2019中考数学专题复习资料--几何最值问题(含解析).docx
2019年中考数学复习专题-几何最值问题
二次函数几何最值 如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-2,0)和 点B，交y轴于点C(0,2)．设点N是线段AC上的 一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线 段DN长度的最大值．
中考复习专题
几何最值问题
安徽省数学试卷高频考点
有理数的运算、实数的性质、幂的运算、三视图 、因式分解、增长率问题、统计、概率、科学记 数法、用有理数估计无理数的大致范围 、函数 图像判断、找规律、格点作图、三角函数应用、 特殊三角形、特殊四边形、中垂线、角平分线、 几何最值、几何综合、二次函数综合、应用等知 识点是初中数学的核心内容，也是安徽 省每年中考命题的热点、焦点，体现 了中考命题的连贯性，也是为后续教 学指明了方向。
垂线段最短 如图，在平面直角坐标系中，A（6，0），B （0，8），点C在y轴的正半轴上，点D在x轴 的正半轴上，且CD=6，以CD为直径在第一象 限内作半圆，交线段AB于点E，F，则线段EF 的最大值为 ________
垂线段最短
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC ＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点， 作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接 DE，则DE的最小值为_________.
考情分析
最值类型
1.利用垂线段最短的性质
2.利用两点之间线段最短
（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边）
3.利用二次函数几何最值
垂线段最短 在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°， 点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ，（1） 如图（1），当PQ∥AB时，求PQ长；（2）如 图（2），当点P在BC上移动时，求PQ长的最 大值。
两点之间线段最短
如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为 ，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点， 则EP+AP的最小值为_______
2019年中考数学冲刺之几何最值一(答案解析)
5
AD、BC 与抛物线分别交于点 M、N.当矩形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，点 M、N 位于对称轴 l 的同侧时，连接 MN，此时，四边形 ABNM 的面积记为 S；点 M、N 位于对称轴 l 的两侧时， 连接 EM、EN，此时，五边形 ABNEM 的面积记为 S.将点 A 与点 O 重合的位置作为矩形 ABCD 平移的起点，设矩形 ABCD 平移的长度为 t（0≤t≤5）. （1）求出这条抛物线的表达式；
∴ S 1 (AM BN ) AB 2
1 [ 1 t2 2t ( 1 t2 8 t 9)]1
25
5 55
1 ( 1 t2 2t 1 t2 8 t 9)
25
5 55
1 ( 2 t2 18 t 9) 2 5 55
1t2 9t 9 ， 5 5 10
作 MN 的垂线段，垂足为 Q，在△OP1Q 中，可知 P1Q＝ 3 ,所以 P1P2＝2P1Q＝3,故△PMN 的周 2
长最小值为 3．
第 11 题答图 【知识点】轴对称的性质、两点之间线段最短、直角三角形（有一个角为 30°）的性质。
2. （2018 四川泸州，10 题，3 分）在平面直角坐标系内，以原点 O 为原心，1 为半径作圆， 点 P 在直线 y 3x 2 3 上运动，过点 P 作该圆的一条切线，切点为 A，则 PA 的最小
第 17 题图
【答案】 3 2 2
【解析】点 D、E、F 分别是 BC、BP、PC 的中点，所以 DE、DF 是△PBC 的中位线，DE= 1 PC， 2
2019年中考数学分类汇编汇总知识点48几何最值(第一期)解析版
11 + -PC 最小值=HF + FR ”；⑤利用相似形的性质及相关数学知识， 求出FR 的值，进而求出HF + FP + - PC 最小3 3 值.(2)如答图2至答图5,分四种情况讨论，先求出 Q 点坐标，再按要求利用数学知识即可求出符合条件的点Q •的坐标有4个.【解题过程】(1)由题意得 A( — 1 , 0), B(3, 0), C(0, — 3), D(1, — 4)，直线 BD : y = 2x — 6.1如答图1,连接DN 、BN ,贝U S BDN = BD?MN ,而BD 为定值,故当 MN 最大时，3BDN 取最大值•此2111时由 S A BDN = & DFN + S A BFN =—EH ?FN + —BH ?FN = — BE?FN = FN ,从而 Sx BDN 取最大值时，即为 FN 有2 2 2最大值.令 N(m , m 2— 2m — 3),贝U F(m , 2m — 6),从而 FN = (2m — 6)— (m 2— 2m — 3) =— m 2 + 4m — 3=— (m —2)2+ 1,此时，当且仅当 m = 2 , FN 有最大值为1,于 3丘在直角三角形中，设最小的直角边为a ,斜边为3a ,较长直角边为 3,即可求出a =，于是在x解答题 1. ( 2019重庆A 卷，26, 8)如图，在平面在角坐标系中，抛物线 B 的左侧)交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与 (1)连结BD ，点M 是线段 BD 上一动点(点 M 不与端点 y = x 2— 2x — 3与x 轴交与点 A , B (点A 在点 x 轴交于点E . B , D 重合)，过点M 作MN 丄BD 交抛物线于点N (点N 在对称轴的右侧) 当MN 取得最大值时，求 ,过点N 作NH 丄x 轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点, 1HF + FP + J pC 的最小值；31 42 (2)在(1)中，当MN 取得最大值，HF + FP +」PC 取得小值时，把点 P 向上平移个 单位得到点 Q ,3 2 连结AQ ,把厶AOQ 绕点O 顺时针旋转一定的角度:.(0° <：.<360° ),得到△ AOQ ,其中边AQ •交坐 标轴于点G ,在旋转过程中，是否存在一点G ,使得.Q ，=：/Q'OG ?若存在，请直接写出所有满足条件的点Q ■的坐标；若不存在，请说明理由.【思路分析】(1 ［①首先由已知条件求出 A 、B 、C 、 7- 第26题图CA O EB SD第26题备用图1②再由 &B D N = BD?MN ,2FN 取最大值；③ N(m , m 2— 2m — 3),贝U F(m , 2m — 6),FN 最大时点N 、F 、H 的坐标；④利用 OC 为长直角边，构造一MN 取得最大值时，HF+ FP D 的坐标及直线BD 的解析式;转化为由MN 的最大值得到S ABDN 取最大值，进而为 =(2m — 6) — (m 2— 2m — 3) = — (m — 2)2+ 1,求出 MN 个斜边长为短直角边 3倍的直角三角形 OCK ，再由点到直线的垂线段最短，找到“ 是 N(2, — 3) , F(2 , — 2) , H(2 , 0).45 5轴上取点K(— —2 , 0),连接KC ,易求直线KC : y =— 2 2 x — 3.如答图-,过点F 作FR 丄CK 于点R ,4交 OC 于点 P ,作 FT 丄OC ,交 CK 于点 T ,则/ OCK =Z TFR ，于是，由△ PCRACOTFR ，得2“5 4”5、 4.5 2,5、 2,5 4*5、TW ），（亍T ），（「T ）.【知识点】一次函数；二次函数；相似三角形；平移；旋转；勾股定理；最值问题；数形结合思想；构造法；待 定系数法；分类思想；压轴题；原创题.PR OKPC KC a 11a=—,从而PR = - PC ，因此由FH 为定值，再由定点 F 到直线的垂直线最短，可知 MN 取333a得最大值时, 1HF + FP + _PC 最小值=HF + FR .在 y =— 2、. 2 x — 3 中，当 y =— 2, x =-, 4是FTJ2 =2+ -.4在Rt △ FTR 中，由FR 2 2，得 FR = 2方FT 3 3 FT =222 - 42丁（23 —，故 HF + FP7 4.2/7第26题答图3ff A戋（2） （ 4二 25+ 1PC 最小值=2+ 1辽= 3 一 一N26辘答图2\E H ./ iiR0 ” ;GED第26题答图4EC<第 26题答图5/Z因为60度的正弦值就是2，所以可以构造含有60度的直角三角形来转化2题，至于△ PEF的周长最值既可以用点P的坐标结合锐角三角函数表示三边长，也可以用相似三角形之间的周长进行转化，用后一种方法较简单一些。
最值综合题几何全国各地中考数学压轴题几何大题题型分类汇编解析版
.2019全国各地中考数学压轴大题几何综合七、最值综合题1.（2019?绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余猜中截取一块矩形资料，此中一条边在AE上，并使所截矩形资料的面积尽可能大．（1）若所截矩形资料的一条边是BC或AE，求矩形资料的面积．2）可否截出比（1）中更大面积的矩形资料？假如能，求出这些矩形资料面积的最大值；假如不可以，说明原因．解：（1）①若所截矩形资料的一条边是BC，如图1所示：过点C作CF⊥AE于F，S1＝AB?BC＝6×5＝30；②若所截矩形资料的一条边是AE，如图2所示：过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，∵∠C＝135°，∴∠FCH＝45°，∴△CHF为等腰直角三角形，'.AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝6﹣5＝1，AG＝AB﹣BG＝6﹣1＝5，S2＝AE?AG＝6×5＝30；（2）能；原因以下：在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，∵∠C＝135°，∴∠FCG＝45°，∴△CGF为等腰直角三角形，∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，设AM＝x，则BM＝6﹣x，∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x2+11x＝﹣（x﹣）2，∴当x＝时，S的最大值为．2.（2019?绍兴）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边'.BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．（3）若k的值为3，当点N是矩形的极点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．解：（1）如图1中，作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴FH＝AB，MQ＝BC，∵AB＝CB，∴FH＝MQ，EF⊥MN，∴∠EON＝90°，∵∠ECN＝90°，∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180°'.∴∠FEH＝∠MNQ，∵∠EHF＝∠MQN＝90°，∴△FHE≌△MQN（ASA），MN＝EF，k＝MN：EF＝1．（2）∵a：b＝1：2，b＝2a，由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值＝，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．（3）连结FN，ME．∵k＝3，MP＝EF＝3PE，∴＝＝3，∴＝＝2，∵∠FPN＝∠EPM，∴△PNF∽△PME，∴＝＝2，ME∥NF，设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰巧与B重合．作FH⊥BD于H．'.∵∠MPE＝∠FPH＝60°，PH＝2m，FH＝2m，DH＝10m，∴＝＝＝．②如图3中，当点N与C重合，作E H⊥MN于H．则PH＝m，HE＝m，HC＝PH+PC＝13m，∴tan∠HCE＝＝＝，ME∥FC，∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD，∵∠B＝∠D，∴△MEB∽△CFD，∴＝＝2，∴＝＝＝，综上所述，a：b的值为或．3.（2019?益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当矩形极点A在x轴的正半轴上左右挪动时，矩形的另一个极点D一直在y轴的正半轴上随之上下挪动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；'.（2）设AD的中点为 M，连结OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A挪动到某一地点时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD 的值．解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO＝90°，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠OAD＝30°，∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，∴OD＝AD＝3，∴点C的坐标为（2，3+2）；'..2）∵M为AD的中点，∴DM＝3，S△DCM＝6，又S四边形OMCD＝，∴S△ODM＝，∴S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9，x2+y2＝2xy，即x＝y，将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，解得x＝3（负值舍去），OA＝3；3）OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，∴OM＝3，CM＝＝5，OC≤OM+CM＝8，当O、M、C三点在同向来线时，OC有最大值8，连结OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，'..∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，∴△CMD∽△OMN，∴＝＝，即＝解得MN＝，ON＝，AN＝AM﹣MN＝，在Rt△OAN中，OA＝∴cos∠OAD＝＝．＝，＝，4.（2019?淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．小明对图①进行了以下研究：在线段AD上任取一点P，连结PB．将线段 PB绕点P按逆时针方向旋转（80°，点B的对应点是点E，连结BE，获得△BPE．小明发现，跟着点P在线段AD上地点的变化，点E 的地点也在变化，点E可能在直线AD的左边，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右边．请你帮助小明持续研究，并解答以下问题：1）当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP＝50°；②连结CE，直线CE与直线AB的地点关系是EC∥AB．2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右边，连结CE．试判断直线CE与直线AB的地点关系，并说明原因．3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．'.解：（1）①如图②中，∵∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，②结论：AB∥EC．原因：∵AB＝AC，BD＝DC，AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直均分线段BC，EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，AB＝AC，∠BAC＝100°，'.∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，AB∥EC．故答案为50，AB∥EC．（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．AD垂直均分线段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE＝∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，AB∥EC．（3）如图④中，作AH⊥CE于H，'..∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．5.（2019?巴中）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．①求证：DC是⊙O的切线．②若AC＝4MC且AC＝8，求图中暗影部分的面积．③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为什么值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．解：①过点O作OG⊥CD，垂足为G，在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC均分∠BCD，'..OH⊥BC，OG⊥CD，∴OH＝OG，∴OH、OG都为圆的半径，即DC是⊙O的切线；②∵AC＝4MC且AC＝8，∴OC＝2MC＝4，MC＝OM＝2，OH＝2，在直角三角形OHC中，HO＝CO，∴∠OCH＝30°，∠COH＝60°，∴HC＝，S暗影＝S△OCH﹣S扇形OHM＝CH?OH﹣OH2＝2﹣；③作M对于BD的对称点N，连结HN交BD于点P，PM＝NP，PH+PM＝PH+PN＝HN，此时PH+PM最小，∵ON＝OM＝OH，∠MOH＝60°，∴∠MNH＝30°，∴∠MNH＝∠HCM，∴HN=HC=2，'..即：PH+PM的最小值为2，PD=OP+OD=26.（2019?河北）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的心里．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠BAC＝∠DAE即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE∴∠BAD＝∠CAE．2）∵AD＝6，AP＝x，PD＝6﹣x当AD⊥BC时，APAB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，'..AB⊥AC∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，∵I为△APC的心里AI、CI分别均分∠PAC，∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）180°（∠PAC+∠PCA）180°（90°﹣α+60°）α+105°∵0＜α＜90°，105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，m＝105，n＝150．7.（2019?广州）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE对于DE的轴对称图形为△FDE．'..（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S能否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明原因；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上∴∠DFC＝∠C＝60°∴∠DFC＝∠ADF∥AB；（2）存在，过点D作DM⊥AB交AB于点M，AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝2'.DF＝2，点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，当点F在DM上时，S△ABF最小，BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°∴MD＝2S△ABF的最小值6×（22）＝66S最大值2×3（66）＝﹣36（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，∵∵△CDE对于DE的轴对称图形为△FDEDF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°∵GD⊥EF，∠EFD＝60°FG＝1，DGFGBD2＝BG2+DG2，∴16＝3+（BF+1）2，∴BF1BGEH⊥BC，∠C＝60°'.CH，EHHCEC∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°∴△BGD∽△BHE∴∴EC1AE＝AC﹣EC＝78.（2019?南通）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．E，F分别在AD，BC上，点A与点C对于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点．