圆周运动常用解题方法

求解圆周运动问题的常用方法

上海师范大学附属中学 李树祥

一、公式法：即解题时直接代入圆周运动的公式进行求解的方法。圆周运动的常

用公式有： v=t s =T r π2，T t πθω2== n r T r r ππω22===v ，1T n

=，22222244n r T r r r a n ππω====v ，22222244n mr T

mr mr r m F n ππω====v 例1、质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是 （ ）

A.线速度越大，周期一定越小

B.角速度越大，周期一定越小

C.转速越小，周期一定越小

D.圆周半径越大，周期一定越小

析解：根据公式V=T

r π2，由于A 中由于不知r 的大小，D 中不知v 的大小，所以A 、D 选项错误；根据公式T πω2=可知B 选项正确；由公式1T n

=可知C 选项错误。所以答案选B

二、结论法：在圆周运动中有如下两个结论，即：1、皮带、链条、齿轮、摩擦等传动中，如果没有出现打滑情况，则轮缘上各点的线速度等大；2、同轴转动物体上各点的角速度任何时刻都相等。我们可以利用这两个结论解题 例2、如图所示的传动装置中，A 、B 两轮同轴转

动．A 、B 、C 三轮的半径大小的关系R A =R C =2R B ．当

皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的

线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之

比分别为多少？

解析：B 、C 两轮是皮带传动的两个轮子，由于皮

带不打滑，因此，B 、C 两轮边缘线速度大小相等，

设v B =v C =v ．由v=ωR 得两轮角速度大小的关系 ωB ∶ωC =R C ∶R B =2∶1。因A 、B 两轮同轴转动，角速度相等，即ωA =ωB ，所以A 、

B 、

C 三轮角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC =2∶2∶1．

因A 轮边缘的线速度v A =ωA R A =2ωB R B =2v B ，所以A 、B 、C 三轮边缘线速度之比

v A ∶v B ∶v C =2∶1∶1．

根据向心加速度公式a=ω2R ，所以A 、B 、C 三轮边缘向心加速度之比

=8∶4∶2=4∶2∶1．

图1

三、牛顿第二定律法：圆周运动的方向时刻改变，对应方向时刻变化的加速度，我们称为向心加速度，向心加速度的大小为a=v 2/r=ω2r ，由牛顿第二定律我们知道，加速度是由力产生的，产生向心加速度的力我们称为向心力，所以运用此方法解题时，我们首先要进行受力分析，然后建立坐标系，让其中一个轴沿半径方向，则此方向的合外力就提供圆周运动的向心力

例3、如图2所示，在光滑的圆锥顶用长为L 的细线悬挂一质

量为m 的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω

匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离

开锥面，则小球的角速度至少为多少？

析解：对小球进行受力分析如图3所示，根据牛顿第二定律，

向心方向上有

T·sinθ-N·cosθ=m r 2ω ，y 方向上应有

N·sinθ+T·cosθ-G=0 ，r = L·sinθ

由以上各式可得

T = mgcosθ+m 2ωLsin 2θ

当小球刚好离开锥面时N=0

则有Tsinθ=m r 2ω ，T·cosθ-G=0 ，可得ω=θcos /l g 四、临界法：由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条件不同。如图4所示，由于绳对球只能产生沿绳收缩方向的拉力，所以小球通过最高

点的临界条件是：向心力只由重力提供，即，则有临界速度。只有当时，小球才能通过最高点。如图5所示，由于轻杆对球既能产生拉力，也能产生支持力，所以小球通过最高点时合外力可以为零，即小球在最高点的最小速度可以为零。这样就变成了小球所受弹力方向变化的临界值，即当v <时，小球受向上

的弹力；当时，球和杆之间无相互作用力；当v >时，球受向下的弹力。可见，物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点受的最小合外力，不R v m mg 2

=gR v =gR v ≥gR v =gR gR v =gR 图5

mg O N 图4

mg O 图2 图3

同情况下的最小合外力决定了不同情况下的最小速度。

例4、如图6所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图6中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ）

A.a 处为拉力，b 处为拉力

B.a 处为拉力，b 处为推力

C.a 处为推力，b 处为拉力

D.a 处为推力，b 处为推力 解析：由于小球在竖直面内做圆周运动，所以当小球运动到a 、b 两点时，所受的合力都为指向O 点。 当小球运动到a 点时，受到竖直向下的重力，为使其所受合力指

向O 点，则要求杆必对小球施竖直向上的拉力。

当小球运动到b 点时，小球受到竖直向下的重力mg 的作用，当球的速度较小时（小于，l 为杆的长度），mg 大于球做圆周运动所需的向心力时，杆将对球施竖直向上的推力；当小球的速度较大时（大于

）

，mg 小于球做圆周运动所需的向心力，此时要球杆对小球放竖直向下的拉力，使重力和拉力的合力提供小球在b 点时所需要的向心力。因此小球在b 点时杆对球的作用力是推力还是拉力，取决于小球在b 点时的速度大小。综上所述，本题的正确选项为A 、B 。

五、能量守恒法：由于圆周运动是曲线运动，且很多时候和其他过程想联系，因此我们就需要运用机械能守恒定律或动能定理来列方程求解相关问题

例5、如图7所示，质量为m 的小球由光滑斜轨道自由下滑后，接着又在一个与斜轨道相连的竖直的光华圆环内侧运动，阻力不计，求

⑴小球至少应从多高的地方滑下，才能达到圆环顶端而

不离开圆环

⑵小球到达圆环底端时，作用于环底的压力

析解：⑴小球在下滑的过程中机械能守恒，设地面为零

势能面，小球下落的高度为h ，小球能到达环顶端市的

速度最小为v 2。

小球到达环顶端而不离开的临界条件为重力恰好全部

提供向心力 R mv mg 2

= 即gR v =，小球在开始的机械能为E 1=mgh ，小球在环顶端的机械能为

2222

12mv R mg E +⋅=，根据机械能守恒 E 1=E 2，整理得：h =2.5R ，即小球至少从离底端2.5R 出滑下才能到达环顶而不离开圆环。

⑵当环从h =2.5R 处下滑到底部速度为v B ，由机械能守恒得

mgh mv B =22

1 ，即gh v B 2= 小球在底端受到重力mg 和支持力N ，小球作圆周运动所需要的向心力由支持力

和重力提供，即R

mv mg N B 2=- gl gl 图6

a O

b 图7