高三数学测试题

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安阳市第一中学2024届直高三期末测试数学试题试卷

安阳市第一中学2024届直高三期末测试数学试题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能2．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（） A ．52B ．2C ．5D ．1523．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为32，则c =（）A ．22B ．4C ．5D ．324．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -5．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（） A ．2B ．0C ．2-D ．2±6．在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P -，渐近线方程为2y x =±的双曲线的标准方程为（）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=7．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（） A ．1- B ．0 C ．1D ．38．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心9．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（） A ．63πB ．83πC ．3πD ．3π10．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（）A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22-D 12e 11．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为3Γ的离心率为（）A ．2B 23C ．73D ．21312．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n nn a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( )A ．16B ．25C ．28D ．33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题(解析版)

2023-2024学年度第一学期2024届高三开学测试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{lg ,0100},450A y y x xB x x x ==<<=-++>∣∣，则A B = （）A.()0,2 B.()1,2- C.()1,2 D.()1,5-【答案】B 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义可求出答案.【详解】因为lg ,0100y x x =<<，所以lg1002y <=，所以}{2,A yy =<∣{}{}245015B x x x x x =-++>=-<<∣，所以A B = ()1,2-.故选：B.2.已知a R ∈，i 为虚数单位，若3a ii-+为实数，则a ＝（）A.-3B.13C.3D.13-【答案】A【解析】【分析】先进行分母实数化，化简3a ii-+，再根据条件得虚部为零，计算即得结果.【详解】因为()(3)31(3)31(3)3(3)(3)101010a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则(3)010a +-=，即30a +=，所以3a =-.故选：A.3.已知正项等比数列{}n a ，若355664,28a a a a =+=，则2a =（）A.16B.32C.48D.64【答案】B 【解析】【分析】根据等比中项，先求出4a ，然后根据5628a a +=求出公比，最后求2a 【详解】根据等比中项，235464a a a ==，又{}n a 是正项数列，故48a =（负值舍去）设等比数列{}n a 的公比为q ，由5628a a +=，即24428a q a q +=，解得12q =（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），故42232a a q==故选：B4.已知向量a ，b满足7a b += ，且3a = ，4b = ，则a b -=r r （）A.5B.3C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据向量的模长的计算即可求解.【详解】22224924991624a b a b a b a b +=++⋅=⇒⋅=--=r r r r r r r r，所以2222916241,1a b a b a b a b -=+-⋅=+-=∴-=r r r r r r r r，故选：D5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为12，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）A.116B.18 C.316D.14【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率.【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为344161111C 1222123⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭⎝⎭.故选：C6.函数(sin sin 2)y x x x =-的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD ，即可.【详解】由()(sin sin 2)y f x x x x ==-，得()()()()()sin sin 2sin sin 2f x x x x x x x f x -=----=--+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故排除BD.当π2x =时，ππππ(sin sin π)02222y f ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭，排除A.故选：C.7.已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =，考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e 4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>，又ln3ln33e<，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.8.已知双曲线22:142x y Γ-=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线Γ的左右两支于,A B 两点，且22F AB F BA ∠∠=，则2BF =（）A.4 B.4 C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出2BF 即可.【详解】由双曲线22:142x y Γ-=得出2,a b c ===.因为22F AB F BA ∠∠=，所以22F A F B =.作2F C AB ⊥于C ，则C 是AB 的中点.设22F A F B x ==，则由双曲线的定义211222,F A F A a F B F B a -=-=，可得114,4,8F A x F B x AB =-=+=.故2124cos CB BF xF BF =∠=，又由余弦定理得()(()()222221cos 444244F BF xx x x x x xx ++-+-=⋅∠=++⋅，所以()24444x x x x x+-=+⋅，解得x =.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD 【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n =+++++=，标准差11053s =，4,6,8,10，则平均数()14681074m =+++=，标准差2s =，显然1053>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.10.已知,,a b c 是两两异面的三条直线，a b ⊥r r，c a ⊥，直线d 满足d a ⊥，d b ⊥，a d P ⋂=，b d Q ⋂=，则c 与d 的位置关系可以是（）A.相交B.异面C.平行D.垂直【答案】BC 【解析】【分析】作出正方体模型，确定AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ，符合题意，然后考虑直线c 的位置情况，根据空间的线面位置关系，一一判断各选项，即可得答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 上一点（异于1A ），AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ．当1DD 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 平行，C 正确；当1D E f 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 异面，B 正确；若c 与d 相交，则a 垂直于,c d 确定的平面，又a 垂直于,b d 确定的平面，则,,b c d 在同一个平面内，即b 与c 共面，与已知矛盾，A 错误；若c 与d 垂直，则c 垂直于a,d 确定的平面，而b 垂直于a,d 确定的平面，推出b 与c 平行或重合，与已知矛盾，D 错误，故选：BC ．11.如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2<ϕ）的部分图像，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.5π6x =是的函数()y f x =的一条对称轴C.将函数()y f x =的图像向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数D.若函数()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则54,63t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】AD 【解析】【分析】先根据图像可得2,πA T ==，即可判断A ；令ππ2π(Z)32x k k +=+∈解出x 即可判断B ，接下来求得,ωϕ，即可得到()f x 的解析式，根据图象平移判断C ；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解出函数零点，然后根据在[]0,π上有且仅有两个零点列出不等式解t 即可判断D .【详解】由图像可知，2A =，πππ=43124T -=，即πT =，故A 正确；2π2T ω∴==，此时()2sin(2)f x x ϕ=+，又π(,2)12 在图像上，π22sin(2)12ϕ∴=⨯+，解得π2π(Z)3k k ϕ=+∈，ππ()2sin(22π)2sin(2)33f x x k x ∴=++=+，π()2sin(23f x x =+ ，ππ2π(Z)32x k k ∴+=+∈，ππ(Z)122k x k ∴=+∈，当5π6x =是函数()y f x =的一条对称轴时，此时32k =不符合题意，故B 错误；将()f x 的图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的解析式为：πππ()2sin[2()]2sin(2)333g x x x =-+=-不为奇函数，故C 错误；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解得ππ(Z)62k x k t t =-+∈，当0k =时，π06x t =-<，不合题意1k =时，π3x t =；2k =时，5π6x t =；3k =时，4π3x t =；又因为函数()(0)y f tx t =>在[]0,π上有且仅有两个零点5ππ64ππ3t t⎧≤⎪⎪∴⎨⎪>⎪⎩，解得5463t ≤<，故D 正确.故选：AD .12.我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体，四边形ABCD 为正方形，EF 平面,24,ABCD AB EF AE DE BF CF ======，则（）A.该几何体的表面积为16++B.该几何体的体积为2073C.该几何体的外接球的表面积为40πD.AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212【答案】ABD 【解析】【分析】过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，将该几何体分为一个棱柱与两个棱锥，取AD ，BC 的中点P ，Q ，则EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，然后求出表面积可判断A ；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，可证得FT ⊥面ABCD ，求出一个棱柱与两个棱锥的体积，可得该几何体的体积，从而判断B ；连接AC ，BD 交于点O ，可求得O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝，求出表面积即可判断C ；取AB 的中点N ，得AE ∥FN ，则AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设N 到面FBC 的距离为h ，利用等体积法，由N FBC F NBC V V --=求得h ，进而可得AE 与平面FBC 所成角的正弦值，可判断D ．【详解】∵EF ∥平面ABCD ，EF 在平面ABFE 内，平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ，∴EF ∥AB ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥DC ，∵24,AB EF AE DE BF CF ======∴ABFE ，DCFE 均为等腰梯形，过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，连接KM ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，连接GH ，∴EF ∥KG ∥MH ，EF ＝KG ＝MH ＝2，AK ＝GB ＝DM ＝HC ＝1，∵AB ∥DC ，FH ⊥DC ，∴AB ⊥FH ，又AB ⊥GF ，GF ，FH 在平面FGH 内，GF ∩FH ＝F ，∴AB ⊥面FGH ，同理，AB ⊥面EKM ，∴面FGH ∥面EKM ，∴该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.分别取AD ，BC 的中点P ，Q ，连接FQ ，EP ，∵23AEDE BF CF ====EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，∴FQ ()222223111FB BG -=-，∴14222EAD FBC S S ==⨯⨯△△，FG ()22222322FB BQ -=-()12411112DCFE ABFE S S ==⨯+⨯，又4416ABCD S =⨯=，∴该几何体的表面积为821116EAD FBC DCFE ABFE ABCD S S S S S ++++=+△△，故A 正确；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，连接FT ，∵AB ⊥面FGH ，FT 在面FGH 内，∴FT ⊥AB ，∵GF ＝FH ＝EK ＝EM ，∴FT ⊥GH ，又AB ，GH 在面ABCD 内，AB ∩GH ＝G ，∴FT ⊥面ABCD ，∴FT ()22222217FQ QT -=-=，∴14133E AKMDF GBCH V V --==⨯⨯⨯=，∵11422FGH S GH FT =⋅=⨯⨯=△∴2FGH EKM FGH V S GK -=⋅==△∴该几何体的体积为3E AKMDF GBCH FGH EKM V V V ---++=，故B 正确；连接AC ，BD 交于点O ，则O 也在PQ 上，连接OE ，OF ，∵EF ∥OQ ，EF ＝OQ ，∴EFQO 为平行四边形，∴EO ＝FQ ＝，同理，FO ＝EP ＝，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OE ＝OF ＝∴O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝∴该几何体的外接球的表面积为24π32πR =，故C 错误；取AB 的中点N ，连接FN ，NC ，∵EF ∥AN ，EF ＝AN ，∴EFNA 为平行四边形，∴AE ∥FN ，∴AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设为θ，设N 到面FBC 的距离为h ，∵N FBC F NBC V V --=，∴1133FBC NBC S h S FT ⋅=⋅△△，∴11124332h ⨯=⨯⨯⨯⨯，∴2h =，∴14422sin 12h FN θ===，即AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212，故D 正确．