1）连结AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；2）当△PEF的周长最小时，求的值；3）连结BP交EF于点M，当∠EMP＝45°时，求CP的长．证明：（1）如图：连结AF，CE，AC交EF于点O∴∵四边形ABCD是矩形，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC'.∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，∵点A与点C对于EF所在的直线对称AO＝CO，AC⊥EF∵∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO∴△AEO≌△CFO（AAS）AE＝CF，且AE∥CF四边形AFCE是平行四边形，且AC⊥EF四边形AFCE是菱形；（2）如图，作点F对于CD的对称点H，连结EH，交CD于点P，此时△EFP的周长最小，∵四边形AFCE是菱形AF＝CF＝CE＝AE，AF2＝BF2+AB2，AF2＝（4﹣AF）2+4，AFAECFDE∵点F，点H对于CD对称'..CF＝CHAD∥BC∴（3）如图，延伸EF，延伸AB交于点N，过点E作EH⊥BC于H，交BP于点G，过点B作BO⊥FN于点O，由（2）可知，AE＝CF，BF＝DEEH⊥BC，∠A＝∠ABC＝90°∴四边形ABHE是矩形∴AB＝EH＝2，BH＝AEFH＝1EF，∵AD∥BC∴△BFN∽△AEN∴∴'..BN＝3，NFAN＝5，NE∵∠N＝∠N，∠BON＝∠A＝90°∴△NBO∽△NEA∴∴BO，NO∵∠EMP＝∠BMO＝45°，BO⊥EN ∴∠OBM＝∠BMO＝45°BO＝MOME＝EN﹣NO﹣MOAB∥EH∴△BNM∽△GEM∴∴EGGH＝EH﹣EGEH∥CD∴△BGH∽△BPC∴∴'..CP9（.2019?贵港）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转获得△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的均分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连结PA，PF，若AB，求线段PA+PF 的最小值．（结果保存根号）1）①解：旋转角为105°．原因：如图1中，A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，'..∴∠ACA′＝105°，∴旋转角为105°．②证明：连结A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连结CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，FE均分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴，∴，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，∴△A′CF是等边三角形，CF＝CA′＝A′F，EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，'..∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（ASA），FM＝A′E，CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连结A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延伸线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，EF＝EB′，B′，F对于A′E对称，PF＝PB′，PA+PF＝PA+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BCAB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′MCB′＝1，CM，AB′．PA+PF的最小值为．10.（2019秋?旭日区校级月考）如图，菱形EFGH的极点E、G分别在矩形ABCD的边AD，BC上，极点'..F，H在矩形ABCD的对角线BD上．1）求证：BGDE；（2）若AB3，BC4，则菱形EFGH的面积最大值是75．81）证明：Q四边形ABCD是矩形，AD//BC，FBG HDE，Q四边形EFGH是菱形，FGEH，EFG EHG，1EFG，EHF1GFH EHG，22GFH EHG，BFG DHE，FBG HDE在BFG和DHE中，BFG DHE，FGEHBFG DHE(AAS)，BGDE；（2）解：当点F与B重合，点H与D重合时，菱形EFGH的面积最大，以下图：Q四边形EFGH是菱形，EG BD，BE DE BG，Q四边形ABCD是矩形，BAD 90，设BE DEx，则AE4x，在Rt ABE中，由勾股定理得：32(4x)2x2，解得：x25，8'..CGAE425 7，8 8菱形EFGH 的面积最大值矩形ABCD 的面积ABE 的面积CDG 的面积3421 7 3 75；2 8 8故答案为：75． 8'.。
2019中考数学分类汇编汇总知识点48几何最值2019(第二期)解析版
解答题1.( 20佃广东深圳，22,9分)如图所示，抛物线y = ax?+bx+c过点A (- 1,0),点C (0,3),且OB=OC •(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D , E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值，(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3 : 5两部分，求点P的坐标.【思路分析】(1)先求出点B的坐标，然后把A、B、C三点坐标代入解析式得出方程组，解方程组即可得出a, b, c的值，得解析式，再用配方法或对称轴公式或中点公式可得对称轴方程；(2)利用轴对称原理作出点C的对称点，求出四边形CDEA的周长的最小值；(3)方法1:设CP与x轴交于点E,先根据面积关系得出BE : AE=3:5或5:3，求出点E的坐标，进而求出直线CE的解析式，解直线CE与抛物线的解析式联立所得的方程组求出点P的坐标；方法2:设P (x,- X2+2X+3 ),用含x的式子表示四边形CBPA的面积，然后求出CB的解析式，再用含x的式子表示出△ CBP的面积，利用面积比建立方程，解方程求出x的值，得出P的坐标.【解题过程】解：(1)v 点 C (0, 3) , OB=OC,.••点 B ( 3, 0).2把 A (- 1, 0), C (0, 3), B (3, 0)代入y = ax bx c，得a- b c =0, a = —1,9a+3b c = 0,解得b = 2,lc =3, c = 3.•••抛物线的解析式为y= —X2+2X+3 .2 2■/ y= —X+2X+3=—( x —1) +4,•抛物线的对称轴为x=1.(2)如图，作点C关于x=1的对称点C'( 2, 3),则CD=C D.取A' (—1, 1),又•/ DE=1 可证A D=AE在Rt△ AOC中，AC=.OA2 + OC2=、、12 + 32= "0 .四边形ACDE的周长=AC+DE+CD+AE =T0+1 + CD+AE要求四边形ACDE的周长的最小值，就是求CD+AE的最小值.•/ CD+AE=CD+A D,•••当A D, C'三点共线时，C' D+A D 有最小值为 J13 , •••四边形ACDE 勺周长的最小值「10 +1+、13 .3十 5S A CBP = — S 四边形 CBPA 或 Sd BP = — S 四边形 CBPA .8 8令 P (x , — x 2+2x+3 ),(3)方法1:由题意知点 P 在x 轴下方，连接 CP ,设PC 与x 轴交于点E , •••直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分， 又VS △CBE ： &CAE =S A PBE ： S A PA6=BE AE , • BE: AE=3:5 或 5:3 ,上 31•••点 E i (― , 0),巳(一，0).2 2设直线CE 的解析式为y=kx+b , ( - , 0)和(0, 3)代入，得2y 3k+b=0, 孙二-2,^2 解得亠°?b=3,?b =3.•直线CE 的解析式为y= — 2x+3.1同理可得，当 E 2 (, 0)时，直线CE 的解析式为y= — 6x+3 .2由直线CE 的解析式和抛物线的解析式联立解得 P i (4, — 5) , P 2 ( 8,— 45)方法2:由题意得S 四边形 CBPA =S A CAB +S ^PAB =6+— X4 • (x 1 2 — 2x — 3) =2x 3— 4x .2直线CB 的解析式为y= — x+3 ,作PH // y 轴交直线 CB 于点H ，则H (x ,— x+3),112 3 2 9SA CBP=2OBPH=2X 3(—X +3+X— 2x — 3)=2x — 2x .、/ 3当 S A CBP = S 四边形CBPA 时，8解得 X !=0 (舍)，X 2=4, 二 P l (4, — 5).、 5当 S ^CBP = — S 四边形CBPA 时，8解得 X 3=0 (舍)，X 4=8, 二 P 2 (8, — 45).3/【知识点】一次函数、二次函数的综合；线段和最值；动点问题2. ( 20佃广西省贵港市， 题号，分值10分)已知：■ ：ABC 是等腰直角三角形，• BAC =90，将■ ：ABC 绕点C 顺 时针方向旋转得到△ A B C ，记旋转角为：•，当90 ：：: : <180时，作AD _ AC ，垂足为D , A D 与BC 交于点.FCM ACE(SAS)，即可解决问题.(2)如图2中，连接AF , PB , AB ，作BM C交AC 的延长线于 M .证明△ AEF 二△ A EB ，推出EF 二EB ，,1 如图1,当• CAD =15时，作• A EC 的平分线EF 交BC 于点F .① 写出旋转角:-的度数； ② 求证：EA EC =EF ;2 如图2，在(1 )的条件下，设P 是直线A D 上的一个动点，连接 PA , PF ,若AB =：；；2，求线段PA • PF 【思路分析】(1)①解直角三角形求出• ACD 即可解决问题.9x=3 (2x 2— 4x ), 2 89x=5 (2x 2— 4x ),2 8推出B ； F关于AE对称，推出PF ，推出PA P^PA PB^AB，求出AB即可解决问题. 【解题过程】(1)①解：旋转角为105 .理由：如图1中，图1:AD _ AC ,..A DC =90 ,7 CAD =15 ,.ACD =75 ,..ACA =105 ,.旋转角为105 .②证明：连接AF ,设EF交CA•于点O •在EF时截取EM =EC，连接CM .'Z CED ./ACE £CA E=45 15、60 ,E CEA = 20 ,：FE 平分.CEA ,Z CEF /FEA'=60 ,.Z FCO =180 -45 -75’ =60 ,Z FCO Z AEO , Z FOC Z AOE ,.：FOC s △AOE ,OF OCAO OE 'OF AOOC - OE，7 COE = FOA ,.：COE s . FOA ,/FAO =• OEC =60 ,■ △A OF是等边三角形，.CF =CA: =AF ,7EM 二EC , CEM =60 ,.CEM是等边三角形，-ECM =60 , CM 二CE ,• /FCA - ■ MCE =60 ,.■ FCM=• ACE ,.FCM =△ ACE(SAS),.FM =A E ,.CE AE =EM FM =EF .(2)解：如图2中，连接AF , PB , AB •，作BM_AC交AC的延长线于M .@2由②可知，EA F=EAB =75 , AE 二AE , AF 二AB ,△ A EF 三△ A EB ,EF =EB ,.B ； F关于AE对称，PF 二PB ,PA PF =PA PB -AB ,在Rt △ CBM 中，CB*=BC =%；2AB =2 , MCB*=30 ,1.B M CB =1 , CM »3 ,2.AB=：AM2BM2=：（.2 3）212= .6 2.6 ..PA PF的最小值为 6 2.6 .【知识点】几何变换综合题2 23.（2019贵州遵义，24，14分）如图，抛物线C i : y=x -2x与抛物线C2 : y=ax+bx开口大小相同，方向相反, 它们相交于点O, C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA=2OB.（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由•（3）M是直线0C上方抛物线C2上的一个动点，连接M0,MC，M运动到什么位置时，△ M0C的面积最大? 并求出最大面积.【思路分析】（1）根据抛物线G : y=x2-2x与抛物线C2 : y=ax2+bx开口大小相同，方向相反，可知a=-1,由抛物线C1与x轴交于点B（2,0），0A=20B.可知A（4,0），将A点代入可以求出抛物线C?的解析式（2）联立抛物线C1与抛物线C2的解析式可以求出点C的坐标，A点关于对称轴的对称点为点0,直线0C与对称轴的交点就是所求的点P；（3）1如图，设M(m,-m2+4m),作铅锤高MN交直线0C于点N，贝U MN=-m 2+3m，：•△ MOC的面积=—(3-0) MN从2而可以求解.【解题过程】解：(1厂••抛物线C i : y=x2-2x与抛物线C2 : y=ax2+bx开口大小相同，方向相反,--a=-1,••由抛物线C i与x轴交于点B••• B (2,0),•/ OA=2OB.•- A (4,0),•抛物线C2 : y=ax2+bx• 0=-16+4b• b=4•抛物线C2的解析式为y=-x2+4x⑵存在2 2••抛物线C1 : y=x -2x与抛物线C2：y=-x +4x二x1=0,x2=3,• C (3,3),• A(4 , 0)• A关于对称轴直线x=2的对称点为0(0 , 0)•设直线OC : y=kx,过C(3 , 3)• k=1,•直线OC:y=x当x=2 时，y=2• P(2,2)(3)如图，设M(m,-m2+4m),作铅锤高MN交直线OC于点N ,则N(m,m)2• MN=-m +3m ,1— (3-0) MN 1 3 9 •S A MOC=2= — (3-0)( - m23m) = - m2m2 2 28—4< - 5<— 1,二当t = - 5时,△ PBC 的面积的最大值为 272 2 83当m=3时,2此时Mr 3 15)S =27 丿,S A MOC 最大= 一2 48••• M 运动到15 27)位置时，△ MOC 的面积最大，最大面积为 一48【知识点】二次函数解析式，对称点，二次函数的最值4. (2019海南,22题,15分)如图，已知抛物线y = ax 2+bx+5经过A( — 5,0),B( — 4,— 3)两点，与 X 轴的另一个交点为 C, 顶点为D,连接CD. (1) 求该抛物线的表达式；(2) 点P 为该抛物线上一动点(与点B,C 不重合)，设点P 的横坐标为t.①当点P 在直线BC 的下方运动时，求△ PBC 的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点 P 使得/ PBC = / BCD?若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.第22题图【思路分析】(1)由点A,B 可得抛物线表达式；(2)①设出点P 坐标，表示出厶PBC 的面积，通过二次函数的最值求得 面积最大值；②分类讨论点P 坐标,利用平行和点B 坐标求出第一种情况，利用垂直和BC 中点坐标可求得第二种情 况.2d25a - 5b +5 = 0 柘=1【解题过程】⑴‘抛物线y = ax +bx+5经过点A ( - 5,0),B ( - 4，-3),-為a-4b+5 = -3,解得?S = 6，-该抛物线的表达式为 y = X 2+6X +5;22⑵①如图，过点P 作PE 丄X 轴于点E,交直线于点F,在抛物线y = X +6X +5中，令y = 0,则X +6X +5 = 0,解得,X I = - 5冷 =-1, •点C 的坐标为(一1,0),由点B 和点C 坐标可得，直线BC 的表达式为:y = X +1.设点P 的坐标为(t,t 2+6t+5),由题知一 4<t< — 1,则点 F(t,t+1), • FP = (t+1) — (t 2+6t+5) =— t 2— 5t — 4, • S A PBC = S A FPB +S A FPC =1+5227+2 ②存在.T y = X 2+6X +5 = (x+3)2 — 4,二抛物线的顶点 D 的坐标为(一3, — 4),由点C 和点D 的坐标可得直线 CD 的表 达式为y = 2X +2,分两种情况讨论：当点P 在直线CD 上方时，有/ PBC =Z BCD,则PB // CD,设直线PB 的表达式为 y = 2x+b,把点 B 坐标代入，得 b = 5,二 y = 2X +5,令 X 2+6X +5 = 2X +5,得 X I = 0,X 2=— 4,「.点 P 的坐标为(0,5);当点 P 在 直线BC 下方时，有/ PBC = Z BCD,设直线PB 与CD 交于点M,则MB = MC,过点B 作BN 丄X 轴于点N,则点N(—534,0), A NB = NC = 3, A MN 垂直平分线段 BC,设直线MN 与BC 交于点G,则线段BC 的中点G 的坐标为(-—,- — ),2 25 3由点N( — 4,0)和G(-,-)得,直线NG 的表达式为y =— X — 4,令2X +2 = — X — 4,解得X =— 2, A 点M 的坐标为(一2 211 3 2, — 2),由点M 和点B 的坐标可得，直线BM 的表达式为y = X — 1,令X 2+6X +5 =X — 1,解得X 1= - — ,X 2=— 4(舍2223 73 7 去),二点P 的坐标为(-,-).综上所述，存在满足条件的点 P 坐标为(0,5)和(-,-).2 424第22题答图【知识点】 二次函数表达式，三角形面积，二次函数最值，平移，垂直冲点坐标公式，交点坐标5. (2019 •湖南张家界，23, 10)已知抛物线y = ax 2+ bx + c (0)过点A(1, 0), B(3, 0)两点，与y 轴交于 点 C , OC = 3.(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；(2) 过点A 作AM 丄BC ,垂足为 M ，求证：四边形 ADBM 为正方形； (3) 点P 为抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点，当△ PBC 面积最大时，求 P 点坐标及最大面积的值；1(4)若点Q 为线段OC 上的一动点，冋 AQ-I QC 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由.【思路分析】(1)将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式即可求出 a 、b 、c 的值(当然用两根式做更方便)；(2)先证四边形 AMBD 为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；(3)如答图2，过点P 作PF 丄AB 于点F ，交BC 于点E ,令P(m , m 2-4m + 3)，易知直线BC 的解析式为y = — x + 3,则E(m ,—22.]m + 3), PE = (— m + 3) — (m — 4m + 3) = — m + 3m •再由 S ^PBC = S ^PBE + S ^CPE ，转化为+ 3m),最后将二次函数化为顶点式即可锁定S ^PBC 的最大值与点 P 坐标；(4)解决本问按两步走：一找(如答图3,设0Q = t ，则CQ = 3 — t , AQ + I QC = •一『• 1 • — (3-t)，取CQ 的中点G ,以点Q 为圆心，QG 的长为2 2 11半径作O Q ,则当O Q 过点A 时，AQ + — QC =O Q 的直径最小)、二求(由AQ = — QC ,解关于t 的方程即可) 2 2 【解题过程】(1)V 抛物线y = ax 2 + bx + c (a M 0)过点A(1, 0), B(3, 0)两点，•••令抛物线解析为 y = a(x — 1)(x — 3) • •••该抛物线过点 C(0, 3),• 3= a x (0 — 1) x (0— 3)，解得 a = 1 ••抛物线的解析式为 y = (x — 1)(x — 3)，即y = x 2— 4x + 3 • ■/ y = x 2— 4x + 3= (x — 2)2 — 1 , •抛物线的顶点 D 的坐标为(2, — 1) • 综上，所求抛物线的解析式为 y = x 2— 4x + 3,顶点坐标为(2,— 1)•(2)如答图1,连接 AD 、BD ，易知 DA = DB ••/ OB = OC ,/ BOC = 90°,MBA = 45°. •- D(2, — 1), A(3, 0), • / DBA = 45°. • / DBM = 90°. 同理，/ DAM = 90°. 又••• AM 丄 BC , •四边形ADBM 为矩形. 又••• DA = DB , •四边形ADBM 为正方形.1 12PE?OB = x 3 x ( — m22(3) 如答图2,过点P 作PF 丄AB 于点F ，交BC 于点E ,令P(m , m 2-4m + 3),易知直线BC 的 解析式为 y =— x + 3,贝U E(m ,- m + 3), PE = (— m + 3) — (m 2-4m + 3) = — m 2 + 3m .2恵1) = 4 --3二次函数；正方形；最值问题；探究问题；勾股定理；一元二次方程的解法； 数形结合思想；压轴题.••• G PBC = S PBE + s CPE =丄 PE?BF + 1 PE?OF = 1 PE?OB = 12x 3 x (— m ?