是指对互化与指数、对数恒等式的变换.常见变形方式有：()ln ln ln e e e ee e ln l ,n e ,ln ln e ,,x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x+--===+=-=.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){,12},{ln 20}P yy x a x Q x x ==+-<≤=-<∣∣，若x P ∈是x ∈Q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】[]0,2【解析】【分析】化简集合,P Q ，再结合P 是Q 的必要不充分条件列不等式族求解.【详解】由y x a =+，12x -<≤，则12a y a -<≤+，所以{}12P y a y a =-<≤+，由()ln 20x -<，即()ln 2ln1x -<，解得12x <<，所以{}12Q x x =<<，因为P 是Q 的必要不充分条件，所以1122a a -<⎧⎨+>⎩，且11a -=，22a +=也符合题意，解得02a ≤≤.所以实数a 的取值范围为 벘h .故答案为： 벘h .13.已知,a b 均为正实数，且23a b ab +=，则1332a b +--的最小值为_____________.【解析】【分析】由已知条件等式配凑积为定值(3)(2)6a b --=的形式，再利用基本不等式求解可得最小值.【详解】由23a b ab +=，得230ab a b --=，则236(3)(2)6ab a b a b --+=--=，由已知0,0a b >>，则23(3)0a ab b b a =-=->，所以3a >，且32(2)0b ab a a b =-=->，所以2b >.所以30,20a b ->->，故1332a b +≥--当且仅当1332a b =--，即32a b ==+所以1332a b +--.14.已知曲线e x y =上有不同的两点P 和Q ，若点,P Q 关于直线y x =的对称点,P Q ''在曲线2y kx x =-上，则实数k 的取值范围为_____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由曲线e x y =与ln y x =关于直线y x =对称，将问题转化为曲线ln y x =与2y kx x =-有2个交点，即方程ln 1x kx x=-有2个不同的实根，进而转化为()ln xh x x =和1y kx =-有两个交点，利用导数求函数()ln xh x x=的大致图象，结合图象即可求解.【详解】 曲线e x y =与ln y x =关于直线y x =对称，又点,P Q 关于直线y x =的对称点,P Q ''在曲线2y kx x =-上，∴曲线()ln 0y x x =>与2y kx x =-有2个交点，即2ln x kx x =-有2个不同的实根，即方程ln 1xkx x=-有2个不同的实根，设函数()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'=，∴当0e x <<时， ， 在()0,e 上单调递增，当e x >时， ， 在()e,+∞上单调递增，()()max 1e eh x h ∴==，再根据当0x →时，()h x ∞→-，当x →+∞时，()0h x →，作出的大致图象，如图，由于直线1y kx =-过定点()0,1-，当直线1y kx =-与 的图象相切时，设切点为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，此时00200ln 11ln x x x k x x +-==，即002ln 10x x +-=，可得01x =，此时切线的斜率为1，由图可知，01k <<时，直线1y kx =-与 的图象有2个交点，∴实数k 的取值范围为 벘ࢿ，故答案为： 벘ࢿ.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数32()2g x x mx mx n =+-+的图象在点(1,(1))g --处的切线与直线820x y +-=垂直.（1）求m 的值;（2）已知()g x 在区间[1,2]-上的最小值为5-，求()g x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）1m =-（2）1.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解；（2）利用导数判断()g x 的单调性，结合()g x 的最小值为5-，求出n ，并求出最大值.【小问1详解】由已知，得2()34g x x mx m '=+-，由题知(1)348g m m '-=--=，解得1m =-.【小问2详解】由（1）可知，32()2g x x x x n =-++，21()3413(1)3g x x x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，,(),()x g x g x '的变化情况如表所示：x 1-11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1(1,2)2()g x '+0-0+()g x 4n - 极大值427n + 极小值n 2n +4n n -< ，min ()45g x n ∴=-=-，1n ∴=-，max 42,()2 1.27n n g x n +<+∴=+= 即()g x 在区间[1,2]-上的最大值为1.16.已知向量(cos sin ),(cos sin ,2cos )m x x x n x x x =+=- ，函数()g x m n =⋅ .（1）求()g x 的最小正周期;（2）若函数()()f x g x a =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）π（2）[1,2).【解析】【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期；（2）由题意转化为y a =与函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.【小问1详解】22()cos sin cos g x m n x x x x =⋅=-+，cos 222sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()g x ∴的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由题知()g x a =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的实数根，即函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象与直线y a =恰有两个交点，令72,0,,,6266u x x u ππππ⎡⎤⎡⎤=+∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，作出72sin ,66y u u ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线y a =，如图.由图知，当12a ≤<时，72sin ,66y u u ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线y a =有两个交点，∴实数a 的取值范围为[1,2).17.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知57cos 14C =，4a =，且ABC V 的面积为（1）求c ；（2）延长CB 至点D ，使得ABD △是等腰三角形，求sin DAC ∠.【答案】（1）2（2）32114【解析】【分析】（1）首先根据同角三角函数的平方关系求出sin C ，然后根据三角形的面积公式求出b 的值，再利用余弦定理求解即可；（2）首先利用余弦定理的推论求出1cos 2ABC ∠=-，进而得到3ABD π∠=，根据ABD △是等腰三角形得到ABD △是边长为2的等边三角形，再利用ADC ABD ABC S S S =+ 求解即可.【小问1详解】cos 14C = ，(0,π)C ∈，sin 14C ∴===，1121sin 42214ABC S ab C b ==⨯⨯⨯= ，b ∴=∴由余弦定理得222222cos 424414c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，2c ∴=；【小问2详解】如图，由（1）及余弦定理可得，222222421cos 22422a cb ABC ac +-+-∠===-⨯⨯，2π3ABC ∴∠=，π3ABD ∴∠=， ABD △是等腰三角形，∴ABD △是边长为2的等边三角形，2AD AB ==，224ADC ABD ABC S S S =+=⨯+=又1sin 2ADC S AD b DAC DAC =⨯∠=∠= 321sin14DAC ∴∠=.18.已知函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，对任意,x y ∈R 且||||x y ≠，都满足()22()()f x y f x y f x y ++-=-.（1）求(1),(1)f f -;（2）判断()f x 的奇偶性;（3）若当1x >时，()0f x >，且(2)1f =，求不等式(2)(1)2f x f x +--<的解集.【答案】（1）0；0（2）偶函数（3）2(,2)2,(2,)5⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用赋值法计算可得；（2）对任意非零实数a ，b ，令,22a b a b x y +-==，即可得到()()()f a f b f ab +=，再令1b =-，即可得解；（3）首先说明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，再得到(4)2f =，则不等式转化为(2)(44)f x f x +<-，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可.【小问1详解】因为对任意,x y ∈R 且||||x y ≠，都满足()22()()f x y f x y f x y++-=-，令1,0x y ==，得(1)(1)(1)f f f +=，(1)0f ∴=，令1,0x y =-=，得(1)(1)(1)0f f f -+-==，(1)0f ∴-=.【小问2详解】对任意非零实数a ，b ，令,22a b a b x y +-==，可得()()()f a f b f ab +=.在上式中，令1b =-，得()(1)()f a f f a +-=-，即对任意非零实数a ，都有()()f a f a =-，()f x ∴是偶函数.【小问3详解】对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x <，有22111,0x x f x x ⎛⎫>∴> ⎪⎝⎭，由（2）知()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴在区间(0,)+∞上单调递增.(2)1,211(2)(2)(4)f f f f =∴=+=+= ，(2)(1)2f x f x +--< ，(2)(1)2(1)(4)(44),f x f x f x f f x ∴+<-+=-+=-()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 的偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，∴原不等式转化为0|2||44|x x <+<-，解得2x <-或225x -<<或2x >，∴原不等式的解集为2(,2)2,(2,)5∞∞⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪⎝⎭.19.