故选：ABD ．第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f -'⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为________________．【答案】6160x y --=【解析】【详解】试题分析：对函数3()=(2)f x x x f -'⋅，求导可得()()232f x x f '-'=，得()()22322f f ''=⨯-，因而切线的斜率(2)6k f '==而()()322228124f f '=-⨯=-=-，由点斜式可得切线方程为46(2)y x +=-即6160x y --=14.已知数列{}n a 各项均为正数，若11a =，且()1ln ln 1N n n a a n *+=+∈，则{}na 的通项公式为______．【答案】1e n n a -=##e enn a =【解析】【分析】推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式.【详解】由已知可得11ln ln ln1n n n n a a a a ++-==，所以，1e n naa +=，所以，数列{}n a 是等比数列，且该数列的首项为1，公比为e ，因此，111e e n n n a --=⋅=.故答案为：1en n a -=.15.已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-，则=a ________．【答案】2【解析】【分析】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，根据3x y 的来源分析即可求出答案.【详解】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，3x y 来源如下：有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供a y ，有3个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供x ，有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供常数，此时3x y系数是()31354C C 140a -=-，即2040a -=-，解得：2a =故答案为：2.16.设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f -<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-．则()55f =______．【答案】1-【解析】【分析】采用赋值的方式可求得()()0,1f f -，令1y =和y x =-可证得()f x 的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()f x 的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1x y ==，则()()()()()()21001200f f f f f f =+==，()00f ∴=；令2x =，1y =-，则()()()()22212111f ff f =+-=-=，又()10f -<，()11f ∴-=-；令1y =，则()()()()()()10111f x f x f f x f f x +=+-=-，()f x \关于直线1x =对称；令y x =-，则()()()()()()()()01110f f x f x f x f x f x f x f x =++--=+-+=⎡⎤⎣⎦，()10f x += 不恒成立，()()0f x f x ∴+-=恒成立，()f x \为奇函数，()()()2f x f x f x +=-=- ，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，()f x \是周期为4的周期函数，()()()55414111f f f ∴=⨯-=-=-.故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A 的平分线交线段BC 于点D．（1）证明AB BDAC DC=；（2）若6AB =，8AC =，7BC =，求AD ．【答案】（1）证明见解析；（2）6AD =．【解析】【分析】（1）由题得ACD ABD S ACS AB= ，再代入面积公式即得证；（2）由题得3BD =，4CD =，求出1cos 4B =，再利用余弦定理得解.【详解】（1）证明：依题意AD 为A ∠的平分线，设1,2,CAD BAD ∠=∠∠=∠∴12∠=∠∵1sin 12ACD S AC AD =⋅⋅∠ 1sin 22ABD S AB AD =⋅⋅∠ 故ACD ABD S ACS AB= ，设A 点到BC 的距离为h ，则可知1212ACDABDCD hS CDS BD BD h ⋅==⋅∴可知AC CDAB BD=（2）由8463AC CD AB BD ===，又7BD DC BC +==∴可知3BD =，4CD =在ABC 中，2226781cos 2674B +-==⨯⨯∴在ABD △中，2222cos 36AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=即6AD =.【点睛】方法点睛：解三角形的主要考点有正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，解答三角形问题时，主要从这几个考点出发.18.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知小明同学A 类试题中有7道题会作答，而他答对各道B 类试题的概率均为25.（1）若小明同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；（2）若小明只作答A 类试题，设X 表示小明答这3道试题的总得分，求X 的分布列和期望.【答案】（1）99250（2）分布列见解析，期望21【解析】【分析】（1）分A 类试题答对和B 类试题答对两种类型计算概率；（2）列出X 所有可能的取值，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变量的分布列及数学期望.【小问1详解】小明仅答对1题的概率2127332399C 1051055250P ⎛⎫=⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭⨯ .【小问2详解】X 可能的取值为0，10，20，30，33310C 1(0)C 120P X ===，1273310C C 7(10)C 40P X ===，2173310C C 21(20)C 40P X ===，37310C 7(30)C 24P X ===，所以X 的分布列为X102030P11207402140724所以17217()010203021120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知数列{}n a 的首项135a =，且满足1321n n n a a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设数列{}n b 满足13,,2,,2nn n a b n n n nn ⎧-⎪⎪=⎨+⎪+⎪+⎩为偶数时为奇数时求最小的实数m ，使得122k b b b m +++< 对一切正整数k 均成立．【答案】（1）证明见解析（2）94【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.（2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解122k b b b +++，由不等式的性质即可求解.【小问1详解】由已知得，112133n n a a +=+，所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．因为112103a -=≠，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列．【小问2详解】证明：（2）由（1），当n 为偶数时，12323n n n b a =-=-，当n 为奇数时，222222n n n b n n n n +=+=+-++，故()()1221321242k k kb b b b b b b b b -+++=+++++++ 24222222222222222213352121333k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 242222222221333k k k k ⎛⎫=+-++++- +⎝⎭222211233212113k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-++-292142143k k =--+⋅，由29219421434k k --<+⋅所以m 的最小值为94．20.如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．（1）证明：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【小问1详解】证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥-P ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒，所以ODA OAD∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以//OE 平面PAC【小问2详解】解：过点A 作//Az OP ，如图建立空间直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO =-=，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD ，3AB =，所以12AC =，所以()3,2,0O ，()43,0,0B ，()23,2,3P ，()0,12,0C ，所以333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则333,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()3,0,0AB =，()0,12,0AC = ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z = ，则3330230n AE x y z nAB x ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则=3y -，0x =，所以()0,3,2n =-；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令a =6c =-，0b =，所以)6m =-；所以43cos ,13n m n m n m⋅==-.设二面角C AE B --的大小为θ，则43cos cos ,=13n m θ=，所以11sin 13θ==，即二面角C AE B --的正弦值为1113.21.设1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 的短轴的一个端点，已知12PF F △的面积为，121cos 3F PF ∠=-．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与2PF 平行的直线l ，满足直线l 与椭圆C 交于两点M ，N ，且以线段MN 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）存在满足条件的直线l ，方程为23224y x =+或23224y x =-．【解析】【分析】（Ⅰ）由12PF F △的面积得cb =121cos 3F PF ∠=-得33b a =，结合,,a b c 关系即可求得椭圆C 的标准方程；公众号：全元高考（Ⅱ）可设直线l 的方程代入椭圆方程求得两根关系，以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，代入坐标化简求取m 值，即可求得直线方程．【详解】解：（Ⅰ）设122F F c =，则12PF F △的面积等于1212F F OP cb =，所以cb =．①由2121cos 2cos 3OPF F PF ∠=∠=-，即2212cos 13OPF ∠-=-，得23cos 3OPF ∠=．因为在直角2OPF 中，OP b =，2OF c =，2PF a ===，所以2cos b OPF a ∠=，所以33b a =．②由①②及222a b c =+，得a =1b =，c =，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）因为直线2PF 的斜率为22-，所以可设直线l 的方程为22y x m =+，代入2213x y +=，整理得225106x m +-=．由)()2254106m ∆=-⨯->，得252m <．设112,2M x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，222,2N x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则12625x x +=，()212615m x x -=．若以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，即121222022x x x m x m ⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得()212123022x x m x x m -++=，所以()2261326202525m m m -⨯-⨯+=，得298m =．因为9582<，所以324m =±．公众号：全元高考所以存在满足条件的直线l，方程为24y x=+或24y x=-．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数()ln1f x a x ax=-+，Ra∈.（1）若经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，求实数a的值；（2）设()()2112g x f x x=+-，若()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，且不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）11ln2a=-（2）[2ln23,)-+∞【解析】【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；（2）将()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，转化为方程20x ax a-+=在(0,)+∞上有两个不同的根，根据根的判别式求出a的取值范围，将不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，转化为()()1212g x g xx xλ+>+恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.【小问1详解】公众号：全元高考()f x的定义域为(0,)+∞，由()ln1f x a x ax=-+，得()af x ax'=-，则()222a af a'=-=-，因为经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，所以(2)22f ak==-，所以ln 221a a a -+=-，解得11ln 2a =-，【小问2详解】()()22111ln 22g x f x x a x ax x =+-=-+，则()2(0)a x ax a g x a x x x x-+'=-+=>，因为()g x 有两个极值点为1x ，()212x x x ≠，所以()20x ax a g x x-+'==在(0,)+∞上有两个不同的根，此时方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，则240a a ∆=->，且12120,0x x a x x a +=>=>，解得4a >，若不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()1212g x g x x x λ+>+恒成立，因为221211122211()()(ln )(ln )22g x g x a x x x a x x x +=-++-+221212121ln()()()2a x x a x x x x =-+++2121212121ln()()()22a x x a x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦21ln 2a a a a =--不妨设()()212121ln 12()ln 1(4)2a a a a g x g x h a a a a x x a --+===-->+，则112()22a h a a a-'=-=，因为4a >，所以()0h a '<，所以()h a 在(4,)+∞上递减，所以()(4)2ln 23h a h <=-，所以2ln 23λ≥-，即实数λ的取值范围为[2ln 23,)-+∞.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，求出a 的范围，再将不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()12121ln 1(4)2g x g x a a a x x λ+>=-->+恒成立，然后构造关于a的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.。