+ 3m)-3(m -与+ 27 ,2 2 8 3•••当m =—时，S ^PBC 有最大值为27 3，此时P 点的坐标为（一，82（4）如答图3,设1 门~ 1OQ = t，则 C Q = 3-t ，AQ + 1Q C =七「尹“），取 CQ 的中点 G ，以点Q 为圆心, 1QG 的长为半径作O Q ,则当O Q 过点A 时，AQ + — QC = O Q 的直径最小，此226时」lyt ），解得t = 丁 - 1，于是AQ + ^C 的最小值为3-1= 3-（年―【知识点】6.(2019 宁夏，26, 3 分)如图，在 △ ABC 中，.A =90 , AB =3 , AC =4，点 M , Q 分别是边 AB , BC 上的动点(点M 不与A ,B 重合)，且MQ _BC ，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ,设艮x . (1)试说明不论x 为何值时，总有/\QBM s' ABC ;(2) 是否存在一点 Q ,使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由; (3) 当x 为何值时，四边形 BMNQ 的面积最大，并求出最大值.【思路分析】第(1)问中，利用相似三角形的判定定理 AA ，可以证明两个三角形全等； 第(2)问中，因为MN //BQ , 所以当MN 二BQ 时四边形BMNQ 为平行四边形；第(3)问中，用函数表示出四边形 BMNQ 的面积与x 的关 系式，然后利用二次函数的性质，可求出四边形 【解题过程】(1)因为 A =90 , MQ _ BC所以.A = . BQM 二 90 ,因为不论x 为何值时，总有.A — BQM , B =/B 所以总有 /\QBM s i\A ABC .(2)解：存在点 Q ,使得四边形 BMNQ 为平行四边形，理由如下: 在Rt£\ABC 中，由勾股定理，得BC 二 AB 2 AC 2 =5因为A QBM s A ABC所以 =BQ _ MQ即 BM _ x _ MQ BC AB AC ' 5 3 4所以 BM = 5x , MQ =4x ,3 3因为 MN //BQ ,BMNQ 的面积的最大值. 所以 AM =AB - BM -35x 3，第26题图所以 /\AMN s 厶ABC ,25x =5 -9因为MN //BC(即 MN //BQ ),故，存在点 Q ,使得四边形 BMNQ 为平行四边形.25x(3)解：由(2),可得MN=5-歹,设四边形BMNQ 的面积为y .则 y = S±BQM S 二MNQ =*BQ QM 扌 MN MQ=1x -45所以当x 为 时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值为32【知识点】二次函数的图象和性质、相似三角形的判定定理、平行四边形的7.(20佃山东东营，25, 12分)已知抛物线y=ax 2+bx — 4经过点A ( 2, 0)B (— 4, 0)与y 轴交于点C .(1) 求这条抛物线的解析式；(2) 如图1,点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC 的面积最大时，求 点P 的坐标；(3) 如图2,线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ,垂足为D , M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ,使厶 CMG 的周长最小？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.所以当 MN 二BQ 时，四边形 BMNQ 为平行四边形,此时, 5—竺=x ，解得x/ ,9 34所以当BQ 二45时，四边形BMNQ 为平行四边形, 34所以MNAM ，即 ABBCMN 53一里 _3_3 ， 所以 MN 所以y 」x 2 即"-丝—埒27327 3275 32x 1 (5 一 型)-x , 2 9 3 75 32 判定定理.由S = S ^AOC + S AOCP +S ^OBP ，可得出关于P 点横坐标的表达式，然后利用二次函数的最值冋题求出点 连接AM 交直线DE 于点G ,此时，△ CMG 的周长最小.求出直线 AM 的解析式，再由△ ADE AOC ，求出点E 的坐标，求出直线 DE 的解析式，则由 AM 、DE 两直线的交点可求得 G 点坐标. 【解题过程】 解：(1)v 抛物线y = ax+bx -4经过点A (- 2, 0) , B ( 4, 0), ... I:：, 'l-l|16a-4b-4=0，'_x解得匕，Nl1 2•••抛物线解析式为 y = x 2- x - 4；2(2)如图1,连接OP ,设点P ( x,寺 J+兀—q ),其中-4v x v 0,四边形ABPC 的面积为S,由题意得C (0,-4),• • S= Sx AOC +S A OCP + S A OBP= -X 2X ^*X 4兀(—(今/pT)=4 - 2x - x 2 - 2x+8 , =-x 2 - 4x+12 , 2=-(x+2)+16 .1 v 0,开口向下，S 有最大值,•••当x =- 2时，四边形ABPC 的面积最大, 此时，y =- 4 ,即 P (- 2, - 4).因此当四边形 ABPC 的面积最大时，点 P 的坐标为(-2, - 4).(3)产寺*七T 今(好•顶点 M (- 1，- 一).(2)连接0P , P 的坐标；(3) 利用待定系数法求函二次数解析式解答;LA JK I圏1如图2,连接AM交直线DE于点G,此时，△ CMG的周长最小.设直线AM的解析式为y= kx+b,且过点A (2, 0) , M (- 1, -3),2 r2k+b=0•••直线AM的解析式为y = 3工-3.cii在Rt △ AOC 中，一，｛ ,' = 2•/ D为AC的中点，.，•/△ ADE AOC ,•L丄丄•— V，•!一广上…' -•- AE= 5,• OE= AE - AO= 5- 2 = 3,•- E (- 3, 0),由图可知D (1 , - 2)设直线DE的函数解析式为y= mx+n ,irrbn- —2t _3in+n=0•直线DE的解析式为y=-【知识点】二次函数的综合题；面积最值问题；相似三角形的判定与性质8. ( 20佃年广西柳州市，26，10分)如图，直线y=x-3交x 轴于点A ，交y 轴于点C ,点B 的坐标为(1，0), 抛物线y=x 2+bx+c (0)经过A 、B 、C 三点，抛物线的顶点为 D ，对称轴与x 轴的交点为点 E ,点E 关于原1点的对称点为F ，连接CE ，以点F 为圆心，-CE 的长为半径作圆，点 P 为直线y=x-3上的一个动点.2(1) 求抛物线的解析式； (2) 求厶BDP 周长的最小值；【思路分析】(1)直线y = x - 3,令x = 0,贝U y =- 3,令y = 0，贝U x = 3，故点A 、C 的坐标为(3, 0)、(0,-3),代入抛物线的解析式求解；(2) 过点B 作直线y = x - 3的对称点B ',连接BD 交直线y = x - 3于点P ,直线B ' B 交函数对称轴与点 G , 则此时△ BDP 周长=BD+PB+PD = BD+B ' B 为最小值，用对称求得 B '的坐标，进而求出 B ' B 的长，最后 求得△ BDP 周长的最小值；(3) 如图2所示，连接PF 并延长交圆与点 Q ,此时PQ 为最大值，P 在直线y = x - 3上，设点P (m , m - 3),利用PF=CE 求出点P 的坐标，进而得出直线 PF 的解析式，求得 PF 与抛物线的两个交点，则 S 四边形ABMN =S 梯形NRSM 减去S ^ARN 减去 S ^SBM ・【解题过程】(1)直线y = x -3，令x = 0，则y =- 3，令y = 0,则x = 3,故点A 、C 的坐标为(3, 0)、(0,-(3)若动点P 与点C 不重合，点 Q 为O F 上的任意一点，当 PQ 的最大值等于 -CE 时，过PQ 两点的直线与2抛物线交于MN 两点，点M 在点N 的左侧，求四边形 ABMN 的面积.).(2)在抛物线对称轴I 上找一点M ，使|MB - MC|的值最大，并求出这个最大值;3),则抛物线的表达式为： y = a (x - 3) (x - 1)= a (x 4~ 4x+3),贝V 3a =- 3,解得：a =- 1，故抛物线的表达式为：y =- x 5+4x - 3…①；(2)过点B 作直线y = x - 3的对称点B ',连接BD 交直线y = x - 3于点P ,直线B ' B 交函数对称轴与点 G , 连接 AB ',则此时△ BDP 周长=BD+PB + PD = BD+B ' B 为最小值，△ BDP 周长最小值=BD+B ' B = ,T"i(3) 如图2所示，连接PF 并延长交圆与点 Q ,此时PQ 为最大值，故点M 、N 的坐标分别为：(9. (20佃贵州省安顺市，26, 14分)如图，抛物线y = -x 2+bx+c 与直线y = 1 x+3分别相交于A , B 两点，且此2 2x 轴的一个交点为 C ,连接AC , BC .已知A (0, 3), C (- 3, 0).4 2 2 PF = 13=( m - 2) + (m - 3)，解得：m =1,故点P (1,- 2),将点P 、F 坐标代入一次函数表达式并解得：直线PF 的表达式为: y =- ■7^/34 -26^2^34x - …②，联立①②并解得： 7+V34x = -26-2/34贝U CE = ^L3, FQ = 1CE ，贝U PF = — CE-2=苗刁，设点 P ( m , m - 3),点 F (- 2, 0),过点M 、N 分别作x 轴的垂线交于点 S 、 R ,贝V S 四边形 ABMN = S 梯形 NRSM T S A ARN - S ^SBM =【知识点】二次函数；一次函数；勾股定理;中心对称；最短路线；面积 抛物线与 (1) 求抛物线的解析式;D ( 2, 1)，则点 G (2,- 1),即：BG = EG ,即点 G 是 BB '的中点，过点 B '( 3,- 2),点A 、B 、C 、E 、F 的坐标为( 3, 0)、(1, 0)、(0,- 3)、(2, 0)、(- 2,(3)点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA ，过点P 作PQ 丄PA 交y 轴于点Q ,问：是否存在点 P 使得以A , P , Q 为顶点的三角形与△ ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.【思路分析】(1)①将A (0, 3), C (- 3, 0)代入y = *x 2+bx+c .(2)分当点B 、C 、M 三点不共线时、当点 B 、C 、M 三点共线时,PG BC iPG BC(3)分当竺二二丄时、当PG -3时两种情况，分别求解即可.AG AC 3AG AC解：(1)①将 A (0, 3), C (- 3, 0)代入 y = -x 2+bx+c 得:2c =3 9，解得:--3b c = 01 2 5•••抛物线的解析式是 y =丄x 2+-x+3;221⑵将直线y = 2x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x =0或-4, ••• A ( 0, 3), • B (- 4, 1) ① 当点B 、C 、M 三点不共线时， |MB - MC|v BC② 当点B 、C 、M 三点共线时， |MB - MC|= BC•当点、C 、M 三点共线时，|MB - MC|取最大值，即为 BC 的长，过点B 作x 轴于点E ,在Rt △ BEC 中，由勾股定理得 BC = - BE 2 CE ? = 2 , • |MB - MC|取最大值为.2 ；............................................... 8分(3)存在点P 使得以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ ABC 相似.两种情况分别求解即可;【解题过程】△ PAG BAC , •x1 lx2 5x 3—3 32 2解得x 1 = 1 , X 2= 0 ,(舍去)1 2 5•••点P 的纵坐标为一x 12+ x 1+3= 6,2 2 •点 P 为(1, 6);△ PAG ABC ,x---------- =3 ,】x 2 5x 3 -32 213解得X 1 =-—(舍去)，X 2= 0 (舍去)，3•此时无符合条件的点 P综上所述，存在点 P (1, 6) . ................................................14分 【知识点】一次函数、三角形相似、勾股定理运用，二次函数，分类讨论；数形结合2 、10. (2019吉林省，26, 10分)如图，抛物线 y=(x-1) +k 与x 轴相交于A,B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C (0, -3), P 为抛物线上一点，横坐标为 m ，且m > 0 (1 )求此抛物线的解析式；(2) 当点P 位于x 轴下方时，求△ ABP 的面积的最大值； (3)设此抛物线在点 C 与点P 之间部分(含点 C 和点P )最高点与最低点的纵坐标之差为 h①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；1 2 5设点 P 坐标为(x ,x 2+ x+3) (x >0)22在 Rt △ BEC 中，T BE = CE = 1 ,二/ BCE = 45°, 在 Rt △ ACO 中，T AO = CO = 3,「./ ACO = 45°, :丄 ACB = 180° - 45°-45°= 90°, AC = 3 ： 过点P 作PQ 丄PA 于点P ,则/ APQ = 90°, 过点P 作PQ 丄y 轴于点G ,vZ PQA =Z APQ = 90° / PAG = Z QAP,." PGA s^ QPA•••/ PGA =Z ACB = 90°* PGBC AC=3时12分PGAGBCAC=3时, 第26题答图②当h=9时，直接写出△ BCP的面积.【思路分析】(1)由题意知，C点在抛物线上，所以把点C代入解析式即可求出此抛物线的解析式;(2)如图，过点P作PH丄x轴于点H,1 1 1则S^APB=S△APH +S^BPH= PH AH PH BH PH AB2 2 22••• y=(x-1) -4 •••当y=0 时，X1=-1,X2=3「. A(-1 , 0),B(3, 0)/• AB=4 , v P 的横坐标为m,••• P 的纵坐标为(m-1)2-4=m2-2m-3, • P(m,m2-2m-3)• PH=-m2+2m+3，从而可以求ABP 的面积的表达式, 进而求出面积的最大值；(3)由解析式可知抛物线的顶点坐标为( 1 , -4)①分两种情况，当O v m<2时，即点P在点C的下方时，h=-3-(-4)=1;当m> 2 时，点P 在点 C 的上方，h=m2-2m-3-(-4)=m 2-2m+1 ,■《• OCM tlh二).*综上所述②当h=9时，代入①中的关系式求出m的值，代入△ BCP的面积算式，求出△ BCP的面积【解题过程】(1)v y=(x-1)2+k , C ( 0, -3)在抛物线上,• k=-4,•抛物线的解析式为y=(x-1) 2-4⑵如图，过点P作PH丄x轴于点H ,1 1 1PH AH PH BH PH AB 则S^APB=S△APH +S^BPH=222V y=(x-1) 2-4•••当y=0 时，X1=-1,X2=3• A(-1 , 0),B(3 , 0)• AB=4 ,P 的横坐标为m ,••• P 的纵坐标为(m-1)2-4=m 2-2m-3,2• P(m,m -2m-3) • PH=-m 2+2m+3,2 2S *B =-(- m 2m 3) 4 = -2m 4m 6 , •••当m=1时S 最大=8(3)由解析式可知抛物线的顶点坐标为(1 , -4)①分两种情况，当 O v m<2时，即点P 在点C 的下方时，h=-3-(-4)=1; 当 m > 2 时，点 P 在点 C 的上方，h=m 2-2m-3-(-4)=m 2-2m+1 ,【知识点】二次函数226, 12分)如图，抛物线y 二-x bx c 与x 轴交于点 (1) 求抛物线的表达式； (2)作射线AC ，将射线AC 绕点A 顺时针旋转90交抛物线于另一点 D ，在射线AD 上是否存在一点 H ，使CHB 的周长最小•若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，点Q 为抛物线的顶点，点 P 为射线AD 上的一个动点，且点 P 的横坐标为t ，过点P 作x轴的垂线I ,垂足为E ，点P 从点A 出发沿AD 方向运动，直线l 随之运动，当-2 ：：:t ：：:1时，直线l 将四边形ABCQ【思路分析】(1)由抛物线与x 轴两交点坐标，可得抛物线交点式为 y 二Tx • 2)(x -1)，去括号即得到抛物线的综上所述②当h=9 时，代入①中的关系式 m 2-2m+1=9 , • m i =-2(舍去)，m 2=4, • P6(4,5)11. (2019广西桂林, A(-2,0)和B(l,0),与y 轴交于点C .分割成左右两部分，设在直线 l 左侧部分的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式.表达式.(2) 由于点H 在射线AD 上运动，点C 、B 在射线AD 的同侧，求.CHB 的周长最小即求 CH - BH 最小，作点C 关于直线AD 的对称点 C •即有CH =CH ，只要点C 乙H 、B 在同一直线上时， CH ・BH =CH - BH =CB 最 小.求点C 坐标，即求直线 AC 解析式，由射线 AD 是由射线AC 旋转90得到可求得直线 AD 解析式.由点A 为 CC •中点求得点C •坐标，即求得直线CB 解析式，把直线AD 与直线CB 解析式联立成方程组， 求得的解即为点 H 坐标. (3)求点Q 坐标，画出图形，发现随着 t 的变化，直线I 与四边形ABCQ 不同的边相交，即直线I 左侧部分的形 状不相同，需分直线I 分别与线段AQ 、QC 、CB 相交三种情况.当直线I 与线段AQ 相交于点F 时，S 即为.AEF 的面积，求直线 AQ 解析式，即能用t 表示F 的坐标进而表示 AE 、EF 的长，代入面积公式即得到S 与t 的函数关系式；当直线I 与线段QC 相交于点G 时，作QM _x 轴于点M , S 为.：AQM 与梯形MEGQ 面积的和，求直 线QC 解析式，用t 表示G 的坐标进而表示 GE 、ME 的长，再代入计算；当直线 I 与线段BC 相交于点N 时，S 为四边形ABCQ 与BEN 面积的差，求直线BC 解析式，用t 表示N 的坐标进而表示 NE 、BE 的长，代入计算即 可. 【解题过程】解： (1 )抛物线与x 轴交于点A(_2,0)和B(I,O)2.交点式为 y - ~(x ■ 2)(x -1) - -(x x -2) .抛物线的表示式为 y - -x 2 -X • 2(2)在射线 AD 上存在一点 H ，使.CHB 的周长最小.» x =0 时，y = -x 2 -x 2 =2C(0,2).OA =0C =2--CAO =45，直线 AC 解析式为y =x * 2 :射线AC 绕点A 顺时针旋转90得射线AD ZCAD =90BC 与AD 交点即为满足条件的点..OAD =/CAD -/CAO =45.直线AD解析式为y x_2 :'AC 二AC , AD _CC.C ( ^, -2) , AD垂直平分CC '.CH =CHB在同一直线上时， C CHB =CH BH BC=CH BH BC设直线BC解析式为y =kx -.-aBC BC最小I -4k a = -2 ka =0解得:k 2k 二5I _ 25 2.直线BC : y x52 2 y x -5 5y - -x -2 解得:8 x 二76 y」7.点H坐标为(-8，-6)2 1 2-x 2 - -(x ) 2-2m n = 01 9 解得:m 十n = —2 43 m2 n =3T点P横坐标为t，PF _x轴于点E l与线段AQ相交于点F1 Q .抛物线顶点Q（-丄，9）2 43.F(t, t 3)23.AE =t _( -2) =t 2 , FE t 3.S=S AEF =-AE^F =-(t 2)(-t 3^-t23t 3a 2 2 2 43，直线l与线段QC相交于点G，过点Q作QM _ x轴于M9QM 一41S AQM V AM^M 9 27 4 一16设直线CQ解析式为y 二qx 2把点Q代入：—A q亠2 = 9，解得:2 41 ~21 .直线CQ: y x 22 G(t, -S 2)21.EM =t _(__)2_1S梯形MEGQ - 2 QM=tGEGE 二丄t21巾1 丫丄1 ) 1 . 丄17ME t 2 t t2 2t‘2「4 2 人2 丿4 1627 1 2 17t 2t16 4 1621 2t417直线I与线段BC相交于点N-■ S =S.A QM S梯形MEGQ设直线BC解析式为y =rx 2把点B 代入：r 2 =0，解得：r =^2 .直线 BC : y - _2x 2 .N(t, 2 2) .BE T _t , NE - 22.S BEN =1 BELNE =1(1 —1)( —2t 2) =t 2 —2t 13 21二t 2 +3t+3(-2 ct, ——) 4 2 1 2 11 1S t 2t ( t, 0)4 4 2 2 11 t -2t (0 :：: t ：：:1)412. (2019广西贺州，26，12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为(-1,0)，且OA =OC 抛物线y =ax bx • c(a =0)图象经过 A ， B ，C 三点.(1 )求A , C 两点的坐标； (2) 求抛物线的解析式； (3) 若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD _AC 于点D ，当PD 的值最大时，求此时点 标及PD 的最大值.(2)抛物线的表达式为： y =a(x • 1)(x -4) =a(x 2-3x-4)，即可求解;(3) PD 二 HP sin PFD 二-^(x -4 - x 2 3x 4，即可求解. 