已知函数()(2)e (2)1x f x x ax x =---+.（1）若()f x 仅有一个极值点且()2f x >-恒成立，求实数a 的取值范围;（2）当a 变化时，求()f x 的图象经过的所有定点的坐标，并请写出一个函数tan()y A x ωϕ=+，使其图象经过上述所有定点;（3）证明：21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤++-->+-⎣⎦.【答案】（1）(]e 3,0-（2）ππtan 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由()()(1)e 2x f x x a =--'分类讨论函数极值并求函数最小值满足条件即可；（2）令a 的系数为0求定点，结合特殊角的正切值写出满足题意的一个函数即可；（3）化简函数解析式求导函数，利用隐零点回代的方法求证函数最小值大于0可得.【小问1详解】由题知()()(1)e 22(1)e 2x x f x x ax a x a '=--+=--，①当0a ≤时，20x e a ->恒成立，∴当1x <时，()0,()'<f x f x 在(,1)-∞单调递减，当1x >时，()0,()'>f x f x 在(1,)+∞单调递增，则()f x 仅有一个极值点，且min ()(1)e 1f x f a ==-++.要使()2f x >-恒成立，得(1)e 12f a =-++>-，解得e 3a >-.所以e 30a -<≤；②当0a >时，由()0f x '=，得11x =或()2ln 2x a =.当ln(2)1a =，即e 2a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在R 上单调递增，即函数()f x 无极值点，不满足题意；当ln(2)1a >时，即2e a >时，1ln(2)a <当1x <时，()0f x '>，()f x 在(,1)-∞单调递增；当1ln(2)x a <<时，()0f x '>，()f x 在()1,ln(2)a 单调递减；当ln(2)x a >时，()0f x '>，()f x 在()ln(2),a +∞单调递增；则()f x 在1x =与ln(2)x a =处都取极值，即有两个极值点，故不满足题意；同理，当ln(2)1a <时，即0e 2a <<时，()f x 也有两个极值点，故不满足题意；综上所述，实数a 的取值范围是(]e 3,0-.【小问2详解】令(2)0x x -=，可得0x =或2x =，(0)1,(2)1f f =-= ，()f x ∴的图象经过的所有定点的坐标为(0,1)-和(2,1).函数tan()y A x ωϕ=+图象过(0,1)-和(2,1)，则tan 1A ϕ=-，且()tan 21A ωϕ+=.当ππ1,,44A ωϕ===-时，函数ππ()tan 44x x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则π14(0)tan ϕ⎛⎫-⎝==-⎪⎭，且1(2)ta 4n πϕ==满足题意.图象经过点(0,1)-和(2,1)的函数tan()y A x ωϕ=+可以是ππtan 44y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.(函数解析式不唯一)【小问3详解】要证21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤++-->+-⎣⎦，即证21(21)e e 2ln 304x x x x ---+>.设21()(21)e e 2ln 34x x g x x x =---+，则()222()e e e 1e x x x x g x x x x x '⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭0,e 10,x x x >∴+> 设2()e (0)x h x x x=->，则()h x 在区间(0,)+∞上单调递增，232(1)e 20,e 303h h ⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭故存在唯一的02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0002e 0x h x x =-=，即002e x x =，即00ln ln 2x x =-+.∴当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '<；当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，()min 0()()g x g x g x ∴≥=()00200121e e 2ln 34x x x x =---+()20000122212ln 2234x x x x ⎛⎫=-⨯--++ ⎪⎝⎭0201232ln 2.x x =-+-设21()232ln 2t x x x =-+-，则()t x 在区间2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴当2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2491()32ln 22(1ln 2)033412t x t ⎛⎫>=-+-=+-> ⎪⎝⎭，21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤∴++-->+-⎣⎦.【点睛】方法点睛：在导函数应用题型中，有些题目零点不会解，可以采用设出零点，利用导数为0条件代回函数解析式求解最值的方法，一般步骤如下：（1）用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程()0f x '=，并结合()f x 的单调性得到零点的取值范围．（2）以零点为分界点，说明导函数()f x '的正负，进而得到()f x 的最值表达式．（3）将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时（1）中的零点范围还可以适当缩小．。
2025届绵阳中学高三12月综合测试数学试题+答案
四川省绵阳中学2024-2025学年高三上学期12月综合测试数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数tan y x =值域可以表示为（ ） A. {tan }x y x =∣ B. {tan }y y x =∣ C. {(,)tan }x y y x =∣D. {tan }y x =2. 若“sin θ=是“tan 1θ=”的充分条件，则θ是（ ） A. 第四象限角B. 第三象限角C. 第二象限角D. 第一象限角3. 下列命题正确的是（ ） A x ∃∈R ，20x <B. (0,4)x ∀∈，20log 2x <<C. (0,)x ∃∈+∞，132x x<D. π0,2x∃∈，4sin cos x x = 4. 函数24()f x x x =−的大致图象是（ ）A. B.CD.5. 已知向量1e ，2e满足121e e == ，120e e ⋅= ，则向量1e 与12e e − 的夹角为（ ） A. 45° B. 60°C. 120°D. 135°6. 已知5πtan210α+=，则4π5tan 5α−=（ ） A.125 B. 125−C.43D. 43−的..7. 已知0a >，0b >，9a b +=，则36a ba+的最小值为（ ） A. 8B. 9C. 12D. 168. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知202420241tan tan tan A B C+=，则222a b c +=（ ）A. 4049B. 4048C. 4047D. 4046二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知函数sin()()2x f x −=，则（ ） A. ()f x 的值域为1,22B. ()f x 为奇函数C. ()f x 在ππ,22−上单调递增 D. ()f x 的最小正周期为2π10. 国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费(0)x x >元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（ ） A. 当0200x <<时，应进甲商场购物 B. 当200300x ≤<时，应进乙商场购物 C. 当400500x ≤<时，应进乙商场购物 D. 当500x >时，应进甲商场购物11. 设0x >，函数())2ln ,f x x g x x x==+，则下列说法正确是（ ） A. 存在0x >，使得()1f x x >−B. 函数()1f x +图象与函数e 1x y =−的图象有且仅有一条公共的切线C. 函数()g x图象上的点与原点距离的最小值为 D. 函数()()f x g x +的极小值点为1x =第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()1ln(2)f x x =−+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f −−处的切线方程为______． 13. 已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x+为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是__________．的14. 若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称P 为ABC 布洛卡点，α为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在ABC 中，AB AC =，3cos 5BAC ∠=，若P 为ABC 的布洛卡点，且PA =，则BC 的长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称"礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份 12345违章驾驶人次125 105 100 90 80附：1221ni ii nii x y nx ybxnx==−=−∑∑ ， ay bx =− ，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++（其中n a b c d =+++）()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k2.0722.7063.8415.0246.635（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次y 与月份x 之间的关系，求y 关于x 的回归方程y bxa =+ ，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次； （2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：不礼让行人礼让行人 的驾龄不超过2年 24 16 驾龄2年以上2624能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关? 16. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，225,3nnS a a n==− （1）求1a ，并证明212n n n a a a +++=（2）若()22nn a b nn =+，求数列{}n b 的前n 项和n T17. 