高三数学基础测试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 如果函数f(x) = 2x + 3在x = 2处的切线斜率为k，那么k的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，其图像的对称轴为：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 3，S5 = 55，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C4. 在三角形ABC中，a = 3，b = 4，c = 5，则cosA的值为：A. 1/3B. 2/3C. 1/2D. 3/2答案：B5. 已知复数z = 1 + i，那么|z|^2的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C6. 函数y = log2(x + 1)的图像过点(1, 0)，则该函数的定义域为：A. (-1, +∞)B. (-∞, -1)C. (-∞, 1]D. [1, +∞)答案：A7. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为：A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/5答案：C8. 若函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为1，则该函数在该区间上的最小值为：A. -1B. 0C. 1D. 2答案：A9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，若f'(x) = 0，则x的值为：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A10. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则该数列的前5项和S5为：A. 31B. 51C. 81D. 243答案：C二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的顶点坐标为______。

答案：(-1/3, 2/3)12. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 5，d = 3，则S10 = ______。

2025届西安市高三数学上学期第一次质量检测考试卷附答案解析

2025届西安市高三数学上学期第一次质量检测考试卷本卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}2210,1=-=-A x x B x log x x ，则A B ⋂=()A.{}10x x - B.{}10x x -< C.{}10x x -< D.{}10x x -<<2.“01a <<”是“函数()log (2)a f x a x =-在(,1)-∞上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数()()2sin x xf x x e e x-=-+-在区间[]2.8,2.8-的大致图像为()A. B. C. D.4.已知5log 2a =，2log b a =，1()2bc =，则()A.c b a >> B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>5.已知定义在R 上的函数()f x 满足3(2)()f x f x +=，且(2)1f =-，则(100)f =()A.3B.1C.1-D.3-6．已知函数1,0,()()12,0,x e x f x g x kx x x⎧-⎪==-⎨<⎪⎩ ，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是()A.{}e B.[,)e +∞ C.1(,0){}8e -⋃ D.1(,){}8e -∞-⋃7.已知函数3()1f x x x =-+，则()A.()f x 有三个极值点B.()f x 有三个零点C.直线2y x =是曲线()y f x =的切线D.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心8.已知函数24,0(),0x x f x x log x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于()A.28-B.28C.14- D.14二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列导数运算正确的是（）A.211(x x'=- B.()x xe e '--= C.21(tan )x cos x'=D.1(ln ||)x x'=10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则()A.甲乙不相邻的不同排法有48种B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C.甲乙不排在两端的不同排法有36种D.甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种11.已知0c b a <<<，则()A.ac b bc a+<+ B.333b c a +< C.a c ab c b+<+ D.>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某班的全体学生参加化学测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则该班学生化学测试成绩的第40百分位数为__________.13.若曲线x y e x =+在点(0,1)处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.14.5(1)(2)y x y x-+的展开式中，23x y 的系数为__________.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数3212()2.32a f x x x ax +=-+（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.16．为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线bx a y e +=的附近，请根据下表中的数据求出（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数a 和b 的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.月份x 123456体重超标人数y987754483227ln z y= 4.58 4.37 3.98 3.87 3.46 3.29附：经验回归方程：ˆˆˆybx a =+中，1221ˆniii nii x ynx y b xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i ii x z==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈17.已知函数()log (1)a f x x =+，()2log (2)(a g x x t t =+∈R )，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x 的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围．18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布2(,)N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字);(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表;②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<<+≈，(33)0.9973.)P μσξμσ-<<+≈（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85,95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85,95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；(ⅱ)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.19.已知函数1()ln (1).x f x ae x a x -=+-+（1）当0=a 时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）二.选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.6513.ln 214.40三、解答题：(本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分)15.（本小题满分13分）解：(1)1a =时，3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x '=-+=--，所以1x <或2x >时，()0f x '>；12x <<时，()0f x '<则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞上递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =...............................5分陕西省西安中学高2025届高三第一次质量检测数学参考答案题号12345678答案CBABDCDA题号91011答案ACDBCDABD3212(2)()232a f x x x ax +=-+，则()()(2)f x x a x '=--，当2a =时，()0f x ' ，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，()0f x '>；2x a <<时，()0f x '<,所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，()0f x '>；2a x <<时，()0f x '<所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减................................8分（2）令-+<=≈，所以，解得，由于，所以，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下................................5分17.（本小题满分15分）解：(1)1=- t 时，()()2log 1log 21a a x x +- ，又01a <<，21(21)210x x x ⎧+-∴⎨->⎩，2450151242x x x x ⎧-⎪∴∴<⎨>⎪⎩，∴解集为：15{|}24x x <；...............................6分(2)解法一：()222F x tx x t =+-+，由()0F x =得：22(2x t xx +=-≠-且12)x -< ，22(2)4(2)2x t x x +∴=-+-++，设2U x =+(14U < 且2U ≠，则212424U t U U U U=-=--+-+，令2()U U Uϕ=+，当1U <<时，()U ϕ4U <<时，()U ϕ单调递增，且9(1)3,(4).2ϕϕϕ===9()2U ϕ∴且() 4.U ϕ≠12402U U∴---< 或2044U U<--- ，t 的取值范围为：2t - 或224t +解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得：24t =，又1212x x t ==-(]1,2,∈-24t +∴=；②()F x 在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则有()()120F F -<，解得：2t <-或1t >，又经检验：2t =-或1t =时，()F x 在(1,2]-上都有零点；2t ∴- 或 1.t ③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有0,01122(1)0(2)0t t F F >∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪->⎪>⎪⎩或0,01122(1)0(2)0t t F F <∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-<⎪<⎪⎩，解得：214t +<<，综上可知：t 的取值范围为2t - 或224t +...............................15分18.（本小题满分17分）(1)(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69.x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即69x μ≈=11s σ≈≈，所以X ∽2(69,11)N ，因为质量指标值X 近似服从正态分布2(69,11)N ，所以1(69116911)1()(80)22P X P X P X μσμσ--<<+--<<+== 10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16................................5分(2)()(0.010.01)1010020i +⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[85,95]的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：3010103202(0)19C C P C η===，21101032015(1)38C C P C η===，12101032015(2)38C C P C η===，0310103202(3)19C C P C η===，随机变量η的分布列为：η0123P21915381538219所以η的数学期望2151523()0123.193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=...............................11分()ii 设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由(1)知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以Y ∽(100,0.16)B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))()100ln(25)m m E Y m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-,令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4x ∈，()0f x '>，()f x 递增79;(,24)4x ∈，()0f x '<，()f x 递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大................................17分19.（本小题满分17分）(1)解：当0=a 时，()ln =-f x x x ，且知11()1-'=-=xf x x x，在(0,1)上，()0'>f x >，()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0'<f x ，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞..............................4分(2)证明：因为1a =，所以1()ln 2x f x e x x -=+-，且知11()2x f x e x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x ' 在(0,)+∞上恒成立，设11()2x g x ex -=+-，0x >，则121()x g x e x-'=-，注意1x y e -=，21y x=-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g = ，即()0f x ' ，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;...............................10分(3)由11()1x f x ae a x -'=+--，有(1)0f '=，令11()1x h x ae a x -=+--，有121()x h x ae x-'=-，①当0a 时，11()0x xh x aex -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1x y ae -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数a 的取值范围为(,1).-∞..........................17分。

2024-2025学年四川省成都市高三上学期数学综合测试试题(含解析)