【解题过程】解： (1) OA =0C =4OB =4 ,\'S 梯形 MOCQ丄 QM CO OM 」］9224 2 27 17 ■ S 梯形 MOCQ■ S BOC -'S BEN =16 16,1 17 ii2 廿晶，S B OC =2BO LC°6 1 2 9 171 -；t2 —2t 1 =t 2 — 2t 1116 4综上所述,【知识点】组二次函数的图象与性质；旋转的性质；轴对称求最短路径 ；一次函数的图象与性质；解二元次方程= 4OB ,P 的坐故点A、C的坐标分别为(4,0)、(0, _4);(2)抛物线的表达式为：y=a(x • 1)(x _4) =a(x6 _3x_4),即_4a = /，解得：a =1，故抛物线的表达式为：y =x2 _3x _4 ；(3)直线CA过点C ,设其函数表达式为：y = kx _4，将点A坐标代入上式并解得：k =1，故直线CA的表达式为：y =x _4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，；OA =OC =4，Z OAC /OCA =45，TPH //y轴，..PHD OCA =45，设点P(x,x2 -3x-4)，则点H(x,x-4)，PD 二HP si n. PFD 2(x-4 -x23x 4) 2 x22 2x，6-y <0，- PD有最大值，当x=2时，其最大值为2 2，此时点P(2, -6).【知识点】二次函数综合题;一次函数;解直角三角形；图象的面积计算213.(2019内蒙古赤峰，25, 14分)如图，直线y=- x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x +bx+c 经过点B、C,与x轴另一交点为A,顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得/ APB = Z OCB?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.2 2【思路分析】(1)直线y =- x+3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为(3, 0)、(0, 将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解;(2)如图1,作点C 关于x 轴的对称点C ',连接CD '交x 轴于点E , (3)分点P 在x 轴上方、点P 在x 轴下方两种情况，分别求解.故函数的表达式为：y =- X 2+2X +3 , 令 y = 0,则 x =- 1 或 3，故点 A (- 1, 0);直线CD 的表达式为：y = 7x - 3,当 y = 0 时，x -,故点 E (-，x );(3)①当点P 在x 轴上方时，如下图 2,3),则此时EC+ED 为最小，即可求解;【解题过程】解：(1)直线y =- x+3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点, 则点B 、C 的坐标分别为(3, 0)、(0,3),将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得:，解得:则此时EC+ED 为最小,将CD 的坐标代入一次函数表达式并解得: C ',连接CD '交x 轴于点E ,—3),=Z APB,过点B作BH丄AH，设PH = AH = m,则PB= PA _m,2 2 2由勾股定理得：AB = AH +BH ,16= m2 + （m- m）2,解得：m ---------------- （负值已舍去），则PB 一m= 1 —,则y p②当点P在x轴下方时，则y p=-（）;故点P的坐标为（1,—一）或（1，——）.【知识点】二次函数综合题；一次函数；等腰三角形性质；点的对称性14. （2019内蒙古赤峰，26, 14分）【问题】如图1，在Rt△ ABC中，/ ACB = 90°, AC = BC,过点C作直线I平行于AB . Z EDF = 90。
2019安徽中考数学专题训练：几何图形最值问题(含答案)
专题几何图形最值问题类型一线段最值问题(2017·安徽)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.动点P满足S△PAB＝13S矩形ABCD.则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为( )例1题图A.29B.34 C．5 2 D.41【分析】可设P点到AB的距离为h，由S△PAB＝13S矩形ABCD可得h＝2，过P作MN∥AB，则说明点P在MN上运动，再作A点关于点M的对称点A1，就可得出PA ＋PB＝PA1＋PB≥A1B，下面只需求出A1B即可．【自主解答】【方法点拨】对于几何图形中最值问题，常用的策略是转化，就是把握点运动的全过程，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，抓住其中的等量关系和变量关系，其次，画出图形，这一步很重要，随着点的移动，与之相关的图形也会发生改变，而且点移动到不同的位置，我们要研究的图形可能会改变．当一个问题是有关确定图形的变量之间关系时，通常建立函数模型求解，当确定图形之间的特殊位置关系或一些特殊值时，通常建立方程模型求解．在解题时常常需要作辅助线帮助理清思路，然后利用直角三角形或圆的有关知识解题．如本题，作辅助线，利用轴对称的性质将问题转化为三角形中两边之和大于第三边，当P点在A1B上时PA1＋PB取得最小值．【难点突破】本题的突破口是根据S△PAB＝13S矩形ABCD推出P点的运动轨迹是在平行于AB的线段上，从而想到利用轴对称将问题转化．1．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作圆O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ的最小值为( )A．32－1 B．2C．2 2 D．3 22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE最小的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(2018·滨州)如图，∠AOB＝60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP ＝3，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )A.362B.332C ．6D ．34．(2018·天津)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，P 为对角线BD 上的一个动点，则下列线段的长度等于AP ＋EP 最小值的是( )A ．AB B ．DEC ．BD D ．AF5．(2018·宿州埇桥区二模)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，把矩形ABCD 沿过点A 的直线AE 折叠，点D 落在矩形ABCD 内部的点D′处，则CD′的最小值是( )。
2019中考数学专项攻略-专项8几何最值问题解法探讨.doc
2019中考数学专项攻略-专项8几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量〔如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差〕的最大值或最小值问题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：〔1〕应用两点间线段最短的公理〔含应用三角形的三边关系〕求最值；〔2〕应用垂线段最短的性质求最值；〔3〕应用轴对称的性质求最值；〔4〕应用二次函数求最值；〔5〕应用其它知识求最值。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。
【一】应用两点间线段最短的公理〔含应用三角形的三边关系〕求最值：典型例题：例1. 〔2018山东济南3分〕如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】A1BCD、52【答案】A。
【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。
DE====∴OD1。
应选A。
例2.〔2018湖北鄂州3分〕在锐角三角形ABC中，BC=24，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是▲。
【答案】4。
【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，在BA 上截取BE=BN ，连接EM 。
∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ，∴∠EBM=∠NBM 。
在△AME 与△AMN 中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM ，BM=BM ，∴△BME ≌△BMN 〔SAS 〕。
2019河北中考数学二轮专题总复习课件8.3 几何最值问题(试题部分)
A.AB B.DE C.BD D.AF
答案 D 在正方形ABCD中,连接CE、PC.
∵点A与点C关于直线BD对称,∴AP=CP, ∴AP+EP的最小值为EC.
1 ∵E,F分别为AD,BC的中点,∴DE=BF= AD. 2
∵AB=CD,∠ABF=∠ADC=90°,∴△ABF≌△CDE.
∴AF=CE.故选D. 思路分析 点A关于直线BD的对称点为点C,连接CE,AP+EP的最小值就是线段CE的长度;通 过证明△CDE≌△ABF,得CE=AF,即可得到PA+PE的最小值等于线段AF的长. 解后反思 本题考查轴对称,正方形的性质,主要依据“两点之间线段最短”.只要作出点A(或 点E)关于直线BD的对称点C(或G),再连接EC(或AG),所得的线段长为两条线段和的最小值.
∵△PMN周长的最小值是5 cm,∴CD=5 cm,∵OP=5 cm, ∴OC=OD=CD=5 cm,即△OCD是等边三角形,∴∠COD=60°,∴∠AOB=30°.故选B.
三、利用“隐形圆”求最值
1.(2018秦皇岛海港一模,13)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3 3 ,点P是BC边上的动点,现将△
答案 7 -1
解析 过点M作MF⊥CD,交CD的延长线于F.
由题意可知MA、MA'是定值,A'C的长度最小时,A'在MC上(如图).∵菱形ABCD的边长为2,∠A= 60°,M是AD的中点, ∴MD=MA=1,∠MDF=60°.∴MF=MDsin 60°= ,DF=MDcos 60°= .∴CF=CD+DF= .
3 ,∴BD= BC CD
2 2
(3 3)2 32 =6,∴点B到点C1的最短距离=6-3=3,故选C. =
2019中考数学专题复习资料--几何最值问题(含解析)
几何最值问题复习本内容全部需要在做讲义题目之前进行 一、 读一读下面的内容，想一想 1. 解决几何最值问题的理论依据①两点之间，线段最短（已知两个定点）；②_______________（已知一个定点、一条定直线）； ③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）． 2. 几何最值问题常见的基本结构①利用几何变换进行转化——在右侧一栏中画出相关分析的辅助线，找到最终时刻点P 的位置ll求min ()PA PB +，异侧和最小llMN 为固定线段长，求min ()AM BN +ll求max PB PA -，同侧差最大 ②利用图形性质进行转化DCAB O NM求max OD不变特征：Rt △AOB 中，直角与斜边长均不变，取斜边中点进行分析．二、 还原自己做最值问题的过程（从拿到题目读题开始），与下面小明的动作对标，补充或调整与自己不一样的地方．①研究背景图形，相关信息进行标注；②分析考查目标中的定点、动点及图形特征，利用几何变换或图形性质对问题进行分析； ③封装常见的几何结构，当成一个整体处理，后期直接调用分析．三、 根据最值问题做题的思考过程，思考最值问题跟存在性问题、动点问题在分析过程中有什么样的区别和联系，简要写一写你的看法． 答：下面是小明的看法：①都需要分层对问题分析，一层层，一步步进行分析；②都需要研究基本图形，目标，条件，相关信息都需要有标注；③在画图分析时，都会使用与之有关的性质，判定，定理及公理．如存在性问题需要用四边形的判定；最值问题需要回到问题处理的理论依据．四、借助对上述问题的思考，做讲义的题目．几何最值问题（讲义）一、知识点睛解决几何最值问题的通常思路：1.分析定点、动点，寻找不变特征．2.若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．二、精讲精练1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．若M为EF的中点，则AM长度的最小值为____________．M FE PCBAOED CBA第1题图 第2题图2. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，点D 在BC 边上，则以AC 为对角线的所有□ADCE 中，DE 长度的最小值为_____________．3. 若点D 与点A (8，0)，B (0，6)，C (a ，a )是一平行四边形的四个顶点，则CD 长度的最小值为_____________．4. 如图，已知AB =2，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为斜边，在AB 的同侧作等腰直角三角形ACD 和等腰直角三角形BCE ，则DE 长度的最小值为_____________．ED B CA第4题图 第5题图5. 如图，已知AB =10，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为边，在AB 的同侧作等边三角形ACP 和等边三角形BCQ ，则PQ 长度的最小值为_____________．6. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为________________．QPA'D CB AD CBA7. 如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的对应点记为P ．QPCBA（1）当点P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围是_______．（2）当点P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 长度的最小值为_____________．P F ED CB APFE DCBADCBADCBA8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AC=BC 的中点为D ．将△ABC 绕点C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC ，EF 的中点为G ，连接DG ，则在旋转过程中，DG 长度的最大值为____________．9. 如图，已知△ABC 是边长为2的等边三角形，顶点A 的坐标为(0，6)，BC 的中点D 在点A下方的y 轴上，E 是边长为2且中心在坐标原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕其中心旋转一周，则在旋转过程中DE 长度的最小值为_________．10. 探究：如图1，在等边三角形ABC 中，AB =6，AH ⊥BC 于点H ，则AH =_______，△ABC的面积ABC S △__________．发现：如图2，在等边三角形ABC 中，AB =6，点D 在AC 边上（可与点A ，C 重合），分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为点E ，F ，设BD =x ，AE =m ，CF =n ．DGFECB A FA图1 图2（1）用含x ，m ，n 的代数式表示ABD S △及CBD S △；（2）求(m n +)与x 之间的函数关系式，并求出(m n +)的最大值和最小值．应用：如图，已知正方形ABCD 的边长为1，P 是BC 边上的任一点（可与点B ，C 重合），分别过点B ，C ，D 作射线AP 的垂线，垂足分别为点B′，C′，D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为______，最小值为______．三、回顾与思考________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ 【参考答案】精讲精练 1．1252．3HBAD'B'C'P D CBA3． 4．1 5．5 6．27．（1）84PD -≤；（2）8 8．69．410．探究：发现：（1）12ABD S xm =△，12CBD S xn =△（2）m n x+=；m +n 的最大值为6，最小值为应用：2。
2019全国中考数学真题分类含答案解析-知识点48 几何最值2019
一、选择题12．（2019·长沙）如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+5 BD的最小值是【】A．25B．45C．53D．10【答案】B二、填空题16．（2019·黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8.点M为AB的中点.若∠CMD＝120°，则CD的最大值是.【答案】14【解析】将△CAM沿CM翻折到△CA′M，将△DBM沿DM翻折至△DB′M，则A′M＝B′M，∠AMC＝∠A′MC，∠DMB＝∠DMB′，∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝∠A′MC+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝180°-（∠AMC+∠DMB+∠A′MC+∠DMB′）＝60°，∴△A′MB′是等边三角形，又∵AC＝2，BD＝8，AB＝8.点M为AB的中点，∴A′B′＝A′M＝B′M＝AM＝12AB＝4，CA′＝AC＝2，DB′＝DB＝8，又CD≤CA′+A′B′+DB′＝2+4+8＝14.三、解答题24．（2019山东威海，24，12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．（1）求证：CE ＝EF ；（2）求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （3）求△BEF 面积的最大值． 【解题过程】（1）证明：过E 作MN ∥AB ，交AD 于M ，交BC 于N ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ⊥AD ， ∴MN ⊥AD ，MN ⊥BC ， ∴∠AME ＝∠FNE ＝90°＝∠NFE ＋∠FEN ， ∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠AEM ＋∠FEN ＝90°， ∴∠AEM ＝∠NFE ， ∵∠DBC ＝45°，∠BNE ＝90°， ∴BN ＝EN ＝AM .∴△AEM ≌△EFN （AAS ）. ∴AE ＝EF .∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDE ， ∵DE ＝DE ，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴AE ＝CE ＝EF .（2）在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BD＝，∴0≤x ≤. 由题意，得BE ＝2x ，∴BN ＝EN x.由（1）知：△AEM ≌△EFN ， ∴ME ＝FN ，∵AB ＝MN ＝10，∴ME ＝FN ＝10x ，如图（1），当0≤x ≤2时， ∴BF ＝FN －BN ＝10x x ＝10－x . ∴y ＝12BF ·EN ＝1(102-＝－2x 2＋（0≤x ≤2）； 如图（2）x ≤∴BF ＝BN －FNx －（10x）＝－10， ∴y ＝12BF ·EN＝12-＝2x 2－（2≤x≤.∴222(0);22(2x x y x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩（1） （2） （3）y ＝－2x 2＋5x ＝－2（x－524）2＋254，∵－2＜0， ∴当x ＝524时，y 有最大值是；即△BEF 面积的最大值是；＜x ≤ y ＝2x 2－＝22()4x -－254， 此时2＞0，开口向上，对称轴为直线x ＝4， ∵对称轴右侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝y 最大值＝50.∴当x ＝BEF 面积的最大值是50.【知识点】四边形综合运用，二次函数的解析式，二次函数的最值问题，三角形全等的判定. 25．（2019山东省威海市，题号25，分值12） （1）方法选择如图①，四边形ABCD 是OO 的内接四边形，连接AC ，BD .AB ＝BC ＝AC . 求证：BD ＝AD ＋CD .小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ..…… 小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN ＝AD …… 请你选择一种方法证明.（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC .试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论. 【探究2】如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是. （3）拓展猜想如图④，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是O 0的直径，BC ：AC ：AB ＝a ：b ：c ，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是.