已知平面向量(,)m a b =，(sin ,cos )n x x ωω= ，且2m n = ，其中0a >，0ω>．设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象（()f x 的部分图象如图所示）上．（1）求a ，b ，ω的值；（2）若()G x y ,是()y f x =图象上的一点，则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，求()g x 在[0,π]上的单调递减区间．18. 已知函数()2()e xf x x mx n =++，m ，n ∈R ． （1）当24m n =时，求()f x 的最小值； （2）当2m =−时，讨论()f x 的单调性；（3）当0m n ==时，证明：0x ∀>，()ln 1f x x >+．19. 已知非零向量(,)a m n =，(,)b p q =，a ，b 均用有向线段表示，现定义一个新的向量c以及向量间的一种运算“※”：(,)c a b mp nq mq np ==−+※．（1）证明：c 是这样一个向量：其模是a 的模的 b 倍，方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角（β为x轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角，且02πβ≤<），并举一个具体的例子说明之； （2）如图1，分别以ABC 的边AB ，AC 为一边向ABC 外作ABD △和ACE △，使π2BAD CAE ∠=∠=，(01)AD AEAB ACλλ==<<．设线段DE 的中点为G ，证明：AG BC ⊥； （3）如图2，设(3,0)A −，圆22:4O x y +=，B 是圆O 上一动点，以AB 为边作等边ABC （A ，B ，C 三点按逆时针排列），求||OC 的最大值．四川省绵阳中学2024-2025学年高三上学期12月综合测试数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数tan y x =的值域可以表示为（ ） A. {tan }x y x =∣ B. {tan }y y x =∣ C. {(,)tan }x y y x =∣ D. {tan }y x =【答案】B【详解】因函数的值域是指函数值组成的集合，故对于函数tan y x =，其值域可表示为：{tan }yy x =∣. 故选：B. 2. 若“sin θ=是“tan 1θ=”的充分条件，则θ是（ ） A. 第四象限角 B. 第三象限角C. 第二象限角D. 第一象限角【答案】B【详解】由题可知，sin 0θ<，则θ是第三象限角或第四象限角；又要得到tan 10θ=>，故θ是第三象限角. 故选：B3. 下列命题正确的是（ ） A x ∃∈R ，20x <B. (0,4)x ∀∈，20log 2x <<C. (0,)x ∃∈+∞，132x x<D. π0,2x∃∈，4sin cos x x = 【答案】C【详解】对于选项A:因为指数函数2x y =的值域为(0,+∞)，故x ∀∈R ，20x >，故选项A 错误； 对于选项B: 因为对数函数2log y x =在(0,4)x ∈上单调递增，所以当(0,4)x ∈时，()2log ,2y x ∞=∈−，故选项B 错误；.对于选项C:令14x =,则311464 = ，121142 =，显然11642<，故(0,)x ∃∈+∞，使得132x x <成立，故选项C 正确;对于选项D:结合题意可得：令4sin cos 2sin 2yx x x =，因为π0,2x ∈，所以()20,πx ∈，所以(]2sin 20,2yx ∈，2>，故不存在π0,2x∈，使得4sin cos x x =,故选项D 错误. 故选：C.4. 函数24()f x x x =−的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C【详解】函数24y x x =−是偶函数，图象关于y 轴对称，排出选项A 、B ；再取特殊值12x =和2x =，可得函数的大致图象为C ， 故选：C .5. 已知向量1e ，2e满足121e e == ，120e e ⋅= ，则向量1e 与12e e − 的夹角为（ ） A. 45° B. 60°C. 120°D. 135°【答案】A【详解】由题可知()21121121e e e e e e ⋅−−⋅，12e e −= ，121e e ==所以()112112112cos ,e e e e e e e e e ⋅−−==−故向量1e 与12e e −的夹角为45°故选:A 6. 已知5πtan210α+=，则4π5tan5α−=（ ） A.125 B. 125−C.43D. 43−【答案】C【详解】由题可知，5π4π52π105αα+−×+=25π2tan5π4410tan 25π101431tan 10ααα++ ×===− +−− 所以有4π55π5π4tan tan π2tan 2510103ααα−++ =−×=−×=故选：C7. 已知0a >，0b >，9a b +=，则36a ba+的最小值为（ ） A. 8 B. 9C. 12D. 16【答案】A【详解】43644448b a b a a a b b a a b a +=+=++≥+=+ 当且仅当4b aa b=，9a b +=，即26a b ==时等号成立； 故选：A8. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知202420241tan tan tan A B C+=，则222a b c +=（ ）A. 4049B. 4048C. 4047D. 4046【答案】A【详解】在ABC 中，202420241tan tan tan A B C +=，可得cos cos cos 2024()sin sin sin A B CA B C+=， 即sin cos cos sin cos 2024sin sin sin B A B A C A B C +×=，故sin()cos 2024sin sin sin B A CA B C+×=， 即sin cos 2024sin sin sin C C A B C ×=，所以2sin 2024cos sin sin CC A B×=，所以222220242c a b c ab ab+−×=，即22224048c a b c =+−，所以2224049c a b =+故2224049a b c +=. 故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知函数sin()()2x f x −=，则（ ） A. ()f x 的值域为1,22B. ()f x 为奇函数C. ()f x 在ππ,22−上单调递增 D. ()f x 的最小正周期为2π【答案】AD【详解】对于选项A:由sin()()2x f x −=，令()sin t x =−，则2t y =，[]1,1t ∈−， 因为2ty =在[]1,1t ∈−上单调递增，所以12,22ty =∈，故选项A 正确； 对于选项B: 由sin()()2x f x −=可知(),x ∞∞∈−+，对任意的(),x ∞∞−∈−+， 因为sin ()2x f x −=，而sin ()2x f x −=，易验证()(),f x f x −≠−故()f x 不是奇函数， 故选项B 错误；对于选项C :结合选项A 可知()sin t x =−在ππ,22−单调递减，而2t y =在定义域上单调递增， 由复合函数的单调性可得sin()()2x f x −=在ππ,22−单调递减，故选项C 错误； 对于选项D :因为()sin t x =−的最小正周期为2πT =， 所以sin(2π)sin()(2π)22()x x f f x x −−−==+=，所以()f x 的最小正周期为2π，故选项D 正确.故选：AD.10. 国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费(0)x x >元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（ ）A. 当0200x <<时，应进甲商场购物B. 当200300x ≤<时，应进乙商场购物C. 当400500x ≤<时，应进乙商场购物D. 当500x >时，应进甲商场购物【答案】AC【详解】当0200x <<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为x ，0.84x x >，故应进甲商场， 所以选项A 正确；当200300x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为40x −，400.840.1640x x x −−=−，因为200250x ≤<，所以80.16400x −≤−<，400.84x x −<，进入乙商场，当250300x ≤<故400.84x x −>应进甲商场，所以选项B 错误； 当400500x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为80x −800.840.1680x x x −−=−，因为400500x ≤<，所以160.16800x −≤−<故800.84x x −<，所以应进乙商场，所以选项C 正确；假设消费了600，则在甲商场的费用为6000.84504×=，在乙商场的费用为600120480−=，所以乙商场费用低，故乙商场购物，故选项D 错误. 故选：AC11. 设0x >，函数()()2ln ,f x x g x x x==+，则下列说法正确的是（ ） A. 存在0x >，使得()1f x x >−B. 函数()1f x +图象与函数1x y =−的图象有且仅有一条公共的切线C. 函数()g x图象上的点与原点距离的最小值为 D. 函数()()f x g x +的极小值点为1x = 【答案】BD【详解】对于A ：设()()()1ln 1(0)h x f x x x x x =−−=−+>，则11()1x h x x x−′=−=， 由()0h x ′>得01x <<，由()0h x ′<得1x >，所以函数()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0h x h ≤=，即()1f x x ≤−恒成立，选项A 错误.对于B ：由()()1ln 1y f x x =+=+得1e y x +=，即e 1y x =−，所以函数()1y f x =+与函数e 1x y =−互为反函数，图象关于直线y x =对称，结合图象可得函数()1y f x =+与e 1x y =−的图象都过原点，直线y x =为函数()1y f x =+与在e 1x y =−唯一的公切线，选项B 正确.对于C ：设点(,)P x y 为函数()g x 图象上任意一点，则OP =≥，当且仅当x =等号成立，选项C 错误. 对于D ：令()()()()2ln 0F x f x x x x x x=+=++>，则()()()2222211221x x x x F x x x x x+−+−=′=+−=， 当(0,1)x ∈时，()0F x ′<，当(1,)x ∈+∞时，()0F x ′>，所以()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故1x =是函数()F x 的极小值点，选项D 正确. 故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()1ln(2)f x x =−+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f −−处的切线方程为______． 【答案】0x y +=【详解】由题可知，()12f x x =−+′，()11f −=， 所以切线斜率()11k f =−=−′， 故切线方程为()110y x x y −=−+⇒+=. 故答案为：0x y +=13. 