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年四川省成都市高三上学期数学综合测试试题.1. 已知复数112i z =+，则z 的虚部是（）A. 2B. 2iC. 2i 5-D. 25-【答案】D 【解析】【分析】应用复数的除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可.【详解】因为()()2112i 12i 12i 12i 12i 12i 14i 55z --====-++--，所以z 的虚部为25-.故选：D.2. 一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（）A.35B.23C.25D.13【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】根据题意，任取两球恰有一个红球的概率为112325C C 63C 105P ===.故选：A.3. 对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，则m 的取值范围为（）A. ()1,1-B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】分离参数，可得()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，结合基本不等式即可求得答案.【详解】对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，即对任意的()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，故1m <，故m 的取值范围为(),1∞-.故选：B4. 已知tan 2α=，则1cos2sin2αα+=（）A. 3B.13C. 2D.12【答案】D 【解析】【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.【详解】21cos22cos 11sin22sin cos tan 2αααααα+===.故选：D.5. 设,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（）A. 33a b > B. ()lg 0a b ->C. 22a b > D. a b>【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可.【详解】对于A ，33a b a b >⇔>，故33a b >是a b >的充要条件；对于B ，由()lg 0a b ->得1a b >+，能推出a b >，反之不成立，所以()lg 0a b ->是a b >的充分不必要条件；对于C ，由22a b >无法得到,a b 之间的大小关系，反之也是，所以22a b >是a b >的既不充分也不必要条件；对于D ，由a b >不能推出a b >，反之则成立，所以a b >是a b >的必要不充分条件．故选：B ．6. 定义在(0,)+∞上函数()f x 的导函数为()f x '，若()()0xf x f x '-<，且(3)0f =，则不等式(2)()0x f x -<的解集为（）A. (0,2)(2,3)⋃B. (0,2)(3,)+∞C. (0,2)(2,)⋃+∞D. (0,3)(3,)+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件构造函数()()f x g x x=，利用导数确定单调性，结合(3)0f =求解不等式即得.【详解】依题意，令()()f x g x x =，求导得2()()()0'-'=<xf x f x g x x，则()g x 在(0,)+∞上单调递减，由(3)0f =，得(3)0g =，不等式(2)0(2)0(2)0()()()f x f x x g x x xx -<⇔-⋅<⇔-<，则20()0x g x -<⎧⎨>⎩或20()0x g x ->⎧⎨<⎩，即203x x <⎧⎨<<⎩或23x x >⎧⎨>⎩，解得02x <<或3x >，所以不等式(2)()0x f x -<解集为(0,2)(3,)+∞ .故选：B7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（）A.B. 1C.D. 1+【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用几何关系得到12π2F PF ∠=，又21π6F F P ∠=，得到21,PF c PF ==，再结2c a -=，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)c c >，右焦点为2F ，直线OQ 交1F P 于点M ，连接2PF ，因为1PF Q △为正三角形，1OQ F P ⊥，所以M 为1F P 的中点，所以2//OM F P ，的的故12π2F PF ∠=，易知21π6F F P ∠=，所以21,PF c PF ==，由双曲线的定义知122PF PF a -=，2c a -=，得1c e a ===+故选：D ．8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是等边三角形，1AA =，2AB =，则点C 到直线1AB 的距离为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】取AC 的中点O ，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】解：取AC 的中点O ，则,BO AC BO ⊥=，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，所以()()10,1,0,,0,1,0A B C -，所以()1,0,2,0AB CA ==-，所以CA 在1AB上的投影的长度为11||||CA AB AB ⋅==，故点C 到直线1AB的距离为d ===故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数()ln 1f x x =-，则下列判断正确的是（）A. 直线22exy =是()f x 过原点一条切线B. ()f x 关于y x =对称的函数是1e x y +=C. 过一点(),a b 可以有3条直线与()f x 相切D. ()2f x x ≤-【答案】ABD 【解析】【分析】由导数的几何意义可判定A ，由反函数的概念可判定B ，利用对数函数的图像可判定C ，利用常用的切线放缩可判定D.【详解】对于A ，设切点(),ln 1m m -，则()1ln 100m k f m m m --=='=-，∴1ln 1m m m-=⋅，∴ln 2m =，∴2e m =，切点()2e ,1所以过原点的切线方程为222e 1e ex xy y --=⇒=，∴A正确；的对于B ，由反函数的概念可得111ln ee y x y x x y +++=⇒=⇒=，故与()f x 关于y x =对称的函数为1e x y +=，∴B 正确；对于C ，当点(),a b 在()f x 上方，如下图所示，结合图象可知，最多有两条切线，如果在()f x 下方，没有切线，在曲线上，只有一条切线C 正错误；对于D ，由于x +∀∈R ，设()()1ln 1x g x x x g x x'-=--⇒=，令()01g x x >'⇒>，令()001g x x <⇒<<'，∴()g x 在(1,+∞)上单调递增，在()01，上单调递减；∴()()()10ln 12g x g x x f x x ≥=⇒≤-⇒≤-，∴D 正确．故选：ABD10. 等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（）A. 若374a a +=，则918S =B. 若125a a +=，349a a +=，则7817a a +=C. 若150S >，250S <，则2219a a <D. 若910S S =，则110S >【答案】ABD 【解析】【分析】利用等差数列的性质，对于A ，()()193799922a a a a S ++==，计算即可；对于B ，由已知计算数列公差，再求值即可；对于C ，结合数列单调性比大小；对于D ，由10a >，100a =，得()111116111102a a S a +==>.【详解】等差数列{}n a 中，10a >，设公差为d ，若374a a +=，则()()19379991822a a a a S ++===，A 正确；若125a a +=，349a a +=，则()()3412954a a a a d +-+=-=，得1d =，27811251217a a a d a ++===++，B 正确；若()115158151502a a S a +==>，()1252513252502a a S a +==<，所以公差0d <，当90a >时，有190a a >>，则有2219a a >，当90a <时，有79820a a a +=>，得790a a >->，所以1790a a a >->>，则有2219a a >，C 错误；若910S S =，则100a =，因为10a >，所以()111116111102a a S a +==>，D 正确．故选：ABD ．11. 设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '.若()()42f x g x --=，()()2g x f x ''=-，且()2f x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A. 函数()f x 的图象关于点()2,0对称B. ()()352g g +=-C.20241()2024k g k ==-∑D.20241()0k f k ==∑【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，结合奇函数性质，借助赋值法探讨对称性、周期性，再逐项分析判断即得.【详解】对于A ，由(2)f x +为奇函数，得(2)(2)f x f x -+=-+，即(2)(2)0f x f x -++=，因此函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，A 正确；由()(2)g x f x ''=-，得()(2)g x f x a =-+，则(4)(2)g x f x a -=-+，又()(4)2f x g x --=，于是()(2)2f x f x a =-++，令1x =，得2a =-，即()(2)f x f x =-，则(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 是周期函数，周期为4，对于B ，由()(2)2g x f x =--，得(3)(5)(1)2(3)24g g f f +=-+-=-，B 错误；对于C ，显然函数()g x 是周期为4的周期函数，(1)(3)(3)(5)4g g g g +=+=-，(2)(4)(0)2(2)24g g f f +=-+-=-，则2024411()506()506(8)4048k k g k g k ====⨯-=-∑∑，C 错误；对于D ，(1)(3)0f f +=，(2)(4)0f f +=，则2024411()506()0k k f k f k ====∑∑，D 正确.故选：AD【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 在5ax ⎛ ⎝展开式中2x 的系数为270-，则a 的值为__________.【答案】3-【解析】【分析】根据二项式定理可得展开式的通项为()35255C 1r rrrxa--⋅-，令3522r -=，求得r 代入运算即可.【详解】因为展开式的通项为()()3552555C C ,0,1,2,3,,145rr r r rrrax x r a ---⎛⋅= ⎝=-，令3522r -=，解得2r =，因为2x 的系数为()5323211C 2700a a -=-=，解得3a =-.故答案为：3-.13. 函数2()ln 2f x x ax =+-在[1,2]内存在单调递增区间，则a 的取值范围是______.【答案】1(,)2-+∞【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 的导数()f x '，再利用()0f x '>在(1,2)内有解即可.【详解】函数2()ln 2f x x ax =+-，求导得1()2f x ax x'=+，由函数()f x 在[1,2]内存在单调递增区间，得不等式()0f x '>在(1,2)内有解，不等式21()02f x a x'>->⇔，而函数212y x =-在(1,2)上单调递增，当(1,2)x ∈时，21122x ->-，因此12a >-，所以a 的取值范围是1(,)2-+∞.故答案为：1(,)2-+∞14. 双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数1y x=的图象是双曲线，它的实轴在直线y x =上，虚轴在直线y x =-上，实轴顶点是()()1,1,1,1--，焦点坐标是，(，已知函数y x =+e .则其在一象限内的焦点横坐标是__________，其离心率2e =__________.【答案】 ①.②.43【解析】【分析】根据材料得到双曲线的轴和顶点的定义，根据双曲线的离心率和其渐近线的斜率之间的关系求双曲线的离心率，利用双曲线的离心率的定义求双曲线的焦点坐标.【详解】直线y x =和y 轴是双曲线的两条渐近线，由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线y =，由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得2y x x y ⎧⎫=+⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩(，若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线y x =，则双曲线的离心率e ==243e =，设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为()00,x y ，则01x =，所以0x =，所以002y ==，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为2⎫⎪⎪⎭，.43.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤15. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y (百千克)与某种液体肥料每亩的使用量x (千克)之间的对应数据的散点图如图所示．（1）从散点图可以看出，可用线性回归方程拟合 y 与x 的关系，请计算样本相关系数r 并判断它们的相关程度；（2）求 y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量．附：()()()121ˆˆˆnn i i i n i i x x y y x x y y r b ay bx x x ==----===--∑∑，．【答案】（1）r = ； y 与x 程正线性相关，且相关程度很强．（2） 1.50.7y x =+； 9.9 百千克．【解析】【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数r ，再由0.75r >即可求解；（2）求出线性回归方程，再取12x =代入，即可求解.【小问1详解】由题知： 24568345675555x y ++++++++====，所以()()()()55522111142010i i i i i i i x x y y x x y y ===--=-=-=∑∑∑，，所以50.75x x y y r --===>所以 y 与x 程正线性相关，且相关程度很强．小问2详解】因为 ()()()51521140.70ˆ2i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆˆ50.75 1.5a y bx =-=-⨯=，所以 y 关于x 的线性回归方程为 1.507ˆ.yx =+，当 12x =时， 1.50.712ˆ9.9y=+⨯=．所以预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量为 9.9 百千克．16. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且223n S n n =+，数列{b n }满足24log 1n n a b =+.（1）求,n n a b ；（2）设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .【【答案】（1）41,2n n n a n b =+=（2）()16432n n T n +=+-⋅【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的关系，再结合24log 1n n a b =+即可求解；（2）由错位相减法即可求解.【小问1详解】由223n S n n =+，当2n ≥时，()221232(1)3141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦.当1n =时，115a S ==，也适合41n a n =+.综上可得，41n a n =+.由24log 141n n a b n =+=+，所以2n n b =.【小问2详解】由（1）知()412nn n a b n =+⋅()125292412nn T n =⨯+⨯+++ ()()23125292432412n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ ①①-②得()21104242412n n n T n +-=+⨯++⨯-+⋅ ②()()()111412104412643212n n n n T n n -++--=+⨯-+⋅=---⋅-，所以()16432n n T n +=+-⋅.17. 在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11AA A C =，2AC =，AC BC ⊥，11AA AC ⊥.（1）证明：1BB ⊥平面1A BC ；（2）若异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，求BC .【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到BC ⊥1AA ，结合11AA A C ⊥得到1AA ⊥平面1A BC ，再由平行关系得到证明；（2）作出辅助线，证明出1A P ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，设BC m =，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出m =，得到答案.【小问1详解】因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，AC BC ⊥，⊂BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11AAC C ，因为1AA ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥1AA ，因为11AA A C ⊥，1A C BC C = ，1,AC BC ⊂平面1ABC ，所以1AA ⊥平面1A BC ，又1//BB 1AA ，所以1BB ⊥平面1A BC ；【小问2详解】取AC 的中点P ，连接1PA ，因为11AA A C =，所以1A P ⊥AC ，因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，1A P ⊂平面11AAC C ，所以1A P ⊥平面ABC ，取AB 的中点H ，连接PH ，则//PH BC ，因为AC BC ⊥，所以PH ⊥AC ，故以P 为坐标原点，1,,PH PC PA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为2AC =，所以1112A P AC ==，故()()()101,0,0,1,0,0,0,1A C A -，设BC m =，则(),1,0B m ，设()1,,B s t h ，由11AA BB = 得()()0,1,1,1,s m t h =--，解得,2,1s m t h ===，故()1,2,1B m ，()()11,3,1,0,1,1AB m CA ==- ，因为异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，所以11cos ,3AB =，解得m =，故BC =18. 已知抛物线Γ：24y x =，在Γ上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a >．（1）若A 到抛物线Γ准线的距离为3，求a 的值；（2）当4a =时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线Γ上，求O 到直线AB 的距离；（3）直线l ：3x =-，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为.Q 若在P的位置变化过程中，4HQ >恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）a =（2（3）(]0,2【解析】【分析】（1）先求出点A 的横坐标，代入抛物线方程即可求解；（2）先通过中点在抛物线上求出点B 的坐标，进一步求出直线AB 方程，利用点到直线距离公式求解即可；（3）设22(,),(,),(3,)(0)44t a P t Aa H t t a -≠>，联立方程求出点Q 的坐标，根据4HQ >恒成立，结合基本不等式即可求解.【小问1详解】抛物线Γ：24y x =的准线为1x =-，由于A 到抛物线Γ准线的距离为3，则点A 的横坐标为2，则2428(0)a a =⨯=>，解得a =【小问2详解】当4a =时，点A 的横坐标为2444=，则()4,4A ，设(),0B b ，则AB 的中点为4,22b +⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得24242b +=⨯，解得2b =-，所以B (−2,0)，则402423AB k -==+，由点斜式可得，直线AB 的方程为()223y x =+，即2340x y -+=，所以原点O 到直线AB =；【小问3详解】如图，设()22,,,,3,(0)44t a P t A a H t t a ⎛⎫⎛⎫-≠> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22444AP t a k t a t a -==+-，故直线AP 的方程为244a y a x t a ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，令3x =-，可得2434a y a t a ⎛⎫=-+⋅ ⎪+⎝⎭，即243,34a Q a t a ⎛⎫⎛⎫--+⋅ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则2434a HQ t a t a ⎛⎫=-++⋅ ⎪+⎝⎭，依题意，24344a t a t a⎛⎫-++⋅> ⎪+⎝⎭恒成立，又2432204a t a a a t a⎛⎫+++⋅-≥-> ⎪+⎝⎭，则最小值为24a ->，即2a >+2a >+，则221244a a a +>++，解得02a <<，又当2a =时，1624442t t ++-≥-=+，当且仅当2t =时等号成立，而a t ≠，即当2a =时，也符合题意．故实数a 的取值范围为(]0,2．19. 已知函数22()ln(1),(1,)2x f x x x x ax=+-∈-+∞++.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当0a =时，试判断()f x 零点的个数，并说明理由；（3）是否存在实数a ，使(0)f 是()f x 的极大值，若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由.【答案】（1）388ln270x y -+-=；（2）1个，理由见解析；（3）存在，1{}6a ∈-.【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）把0a =代入，利用导数探讨函数的单调性即可得解.（3）利用连续函数极大值意义求出a 值，再验证即可得解.【小问1详解】当1a =时，22()ln(1)2x f x x x x =+-++，求导得222142()1(2)x f x x x x -=-+++'，则3(1)8f '=，而1(1)ln22f =-，于是切线方程是13ln2)(1)(28x y -=--，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程388ln270x y -+-=.【小问2详解】当0a =时，24()ln(1)ln(1)222x f x x x x x=+-=++-++，的求导得22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=≥++++，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f =，所以函数()f x 有且仅有一个零点，是0.【小问3详解】由(0)f 是()f x 的极大值，得0,0m n ∃<>，使得当(,)x m n ∈时，220x ax ++>且()(0)f x f ≤恒成立，求导得22222(461)()(1)(2)x a x ax a f x x ax x '+++=+++，因此0x =是22()461h x a x ax a =+++的变号零点，即(0)0h =，解得16a =-，经检验，当16a =-时，322(24)()(1)(612)x x f x x x x -=+--'，则当(1,0)x ∈-时()0f x '>，当(0,24)x ∈时()0f x '<，于是(0)f 是()f x 的极大值，符合条件，所以a 的取值集合为1{}6-.【点睛】结论点睛：函数()y f x =是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