【思路分析】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，由旋转全等得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴NDAD ，由旋转全等得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD 【探究2】数量关系为：BD ＝2AD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形， 由旋转相似得BP，∴BD ＝PD ＋BP ＝2ADCD （3）拓展猜想数量关系为：BD ＝a bAD ＋cb CD如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，由旋转相似得=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， 图①图②B图③BC 图④BC∴BQ ＝c b CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝a bAD ＋c b CD【解题过程】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，可得△AMD 为等边三角形，可证△BAM ≌△CAD （SAS ）得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴NDAD ，∠BAN ＝∠CAD ，可证△BAN ≌△CAD （SAS ）得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD【探究2】数量关系为：BD ＝2AD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形，∴=tan 30AP ABAD AC=︒∠BAP ＝∠CAD ，可证△BAP ∽△CAD 得BP，∴BD ＝PD ＋BP ＝2ADCD答案图①答案图②B（3）拓展猜想数量关系为：BD ＝a bAD ＋c b CD如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，可得∠BAQ ＝∠CAD ，∠ABQ ＝∠ACD ，∠ADQ ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠QAD ∴△BAP ∽△CAD ，△ADQ ∽△ACB ∴=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， ∴BQ ＝c b CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝a bAD ＋cb CD26．（2019·益阳）如图，在半面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB=4，BC=6.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半上随之上下移动. (1)当∠OAD=30°时，求点C 的坐标；(2)设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形 OMCD 的面积为221时，求OA 的长； (3)当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD 的值.第26题图 第26题备用图【解题过程】（1）如图1，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E.答案图③B答案图④BC第26题答图1∵矩形ABCD 中，CD ⊥AD ， ∴∠CDE+∠ADO=90°， 又∵∠OAD+∠ADO=90°， ∴∠CDE=∠OAD=30°. 在Rt △CED 中，CE=21CD=2， ∴DE=32242222=-=-CE CD ; 在Rt △OAD 中，∠OAD=30°， ∴OD=21AD=3. ∴点C 的坐标为(2，323+). (2)∵M 为AD 的中点， ∴DM=3，6=DCM S △. 又∵221=OMCD S 四边形， ∴29=ODM S △， ∴9=OAD S △. 设OA=x ，OD=y ，则⎪⎩⎪⎨⎧==+9213622xy y x ， ∴xy y x 222=+， 即0)(2=-y x ， ∴x=y.将x=y 代入3622=+y x 得182=x ， 解得23=x (23-不合题意，舍去)， ∴OA 的长为23.（3）OC 的最大值为8.理由如下： 如图2，第26题答图2 ∵M 为AD 的中点，∴OM=3，522=+=DM CD CM .∴OC ≤OM+CM=8,当O 、M 、C 三点在同一直线时，OC 有最大值8.连接OC ，则此时OC 与AD 的交点为M ，过点O 作ON ⊥AD ，垂足为N. ∵∠CDM=∠ONM=90°，∠CMD=∠OMN ， ∴△CMD ∽△OMN ， ∴OM CMMN DM ON CD ==， 即3534==MN ON ， 解得59=MN ，512=ON ， ∴56=-=MN AM AN . 在Rt △OAN 中，∵55622=+=AN ON OA ， ∴55cos ==∠OA AN OAD . 26．（2019·衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以cm/s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 延长线方向匀速运动．当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？并求出最小值．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵BP⊥PQ，∴2BP＝BQ即2（6－t）＝6＋t，解得t＝2．∴当t为2时，△BPQ为直角三角形；（2）存在．作射线BF，∵PE⊥AC，∴AE＝0.5t．∵四边形CQFE是平行四边形，∴FQ＝EC＝6－0.5t，∵BF 平分∠ABC，∴∠FBQ＋∠BQF＝90°．∵BQ＝2FQ，BQ＝6＋t，∴6＋t＝2（6－0.5t），解得t＝3．（3）过点P作PG∥CQ交AC于点G，则△APG是等边三角形．∵BP⊥PQ，∴EG＝12AG．∵PG∥CQ，∴∠PGD＝∠QCD，∵∠PDG＝∠QDC，PG＝PA＝CG＝t，∴△PGD≌△QCD．∴GD＝12GC．∴DE＝12AC＝3．（4）连接AM，∵△ABC为等边三角形，点M是BC的中点，∴BM＝3．由勾股定理，得AM＝．由折叠，得BM′＝3．当A 、B′、M在同一直线上时，AB′的值最小，此时AB′＝3.过点B′作B′H⊥AP于点H，则cos30°＝AHAB',t，解得t＝9－∴t为9－AB′的值最小，最小值为3．MMM QB C1.（2019·重庆A 卷）如图，在平面在角坐标系中，抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交与点A ，B （点A 在点B 的左侧）交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．（1）连结BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN ⊥BD 交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH ⊥x 轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MN 取得最大值时，求HF ＋FP ＋13PC 的最小值；（2）在（1）中，当MN 取得最大值，HF ＋FP ＋13PC 取得小值时，把点P 向上平移个2单位得到点Q ，连结AQ ，把△AOQ 绕点O 顺时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到△A OQ ''，其中边A Q ''交坐标轴于点G ，在旋转过程中，是否存在一点G ，使得OG Q Q ''∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，－3)，D (1，－4)，直线BD ：y ＝2x －6． 如答图1，连接DN 、BN ，则S △BDN ＝12BD •MN ，而BD 为定值，故当MN 最大时，S △BDN 取最大值．此时由S △BDN ＝S △DFN ＋S △BFN ＝12EH •FN ＋12BH •FN ＝12BE •FN ＝FN ，从而S △BDN 取最大值时，即为FN 有最大值．令N (m ，m 2－2m －3)，则F (m ，2m －6)，从而FN ＝(2m －6)－(m 2－2m －3)＝－m 2＋4m －3＝－(m －2)2＋1，此时，当且仅当m ＝2，FN 有最大值为1，于是N (2，－3)，F (2，－2)，H (2，0)． 在直角三角形中，设最小的直角边为a ，斜边为3a ，较长直角边为3，即可求出a ＝324，于是在x 轴上取点H B'M FD E QA BP yxOEDCBA第26题备用图第26题图K (－324，0)，连接KC ，易求直线KC ：y ＝－22x －3．如答图1，过点F 作FR ⊥CK 于点R ，交OC 于点P ，作FT ⊥OC ，交CK 于点T ，则∠OCK ＝∠TFR ，于是，由△PCR ∽△ACO ∽△TFR ，得133PR OK a PC KC a ===，从而PR ＝13PC ，因此由FH 为定值，再由定点F 到直线的垂直线最短，可知MN 取得最大值时，HF ＋FP＋13PC 最小值＝HF ＋FR ．在y ＝－22x －3中，当y ＝－2，x ＝－24，于是FT ＝2＋24．在Rt △FTR 中，由223FR FT =，得FR ＝223FT ＝223(2＋24)＝14233+，故HF ＋FP ＋13PC 最小值＝2＋14233+＝7423+．（2）4525(,)55--，2545(,)55-，4525(,)55，2545(,)55-． 第26题答图4第26题答图5第26题答图1 T KR QP HF NMyxO ED CBA第26题答图2第26题答图32.（2019·重庆B 卷）在平面直角坐标系中，抛物线2y =++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q .（1）如图1，连接AC ，BC ．若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G ．点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，HK ．当△PEF 的周长最大时，求PH +HKKG 的最小值及点H 的坐标． （2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记作D ’，N 为直线DQ 上一点，连接点D ’，C ，N ，△D ’CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）∵2y x =+与x 轴交于A ，B 两点， ∴当y=0时，即20=+，∴122,4x x =-=，即A （－2，0），B （4，0）， 设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∵C （0，，B （4，0），∴40b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，∴b k ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线BC的解析式为y =+设点2(,4),P m m +<< ∵PE ∥y 轴且点E 在直线BC上，∴(,E m +∠PEF =∠OCE ，∴2(04),PE m =<< ∵PF ⊥BC ，∴∠PFE =∠COB =90°，∴△PEF ∽△BCO ，设△PEF 的周长为1l ，△BCO 的周长为2l ， 则12l PEl BC=，∵B （4，0），C （0，，∴BC=24l =+∴21)(04),l m =<< 备用图图1图2∴当m=2时，1l此时点P 的坐标为（2，， ∵A （－2，0），C （0，，∴∠ACO =30°，∠CAO =60°， ∵BG ∥AC ，∴.∠BGD =30°，∠OBG =60°，∴G （0，-， 直线BG解析式为y -PM解析式为y =，过点G 作GN ⊥BG ，过点P 作PM ⊥GN 于点M ，如图1，此时，点H 为PM 与对称轴的交点，K 为PM 与y 轴的交点，点K 与点O 重合， 则KM=OMKG ，PH +HKKG 的最小值为线段PM 的长.（此问题是胡不归问题）.解法一：（作一线三直角利用相似求解）如图2，过点P 作PQ ∥x 轴交对称轴于点T ， 过点M 作MQ ⊥y 轴交PT 于点Q ，过点G 作GJ ⊥MQ 交MQ 于点J.设点Q （n，，∴J （n，-，∴PQ =2－n ，2－n ）， ∵GJ =－n ，∴MJ=，∴MQ +MJ =CG=(-=2－n ）+()=n =-3，∴Q （－3，），∴PQ =5， ∴PM =2PQ =10，∴PH +HKKG 的最小值为10， ∵∠OGM =60°，∠PHT=30°，∠HPT=60°，∴PT =1，∴HTH （1.图1N解法二：由上面的解法可知MG ⊥BG ，直线MG的解析式为：y =- 如图3，过点P 作PR ⊥x 轴交MG 于点R ，∴R （2，， 由第一种解法可知∠PRG =60°，∴PMP R（）=10， ∴PH +HKKG 的最小值为10，同理可求H （1.（2）这样的N 点存在.当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N有：1N,2N，3N,4N,5N .【提示】由（1）可知∠ACO=30°，∠OAC=60°,又∵221)y x =++=-D （1， ∵抛物线按射线AC的方向平移，设平移后顶点'(D a +，平移后的抛物线解析式为21)y x a =--++该抛物线经过原点，则201)a =--+图2NN∴2280a a --=，∴a =4或a =－2（舍去），即D .设点N （1，b ）'CDCN ='ND 如图4，当△'CD N 为等腰三角形时，分三种情况： ①当'CD CN ==，可得1N,2N ； ②当''CD D N ==3N,4N ,③当'CN D N =可得5N , ∴当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N有：1N,2N，3N,4N,5N .3.（2019·天津）已知抛物线y=x 2-bx+c(b,c 为常数，b>0)经过点A （-1,0），点M(m,0)是x 轴正半轴上的动点，（1）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D(b,y D )在抛物线上，当AM=AD,m=5时，求b 的值； （3）点Q(1b ,2+y Q )2QM +时，求b 的值. 解：(1)∵抛物线y=x 2-bx+c 经过点A （-1,0）， ∴1+b+c=0，∴c=-1-b 当b=2时，c=-3,∴抛物线的解析式为y=x 2-2x-3， ∴顶点坐标为（1，-4） （2）由(1)知，c=-1-b ， ∵点D(b,y D )在抛物线上， ∴y D =-b-1，∵b>0,∴b 02b >>，-b-1<0,∴D(b,-b-1)在第四象限，且在抛物线对称轴2bx =的右侧.如图，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则E （b ，0），∴AE=b+1=DE,所以1)b +， ∵m=5，∴AM=5-（-1）=6， ∴1)b +∴b=（3）∵点Q(1b ,2+y Q )在抛物线上， ∴yQ=2113)()12224b b b b b +-+--=--（， ∴点Q （1b ,2+3-24b -）在第四象限，且在直线x=b 的右侧，2QM +的最小值为4，A(-1，0) ∴取点N(0，1)，如图，过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，作QG ⊥AN 于G,QG 与x 轴交于点M ，则H （1b ,2+0），∠GAM=45°，∴GM=2AM ，∵M （m,0),∴AM=m+1,MH=1b 2m +-,QH=324b +, ∵MH=QH,∴1b 2m +-=324b +， ∴m=1-24b ，∴AM=13-12424b b +=+，3)24b =+（2QM +33)))24244b b +++=（，∴b=4. 4.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线：y =ax 2+2x +c 相交于点A （-1，0）和点B （2，3）两点. （1）求抛物线C 函数解析式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标； （3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）将A （-1，0）和B （2，3）代入抛物线解析式得{a −2+c =04a +4+c =3解得，{a =−1c =3∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3.（2）过M 作MH ∥y 轴，交AB 于H ，设直线AB 为y =kx +b ，将A ，B 坐标代入得，{−k +b =02k +b =3解得，{k =1b =1.∴直线AB 的解析式为y =x +1.设M 为（m ，-m 2+2m +3）,则H （m ，m +1） ∴MH =y M -Y H =(-m 2+2m +3)-( m +1)=-m 2+m +2. ∴S △ABM =S △AMH +S △BMH =12·MH ·（x B -x A ） =12·(-m 2+m +2)·(2+1)=-32(m 2-m )+3 =-32(m -12)2+278.∵四边形MANB 是以MA 、MB 为相邻的两边的平行四边形， ∴△ABM ≌△BAN .∴S 四边形MANB =2 S △ABM =-3(m -12)2+274，∵a =-3＜0且开口向下，∴当m =12时，S 四边形MANB 的最大值为274. 此时，M 坐标为（12，154）. （3）存在，理由如下：过P 作直线y =174的垂线，垂足为T ，∵抛物线为y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4.∴抛物线的对称轴为直线x =1，顶点坐标为（1,4）. 当P 为顶点，即P （1.4）时， 设F 点坐标为（1，t ）， 此时PF =4-t ，PT =174-4=14.∵P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，∴4-t =14，即t =154.∴F 为（1，154）设P 点为（a ，-a 2+2a +3）,由勾股定理，PF 2=(a -1)2+(-a 2+2a +3-154)2=a 4-4a 3+132a 2-5a +2516.又∵PT 2=[174-(-a 2+2a +3)]2= a 4-4a 3+132a 2-5a +2516. ∴PF 2=PT 2，即PF =PT .∴当F 为（1，154）时，抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离 .27．（2019·淮安）如图①，在△ABC 中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D 是BC 的中点.小明对图①进行了如下探究：在线段AD 上任取一点P ，连接PB.将线段PB 绕点P 按逆时针方向旋转80°，点B 的对应点是点E ，连接BE ，得到△BPE.小明发现，随着点P 在线段AD 上位置的变化，点E 的位置也在变化，点E 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧. 请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： (1)当点E 在直线AD 上时，如图②所示. ①∠BEP=°；②连接CE ，直线CE 与直线AB 的位置关系是.(2)请在图③中画出△BPE ，使点E 在直线AD 的右侧，连接CE.试判断直线CE 与直线AB 的位置关系，并说明理由.(3)当点P 在线段AD 上运动时，求AE 的最小值.【解题过程】（1）①由题意得，PE=PB ，∠BPE=80°，∴∠BEP=︒=︒-︒50280180； ②如图所示，∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∠BAC=100°， ∴∠ABC=︒=︒-︒402100180，∵∠BEP=50°，∴∠BCE=∠CBE=40°， ∴∠ABC=∠BCE ， ∴CE ∥AB.答案：①50°；②平行（2）在DA 延长线上取点F ，使∠BFA=∠CFA=40°，总有△BPE ∽△BFC. 又∵△BPF ∽△BEC ， ∴∠BCE=∠BFP=40°， ∴∠BCE=∠ABC=40°， ∴CE ∥AB.(3)当点P 在线段AD 上运动时，由题意得PB=PE=PC ，∴点B 、E 、C 在以P 为圆心、PB 为半径的圆上， 如图所示：∴AE 的最小值为AC=3.5.（2019·凉山州）如图，抛物线y = ax 2+bx +c 的图象过点A （-1，0）、B （3,0）、C （0,3）. （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △P AM =S △P AC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由题知⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-30390c c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a ，∴抛物线的解析式为y = -x 2+2x +3；（2）存在.