已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x+为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是__________．【答案】2【详解】πππcos cos 222f x x x ωωω+=+=+⋅为偶函数， 所以ππ2k ω⋅=，Z k ∈，得2k ω=，Z k ∈， 当xx ∈(0,π)时，()0,πx ωω∈，()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点， 所以3π5ππ22ω<≤，解得：3522ω<≤，所以2ω=. 故答案为：214. 若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称P 为ABC 的布洛卡点，α为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在ABC 中，AB AC =，3cos 5BAC ∠=，若P 为ABC 的布洛卡点，且PA =，则BC 的长为______．【详解】213cos 2cos 125BAC BAC ∠=∠−=，所以BAC ∠为锐角，12BAC ∠为锐角，所以11cos 22BAC BAC ∠∠ 由于AB AC =，所以A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则2πBAC θ∠+=， ππ11cos cos cos sin 2222BAC BAC BAC θ−∠==−∠=∠=，θ为锐角，则sin θ. 由于,BAP CBP ABP BCP θα∠=∠∠=∠=−， 所以ABP BCP ，所以ABAP BP BC BP PC==①，在PBC △中，由正弦定理得()()()sin sin sin sin πBP BC BC PC θαθααθα===−−−−， 所以()sin sin BP PC θαα−=，所以()sin sin AB BP BC PC θαα−==， 即()sin sin c a θαα−=，由正弦定理得sin sin cos cos sin sin cos sin sin tan ACB BAC θαθαθθαα∠−==−∠，，解得4tan 7α=，则α为锐角， 由22sin 4tan cos 7sin cos 1ααααα==+=解得sin αα=， 在三角形ABC 中，由余弦定理得222222342cos 2255a b c bc A b b b =+−=−×=，所以225,4b a b ==， 在三角形ACP 中，由正弦定理得()()sin sin sin πAP AC ACBACBAC ααα==∠−−∠−，=，解得a BC =.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称"礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份 12345违章驾驶人次125 105 100 90 80附：1221ni ii nii x y nx ybxnx==−=−∑∑ ， ay bx =− ，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++（其中n a b c d =+++）()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k2.0722.7063.8415.0246.635（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次y 与月份x 之间的关系，求y 关于x 的回归方程y bxa =+ ，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次； （2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：不礼让行人礼让行人 驾龄不超过2年 24 16 驾龄2年以上2624能否据此判断有90%把握认为“礼让行人行为与驾龄有关?【答案】（1） 10.5131.5y x =−+；58 （2）没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关 【解析】 【小问1详解】 由表中数据可得1234535x++++=，12510510090801005y++++=，所以12211395150010.55545ni ii ni i x y nx ybx nx==−−===−−−∑∑ ，()100ˆˆ10.53131.5a y bx =−=−−×=， 所以所求的回归直线方程为 10.5131.5y x =−+； 令7x =，则 10.57131.558y =−×+=，即该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次预测为58人次. 【小问2详解】的零假设：礼让行人行为与驾龄无关，由表中数据可得()229024241626720.576 2.70640505040125K ××−×===<×××，根据小概率值0.1α=的独立性检验，没有充分理由认为零假设不成立，即没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关.16. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，225,3nnS a a n==− （1）求1a ，并证明212n n n a a a +++=（2）若()22nn a b nn =+，求数列{}n b 的前n 项和n T【答案】（1）13a =，证明见解析 （2）()2221n n nT n +=+【解析】 【小问1详解】令1n =，1112323a S a =−=−， ∴13a =，因为23nn S a n=−， 所以23n n S na n −=，① 所以()112133n n S n a n ++−+=+，②②－①得()113n n na n a +−−=，③ 所以()1213n n n a na +++−=，④ ③－④得212n n n na na na +++=， 所以212n n n a a a +++=． 【小问2详解】由（1）知212n n n a a a +++=，则211n n n n a a a a +++−=−， 所以数列{}n a 等差数列，是又13a =，25,a =所以{}n a 的公差212d a a =−=， 所以()31221n a n n =+−×=+，所以()()()()2222222212111111nn a n n bn n n n n n nn++====−++ ++， 所以()()()2222222221111111211223111n n n T n n n n +=−+−++−=−=+++ . 17. 已知平面向量(,)m a b =，(sin ,cos )n x x ωω= ，且2m n = ，其中0a >，0ω>．设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象（()f x 的部分图象如图所示）上．（1）求a ，b ，ω的值；（2）若()G x y ,是()y f x =图象上的一点，则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，求()g x 在[0,π]上的单调递减区间．【答案】（1）a =1b =，2ω=； （2）π[,π]3【解析】 【小问1详解】因(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω= ，由2m n =，可得2=， 由()(,)(sin ,cos )f x m n a b x x ωω=⋅=⋅sin cos )2sin()a x b x x x ωωωϕωϕ=+=+=+，其中tan b aϕ=， 因点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象上，则有，2sin 111πsin()012ϕωϕ=+=①②， 结合图象，由① 可得πZ π2,6k k ϕ=+∈，将其代入② 式，可得11πππ,Z 126n n ω+=∈，即212,Z 1111n n ω=−+∈，（*）由图知，该函数的周期T 满足311π412T T <<，即3π11π2π212ωω<<又0ω>，则有18241111ω<<， 由（*）可得2ω=，故π()2sin(2)6f x x =+.由20b a a ==>解得，1a b = = ，故a =1b =，2ω=； 【小问2详解】不妨记12,2x x y y ′′==，则,22x x y y ′′==， 因()G x y ,是()y f x =图象上的一点，即得π22sin()6y x ′′=+，即πsin()6y x ′′=+， 又因1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，故有π()sin()6g x x =+. 由ππ3π2π2π,Z 262k x k k +≤+≤+∈，可得π4π2π2π,Z 33k x k k +≤≤+∈， 因[0,π]x ∈，故得ππ3x ≤≤. ()g x 在[0,π]上单调递减区间为π[,π]3.18. 已知函数()2()e xf x x mx n =++，m ，n ∈R ． （1）当24m n =时，求()f x 的最小值； （2）当2m =−时，讨论()f x 的单调性；（3）当0m n ==时，证明：0x ∀>，()ln 1f x x >+． 【答案】（1）0 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【小问1详解】的当24m n =时，22()()e 4xm f x x mx =++，22()[(2)2()e ()2)e 42x x m f x x m x m m mx x ′=+++=++++，由()0f x ′>，可得22mx <−−或2m x >−，由()0f x ′<，可得222m m x −−<<−，即()f x 在(,2)2m −∞−−和(,)2m −+∞上单调递增；在(2,)22m m−−−上单调递减，x →−∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，故2mx =−时，()f x 取得极小值也即最小值，为()02m f −=. 【小问2详解】 当2m =−时，()2()2e x f x xx n =−+，函数的定义域为R ，()2(e 2)x x f x n =+−′，当2n ≥时，()0f x ′≥恒成立，故()f x 在R 上为增函数；当2n <时，由()0f x ′=，可得x ，故当x <x >时，()0f x ′>；即()f x 在(,∞−和)∞+上单调递增；当x <<()0f x ′<，即()f x 在(上单调递减. 综上，当2n ≥时，()f x 在R 上为增函数；当2n <时，()f x 在(,∞−和)∞+上单调递增,在(上单调递减. 【小问3详解】当0m n ==时，2()e x f x x =,要证0x ∀>，()ln 1f x x >+，只需证2e ln 1x x x >+，即证3e ln 1x x x x+>在(0,)+∞上恒成立.设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==，依题意，只需证在0x >时，min max ()()g x h x >. 因e ()=x g x x ，2(1)e()xx g x x −′=，由()0g x ′<，可得01x <<，由()0g x ′>，可得1x >， 故()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增, 则()g x 在1x =时取得极小值也是最小值，为(1)e g =； 因3ln 1()x h x x +=，423ln ()x h x x−−′=，由()0h x ′=，可得23x e −=， 由()0h x ′<，可得23x e −>，由()0h x ′>，可得230x e −<<， 故()h x 在23(0,e )−上单调递增，在23(e ,)−+∞上单调递减，则()h x 在23x e −=时取得极大值也是最大值，为22332323ln e ()3e 1e (e )h −−−==+. 