新高三数学测试题及答案

新高三数学测试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，则f(3)的值为：A. -1B. 1C. 9D. 11答案：B2. 已知等差数列{a_n}中，a_1 = 2，公差d = 3，求a_5的值。

A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A3. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)答案：A4. 函数y = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-1, 1]B. [-√2, √2]C. [0, 2]D. [1, 2]答案：B5. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B =：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案：B6. 已知向量a = (3, 4)，b = (-4, 3)，则向量a与向量b的夹角θ满足：A. cosθ = 1/7B. cosθ = -1/7C. cosθ = 7/√50D. cosθ = -7/√50答案：A7. 函数y = x^3 - 3x^2 + 4x的导数y'为：A. 3x^2 - 6x + 4B. x^2 - 3x + 4C. 3x^2 - 6x + 1D. x^2 - 3x + 2答案：A8. 已知复数z = 2 + 3i，求|z|的值。

A. √13B. √19C. √7D. √17答案：A9. 已知双曲线方程为x^2/9 - y^2/16 = 1，求其渐近线方程。

A. y = ±(4/3)xB. y = ±(3/4)xC. y = ±(16/9)xD. y = ±(9/16)x答案：A10. 已知等比数列{b_n}中，b_1 = 2，公比q = 2，求b_4的值。

A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = _______。

高三数学学测试卷参考答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 3/4C. 0.1010010001…D. 2.25答案：A解析：√2是无理数，因为它不能表示为两个整数的比。

2. 函数f(x) = 2x + 3在x=2时的导数是（）A. 2B. 3C. 5D. 4答案：A解析：根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h，代入x=2得f'(2) = lim(h→0) [2(2+h) + 3 - (22 + 3)]/h = 2。

3. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么第10项an是（）A. 19B. 21C. 23D. 25答案：C解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，代入a1=3，d=2，n=10得an = 3 + (10-1)2 = 23。

4. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2xC. y = log2xD. y = e^x答案：D解析：对于A，函数在（0，+∞）上单调递增，但x=0时函数值不存在；对于B，函数在（0，+∞）上单调递增，但x=0时函数值不存在；对于C，函数在（0，+∞）上单调递增，但x=0时函数值不存在；对于D，函数在（0，+∞）上单调递增。

5. 已知向量a = (1, -2)，向量b = (3, 4)，则向量a·b的值是（）A. -5B. -7C. 5D. 7答案：A解析：向量的点积公式为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别为向量a和向量b的模，θ为两向量夹角。

计算得|a| = √(1^2 + (-2)^2) = √5，|b| =√(3^2 + 4^2) = 5，cosθ = (13 + (-2)4) / (√55) = -5/√25 = -1，所以a·b = |a||b|cosθ = √55(-1) = -5。

广东省佛山市禅城区2025届高三统一调研测试(一)数学试题

广东省佛山市禅城区2025届高三统一调研测试（一）数学试题一、单选题1．21i -=（）ABC ．2D ．52．已知A B R ⊆⊆，且()R A B =I ð（）A ．BB ．R AðC ．B AðD ．∅3．若sin20m = ，则tan160= （）AB．CD．m-4．抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（）A ．35B ．12C ．25D ．235．已知()()2log 2,0log ,0a x x x f x x bx x ->⎧=⎨-+<⎩是奇函数，则a b +=（）A ．32-B ．0C ．52D ．46．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知450,5S a ==-，则（）A ．25n a n =-+B ．310n a n =-C ．228n S n n=-+D ．2122n S n n=-+7．已知圆台的高为1，下底面的面积16π，体积为37π3，则该圆台的外接球表面积为（）A ．64πB ．81πC ．100πD ．121π8．设()f x '是函数()f x 的导数，()()110f x f x -++=，()20f =，当1x >时，()()()10x f x f x '-->，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（）A ．()()0,11,2U B ．()()0,12,⋃+∞C ．()(),01,2-∞ D ．()(),02,-∞+∞ 二、多选题9．已知直线a ，b 与平面α，β，γ，能使αβ⊥的充分条件是（）A ．αγ⊥，βγ⊥B ．//αγ，βγ⊥C ．b αβ= ，a b ⊥r r，a α⊂D ．//a b ，b β⊥，a α⊂10．已知a ，0b >，且26ab a b =++，则（）A ．ab 的最小值为18B ．22a b +的最小值为36C ．21a b +的最小值为23D ．a b +的最小值为3+11．已知函数()3231f x ax x =-+，则下列命题中正确的是（）A ．1是()f x 的极大值B ．当10a -<<时，()()1f a f a -<C ．当2a >时，()f x 有且仅有一个零点0x ，且00x >D ．若()f x 存在极小值点1x ，且()()12f x f x =，其中12x x ≠，则1220x x +=三、填空题12．已知ABC 的三个顶点分别为()1,2A ，()3,1B ，()5,C m ，且π2ABC ∠=，则m =．13．若直线y kx =与曲线1ln 2y x x=+相切，则k =．14．已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω的最大值为．四、解答题15．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC V 的面积为3sin bcB，tan tan 4A B =．(1)求角C 的大小；(2)若3c =，求ABC V 的周长．16．某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的37；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占15．(1)请根据以上数据填写下面22⨯列联表，并依据小概率值0.001α=的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否上班存在关联？满意不满意合计上班族非上班族合计(2)该机构欲再从全市随机选取市民，进一步征求改善交通现状的建议．规定：抽样的次数不超过6次，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到6次时，抽样结束．以调查数据中的满意度估计全市市民的满意度，求抽样次数X 的分布列和数学期望．附：α0.10.050.010.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//AB CD ，90ADC ∠= ，PA PB ⊥，PA PB =．(1)求证：平面PAD ⊥平面PBC ；(2)若2AB AD ==，1CD =，点E 是线段BC 上一点，且二面角E PA D --，求CECB的值．18．已知函数()212ln f x ax x =-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当1a =时，若存1x 、2x 在，满足()()12f x f x =-，证明：122x x +≥；(3)对任意的0x >，()22e ln 1xf x x x x≤+--'恒成立，其中()f x '是函数()f x 的导数，求a 的取值范围．19．欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以写成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，这个乘积形式是唯一的．对于任意正整数n ，记()f n 为n 的所有正因数的个数，()g n 为n 的所有正因数的和．(1)若数列()3nn a f =，()3nn b g =，13na n n n cb b +=，①写出2a ，2b ；②求数列{}n c 的前n 项和n S ；(2)对于互不相等的素数p 、q 、r ，证明：()()()()3232f p q r f p f q f r =，()()()()3232g p q r g p g q g r =，并求()()22002200g f 的值．。