连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时△P AC 的周长最小.设BC :y =kx +3，则3k +3=0，解得k =-1，∴BC :y =-x +3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x =1，当x =1时，y =-x +3=2，∴P （1,2）.在Rt △OAC 中，AC =2231+=10；在Rt △OBC 中，BC =2233+=32.∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴P A =PB ，∴△P AC 的周长=AC +PC +P A = AC +PC +PB =AC +BC =10+32.综上，存在符合条件的点P ，其坐标为（1,2），此时△P AC 的周长为10+32；（3）存在.由题知AB =4，∴S △P AC =S △ABC -S △P AB =21×4×3-21×4×2=2.设：AP :y =mx +n ，则⎩⎨⎧=+=+-20n m n m ，解得⎩⎨⎧==11n m ，∴AP :y =x +1. ①过点C 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，易得CM :y =x +3，由⎩⎨⎧++-=+=3232x x y x y 解得⎩⎨⎧==3011y x ，⎩⎨⎧==4122y x ，∴M （1,4）；②设抛物线对称轴交x 轴于点E （1,0）,则S △P AC =21×2×2=2=S △P AC .过点E 作AP 的平行线交x轴上方的抛物线于M ，设EM :y =x +t ，则1+t =0,∴t =-1，∴EM :y =x -1. 由⎩⎨⎧++-=-=3212x x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=2171217111y x （舍），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=2171217122y x ，∴M （2171+,2171+-）. 综上，存在符合条件的点M ，其坐标为（1,4）或（2171+,2171+-）.27．（2019·苏州，26，10）已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP ＝．如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A →B →C 的方向匀速运动（不包含点C ）．设动点M 的运动时间为t （s ），△APM 的面积为S （cm 2），S 与t 的函数关系如图②所示． （1）直接写出动点M 的运动速度为 cm/s ，BC 的长度为 cm ；（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D →C →B 的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为v （cm/s ）．已知两动点M ，N 经过时间x （s ）在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M ，N 相遇后立即同时停止运动，记此时△APM 与△DPN 的面积分别为S 1（cm 2），S 2（cm 2） ①求动点N 运动速度v （cm/s ）的取值范围；②试探究S 1•S 2是否存在最大值，若存在，求出S 1•S 2的最大值并确定运动时间x 的值；若不存在，请说明理由．图① 图② 图③（第27题）【解题过程】解：（1）∵t ＝2.5s 时，函数图象发生改变，∴t ＝2.5s 时，M 运动到点B 处，∴动点M 的运动速度为52.5=2cm/s ，∵t ＝7.5s 时，S ＝0，∴t ＝7.5s 时，M 运动到点C 处，∴BC ＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm ）， 故答案为2，10；（2）①∵两动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ），∴当在点C 相遇时，v 527.53==（cm/s ），当在点B 相遇时，v 5102.5+==6（cm/s ），∴动点N 运动速度v （cm/s ）的取值范围为23cm/s ＜v ≤6cm/s ； ②过P 作EF ⊥AB 于F ，交CD 于E ，如图所示：则EF ∥BC ，EF ＝BC ＝10，∴AF APAB AC=，∵AC==∴5AF =，解得AF ＝2，∴DE ＝AF ＝2，CE ＝BF ＝3，PF ==4， ∴EP ＝EF ﹣PF ＝6，∴S 1＝S △APM ＝S △APF +S 梯形PFBM ﹣S △ABM 12=⨯4×212+（4+2x ﹣5）×312-⨯5×（2x ﹣5）＝﹣2x +15，S 2＝S △DPM ＝S △DEP +S 梯形EPMC ﹣S △DCM 12=⨯2×612+（6+15﹣2x ）×312-⨯5×（15﹣2x ）＝2x ， ∴S 1•S 2＝（﹣2x +15）×2x ＝﹣4x 2+30x ＝﹣4（x 154-）22254+，∵2.5154＜＜7.5，在BC 边上可取，∴当x 154=时，S 1•S 2的最大值为2254．第27题答图6.(2019·巴中)如图,抛物线y ＝ax 2+bx －5(a ≠0)经过x 轴上的点A(1,0)和点B 及y 轴上的点C,经过B,C 两点的直线为y ＝x+n.①求抛物线的解析式;②点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t 描,求t 为何值时,△PBE 的面积最大,并求出最大值.③过点A 作AM ⊥BC 与点M,过抛物线上一动点N(不与点B,C 重合)作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q,若点A,M,N,Q 为顶点的四边形是平行四边形.求点N 的横坐标.第26题图分析:①由点A 和直线y ＝x+n 可得方程组,解出系数,求得二次函数的解析式;②根据题意表示出三角形面积,利用二次函数最值进行求解;③分析得到AM 平行且等于NQ,设出坐标,利用坐标关系列方程进行求解,并检验. 解：①因为点B,C 在y ＝x+n 上,所以B(－n,0),C(0,n),因为点A(1,0)在抛物线上,所以250505a b an bn n ,解得,a ＝－1,b ＝6,所以抛物线的解析式为:y ＝－x 2+6x －5. ②由题意得:PB ＝4－t,，BE ＝2t ，由①可知:∠OBC ＝45°,点P 到BC 上的高h ＝BPsin45(4－t), 所以S △PBE ＝12BE h ＝22222t ,当t ＝2时,S 取得最大值为③因为l BC :y ＝x －5,所以B(5,0), 因为A(1,0),所以AB ＝4,在Rt △ABM 中,∠ABM ＝45°,AMAB ＝M(3,－3)， 过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P 交x 轴于点H, 设N(m,－m 2+6m －5),则H(m,0),P(m,m －5),易证△PQN 为等腰直角三角形,即NQ＝PQ＝所以PN ＝4.当NH+HP ＝4时,即－m 2+6m －5－(m －5)＝4, 解之得,m 1＝1,m 2＝4.当m 1＝1时,点N 与点A 重合,故舍去;当NH+HP ＝4时,即m －5－(－m 2+6m －5)＝4, 解得,m 1541,m 2541,因为m>5,所以m ＝5412; 当NH －HP ＝4,即－(－m 2+6m －5)－[－(m －5)]＝4, 解得,m 1541,m 2541,因为m<0,所以m ＝5412.综上所述,要使点A,M,N,Q 为顶点的四边形是平行四边形,点N 的横坐标为:4541或541.第26题答图7.（2019·淄博）如图，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y 轴上是否存在点P ，使得△P AM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． (3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA ＝OA ，过D 作DG ⊥x 轴于点G ，设△ADG 的内心为I ，试求CI 的最小值．解：(1)将A 、B 两点坐标代入抛物线表达式,得933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩,解得12a b =-⎧⎨=⎩.∴y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)假设存在点P ，使△P AM 是直角三角形.当点M 为直角顶点，过M 作CD ⊥y 轴，过A 作AD ⊥x 轴，交CD 于D ，CD 交y 轴于C ，∵∠AMP ＝90°，图∴∠CMP ＋∠AMD ＝90，∴∠CMP ＝∠MAD ，又∵∠DM ＝∠PCM ，∴△CPM ∽△DMA ,∴CM AD ＝PCMD， ∴14＝2PC ，∴PC ＝12，∴P 1(0,72); 当点A 为直角顶点，过A 作CD ⊥x 轴，过M 作MD ⊥y 轴交AD 于D ，过P 作PC ⊥y 轴交CD 于C ，同上△CP A∽△DAM ，∴PC AD ＝AC MD ，∴34＝2AC ，∴AC ＝32，∴P 2(0,－32); 当点P 为直角顶点，过M 作CM ⊥y 轴于C ，∴△CPM ∽△OAP ，∴PC AO ＝CM PO ，∴3PC ＝14-PC，∴PC ＝1或3，∴P 3(0,3)，P 4(0,1).综上所述，使△P AM 是直角三角形的点P 的是P 1(0,72)，P 2(0,－32)，P 3(0,3)，P 4(0,1).(3)（方法1）由(1)得DA ＝OA ＝3，设D (x ,y )，△ADG 的内切圆半径为r ，则△ADG 的内心I 为(x ＋r ,r ), ∴DG ＝y ,AG ＝3－x由两点距离公式可得()2222339DA x y =-+==①由等面积法得r ＝()33+22y x DG AG DA +---==2y x-②∴()()2223CI x r r =++-③由①②③得(2229123124CI x y -⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，2CI在312x y =最小，此时CI 也最小，min 32CI =（方法2）简解：如图，由内心易知：∠DIA ＝135°，∠DAI ＝∠OAI ，△DAI ≌△OAI （SAS ），∴∠DIA ＝∠OIA ＝135°，则I 在圆周角∠OIA ＝135°⊙T 的圆周上运动，且半径R T 为(32,32)，∴CI在△CIA 中，CI ≥CT－IT＝32，当C 、I、T三点一线时，min 3=2CI .(2)答图18.(2019·枣庄)已知抛物线y ＝ax 2+32x+4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；(2)如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点(不与B 、C 重合)，是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.(3)如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标.解：(1)抛物线y ＝ax 2+32x+4的对称轴为:x ＝332224b a a a -=-=-＝3,∴a ＝14-,∴抛物线的解析式为:y ＝14-x 2+32x+4,令y ＝0,得14-x 2+32x+4＝0,解之,得,x 1＝－2,x 2＝8,∵点B 在点A 的右侧,∴A(－2,0),B(8,0);(2)连接BC,在抛物线y ＝14-x 2+32x+4中,令x ＝0,得y ＝4,∴C(0,4),∴OC ＝4,OB ＝8,∴S △OBC ＝16,∵B(8,0),C(0,4),设l BC ：y ＝kx+b ，得0＝8k+b ，4＝b ，∴k ＝12-,b ＝4,l BC ：y ＝12-x+4,∴过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D,过点C作CE 垂直PD 于点E,过点B 作BF ⊥PD 于点F,则S △PBC ＝S △PCD +S △PBD ＝12PD ×CE+12PD ×BF ＝12PD ×(CE+BF)＝12PD ×(x B －x C )＝12PD ×8＝4PD,∵点P 在抛物线上,设点P(x,14-x 2+32x+4),∵PD ∥y 轴,点D 在直线BC 上,∴D(x,12-x+4),∵点P 在B,C 间的抛物线上运动,∴PD ＝y P －y D ＝14-x 2+32x+4－(12-x+4)＝14-x 2+2x,S △PBC ＝4PD ＝4(14-x 2+2x)＝－x 2+8x ＝－(x －4)2+16，∴当x ＝4时，S △PBC 取最大值16，∴此时S 四边形OBPC ＝S △OBC +S △PBC ＝32;Iy 12第25题答图(3)∵MN∥y轴,∴设M,N的横坐标为m,∵点M在抛物线上,设点M(m,n),其中n＝14-m2+32m+4,点N在直线BC上,∴N(m,12-m+4),∵点M是抛物线上任意一点,∴点M和点N的上下位置关系不确定,∴MN＝|14-m2+32m+4－(12-m+4)|＝|14-x2+2x|,∵MN＝3,∴|14-x2+2x|＝3,即14-x2+2x＝3或14-x2+2x＝－3,解这两个方程,得m1＝2,m2＝6, m3＝4+4＝4－∴n1＝6, n2＝4, n31, n41,∴M1(2,6), M2(6,4), M3(4+－1), M4(4－1).9.(2019·聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(－2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线,线段BC以及x轴于点P,D,E.(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC,AP,当直线l运动时,求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标;(3)作PF⊥BC,垂足为F,当直线l运动时,求Rt△PFD面积的最大值.第25题图解：(1)由已知,将C(0,8)代入y＝ax2+bx+c,∴c＝8,将点A(－2,0)和B(4,0)代人y＝ax2+bx+8,得4280 16480a ba b-+=⎧⎨++=⎩,解得12ab=-⎧⎨=⎩,∴抛物线的表达式为y＝－x2+2x+8;(2)∵A(－2,0),C(0,8),∴OA＝2,OC＝8,∵l⊥x轴,∠PEA＝∠AOC＝90°,∵∠PAE≠∠CAO,只有当∠PAE＝∠ACO 时,△PEA ∽△AOC.此时AE PECO AO=,∴AE ＝4PE.设点P 的纵坐标为k,则PE ＝k,AE ＝4k,∴OE ＝4k －2,P 点的坐标为(4k －2,k),将P(4k －2,k)代入y ＝－x 2+2x+8,得－(4k －2)2+2(4k －2)+8＝k,解得k 1＝0(舍去),k 2＝2316,当k ＝2316时,4k －2＝154,∴P 点的坐标为(154,2316). (3)在Rt △PFD 中,∠PFD ＝∠COB ＝90°,∵l ∥y 轴,∴∠PDF ＝∠OCB,∴Rt △PFD ∽Rt △BOC,∴2PFD=S PD S BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭△△BOC,∴S △PFD ＝2PD S BC ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭△BOC ,由B(4,0)知OB ＝4,又∵OC ＝8,∴BC 又S △BOC ＝12OB OC ⋅＝16,∴S △PFD ＝215PD ,∴当PD 最大时,S △PFD 最大.由B(4,0),C(0,8)可解得BC 所在直线的表达式为y ＝－2x+8,设P(m,－m 2+2m+8),则D(m,－2m+8),∴PD ＝－(m －2)2+4,当m ＝2时,PD 取得最大值4,∴当PD ＝4时,S △PFD ＝165,为最大值.10.（2019·济宁）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝10，E 是CD 边上一点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G ． （1）求线段CE 的长；（2）如图2，M ，N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合），且∠DMN ＝∠DAM ，设AM ＝x ，DN ＝y ． ①写出y 关于x 的函数解析式，并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ，使△DMN 是等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由折叠可得AF ＝AD ＝10,EF ＝ED ,矩形ABCD 中，∠B ＝90°，∴AB 2＋BF 2＝AF 2,∴6,BF ===∴CF ＝BC －BF ＝AD －BF ＝10－6＝4．设CE ＝x ，则EF ＝DE ＝CD －CE ＝AB －CE ＝8－x ，∵EF 2＝CE 2＋CF 2．∴(8－x )2＝x 2＋42．∴x ＝3，∴CE ＝3． （2）①∵矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGF , ∵∠DAG ＝∠F AG , ∠DAG ＝∠AGF , ∴∠F AG ＝∠AGF ,∴AF ＝FG ＝10， ∴BG ＝BF ＋FG ＝6＋10＝16． ∵矩形ABCD 中∠B ＝90°， ∴AB 2＋BG 2＝AG 2,∴AG ===∵AD ＝FG ，AD ∥FG ,∴四边形AFGE是平行四边形，又∵AD＝AF，∴平行四边形AFGE是菱形，∴DG＝DA＝10，∴∠DAG＝∠DGA,∵∠DMG＝∠DMN＋∠NAG＝∠DAM＋∠ADM, ∠DMN＝∠DAM，∴∠NMG＝∠ADM．在△ADM和△MNG中，∠ADM＝∠NMG, ∠DAG＝∠DGA,∴△ADM∽△GMN．∴AD AMMG NG=10xy=-，∴211010y x x=-+，∵110＞0，∴当51210x=-=⨯时，y有最小值为214101021410⎛⨯⨯-⎝⎭=⨯．∴y关于x的函数解析式是：211010y x x=-+，当x=y有最小值为2．②在△DMN和△DMG中，∠DMN＝∠DGM，∠MDG＝∠MDG,∴△DMN和△DMG是相似三角形．当△DMG是等腰三角形时，△DMN也是等腰三角形．∵M不与A重合，∴DM≠DG,∴△DMG是等腰三角形只有GM＝GD或DM＝GM两种情况：（1）如图3，当△DMG中GM＝GD＝10时，△DMN也是等腰三角形，即x＝AG－MG＝10;（2）如图4，当△DMG中DM＝GM时，△DMN也是等腰三角形，∴∠MDG＝∠DGM，∴∠DAG＝∠MDG＝∠MDG,∴△ADG∽△DMG，∴AD AGMG DG=,=，∴x综上：当x的值为2△DMN是等腰三角形．11.（2019·滨州）如图①，抛物线y＝－x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠P AD的值．解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），………………………………………1分当y＝0时，0＝－x2+x+4，解得x1＝－4，x2＝8，则点B的坐标为（－4，0），点C的坐标为（8，0），∴OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°．∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0）．………………………………………………………………………2分设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝－x+4．……………………………………………………………4分（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，－t2+t+4），则点N的坐标为（t，－t+4），∴PN＝（－t2+t+4）－（－t+4）＝－t2+t，………………………………………………6分∴PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°．作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（－t2+t）＝t＝－（t－6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），………………………………8分即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是．………………9分②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得t1＝2，t2＝10，………………………………………………………………………10分则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，－）．当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴sin∠P1AD＝＝；…………………………………………………………12分当P2的坐标为（10，－），则P2A＝＝，∴sin∠P2AD＝＝；由上可得，sin∠P AD的值是或．……………………………………………14分二、填空题16.（2019·南充）如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的正半轴及BC=．给出下列结论：①点A从点O出发，到点B运动至点O为原点上滑动，点E为AB的中点，24AB=，5∆的面积最大值为144；③当OD最大时，点D的坐标为，止，点E经过的路径长为12π；②OAB．其中正确的结论是．（填写序号）【答案】②③ 【解析】点E 为AB 的中点，24AB =，1122OE AB ∴==， AB ∴的中点E 的运动轨迹是以点O 为圆心，12为半径的一段圆弧， 90AOB ∠=︒，∴点E 经过的路径长为90126180ππ⨯⨯=，故①错误； 当OAB ∆的面积最大时，因为24AB =，所以OAB ∆为等腰直角三角形，即OA OB =， E 为AB 的中点，OE AB ∴⊥，1122OE AB ==， ∴124121442AOB S ∆=⨯⨯=，故②正确； 如图，当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF y ⊥轴于点F ， 5AD BC ==，1122AE AB ==，∴13DE ==，131225OD DE OE ∴=+=+=， 设DF x =，∴OF =四边形ABCD 是矩形，90DAB ∴∠=︒，DFA AOB ∴∠=∠，DAF ABO ∴∠=∠， DFA AOB ∴∆∆∽∴DF DA OA AB =，∴524x OA =，∴245x OA =， E 为AB 的中点，90AOB ∠=︒，AE OE ∴=，AOE OAE ∴∠=∠，DFO BOA ∴∆∆∽，∴OD OF AB OA=，∴25245=，解得x，x =舍去，∴OF ，∴D ．故③正确． 故答案为：②③．【知识点】直角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定和性质三、解答题17. （2019 · 镇江）如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD (2,0)E -为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点(0,6)F 到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于( )A ．103BC ．163D ．3【答案】A【解析】如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF ．(2,0)E -，(0,6)F ，2OE ∴=，6OF =，EF ∴=90FGE ∠=︒，FG EF ∴，∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大． 如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J ．设2BC a =．PA PB =，BE EC a ==， //PE AC ∴，BJ JH =， 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BH DH ==BJ =， PE BD ∴⊥，90BJE EOF PEF ∠=∠=∠=︒， EBJ FEO ∴∠=∠， BJE EOF ∴∆∆∽， ∴BE BJ EF EO=，∴62=， 53a ∴=， 1023BC a ∴==， 故选：A ．【知识点】菱形的性质；平面直角坐标系；相似三角形的判定和性质；垂线段最短。