因2e e 3>，即min max ()()g x h x >在(0,)+∞上成立，故得证. 即0x ∀>，()ln 1f x x >+．19. 已知非零向量(,)a m n =，,)b p q = ，a ，b 均用有向线段表示，现定义一个新的向量c 以及向量间的一种运算“※”：(,)c a b mp nq mq np ==−+※．（1）证明：c 是这样一个向量：其模是a 的模的 b 倍，方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角（β为x轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角，且02πβ≤<），并举一个具体的例子说明之；（2）如图1，分别以ABC 的边AB ，AC 为一边向ABC 外作ABD △和ACE △，使π2BAD CAE ∠=∠=，(01)AD AEAB ACλλ==<<．设线段DE 的中点为G ，证明：AG BC⊥；（3）如图2，设(3,0)A −，圆22:4O x y +=，B 是圆O 上一动点，以AB 为边作等边ABC （A ，B ，C 三点按逆时针排列），求||OC 的最大值．【答案】（1）证明见解析. （2）证明见解析. （3）5. 【解析】 【小问1详解】证明：设(,)(cos ,sin ),(,)(cos ,sin )a m n r r b p q R R ααββ===（0,0,,r R αβ>>分别为x 轴正方向逆时针到,a b所成的角，且,[0,2)αβπ∈）， 则cos cos sin sin cos()mp nq Rr Rr Rr αβαβαβ−=−=+， cos sin sin cos sin()mq np Rr Rr Rr αβαβαβ+=+=+，于是cos()sin((,))Rr a b Rr c αβαβ=++=※，即cRr a b ==×，x 轴正方向逆时针到c 所成的角为αβ+. 故：c 是这样一个向量：把a的模变为原来的 b 倍，并按逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向逆时针到b所成的角，且02πβ≤<）.例如，1(2ab =，则111,122((0,2)c a b ×+= ※，1,2a b == ，a 与x 轴正方向的夹角为π3，b 与x 轴正方向的夹角为6π，将a 的模变为原来的2倍，并按逆时针旋转π6，即可得c .【小问2详解】证明：记(,),(,)AB m n AC p q ==， 根据新定义，可得()3π3πcos ,sin ,22AD AB n m λλλ==−※，同理(cos ,sin )(,)22q p A AE C ππλλλ− ※，所以1()()()(,)222n q p m AG A AD E λλ−−=+= ， 而(,)BC AC AB p m q n =−=−−，所以1[()()()()]02AG BCp m n q q n p m λλ⋅=−−+−−= ，第16页/共16页故：AG BC ⊥.【小问3详解】解：设(,)B u v ，则224,(3,)u v AB u v +==+， ()ππ13cos ,sin 3,33222u v AC AB u v λ + ==+=※※，所以3(3,0)()22u v OC OA AC +=+=−++ ，所以OC =.设2cos ,2sin (02)u v θθθπ=≤<，则OC = ， 当πsin 16θ +=，即π3θ=时，max 5OC = .。
高三数学试题及答案
高三数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^2 + 1 \)D. \( f(x) = \frac{1}{x} \)答案：B2. 已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = 2a_n + 1\)，求 \(a_3\) 的值。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C3. 若 \(\cos\theta = \frac{3}{5}\)，且 \(\theta\) 为锐角，则\(\sin\theta\) 的值为？A. \(\frac{4}{5}\)B. \(\frac{3}{4}\)C. \(\frac{4}{3}\)D. \(\frac{3}{5}\)答案：A4. 直线 \(y = 2x + 3\) 与抛物线 \(y = x^2 - 4x + 4\) 的交点个数为？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 已知集合 \(A = \{1, 2, 3\}\)，\(B = \{2, 3, 4\}\)，则 \(A\cup B\) 等于？A. \(\{1, 2, 3, 4\}\)B. \(\{1, 2, 3\}\)C. \(\{2, 3, 4\}\)D. \(\{1, 3, 4\}\)答案：A6. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x^2}\) 的值。
A. 0B. 1C. 2D. \(\frac{1}{2}\)答案：C7. 已知向量 \(\vec{a} = (2, -1)\)，\(\vec{b} = (1, 3)\)，求\(\vec{a} \cdot \vec{b}\) 的值。
A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A8. 函数 \(y = \ln(x+1)\) 的导数为？A. \(\frac{1}{x+1}\)B. \(\frac{1}{x}\)C. \(\frac{1}{x-1}\)D. \(\frac{1}{x+2}\)答案：A9. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的焦点在x轴上，且 \(a = 2\)，求 \(b^2\) 的最小值。
(完整版)高三数学综合测试题试题以及答案
高三数学综合测试题一、选择题1、设集合{}U =1,2,3,4，{}25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值 为( B )A ．4-B ． 4C ．6-D ．6 2． 条件,1,1:>>y x p 条件1,2:>>+xy y x q ，则条件p 是条件q 的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件}2,1,0,1.{-B }3,2,0,1.{-C }3,2,1,0.{D3. 设函数()1xf x e =-的图象与x 轴相交于点P, 则曲线在点P 的切线方程为( C ) （A ）1+-=x y （B ）1+=x y （C ）x y -= （D ）x y = 4．设a =120.6，b =120.7，c =lg0.7，则 ( C )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c 5．函数f (x )=e x -x -2的零点所在的区间为 ( C )A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)6、设函数1()7,02(),0x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是（ C ）A 、(,3)-∞-B 、(1,)+∞C 、(3,1)-D 、(,3)(1,)-∞-+∞U 7．已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是( D )8．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定解析：选C.令log a (x ＋1)＋x 2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y 1＝log a (x ＋1)与y 2＝－x 2＋2的交点个数9．若函数f (x )=-x 3+bx 在区间(0，1)上单调递增，且方程f (x )=0的根都在区间[-2，2]上，则实数b 的取值范围为 ( D )A ．[0，4]B ．[)3+∞，C ．[2，4]D ．[3，4]10．已知定义在R 上的奇函数f (x )是(]0，∞-上的增函数，且f (1)= 2，f (-2)=-4，设P ={x |f (x +t )-4<0}，Q ={x |f (x )<-2}．若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是（ B ）A ．t ≤-1B ．t >3C ．t ≥3D ． t >-1二、填空题11．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题为________________ 12．已知偶函数f (x )=242n n x -(n ∈Z )在(0，+∞)上是增函数，则n = 2 ．13、已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是__、6m >或3m <-_____________14．若不等式1一log )10(x a a -＜0有解，则实数a 的范围是 ； 15．已知函数)(x f 定义域为[-1, 5], 部分对应值如表)(x f 的导函数)(x f '的图象如图所示, 下列关于函数)(x f 的命题① 函数)(x f 的值域为[1,2]; ② 函数)(x f 在[0,2]上是减函数; ③ 如果当],1[t x -∈时, )(x f 的最大值是2, 那么t 的最大值为4; ④ 当21<<a 时, 函数a x f y -=)(有4个零点. 其中真命题是 ② (只须填上序号).三、解答题16．已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题，（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围． 答案:(1) 124M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭(2) 94a >或 14a <-17．（本题满分12分）已知二次函数y = f (x )的图象过点(1，-4)，且不等式f (x )<0的解集是(0，5)．（Ⅰ）求函数f (x )的解析式；（Ⅱ）设g (x )=x 3-(4k -10)x +5，若函数h (x )=2f (x )+g (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，求y =h (x )在[-3，1]上的最大值和最小值．17．解：（Ⅰ）由已知y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)， 可得f (x )=0的两根为0，5， 于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，代入点(1，-4)，得-4=a×1×(1-5)，解得a =1，∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10)x +5=x 3+2x 2-4kx +5， 于是2()344h x x x k '=+-，∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-． 令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223x x =-=，． 由下表：可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12 -4×1+5=4， h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527， ∴ h (x )的最大值为13，最小值为9527．……………………………………12分 18、（本题满分12分） 已知函数),(log )(1011≠>-+=a a x x x f a（1）求)(x f 的定义域，判断)(x f 的奇偶性并证明；（2）对于],[42∈x ，)()(log )(x x mx f a -->712恒成立，求m 的取值范围。