浙江省嘉兴市2024-2025学年高三上学期9月基础测试数学试题

浙江省嘉兴市2024-2025学年高三上学期9月基础测试数学试题一、单选题1．已知集合U {19,},{4,5,6}U xx x A =<<∈=N ∣ð，则（） A ．2A ∈ B ．3A ∉ C ．6A ∈ D ．7A ∉2．在复平面内，复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，则12z z =（） A ．34i -+B ．34i --C ．5D3．已知向量()()()1,2,,1,,1a b c λμ==-=-r r r ，若()a c +r r ∥b r ，则λμ+=（） A ．2-B ．1-C ．0D ．14．嘉兴河流众多，许多河边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀､柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线（Catenary ）.已知函数()()e e 02x xaaa f x a -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 的最大值是aC ．()f x 在(),∞∞-+上单调递增D ．方程()2f x a =有2个实数解5．已知()()1sin 3cos ,tan tan 5αβαβαβ+=-=-，则tan tan αβ+=（）A ．15-B ．5-C ．125D ．126．已知四面体P ABC -的每条棱长都为2，若球O 与它的每条棱都相切，则球O 的体积为（）67．将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9随机填入33⨯的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（） A ．89!B ．129!C ．249!D ．489!8．《测圆海镜》是金元之际李冶所著中国古代数学著作，这是中国古代论述容圆的一部专著，也是论述天元术的代表作.天元术与现代数学中列方程的方法基本一致，先立“天元一”为…，相当于“设x 为…”，再根据问题的已知条件列出两个相等的多项式，最后通过合并同类项得到方程10110n n n n a x a x a x a --++++=L .设()()1011n n n n f x a x a x a x a n --=++++∈N L ，若()125238n f n +=⨯--，则()1f =（）A ．2342n n +B ．23112n n +C ．23542n n ++D ．23742n n ++二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．样本数据20,19,17,16,22,24,26的下四分位数是17B ．在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为10，平均值为9，第二层的样本量为20，平均值为12，则所抽样本的平均值为11C ．若随机变量15,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，则()82243P X ==D ．若随机变量()()24,0X N σσ~>，若()20.8P x ≥=，则()60.2P x >=10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是()()12,0,,0F c F c -，以12F F 为直径的圆与C 在第一象限交于点P ，延长线段2PF 交C 于点Q .若222PF QF =，则（）A ．211QF PF QF +=B ．1PQF △的面积为243aC ．椭圆CD ．直线1QF 的斜率为211-11．定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()23ax f x f x a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，其值域是M .若对于任何满足上述条件的()f x 都有()[]{},0,1yy f x x M =∈=∣，则实数a 的取值必可以为（）424三、填空题12．若52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则2a =.13．已知直线2y x m =-与圆22:()4C x m y -+=交于,A B 两点，写出满足“AB =的实数m 的一个值：.14．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1===AB AD AA ，点M 满足()11101A M AC λλ=≤≤u u u u r u u u u r，平面MAB 与底面ABCD 的夹角为α，平面MBC 与底面ABCD 的夹角为β，当αβ+最小时，λ=.四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=. (1)求A ；(2)若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ∠∠===sin B .16．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，侧面PCD ⊥底面,5ABCD PC PD ==，点,E G 分别是,DC DP 的中点，点F 在棱AB 上且3AF FB =.(1)求证：FG ∥平面BPE ；(2)求直线FG 与平面PBC 所成的角的正弦值.17．已知函数()()()22ln ,f x x a x a g x x x =-∈=--R .(1)讨论()f x 的单调性；(2)若存在()1,x ∈+∞，使得函数()()f x g x ≤成立，求证：5e a >. 参考数据：237.3e 7.4,20e 20.1<<<<.18．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(),2M t 是C 上的一点，且2MF =.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点()()1122,,,A x y B x y （其中12x x <）是C 上异于M 的两点，AMB ∠的角平分线与x 轴垂直，N 为线段AB 的中点. （i ）求证：点N 在定直线上；（ii ）若MAB △的面积为6，求点A 的坐标.19．当*12,,,k n n n ∈N L ，且12k n n n <<<L 时，我们把12,,,k n n n a a a L 叫做数列{}n a 的k 阶子数列，若12,,,k n n n a a a L 成等差（等比）数列，则称12,,,k n n n a a a ⋯为数列{}n a 的k 阶等差（等比）子数列.已知项数为(4n n ≥，且)*n ∈N 的等差数列{}n b 的首项1b =2=d .(1)写出数列126,,,b b b L 的所有3阶等差子数列；(2)数列{}n b 中是否存在3阶等比子数列，若存在，请至少写出一个；若不存在，请说明理由；(3)记数列{}n b 的3阶和4阶等差子数列个数分别为,A B ，求证：2A B ≤.。

(完整版)高三数学综合测试题试题以及答案

高三数学综合测试题一、选择题1、设集合{}U =1,2,3,4，{}25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值为( B )A ．4-B ． 4C ．6-D ．6 2．条件,1,1:>>y x p 条件1,2:>>+xy y x q ，则条件p 是条件q 的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件}2,1,0,1.{-B }3,2,0,1.{-C }3,2,1,0.{D3. 设函数()1xf x e =-的图象与x 轴相交于点P, 则曲线在点P 的切线方程为( C ) （A ）1+-=x y （B ）1+=x y （C ）x y -= （D ）x y = 4．设a =120.6，b =120.7，c =lg0.7，则 ( C )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c 5．函数f (x )=e x -x -2的零点所在的区间为 ( C )A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)6、设函数1()7,02(),0x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是（ C ）A 、(,3)-∞-B 、(1,)+∞C 、(3,1)-D 、(,3)(1,)-∞-+∞U 7．已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是( D )8．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定解析：选C.令log a (x ＋1)＋x 2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y 1＝log a (x ＋1)与y 2＝－x 2＋2的交点个数9．若函数f (x )=-x 3+bx 在区间(0，1)上单调递增，且方程f (x )=0的根都在区间[-2，2]上，则实数b 的取值范围为 ( D )A ．[0，4]B ．[)3+∞，C ．[2，4]D ．[3，4]10．已知定义在R 上的奇函数f (x )是(]0，∞-上的增函数，且f (1)= 2，f (-2)=-4，设P ={x |f (x +t )-4<0}，Q ={x |f (x )<-2}．若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是（ B ）A ．t ≤-1B ．t >3C ．t ≥3D ． t >-1二、填空题11．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题为________________ 12．已知偶函数f (x )=242n n x -(n ∈Z )在(0，+∞)上是增函数，则n = 2 ．13、已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是__、6m >或3m <-_____________14．若不等式1一log )10(x a a -＜0有解，则实数a 的范围是； 15．已知函数)(x f 定义域为[-1, 5], 部分对应值如表)(x f 的导函数)(x f '的图象如图所示, 下列关于函数)(x f 的命题① 函数)(x f 的值域为[1,2]; ② 函数)(x f 在[0,2]上是减函数; ③ 如果当],1[t x -∈时, )(x f 的最大值是2, 那么t 的最大值为4; ④ 当21<<a 时, 函数a x f y -=)(有4个零点. 其中真命题是 ② (只须填上序号).三、解答题16．已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题，（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．答案:(1) 124M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭(2) 94a >或 14a <-17．（本题满分12分）已知二次函数y = f (x )的图象过点(1，-4)，且不等式f (x )<0的解集是(0，5)．（Ⅰ）求函数f (x )的解析式；（Ⅱ）设g (x )=x 3-(4k -10)x +5，若函数h (x )=2f (x )+g (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，求y =h (x )在[-3，1]上的最大值和最小值．17．解：（Ⅰ）由已知y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)，可得f (x )=0的两根为0，5，于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，代入点(1，-4)，得-4=a×1×(1-5)，解得a =1，∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分（Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10)x +5=x 3+2x 2-4kx +5，于是2()344h x x x k '=+-，∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-．令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223x x =-=，．由下表：可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12 -4×1+5=4， h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527， ∴ h (x )的最大值为13，最小值为9527．……………………………………12分 18、（本题满分12分）已知函数),(log )(1011≠>-+=a a x x x f a（1）求)(x f 的定义域，判断)(x f 的奇偶性并证明；（2）对于],[42∈x ，)()(log )(x x mx f a -->712恒成立，求m 的取值范围。