安徽省2019年中考数学二轮复习题型二：选择压轴题之几何图形最值问题(含答案)
题型二 选择压轴题之几何图形最值问题类型一 线段最值问题1. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为( )A.1.2B. 1.3C.1.4D. 2.4第1题图 第2题图 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC ＋PQ 的最小值是( )A. B. 4 C. D. 51252453. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有▱ADCE 中，DE 的最小值是( )A.3B. 2C.4D. 5第3题图 第4题图 4. 如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则PB ＋PC 的最小值是( )12 A. B. C.3 D. ＋33323235. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在BC 上，BD ＝3，DC ＝1，点P 是AB 上的动点，则PC ＋PD 的最小值为( )A.4B. 5C.6D. 7 第5题图 第6题图 6. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为( )A.2 B. 4 C.2 D. 455337. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝2，AD ＝4，点M ，点N 分别在边BC ，CD 上，则△AMN 周长的最小值为( )A.3B. 4C.2＋6D. 11777第7题图 第8题图8. 如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1，5)和(4，0)，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是( )A.(0，1)B. (0，2)C.(0，3)D. (0，4)9. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E ，F ，G ，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE ＝CG ，BF ＝DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A.4B. 10C.8D. 2037第9题图 第10题图10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，则AP ＋BP 的最小值为( )12A. B. 6 C.2 D. 4371711. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，动点F 在边BC 上运动，连接AF ，过点C 作CD ⊥AF 于点D ，交AB 于点E ，则B 、D 两点之间距离的最小值为( )A.2B. 4C.2－3D. 2－41313第11题图 第12题图12. 如图，在等边△ABC 中，BF 是AC 边上中线，点D 在BF 上，连接AD ，在AD 的右侧作等边△ADE ，连接EF ，当△AEF 周长最小时，∠CFE 的大小是( )A.30°B. 45°C.60°D. 90°13. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 、B 、C 的坐标分别为A (，0)、3B (3，0)、C (0，5)，点D 在第一象限内，且∠ADB ＝60°，则线段CD 的长的最小值是( )3A.2－2B. 2－2C.2－2D. 2－23571014. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是( )A.3B.C.D. 26535 第14题图 第15题图 第16题图15. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别是边BC 、CD 的延长线上的动点，且CE ＝DF ，连接AE 、BF ，交于点G ，连接DG ，则DG 的最小值为( )A.－1B. －1C.D. 353516. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 是以点A 为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD ，点M 为BD 中点，线段CM 长度的最大值为( )A.8B. 7C.6D. 5类型二 面积最值问题(拓展)1. 如图，点E 为边长为4的等边△ABC 的BC 边上一动点(点E 不与B 、C 重合)，以AE 为边作等边△AEF ，则△AEF 面积的最小值是( )A.2B. 4C.D. 333第1题图 第2题图 2. (2017合肥蜀山区模拟)如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB ＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是( )A.2B. 4C.2D. 4223. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，点E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且CE ＋CF ＝8，若sin ∠ABD ＝，BD ＝20，则△AEF 的面积的最小值为( )45A.24 B. 46 C.64 D. 96第3题图 第4题图 4. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝135°，AB ＝4，点P 是菱形ABCD 内或边上的2一点，且∠DAP ＋∠CBP ＝90°，连接DP ，CP ，则△DCP 面积的最小值为( )A.4 B. 8－ C.4－2 D. 8－8252322参考答案类型一 线段最值问题1. A2. C3. A4. B5. B6. B7. B8. D9. D 10. A 11. D 12. D 13. C 14. B 15. B 16. B类型二 面积最值问题(拓展)1. D2. D3. B4. D。
(河北专版)2019年中考数学一轮复习第八章专题拓展8.3几何最值问题(讲解部分)素材(pdf)
背景，解题时需要运用动态思维㊁ 数形结合㊁ 特殊与一般相结合㊁
与变化的量；其次，面积的最值问题和角度的最值问题都可化归 为线段的最值问题；最后，线段的最值问题显然要找临界位置合 情推理． 从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示， 常能找到
首先，从数量与位置两个角度去分析已知条件中不变的量
点 Ｐ 是 ＡＢ 边上的动点，过点 Ｐ 作 ☉Ｏ 的一条切线 ＰＱ （ 点 Ｑ 为 切点） ，则切线 ＰＱ 的最小值为㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ．
第八章㊀ 专题拓展
５７ ㊀
ɦ ８． ３㊀ 几何最值问题
１９８ 题型特点 解题突破口，特殊位置与极端位置是指： ①中点处㊁垂直位置关系等； ②端点处㊁临界位置等． 常用几何性质： （２） 几何定理（ 公理） 法 ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边， 两边之差小于 ②两点间线段最短； ③连接直 线 外 一 点 和 直 线 上 各 点 的 所 有 线 段 中， 垂 线 段 ④定圆的所有弦中，直径最长． （３） 数形结合法 用数形结合法解几何最值问题， 即适当地选取变量， 建立几 ①利用一元二次方程必定有解的代数模型， 运用判别式求 ②构造二次函数求几何最值． １９９ ㊀ ㊀ 一 ㊁利用 垂线段最短 求最值 Ｎ 分别在边 ＯＡ㊁ＯＢ 上，且 ＯＭ ＝ １， ＯＮ ＝ ３， 点 Ｐ㊁ Ｑ 分别在边 ＯＢ㊁ ＯＡ 上，则 ＭＰ ＋ ＰＱ ＋ ＱＮ 的最小值是㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ．
（２） 如图②，当 Ｅ，Ｆ 分别移动到边 ＤＣ，ＣＢ 的延长线上时，连
ＤＦ 交于点 Ｐ． 由于点 Ｅ，Ｆ 的移动，使得点 Ｐ 也随之运动， 请你画 出点 Ｐ 运动路径的草图． 若 ＡＤ ＝ ２，试求出线段 ＣＰ 的最小值．
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2019年全国中考真题分类汇编(几何最值问题)
（分类）专题复习（六）几何最值问题（2019十堰）（2019玉林）（2019龙东地区）（2019广西北部湾）（2019眉山）如图，在Rt△ AOB中，OA＝OB＝42,⊙O的半径为2, 点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为____23__________.（2019聊城）答案：C（2019安顺）2.4（2019东营）如图，AC 是⊙O 的弦，AC=5，点 B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M、N分别是AC、BC 的中点，则MN 的最大值是．（2019鄂州）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切.点A、B在x轴上，且OA＝OB.点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°,则AB长度的最大值为 ___16____.（2019黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是___________.（2019宿迁）如图正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且B E=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为.（2019长沙）答案：B（2019潍坊）（2019安徽）（2019连云港）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作OC与直线BD相切，点P是OC上一个动点，连接AP交BD于点T，则APAT的最大值是 3 ．（2019泰安）（2019成都）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC=60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△D B A '''，分别连接C B D A C A ''',，，则C B C A '+'.（2019凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB=12，AE=41AB ，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为__________.。
几何中的最值问题(解析版)
专题几何中的最值问题全国各地最新二模一、单选题1．（2019·山东淄博市·九年级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝23，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为( )A．1 B．3C．32D．2【答案】D【分析】连接BD，证明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°，由于BD的长确定，则点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值．【详解】解：连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形，所以BD＝DC因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，因为∠FDC＋∠BDF＝60°，所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝23，所以AB＝2，AC＝4，所以AP＝2当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2故选D．模拟预测【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值．2．（2020·无锡市江南中学九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A （10，0），点P 为线段OA 上任意一点．在直线y ＝34x 上取点E ，使PO ＝PE ，延长PE 到点F ，使PA ＝PF ，分别取OE 、AF 中点M 、N ，连结MN ，则MN 的最小值是（ ）A ．4.8B ．5C ．5.4D ．6【答案】A 【分析】分别证明PM OE ⊥，PN AF ⊥，∠MPN=90°，易得MNP ∆为直角三角形，设OP p =，则35MP p =，10AP p =-，由勾股定理得2264645MN p p =-+，从而可得出2MN 最小值为57625，进一步得出结论． 【详解】OP PE =，M 为OE 的中点，PM OE ∴⊥，EOP OEP ∠=∠PA PF =，N 为AF 的中点,PN AF ∴⊥，FPN NPA ∠=∠,APF EOP OEP FPN NPA ∠=∠+∠=∠+∠FPN EOP MEP ∴∠=∠=∠90MEP EPM ∠︒∠+=90NPF EPM ∴∠+∠=︒连接MN ，则MNP ∆为直角三角形，3tan 4EOP ∴∠= 设OP p =，则35MP p =，10AP p =-，3tan 4NPA ∠= 4(10)5PN p ∴=- 2222234(10)55MN PN MP p p ⎛⎫⎡⎤∴=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2225253201600MN p p ∴=-+222643257664p 5525MN p p ⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭当325p =时，2MN 最小值为57625∴MN 的最小值为24 4.85= 故选：A ．【点睛】此题主要考查了线段最小值的求解方法，列出2264645MN p p =-+求出2MN 最小值为57625是解决本题的关键． 二、填空题3．（2020·湖北武汉市·九年级二模）如图，正方形ABCD 的边长为8，P 为AD 边的中点，以CD 为边向形外作等边DCE ，连接BE ，M ，N 分别为BE ，DE 边上的动点，当PM MN +取最小值时，PMN 的面积为______．【答案】6+【分析】过点E 作EF DE ⊥，交DC 的延长线于点F ，过点P 作PH EF ⊥，PT DE ⊥，垂足分为H ，T ，PH 交BE 于点Q ，点N ，H 作关于BE 的对称点分别为1N ，2N ，连接2PN ，2QN ，1MN ，证明PM MN +取最小值PH ，此时N 与点2N 重合，PMN 与2N PQ △重合，求出2N PQ △的面积即可．【详解】解：过点E 作EF DE ⊥，交DC 的延长线于点F ，过点P 作PH EF ⊥，PT DE ⊥，垂足分为H ，T ，PH 交BE 于点Q ，易证150BCE ∠=︒，15CEB CBE ∠=∠=︒，601545BEF BED ∠=∠=︒-︒=︒， 点N ，H 作关于BE 的对称点分别为1N ，2N ，连接2PN ，2QN ，1MN ，则1PM MN PM MN PH +=+≥，当点M ，1N 分别与点Q ，H 重合时，PM MN +取最小值PH ，此时N 与点2N 重合，PMN 与2N PQ △重合，易得sin 302PT PD =︒=，TD =∴8PH ET ==+2PT EH HQ ===，∴6PQ PH QH =-=+∴2N PQ △的面积为(16262+⨯=+，故当PM MN +取最小值时，PMN 的面积为6+【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会两条轴对称解决最短问题．4．（2020·江苏盐城市·九年级二模）如图，ABC CDE 、是两个直角三角板，其中9045ECD ACB CED ∠=∠=︒∠=︒,，30CAB ∠=︒，若2,AB DE ==将直角三角板CDE 绕点C 旋转一周，则AD BE -的最大值为_______________________．1【分析】如图，在CA 取一点J ，使得CJ=CB ，连接DJ ．利用全等三角形的性质证明BE=DJ ，推出|AD-BE|=|AD-DJ|≤AJ ，求出AJ 即可解决问题．【详解】解：如图，在CA 取一点J ，使得CJ=CB ，连接DJ ．在Rt △ACB 中，AB=2，∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴CB=CJ=12AB=1，AC=3BC=3， ∵∠ECD=∠BCJ=90°，∴∠DCJ=∠ECB ，∵CD=CE ，CJ=CB ，∴△DCJ ≌△ECB （SAS ），∴DJ=BE ，∴|AD-BE|=|AD-DJ|，∵|AD-DJ|≤AJ ，∴|AD-BE|1，∴|AD-BE|1．1．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．5．（2020·泰兴市河头庄中学九年级二模）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，以B 为圆心，BA 长为半径画弧，点M 为弧上一点，MN ⊥CD 于N ，连接CM ，则CM －MN 的最大值为 ______．【答案】2【分析】过M 作ME ⊥BC 于E ，设MN=EC=x ，根据勾股定理表示出CM 218CM MN t t =-+－，根据二次函数的性质即可得到CM －MN 的最大值． 【详解】解：过M 作ME ⊥BC 于E ，由题意可知四边形MECN 为矩形，AB=BM ，∵AB=4，∴BC=BM=4，设MN=EC=x ，则BE=4-x ，在Rt △BEM 中，()()22222244164ME BM BE x x =-=--=-- ，在Rt △CEM 中，CM ===，则CM MN x =－ ，t =，则218x t =， ∴218CM MN t t =-+－， 当4t =时，CM MN －取最大值，将4t =代入218CM MN t t =-+－，得2CM MN =－， 故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的最大值问题，正方形的性质，把几何问题转化为函数问题是解题的关键．6．（2020·广西九年级二模）如图，已知直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以()0,1C 为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA 、PB ，当PAB ∆的面积最大时，点P 的坐标为_______．