高三数学试卷包含答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. \( f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \)B. \( f(x) = \frac{1}{x} \)C. \( f(x) = \ln(x + 1) \)D. \( f(x) = |x| \)2. 函数\( f(x) = 2^x \)的图像是（）A. 图像过点（0，1）B. 图像过点（1，0）C. 图像过点（2，4）D. 图像过点（3，8）3. 若\( a > 0 \)，\( b < 0 \)，则\( a + b \)的符号是（）A. 正B. 负C. 不确定D. 无法确定4. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，2，3，则该数列的公差是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 函数\( y = x^3 - 3x \)的极值点是（）A. 0B. 1C. -1D. 36. 在三角形ABC中，若\( \angle A = 60^\circ \)，\( \angle B = 45^\circ \)，则\( \angle C \)的度数是（）A. 75^\circB. 90^\circC. 105^\circD. 120^\circ7. 下列不等式中，正确的是（）A. \( 2x > 3x \)B. \( -2x > 3x \)C. \( 2x < 3x \)D. \( -2x < 3x \)8. 若\( \sin x = \frac{1}{2} \)，则\( x \)的取值范围是（）A. \( x = 30^\circ \)B. \( x = 60^\circ \)C. \( x = 90^\circ \)D. \( x = 120^\circ \)9. 函数\( y = \log_2(x - 1) \)的图像是（）A. 图像过点（1，0）B. 图像过点（2，1）C. 图像过点（3，2）D. 图像过点（4，3）10. 若\( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \)，则\( \tan x \)的取值范围是（）A. \( (-\infty, \infty) \)B. \( (-1, 1) \)C. \( (0, 1) \)D. \( (-1, 0) \)二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \)，则\( xy \)的最小值是______。
高三数学测试卷及答案解析
一、选择题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1的图像与x轴的交点个数是：A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面内的几何位置是：A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限3. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 3，a3 = 9，则数列的公差d是：A. 2B. 3C. 4D. 64. 下列命题中，正确的是：A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，都有x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，都有x^4 ≥ 0D. 对于任意实数x，都有x^5 ≥ 05. 若函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a的取值范围是：A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 06. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是：A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 3)D. (2, 2)7. 若log2(x - 1) + log2(x + 1) = 3，则x的取值范围是：A. x > 1B. x > 3C. x < 1D. x < 38. 若等比数列{an}的前三项分别为a1, a2, a3，且a1 + a2 + a3 = 14，a1 a3 = 64，则该数列的公比q是：A. 2B. 4C. 8D. 169. 已知函数y = f(x)在区间[0, 2]上单调递增，且f(0) = 1，f(2) = 4，则不等式f(x) > 2的解集是：A. (0, 2)B. (0, 1)C. (1, 2)D. (1, +∞)10. 若平面直角坐标系中，点A(2, 3)，B(-3, 4)，则向量AB的模长是：A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题5分，共50分）11. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的实部为______。
高三数学综合测试题(含答案)
高三数学试题（理科）一、选择题(本大题共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知复平面内的平行四边形ABCD中，定点A对应的复数为i(i是虚数单位)，向量BC 对应的复数为2＋i，则点D对应的复数为()A． 2 B． 2＋2i C．－2 D．－2－2i2.在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型1的相关指数为0.98，模型2的相关指数为0.80，模型3的相关指数为0.50，模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的模型是()．A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型43.设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1．6，则a－b＝()A．0．2B．0．1C．－0．2D．－0．44.若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是()A． [－2,2] B． [0,2]C． [－2,0]D． (－∞，－2)∪(2，＋∞)5.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A．36个 B．72个 C．63个 D．126个6.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的一个充分而不必要条件是()A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<17.若（n∈N*),且,则() A．81 B．16 C．8 D．18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A． B． C． D．9.高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是()A． B． C． D．10.已知x与y之间的几组数据如表:假设根据如表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为,则以下结论正确的是()A．, B．, C．, D．,11.某人射击一发子弹的命中率为0.8，现在他射击19发子弹，理论和实践都表明，在这19发子弹中命中目标的子弹数X的概率满足P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，19)，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是 ()A．14发 B．15发 C．16发 D．15发或16发12.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若a＋b＋c＝0，导函数f′(x)满足f′(0)f′(1)>0，设f′(x)＝0的两根为x1，x2，则|x1－x2|的取值范围是()A．323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，B．14,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．133⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D．1193⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷非选择题二、填空题(本大题共4小题,每小题5.0分,共20分)13.某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X～N(50,)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为________．14.如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有________．15.设M＝，则M与1的大小关系是__________．16.若对任意的x∈A，则x∈，就称A是“具有伙伴关系”的集合．集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.（本小题共12分）已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)．(1)若x＝37+i44是方程的根，求a的值；(2)若x1，x2是方程两个虚根，且|x1－1|＞|x2|，求a的取值范围．18. （本小题共12分）随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．(1)完成如图2×2列联表：(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“休闲方式有关与性别”，那么本次被调查的人数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：＝，其中n=a+b+c+d.参考数据：19.若n为正整数，试比较3·2n－1与n2＋3的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．20.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．21.已知函数f(x)＝(ax－x2)e x.(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在(－1,1]上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．22.设函数f(x)＝|x－a|＋x.(1)当a＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．