高三数学测试试卷(含答案)

高三数学测试试卷考试说明：总分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.已知集合}2)1(log |{2<-=x x A ，}2|{xy y B ==，则=B A I （） A. ),0(+∞ B. )1,0( C. )0,3(- D. )1,0[ 2.设|||1|)(a x x x f +++=的图像关于直线1=x 对称，则a 的值为（） A. 1 B. 1- C. 3- D. 5-3.若),2(ππθ∈，且)4sin(2cos 2θπθ-=，则=θ2sin （） A. 41 B. 41- C. 43 D. 43-4.已知62:≤≤-x p ，m x m q +≤≤+-31:，若p 是q 的必要不充分条件，则m 范围为（） A. )3,1(- B. ]3,1[- C. ),3()1,(+∞--∞Y D. ),3[)1,(+∞--∞Y5.已知当]1,0[∈x 时，函数2)1(-=mx y 的图像与m x y +=的图像有且只有一个交点，则m 的取值范围（）A. ),32[]1,0(+∞YB. ),3[]1,0(+∞YC. ),32[]2,0(+∞YD. ),3[]2,0(+∞Y6.在三角形ABC 中，1||=，3||=，||||=+，则AB 在BC 方向上投影是（）A. 21B. 21- C. 2 D. 2-7.已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且72S S =，k S S =6，则k 的值（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8.已知数列}{n a 首项11=a ，且满足221=++n n S a ，则满足1011100010012<<n n S S 的n 的最大值为（） A. 8 B. 9 C. 10 D.119.变量y x ,满足约数条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则函数|3|||3-+=y x z 的取值范围是（）A. ]6,23[-B. ]3,2[-C. ]6,1[D. ]9,23[10.已知P 是直线t x y +=上任意一点，过点P 引圆8)2(22=-+y x 的一条切线，切点为Q ，若存在定点M ，均有||||PQ PM =，则t 的取值可能是（）A. 3-B. 1-C. 1D. 3二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.等差数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意正整数n 都有359+-=n n T S n n ，则=nn b a ______，=513b a _______. 12.已知y x ,为负数，xy y x 24122-+=，则y x 2+的取值范围_______.13.某空间几何体中一条长为4的棱在该几何体的正视图中的投影为长14的线段，在侧视图和俯视图的长为a 和b 的线段，则b a +的最大值为________.14.已知三角形ABC 的三边长分别为c b a ,,，且ac b c a +=+222，则=B tan ________；此时若32=b ，则AC AB ⋅的最大值为_______.15.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅->=0)321(0log )(2x a a x x x f x，，，且当0≤x 时，函数xa a x f ⋅-=)321()(是指数函数，则=))21((f f ________，方程2)(=x f 的根为________.16.已知直线01:=+-y x l ，若经过点)0,1(P 且半径为22的圆C 上恰好有一点到直线l 的距离为22，则圆心到直线l 的距离为________，圆心C 的坐标为________. 17.函数)()(21)1(2x f x f x f -+=+，R x ∈，则)0()2017(f f +的最大值为________.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）已知函数x x x x f 2cos 32)2sin()sin(2)(+++=ππ，（1）求)(x f 单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0)(=A f ，4=b ，3=c ，点D 为BC 上的点，且对于任意实数t 恒有||||AD BC t AB ≥+，求AD 的长.19.（本题满分15分）已知函数||)(2a x x f -=，ax x x g -=2)(，R a ∈. （1）求)(x f 在区间]1,1[-上最大值)(a M 的最小值；（2）若方程0)()(=+x g x f 在区间)2,0(上有2个解，求a 的取值范围；20.（本题满分15分）已知数列}{n a 满足211=a ，),1(111*--∈>+=N n n a a a n n n . （1）求}{n a 的通项公式；（2）已知数列}{n b 满足11=b ，22=b ，且1232211--++++=n n n b a b a b a b b Λ（*∈>N n n ,2），判断2016是否为}{n b 中的项，若是，求出相应项数n ；若不是，请说明理由.21.（本题满分15分）已知函数|1|2)(22-+-=x ax x x f ，R a ∈. （1）当0≤a 时，求函数)(x f 的最小值)(a g ；（2）若函数)(x f y =的图像与直线5-=y 在]4,0[上有两个不同的交点，求a 的取值范围.22.（本题满分15分）已知正项数列}{n a 满足：21=a ，1113-+=++n n n n a a a a ，*∈N n .（1）证明：1+<n n a a ；（2）证明：当*∈N n 时，n n n a a a a a a 132111-++=Λ；（3）证明：11111)21(120183212018<++++<-a a a a Λ.试卷（答案）二、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.三、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.155--n n ；3112. )1,2[-- 13. 6 14. 3；346+15. 81；4 16. 2；)21,23(或)21,21(- 17. 221+四、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18.【解析】（1）3)32sin(2)(+--=πx x f .由)(2322222Z k k x k ∈+≤-≤+πππππ故)(x f 的单调递增区间为]1211,125[ππππk k ++，（Z k ∈）（2）若0)(=A f ，所以23)32sin(=-πA ，又因为)2,0(π∈A ，所以)32,3(32πππ-∈-A ，故332ππ=-A ，所以3π=A ，又4=b ，3=c ，由余弦定理得：13=a对于任意实数t 恒有||||AD BC t AB ≥+，则BC AD ⊥，而33sin 21=⋅=∆A bc S ABC ，即13396132133=⨯=AD .19.【解析】（1）由于||)(2a x x f -=在区间]1,1[-上是偶函数，只需考虑)(x f 在]1,0[上最大值即可. ①当0≤a 时，则a x x f -=2)(在]1,0[上是单调递增，a a M -=1)(；②当210<<a 时，a a M -=1)(； ③当21≥a 时，a a M =)(；故当21=a 时，)(a M 取得最小值，且最小值为21.（2）令ax x a x x g x f y -+-=+=22||)()(，①当0=a 时，22x y =，令0,0==x y 不符合题意； ②当0<a 时，a ax x y --=22，对称轴04<=ax ，故y 在)2,0(上单调递增，当0=x 时，0>-=a y ，故0)()(=+x g x f 在)2,0(上不存在解；③当0>a 时，⎩⎨⎧≤≤-+->-<--=)()(22a x a a ax a x a x a ax x y 或令a ax x x h --=22)(，由0)0(<-=a h ，则方程0)(=x h 在),0(+∞只有一解，又因为1=x 是方程0=+-a ax 的解，所以1≥a ，方程0)(=x h 在)2,1(上必有一解，由3810)38)(22(0)2()1(<<⇒<--⇒<a a a h h ，综上所述，a 的取值范围)38,1(20.【解析】（1）由1111111+=⇒+=---n n n n n a a a a a ，又因为211=a ，故}1{n a 是以2为首项，公差为1的等差数列，11+=∴n a n ；（2）由（1）及1232211--++++=n n n b a b a b a b b Λ得：1321113121--++++=n n b n b b b b Λ（*∈>N n n ,2）则3>n 时，23211213121---++++=n n b n b b b b Λ，两式相减得：),3(1111*--∈>-=-N n n b n b b n n n ，即11--=n n b n n b ，221213=+=b b b ，由累乘法知：n b n 32=，当201632==n b n 时，得3024=n ，所以2016为数列}{n b 中的第3024项.21.【解析】（1）①当0=a 时，⎩⎨⎧<≥-=1||11||12)(2x x x x f ，，，此时)(x f 最小值1)(=a g ；②当0<a 时，⎪⎩⎪⎨⎧<-≥---=1||211||21)2(2)(22x ax x a a x x f ，，，若212-≤⇒-≤a a ，)(x f 在)2,(a -∞单调递减，在),2(+∞a单调递增，此时)(x f 的最小值12)2()(2--==a a f a g ；若02021<<-⇒<<-a a，)(x f 在)1,(--∞上单调递减，在),1(+∞-单调递增，此时)(x f 最小值a f a g 21)1()(+=-=，综上所述，当0≤a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+-≤--=0221212)(2a a a a a g ，，.（2）问题等价于05|1|222=+-+-x ax x 在]4,0[上有两个不等实数根)(,2121x x x x <，令⎩⎨⎧<-≥+-=+-+-=1||261||4225|1|2)(222x ax x ax x x ax x x h ，，，由（1）可得，当0=a 时，0)(=x h 无实根，当0<a 时，)(x h 在),1(+∞-单调递增，故0)(=x h 在]4,0[上没有实数根，当0>a 时，若4021≤<≤x x ，则有3224210836)4(0324026)1(2≤<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<≥-=>-=∆≥-=a a a h a a h ，若41021≤<<≤x x ，则有2930836)4(026)1(≤<⇒⎩⎨⎧≥-=<-=a a h a h ，综上所述，]29,22(∈a .22.【解析】（1）)1()1)(1()1(11213+=+-+⇒+=+++n n n n n n n n a a a a a a a a ，又10121+-=⇒>++n n n n a a a a Θ，所以0)1(12221≥-=+-=-+n n n n n a a a a a ，又当0)1(21=-=-+n n n a a a 时，1=n a ，与21=a 矛盾，所以110++<⇒>-n n n n a a a a ；（2）由（1）知1≠n a ，)1(11-=-+n n n a a a ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=--=--=------)1(1)1(1)1(111222111a a a a a a a a a n n n n n n M 等式两边分别相乘得：)1(111211-⋅⋅⋅⋅⋅=--+a a a a a a n n n Λ，因为21=a ，所以n n n a a a a a a 132111-++=Λ；（3）由于)1(11-=-+n n n a a a ，又由（1）知，2≥n a ，n n n n n a a a a a 111)1(1111--=-=-+111111---=⇒+n n n a a a ，故)1111()1111()1111(11112019201832212018321---++---+---=++++a a a a a a a a a a ΛΛ 1111111201832120191<-=---=a a a a a a Λ，又因为}{n a 单调递增，所以2018201812018212=>a a a a Λ，所以2018201821)21(111->-a a a Λ，故11111)21(120183212018<++++<-a a a a Λ。