答案解析1.B2.A3.C4.A5.D【解析】此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有＝126(个)6.C7.A8.D9.C10. C11. D【解析】由≥且≥，解得15≤k≤16，即P(X＝15)＝P(X＝16)最大12.A【解析】由题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，∴x 1＋x2＝－，x1·x2＝，∴|x1－x2|2＝(x＋x2)2－4x1·x2＝.∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴|x 1－x2|2＝＝()2＋·＋.∵f′(0)·f′(1)>0，f′(0)＝c＝－(a＋b)，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝2a＋b，∴(a＋b)(2a＋b)<0，即2a2＋3ab＋b2<0，∵a≠0，两边同除以a2，得()2＋3＋2<0，解得－2<<－1.由二次函数的性质可得，当＝－时，|x 1－x2|2有最小值为，当趋于－1时，|x1－x2|2趋于，故|x 1－x2|2∈[，)，故|x1－x2|∈[，)．13. 0．9544 14.＝S △BCM·S△BCD15.【答案】M<1【解析】∴M＝＝1.16.【答案】15【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3；共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为＋＋＋＝15．17.解(1)已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)，若x＝＋i是方程的根，则x＝-i也是方程的根．(＋i)＋(-i)＝a，解得a＝.(2)x 1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个虚根，不妨设x1＝，x2＝，a∈(－2,2)，|x 1－1|＞|x2|，∴(－1)2＋(－)2＞()2＋()2，∴a＜1.综上，－2＜a＜1.18.【解】(1)依题意，被调查的男性人数为，其中有人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为，其中有人的休闲方式是运动，则2×2列联表如图。
高三数学题试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f(x)$的零点个数为：A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若$a > 0$，$b > 0$，则下列不等式中正确的是：A. $a + b > 2\sqrt{ab}$B. $a^2 + b^2 > 2ab$C. $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$D. $a^2 + b^2 \geq 2ab$3. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 + a_5 = 10$，$a_2 + a_4 = 12$，则该数列的公差$d$为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 若直线$y = kx + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$的值为：A. $\pm\sqrt{2}$B. $\pm1$C. $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$D. $\pm\frac{1}{2}$5. 若复数$z$满足$|z - 1| = |z + 1|$，则$z$在复平面上的对应点位于：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 已知向量$\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (2, -1)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为：A. 3B. -3C. 1D. -17. 若函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 1$处取得极小值，则下列结论正确的是：A. $a > 0$B. $b < 0$C. $a < 0$D. $b > 0$8. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，则数列的前$n$项和$S_n$为：A. $2^n - n$B. $2^n - n - 1$C. $2^n - 1 - n$D. $2^n - 1 + n$9. 若$A$是$m \times n$矩阵，$B$是$n \times m$矩阵，则下列结论正确的是：A. $AB$是$m \times m$矩阵B. $AB$是$n \times n$矩阵C. $BA$是$m \times n$矩阵D. $BA$是$n \times m$矩阵10. 已知函数$f(x) = e^x + e^{-x}$，则$f(x)$的极值点为：A. $x = 0$B. $x = 1$C. $x = -1$D. $x$无极值点二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 函数$f(x) = \ln(x + 1)$的定义域为________。
高三数学真题卷(含答案)
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（参考公式： ，其中
20．设椭圆 的两个焦点为 ，若点 在椭圆上，且 .
（1）求 的面积；
（2）求 点的坐标.
21．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，若 恒成立，求实数a的取值范围．
22．在平面直角坐标系 中，已知直线： （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
高三数学真题卷
一、单选题
1．设集合 ，若 ，则实数 （）
A．0B．1C． D．2
2．已知复数 的共轭复数为 ，若 （ 为虚数单位），则 （）
A． B． C． D．
3．某机构通过抽样调查，利用 列联表和 统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得 ，经查对临界值表知 ， ，现给出四个结论，其中正确的是（）
A．变量 、 之间呈正相关关系B．可以预测当 时， 的值为
C． D．由表格中数据知样本中心点为
7．函数 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
8．点M在边长为2的正三角形 内（包括边界），满足 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
9．函数 的最大值是（）
A．7B． C．9D．
10．如图所示，点D是等边 外一点，且 ， ， ，则 的周长是（）
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为 ，直线l与曲线C的交点为A，B，求 的值．
参考答案
1．B
【分析】
可根据已知条件，先求解出 的值，然后分别带入集合A和集合B中去验证是否满足条件，即可完成求解.
【详解】
高三数学测试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 3/4D. -√32. 若函数f(x) = 2x - 1在x=3时的导数是2，则f'(2)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，则该函数的对称轴方程为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -24. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c=8，则△ABC 的面积S为（）A. 10B. 15C. 20D. 255. 下列不等式中，正确的是（）A. x > 1 > 0B. x^2 > xC. log2(x+1) > log2(x-1)D. 2^x > 3^x6. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，d = 3，则a10 =（）A. 28B. 29C. 30D. 317. 若复数z = 3 + 4i在复平面上的对应点为P，则|OP|的值为（）A. 5B. 7C. 8D. 108. 下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^49. 已知函数y = log2(3x - 1)，则该函数的定义域为（）A. x > 1/3B. x ≤ 1/3C. x < 1/3D. x > 010. 若向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为（）A. -7B. -5C. 1D. 3二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极小值，则a、b、c应满足的关系是______。
12. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an =______。
13. 已知复数z = 1 + i，则z的模|z| =______。
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高三数学测试题一选择题:1.已知集合{}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-====B A x x y x B y y A x ,22log ,22( D ) (A)[)2,0 (B)[)2,1 (C)()2,∞- (D) ()2,02.函数2()lg(31)f x x =+的定义域是 ( B ) (A)1(,)3-+∞ (B)1(,1)3- (C) 11(,)33- (D)1(,)3-∞- 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A )(A)3 ,y x x R =-∈ (B)sin ,y x x R =∈ (C) ,y x x R =∈ (D) x 1() ,2y x R =∈4.已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则( D )(A)a b c << (B)b a c << (C)c b a << (D)c a b <<5. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=+0,log 0,3)(21x x x f x x ，若3)(0>x f ,则0x 的取值范围是( A )(A)80>x (B) 00<x 或80>x (C)800<<x (D) 00<x 或800<<x 6.若6π=x 是x x x f ωωcos sin 3)(+=的图象的一条对称轴,则ω可以是( C ) (A)4 (B) 8 (C) 2 (D)17.已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，则a 的取值范围是( C )(A)(0,1) (B)1(0,)3 (C)11[,)73(D)1[,1)78.给定函数:①21x y =,②)1(log 21+=x y ,③1-=x y ,④12+=x y ,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( C )(A)①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④9.设.0,0>>b a 若3是a 3与b 23的等比中项,则b a 12+的最小值为( A )(A)8 (B) 4 (C) 1 (D)4110.在进行一项物理实验中,要先后实施6个程序,其中程序A 只能出现在第一或最后一步,程序B 和C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( C ) (A)34 (B) 48 (C) 96 (D)14411.已知命题p :存在1cos ),2,2(≥-∈x x ππ; 命题x x x q 32),0,(:<-∞∈∀ , 则下列命题为真命题的是( D )(A)q p ∧ (B) q p ∧⌝)( (C) q p ∨⌝)( (D)q p ⌝∧12.若p :z k k ∈+=,2ππϕ,)0)(sin()(:≠+=ωϕωx x f q 是偶函数,则p 是q 的( A )(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也必要条件二填空题13.已知{}{}R y y Q a x x P ∈==≤=θθ,sin ,,若Q P ⊇,则实数a 的取值范围是 ; 1≥a14. 已知xx m x f 2112)(+-⋅=是R 上的奇函数,则m = ;1=m 15.已知双曲线1422=-by x的右焦点F,与抛物线x y 122=的焦点重合,过双曲线的右焦点F 作其渐近线的垂线,垂足为M,则点M 的纵坐标为 ; 352±16.已知x a x f p )62()(:-=在R 上是单调减函数;:q 关于x 的方程012322=++-a ax x 的两根均大于3,若p ,q 都为真命题,则实数a 的取值范围是 ;27,3<<a 三.解答题17. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且4sin 2B ＋C 2－cos2A ＝72.(1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值. 解 (1)∵ B ＋ C ＝ π－ A ，即B ＋C 2＝ π2－ A2， 由4sin 2B ＋C 2－cos2A ＝ 72，得4cos 2A 2－ cos2A ＝ 72，即2(1＋ cos A )－ (2cos 2A －1)＝ 72，整理得4cos 2A － 4cos A ＋1＝ 0， 即(2cos A －1)2＝ 0.∴ cos A ＝ 12， 又0°<A <180°，∴ A ＝ 60°. (2)由A ＝ 60°，根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， 即b 2＋c 2－a 22bc ＝ 12，∴b 2＋ c 2－bc ＝ 3， ①又b ＋ c ＝ 3，②∴ b 2＋ c 2＋ 2bc ＝ 9.③① － ③ 整理得：bc ＝ 2. ④解②④联立方程组得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝2，或⎩⎨⎧b ＝2，c ＝1.18. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2-a n ，n=1，2，3，…. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式； (Ⅲ)设c n =n(3-b n )，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(Ⅰ)∵n=1时，a 1+S 1=a 1+a 1=2 , ∴a 1=1 ∵S n =2-a n 即a n +S n =2 , ∴a n+1+S n+1=2 两式相减：a n+1-a n +S n+1-S n =0 即a n+1-a n +a n+1=0, 2a n+1=a n ∵a n ≠0 ∴211=+n n a a (n ∈N *) 所以，数列{a n }为首项a 1=1，公比为21的等比数列.a n =1)21(-n (n ∈N *) (Ⅱ)∵b n+1=b n +a n (n=1，2，3，…) ∴b n+1-b n =(21)n-1 得b 2-b 1=1b 3-b 2=21b 4-b 3=(21)2……b n -b n-1=(21)n-2(n=2，3，…) 将这n-1个等式累加，得 b n -b 1=1+11232)21(22211)21(1)21()21()21(21----=--=++++n n n又∵b 1=1，∴b n =3-2(21)n-1(n=1，2，3，…)(Ⅲ)∵c n =n(3-b n )=2n(21)n-1∴T n =2[(21)0+2(21)+3(21)2+…+(n-1)(21)n-2+n(21)n-1] ①而 21T n =2[(21)+2(21)2+3(21)3+…+(n-1)n n n )21()21(1+-] ②①-②得：n n n n T )21(2])21()21()21()21[(2211210-++++=-T n =n n n nn n )21(4288)21(4211)21(14--=---=8-(8+4n)n 21(n=1，2，3，…) 19. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形. 平面AB C ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求1BDBC 的值. 解: (1) ∵C C AA 11为正方形,AC A A ⊥∴1,又面C C AA 11⊥面ABC , 又面C C AA 11∩面ABC =AC ∴AA 1⊥平面ABC. (2)∵AC=4,AB=3,BC=5,∴222BC AB AC =+,∴∠CAB=︒90,即AB ⊥AC, 又由(1) ∴AA 1⊥平面ABC.知AB A A ⊥∴1,所以建立空间直角坐标系A-xyz, 则1A (0,0,4), 1C (4,0,4), 1B (0,3,4),B(0,3,0) 设面1A C 1B 与面B 1C 1B 的法向量分别为),,(z y x n =,),,(c b a m =,由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111B A n C A n ,得⎩⎨⎧=-=04304z y x ,令1=y ,则)43,1,0(=n , 同理,)0,1,43(=m ,25161,cos 1625==>=<m n , 由图知,所求二面角为锐二面角,所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为2516. (3)证明: 设),,(z y x D , ,则),,(z y x AD =,)4,3,0(1-=B A ,)4,3,4(1-=BC , 因为B D C ,,1三点共线,所以设 1BC BD λ=,即)4,3,4(),3,(-=-λz y x ,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=λλλ4334z y x , (1)由01=⋅B A AD 得043=-z y (2) 由(1)(2)求得2536,2548,2536,259====z y x λ, 即)2536,2548,2536(D , 故在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，且1BD BC =259. 20. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。
（1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）.23)(2b ax x x f ++='由已知 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+⨯==0)2(113)1(3)1(''f f f 故⎪⎩⎪⎨⎧=+-+⨯=+++=++0412*******b a c b a b a 由①②③得 a=2，b=－4，c=5∴.542)(23+-+=x x x x f（2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 ① ②③又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。
（3）因为y=f(x)在[－2，1]上单调递增， 所以023)(2≥++='b ax x x f 在[－2，1]上恒成立,由①知2a+b=0, 所以032≥+-b bx x 在[－2，1]上恒成立,∴[]03min2≥+-bbx x , 利用动轴定区间讨论法得① 当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=b b b f x f b x 时； ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f b x ,0212)2()(,26min 时；③当.60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞21.已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆x 2＋3y 2＝4上，C 在直线l ：y ＝x ＋2上，且AB ∥l . (1)当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积； (2)当∠ABC ＝90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．【解析】 (1)因为AB ∥l ，且AB 边通过点(0,0)，所以AB 所在直线的方程为y ＝ x .设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋3y 2＝4y ＝x，得x ＝ ±1. 所以|AB |＝ 2|x 1－ x 2|＝ 2 2.又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离，所以h ＝ 2，S △ABC ＝ 12|AB |·h ＝ 2. (2)设AB 所在直线的方程为y ＝ x ＋ m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝4y ＝x ＋m，得4x 2＋ 6mx ＋ 3m 2－ 4＝ 0. 因为A ，B 在椭圆上，所以Δ＝ －12m 2＋ 64＞ 0. 设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋ x 2＝ － 3m2，x 1x 2＝3m 2－44， 所以|AB |＝ 2＝32－6m 22. 又因为BC 的长等于点(0，m )到直线l 的距离，即|BC |＝|2－m |2.所以|AC |2＝ |AB |2＋ |BC |2＝ － m 2－2m ＋10＝ － (m ＋1)2＋ 11. 所以当m ＝ －1时，AC 边最长(这时Δ＝ －12＋ 64＞ 0)， 此时AB 所在直线的方程为y ＝ x －1.22.已知直线l 的参数方程为,sin cos 2⎩⎨⎧=+-=ααt y t x (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标系方程为θθρcos 2sin 2-=. (1)求曲线C 的参数方程; (2)当4πα=时,求直线l 与曲线C 的交点的极坐标.解:(1)由θθρcos 2sin 2-=,可得θρθρρcos 2sin 22-=,所以曲线C 的直角坐标的方程为x y y x 2222-=+,标准方程为2)1()1(22=-+-y x ,所以曲线C 的参数方程为ωωω(,sin 21cos 21⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=y x 为参数) (2)当4πα=时, 直线l 的参数方程为,22222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 化为普通方程为2+=x y ,由⎩⎨⎧+=-=+22222x y x y y x 得,20⎩⎨⎧==y x 或⎩⎨⎧=-=02y x 所以直线l 与曲线C 的交点的极坐标为),2(),2,2(ππ。