数学高三滚动测试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为（）A. -5B. -2C. 1D. 42. 下列不等式中，正确的是（）A. 3x > 2x + 1B. 3x ≤ 2x + 1C. 3x ≥ 2x + 1D. 3x < 2x + 13. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 2，a3 = 8，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 3，b3 = 27，则q的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 125. 若复数z满足|z - 2| = 3，则z的取值范围是（）A. z = 5B. z = 1C. z = 0D. z = -16. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴为（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 47. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，S5 = 50，则公差d为（）A. 4B. 5C. 6D. 78. 已知函数f(x) = |x - 2|，则f(x)在x = 2处的导数为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在9. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是（）A. z = 3B. z = 1C. z = 0D. z = -110. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，则f(x)在x = 1处的切线斜率为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 3，a4 = 11，则d的值为______。

12. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 4，b3 = 64，则q的值为______。

13. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3)的值为______。

14. 已知复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是______。

高三数学测试卷及答案解析

一、选择题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1的图像与x轴的交点个数是：A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面内的几何位置是：A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限3. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 3，a3 = 9，则数列的公差d是：A. 2B. 3C. 4D. 64. 下列命题中，正确的是：A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，都有x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，都有x^4 ≥ 0D. 对于任意实数x，都有x^5 ≥ 05. 若函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a的取值范围是：A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 06. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是：A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 3)D. (2, 2)7. 若log2(x - 1) + log2(x + 1) = 3，则x的取值范围是：A. x > 1B. x > 3C. x < 1D. x < 38. 若等比数列{an}的前三项分别为a1, a2, a3，且a1 + a2 + a3 = 14，a1 a3 = 64，则该数列的公比q是：A. 2B. 4C. 8D. 169. 已知函数y = f(x)在区间[0, 2]上单调递增，且f(0) = 1，f(2) = 4，则不等式f(x) > 2的解集是：A. (0, 2)B. (0, 1)C. (1, 2)D. (1, +∞)10. 若平面直角坐标系中，点A(2, 3)，B(-3, 4)，则向量AB的模长是：A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题5分，共50分）11. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的实部为______。

高三数学综合测试题(含答案)

高三数学试题（理科）一、选择题(本大题共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知复平面内的平行四边形ABCD中，定点A对应的复数为i(i是虚数单位)，向量BC 对应的复数为2＋i，则点D对应的复数为()A． 2 B． 2＋2i C．－2 D．－2－2i2.在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型1的相关指数为0.98，模型2的相关指数为0.80，模型3的相关指数为0.50，模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的模型是()．A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型43.设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1．6，则a－b＝()A．0．2B．0．1C．－0．2D．－0．44.若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是()A． [－2,2] B． [0,2]C． [－2,0]D． (－∞，－2)∪(2，＋∞)5.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A．36个 B．72个 C．63个 D．126个6.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的一个充分而不必要条件是()A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<17.若（n∈N*),且,则() A．81 B．16 C．8 D．18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A． B． C． D．9.高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是()A． B． C． D．10.已知x与y之间的几组数据如表:假设根据如表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为,则以下结论正确的是()A．, B．, C．, D．,11.某人射击一发子弹的命中率为0.8，现在他射击19发子弹，理论和实践都表明，在这19发子弹中命中目标的子弹数X的概率满足P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，19)，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是 ()A．14发 B．15发 C．16发 D．15发或16发12.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若a＋b＋c＝0，导函数f′(x)满足f′(0)f′(1)>0，设f′(x)＝0的两根为x1，x2，则|x1－x2|的取值范围是()A．323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，B．14,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．133⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D．1193⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷非选择题二、填空题(本大题共4小题,每小题5.0分,共20分)13.某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X～N(50,)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为________．14.如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有________．15.设M＝，则M与1的大小关系是__________．16.若对任意的x∈A，则x∈，就称A是“具有伙伴关系”的集合．集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.（本小题共12分）已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)．(1)若x＝37+i44是方程的根，求a的值；(2)若x1，x2是方程两个虚根，且|x1－1|＞|x2|，求a的取值范围．18. （本小题共12分）随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．(1)完成如图2×2列联表：(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“休闲方式有关与性别”，那么本次被调查的人数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：＝，其中n=a+b+c+d.参考数据：19.若n为正整数，试比较3·2n－1与n2＋3的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．20.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．21.已知函数f(x)＝(ax－x2)e x.(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在(－1,1]上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．22.设函数f(x)＝|x－a|＋x.(1)当a＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．答案解析1.B2.A3.C4.A5.D【解析】此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有＝126(个)6.C7.A8.D9.C10. C11. D【解析】由≥且≥，解得15≤k≤16，即P(X＝15)＝P(X＝16)最大12.A【解析】由题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，∴x 1＋x2＝－，x1·x2＝，∴|x1－x2|2＝(x＋x2)2－4x1·x2＝.∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴|x 1－x2|2＝＝()2＋·＋.∵f′(0)·f′(1)>0，f′(0)＝c＝－(a＋b)，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝2a＋b，∴(a＋b)(2a＋b)<0，即2a2＋3ab＋b2<0，∵a≠0，两边同除以a2，得()2＋3＋2<0，解得－2<<－1.由二次函数的性质可得，当＝－时，|x 1－x2|2有最小值为，当趋于－1时，|x1－x2|2趋于，故|x 1－x2|2∈[，)，故|x1－x2|∈[，)．13. 0．9544 14.＝S △BCM·S△BCD15.【答案】M<1【解析】∴M＝＝1.16.【答案】15【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3；共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为＋＋＋＝15．17.解(1)已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)，若x＝＋i是方程的根，则x＝-i也是方程的根．(＋i)＋(-i)＝a，解得a＝.(2)x 1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个虚根，不妨设x1＝，x2＝，a∈(－2,2)，|x 1－1|＞|x2|，∴(－1)2＋(－)2＞()2＋()2，∴a＜1.综上，－2＜a＜1.18.【解】(1)依题意，被调查的男性人数为，其中有人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为，其中有人的休闲方式是运动，则2×2列联表如图。

高三数学卷子测试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，其图像的对称中心是（）。

A. (0, 0)B. (1, -2)C. (0, -2)D. (1, 0)2. 下列不等式中正确的是（）。

A. |x| > 0B. |x| ≥ 0C. x^2 > 0D. x^2 ≥ 03. 若a > 0，b < 0，则下列不等式成立的是（）。

A. a^2 > b^2B. a^2 < b^2C. a < bD. a > b4. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an=（）。

A. (n-1)d + a1B. nd - dC. (n+1)d - a1D. nd + a15. 若复数z满足|z+1| = |z-1|，则z位于（）。

A. 虚轴B. 实轴C. 第一象限D. 第二象限6. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = -x^2C. f(x) = 2xD. f(x) = -2x7. 已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，则下列不等式中正确的是（）。

A. a + b > cB. a + b ≥ cC. a + c > bD. a + c ≥ b8. 下列函数中，为奇函数的是（）。

A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x9. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z位于（）。

A. 虚轴B. 实轴C. 第一象限D. 第二象限10. 下列数列中，为等比数列的是（）。

A. 1, 2, 4, 8, 16, ...B. 1, 3, 9, 27, 81, ...C. 1, 2, 3, 4, 5, ...D. 1, 2, 4, 8, 16, ...二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1) = _______。

高三数学测试卷及答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 3/4D. -√32. 若函数f(x) = 2x - 1在x=3时的导数是2，则f'(2)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，则该函数的对称轴方程为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -24. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c=8，则△ABC 的面积S为（）A. 10B. 15C. 20D. 255. 下列不等式中，正确的是（）A. x > 1 > 0B. x^2 > xC. log2(x+1) > log2(x-1)D. 2^x > 3^x6. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，d = 3，则a10 =（）A. 28B. 29C. 30D. 317. 若复数z = 3 + 4i在复平面上的对应点为P，则|OP|的值为（）A. 5B. 7C. 8D. 108. 下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^49. 已知函数y = log2(3x - 1)，则该函数的定义域为（）A. x > 1/3B. x ≤ 1/3C. x < 1/3D. x > 010. 若向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为（）A. -7B. -5C. 1D. 3二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极小值，则a、b、c应满足的关系是______。

12. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an =______。

13. 已知复数z = 1 + i，则z的模|z| =______。

高三年级数学测试题及答案

高三年级数学测试题及答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.[5分]参考答案：C2.[5分]参考答案：C3.[5分]参考答案：D4.[5分]参考答案：C5.[5分]参考答案：B6.[5分]参考答案：D7.[5分]参考答案：B8.[5分]参考答案：A9.[5分]参考答案：B10.[5分]参考答案：C11.[5分]参考答案：D12.[5分]参考答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20 分．13.[每空5分]参考答案：1/414.[每空5分]参考答案：3215.[每空5分]参考答案： -1/916.[每空5分]参考答案：8πr³/3三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 ～2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22 、23 题为选考题，考生根据要求作答．(一) 必考题：共60 分．17.本题满分12分[12分]参考答案：18.本题满分12分[12分]参考答案：19.本题满分12分[12分]参考答案：20.本题满分12分[12分]参考答案：21.本题满分12分[12分]参考答案：（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4 ― 4：坐标系与参数方程[10分]参考答案：23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲[10分]参考答案：。