【答案】(−35,95) 【分析】过C 作CM ⊥AB 于M ，交x 轴于E ，连接AC ，MC 的延长线交⊙C 于D ，作DN ⊥x 轴于N ，则由三角形面积公式得，12×AB ×CM=12×OA ×BC ，可知圆C 上点到直线y=34x-3的最长距离是DM ，当P 点在D 这个位置时，△PAB 的面积最大，先证得△COE ∽△CMB ，求得OE 、CE ，再通过证得△COE∽△DNE，求得DN和NE，由此求得答案．【详解】过C作CM⊥AB于M，交x轴于E，连接AC，MC的延长线交⊙C于D，作DN⊥x轴于N，∵直线334y x=-与x轴、y轴分别交于A，B两点，令x=0，得y=-3，令y=9，得x=4∴A(4,0)，B(0,−3)，∴OA=4，OB=3，∴5=则由三角形面积公式得，12×AB×CM=12×OA×BC，∴12×5×CM=12×4×(1+3)，∴CM=16 5∴125 ==∴圆C上点到直线334y x=-的最大距离是DM=1+165=215当P点在D这个位置时，△PAB的面积最大，∵∠CMB=∠COE=90°，∠OCE=∠MCB，∴△COE∽△CMB，∴OE OC CE BM CM CB==∴11216455OE CE == ∴OE=34，CE=54， ∴ED=1+54=94 ∵DN ⊥x 轴，∴DN ∥OC ，∴△COE ∽△DNE ， ∴DN NE DE CO OE CE ==，即9435144DN NE == ∴DN=95，NE=2720∴ON=NE −OE=2720−34=35 ∴D(−35,95) ∴当△PAB 的面积最大时，点P 的坐标为(−35,95) 故答案为：(−35,95) 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据两个三角形相似可得出对应边成比例，是求线段长度的方法之一，已知一次函数的解析式，可求得函数与x 轴，y 轴的截距．三、解答题7．（2021·河南九年级二模）如图，抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，且OA=OB ，在x 轴上有一动点D （m ，0）（0＜m ＜4），过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，交抛物线于点E ，（1）求抛物线的函数表达式．（2）当点C 是DE 的中点时，求出m 的值.（3）在（2）的条件下，将线段OD 绕点O 逆时针旋转得到OD ′，旋转角为α（0°＜a ＜90°），连接D ′A 、D ′B ，直接写出D ′A +12D ′B 的最小值．【答案】（1）2142y x x =-++；（2）m=2；（3）D ′A+12BD【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）可得E(m ，2142m m -++) ，C （m ，-m+4）．表示出EC 的长，根据EC=CD 可得出关于m 的方程，解方程求出m 的值即可；（3）在y 轴上取一点M ′使得OM ′=1，连接AM ′，在AM ′上取一点D ′使得OD ′=OD ．证明△M ′OD ′∽△D ′OB ，即可求解．【详解】解：（1）∵A （4，0），OA=OB ，∴点B 的坐标为（0，4），将点B 、A 的坐标代入抛物线212y x bx c =-++， 2144024b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩， 解得：14b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数表达式为2142y x x =-++； （2）设直线AB 的解析式为4y kx =+，∴440k +=，解得：1k =-，∴直线AB 的解析式为4y x =-+；∵过点D （m ，0）（0＜m ＜4）作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，交抛物线于点E ，∴E(m ，2142m m -++) ，C （m ，-m+4）． ∴EC=()214m 42m m -++--+=2122m m -+， ∵点C 是DE 的中点， ∴212m 42m m -+=-+， 解得：m=2，m=4（舍去）．∴m=2；（3）如图，由（2）可知D （2，0），在y 轴上 取一点M ′使得OM ′=1，连接AM ′，在AM ′上取一点D ′使得OD ′=OD ．∵OD ′=OD=2，OM ′•OB=1×4=4，∴OD ′2=OM ′•OB ， ∴OD OB OM OD='''， ∵∠BOD ′=∠M ′OD ′，∴△M ′OD ′∽△D ′OB ， ∴12M D OD BD OB '''=='， ∴M ′D ′=12BD ′． ∴D ′A+12BD ′=D ′A+M ′D ′=AM ′，此时D′A+12BD′最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），∴D′A+12BD′的最小值=AM′=．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求出函数解析式，矩形的判定，相似三角形的判定和性质，最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段的最小值．8．（2020·西安市铁一中学九年级二模）[探索发现]（1）如图①，△ABC与△ADE为等腰三角形，且两顶角∠ABC＝∠ADE，连接BD与CE，则△ABD与△ACE的关系是；[操作探究]（2）在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点，在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你探究，当点E在直线AD上时，如图②所示，连接CE，判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．[拓展应用]（3）在（2）的应用下，请在图③中画出△BPE，使得点E在直线AD的右侧，连接CE，试求出点P在线段AD上运动时，AE的最小值．【答案】（1）相似；（2）AB∥EC，理由见解析；（3）3．【分析】（1）结论：相似．先判断出△BAC∽△DAE，即可得出结论．（2）利用等腰三角形的性质证明∠ABC＝40°，∠ECB＝40°，推出∠ABC＝∠ECB即可．（3）如图3中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．利用圆周角定理证明∠BCE＝∠BPE＝40°，推出AB∥CE，因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．【详解】解：（1）如图①中，∵△ABC与△ACE为等腰三角形，且两顶角∠ABC＝∠ADE，∴BA＝BC，DA＝DE，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴BADA＝ACAE，∴ABAC＝ADAE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．故答案为：相似．（2）如图2中，结论：AB∥EC．理由：∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直平分线段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥EC．故答案为50，AB∥EC．（2）如图3中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．∵AD垂直平分线段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE＝12∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．如图4中，作AH⊥CE于H，∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P 运动到与点A 重合时，AE 的值最小，此时AE 的最小值＝AB ＝3．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定及圆的基本性质，关键是根据题意得到三角形的相似，然后结合等腰三角形的性质得到问题答案，关键是要利用圆的基本性质求解最值问题．9．（2020·湖南邵阳市·九年级二模）如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O B 、重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN MB 、．请问：MBN ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）32OP =时，线段OE 有最大值．最大值是916；（3）32a =时，MBN ∆的面积有最大值，最大值是278，此时M 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）将点A B 、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设OP x =，则3PB x =-，由POE CBP ∆~∆得出比例线段，可表示OE 的长，利用二次函数的性质可求出线段OE 的最大值；（3）过点M 作MH y ∕∕轴交BN 于点H ，由12MNB BMH MNH S S S MH OB ∆∆∆=+=⋅即可求解． 【详解】解：（1））∵抛物线2y x bx c =++经过()1,0A -，()3,0B ，把A B 、两点坐标代入上式，10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， 故抛物线函数关系表达式为223y x x =--；（2）∵()1,0A -，点()3,0B ，∴134AB OA OB =+=+=，∵正方形ABCD 中，90,ABC PC BE ∠=︒⊥，∴90OPE CPB ∠+∠=︒，90CPB PCB ∠+∠=︒，∴OPE PCB ∠=∠，又∵90EOP PBC ∠=∠=︒，∴POE CBP ∆~∆， ∴BC OP PB OE=， 设OP x =，则3PB x =-， ∴43x x OE=-， ∴()221139344216OE x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∵03x <<， ∴32x =时，线段OE 长有最大值，最大值为916． 即32OP =时，线段OE 有最大值．最大值是916． （3）存在．如图，过点M 作MH y ∕∕轴交BN 于点H ，∵抛物线的解析式为223y x x =--，∴0,3x y ==-，∴N 点坐标为()0,3-，设直线BN 的解析式为y kx b =+，∴303k b b +=⎧⎨=-⎩， ∴13k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BN 的解析式为3y x =-，设()2,23M a a a --，则(),3H a a -，∴()223233MH a a a a a =----=-+， ∴()221113273322228MNB BMH MNHS S S MH OB a a a ∆∆∆⎛⎫=+=⋅=⨯-+⨯=--+ ⎪⎝⎭， ∵102-<， ∴32a =时，MBN ∆的面积有最大值，最大值是278，此时M 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．10．（2020·江西九年级二模）如图，正方形EFGH 的边EF 在正方形ABCD 的边BC 上，AB a ，EF b =()a b >，连接,AG DH ．（1）如图1，当4,2a b ==时，①连接HF ，当AD DH =时，求DHF ∠的度数；②当EF 在BC 边上运动时，AG DH +是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，说明理由；（2）当EF 在BC 边上运动时，请利用图2进行探究：AG DH +是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，说明理由．图1 图2【答案】（1）①75︒；②存在，最小值为2【分析】（1）①延长HG 交CD 于M ，根据正方形的性质可得HM ⊥CM ，HD=4，从而得出∠DHM=30°，故可得结论；②延长BC 至N ，使2CN HG ==，证明DMH GFN ∆∆≌，可求得AG DH AG GN +=+，当点G 在直线AN 上时，AG GN AN +=最小，即AG DH +最小，䤺根据勾股定理可求解 ；（2）延长HG 交CD 于点P ，分别延长GF ，DC 至M ，N ，使GM PN DP a b ===-．延长MN 至点O ，使ON HG b ==，连接GO ．延长AB ，与OM 的延长线交于点T ．构造直角三角形，利用两点之间线段最短即可求得结论．【详解】解：（1）①如图1，延长HG 交CD 于点M ，∵//HG BC ，BC CD ⊥，∴HM CD ⊥，90DMH ∠=︒．又4DH AD ==，422DM CD GF =-=-=，∴30DHM ∠=︒．∵在正方形EFGH 中，45GHF ∠=︒，∴304575DHF DHG GHF ∠=∠+∠=︒+︒=︒．②AG DH +存在最小值，最小值为如图2，延长BC 至N ，使2CN HG ==，则FN HM =，又2DM GF ==，90DMH GFN ∠=∠=︒，∴()DMH GFN SAS ∆∆≌．∴DH GN =．∴AG DH AG GN +=+．当点G 在直线AN 上时，AG GN AN +=最小，即AG DH +最小，此时AN ==（2）存在．如图3，延长HG 交CD 于点P ，分别延长GF ，DC 至M ，N ，使GM PN DP a b ===-．则四边形GMNP 为矩形，90GMN ∠=︒，MN GP =，且90DPH ∠=︒．延长MN 至点O ，使ON HG b ==，连接GO ．∴OM HP =．∴DHP GOM ∆∆≌，∴DH GO =．∴连接AO ，则AO 即为AG DH +的最小值．延长AB ，与OM 的延长线交于点T ．∴2()AT DN a b ==-，OT a b =+．∴OA ===∴AG DH +【点睛】此题主要考查了几何变换，关键是正确作出辅助线，证明DMH GFN ∆∆≌，灵活运用勾股定理．此题是一道综合题，难度较大11．（2020·湖北武汉市·九年级二模）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，仅用无刻度直尺，在给定网格810⨯中画图，完成下列问题．（1）过点B 作直线l ⊥直线AC ；（2）作线段AC 中点R ；（3）作点B 关于直线AC 的对称点B '；（4）根据以上提示，点M 、N 、P 分别为边BA 、AC 、CP 上的动点，当MNP ∆的周长最小时，作出点M 、N 、P ，并直接写出MNP ∆的周长为____________．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析，；（4）作图见解析，19225【分析】（1）利用两直角边对应成比例的直角三角形相似得对应角相等即可作出垂线；（2）利用格点构造全等的直角三角形即可找到中点；（3）只需作出CB ´=CB 交直线l 于点B ´，则交点B ´为所求作的对称点；（4）由图知，ΔABC 是等腰三角形，故作出CM AB ⊥,作出⊥AP BC ，则ΔPMN 周长最小，进而求出周长．【详解】（1）如图，直线l 即为所求作的垂线；（2）如图，点R 即为所求作的中点；（3）如图，点B ´即为所求作的对称点；（4）由图知，ΔABC 等腰三角形，故作出CM AB ⊥,作出⊥AP BC ，顺次连接P 、M 、N ，此时ΔPMN 周长最小，则点M 、N 、P 即为所求作的点．由图知，AP=4，PC=BP=3，∴AC=AB=5，PN=PC=3， 由1122ABC S AP BC AC BN ==得：6×4=5BN ， 解得：BN=245，∴75=， 同理，AM=75，由等腰三角形的对称性知PM=PN=3，MN ⊥AP ，∴MN ∥BC ， ∴MN AM BC AC =，即7756525MN ==， 解得：MN=4225， 此时ΔPMN 的周长=PM+PN+MN=3+3+4225=19225， 故答案为：19225【点睛】本题考查了在方格中作图，解答的关键是理解题目意思，熟悉基本几何作图的性质和基本作图方法.12．（2020·山东济南市·九年级二模）在ABC ∆中，90,2ACB BC AC ︒∠===，将ABC ∆绕点A 顺时针方向旋转α角0180()α︒<<︒至''AB C ∆的位置．（1）如图1，当旋转角为60︒时，连接'C C 与AB 交于点M ，则'C C = ．（2）如图2，在（1）条件下，连接'BB ，延长'CC 交'BB 于点D ，求CD 的长．（3）如图3，在旋转的过程中，连线'','CC BB CC 、所在直线交'BB 于点D ，那么CD 的长有没有最大值?如果有，求出CD 的最大值：如果没有，请说明理由．【答案】（1）2；（2）1CD =3）CD 的值最大，此时CD =【分析】(1)由旋转60°可知，△ACC ’为等边三角形，进而'C C =AC=2即可求解.(2)过点B 作BH ⊥CD 于H ，求得△CBH 三边之比为2，进而求出CH 和BH 的长，再求得△DBH 为等腰直角三角形，最后得到CD=DH+CH 即可求解.(3)证明''∆∆B AB C AC ，再取AB 的中点H ，以H 为圆心，HB 为半径作H ，连接CH ，得出D 点的运动轨迹为以H 为圆心，HA 为半径的圆，当CD 是该圆的直径时CD 最大，即可求解.【详解】解：(1) ∵旋转前后对应的边相等，∴AC=AC ’又∵旋转60°，∴△ACC ’为等边三角形∴'2==C C AC .故答案为2.(2)如图2中，作BH CD ⊥于H ，如下图所示：','60AB AB BAB ︒=∠='ABB ∴∆是等边三角形，60︒∴∠=∠=DBM ACM ，DMB AMC ，45BDC BAC ︒∴∠=∠=，且△DBH 为等腰直角三角形，'30BCH BCA ACC ︒∠=∠-∠=11,2BH DH BC CH ∴====1CD CH DF ∴=+=+故答案为：1()3CD的长有最大值为3中，’'45B AC BAC ︒∠=∠=''B AB C AC ∴∠=∠','AB AB AC AC ==''AB AB AC AC∴= ''B AB C AC ∴∆∆DBM ACM DMB AMC ∴∠=∠45BDM MAC ︒∴∠=∠=取AB 的中点H ，以H 为圆心，HB 为半径作H ，连接CH ．,90CA CB ACB ︒=∠=,CH AB CH BH AH ∴⊥==，90BHC ︒∠= ∴12BDC BHC ∴点D 的运动轨迹是以H 为圆心，HA 为半径的圆，当CD 是该圆的直径时CD 最大,故CD AB =时，CD 的值最大，此时CD =故答案为【点睛】本题综合考察了旋转图形的性质、含30°角的直角三角形三边之比、相似三角形的性质和判定、圆的相关知识等，熟练掌握线段绕其端点旋转60°会得到等边三角形这个特点进而求解本题.13．（2020·常熟市第一中学九年级二模）如图②，在Rt ABC 中，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 出发，沿斜边AB 向点B 匀速运动，速度为/acm s ，过点P 作PQ ⊥AB 交AC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使点N 落在射线PB 上，连接CM ，设CQ=y ，运动时间为x （s ）（0＜x ＜85），y 与x 函数关系如图①所示：（1）求y 与x 函数关系式及a 的值；（2）设CMQ △的面积为S ，求S 的最大值；（3）若CMQ △是等腰三角形，求x 的值．【答案】（1）58y x =-+，a 的值为4；（2）7225；（3）x 的值为1或6455或4049． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出y 与x 函数关系式；当1x =时，3y =，从而可求出AQ 的长，再根据相似三角形的判定与性质可求出AP 的长，由此即可得出a 的值；（2）如图（见解析），先利用相似三角形的性质可求出PQ 的长，从而可得MQ 的长，再利用正弦三角函数可得DM 的长，然后利用三角形的面积公式可得S 与x 的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可；（3）先利用线段的和差、勾股定理求出2CM 的值，再根据等腰三角形的定义分三种情况，分别建立方程求解即可得．【详解】（1）设y 与x 函数关系式为y kx b =+由图①可知，y kx b =+的图象经过点(0,8),(1,3)将点(0,8),(1,3)代入得：83b k b =⎧⎨+=⎩，解得58k b =-⎧⎨=⎩ 则y 与x 函数关系式为58y x =-+当1x =时，3y =，即3CQ cm =8,6AC cm BC cm ==，90ACB ∠=︒5AQ AC CQ cm ∴=-=，10AB cm ==四边形PQMN 是正方形90NPQ ∴∠=︒18090APQ NPQ ∴∠=︒-∠=︒在APQ 和ACB △中，90A A APQ ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩APQ ACB ∴~AP AQ AC AB ∴=，即5810AP = 解得4()AP cm = 则44(/)1a cm s == 综上，y 与x 函数关系式为58y x =-+，a 的值为4；（2）当运动时间为()x s 时由（1）可知，4AP x =，58CQ x =-+，APQ ACBAP PQ AC BC ∴=，即486x PQ = 解得3PQ x =四边形PQMN 是正方形90PQM ∴∠=︒，3MQ PQ x ==90A AQP DQM AQP ∴∠+∠=∠+∠=︒A DQM ∴∠=∠sin sin A DQM ∴∠=∠在Rt ABC 中，63sin 105BC A AB ===在Rt DMQ 中，sin DM DQM MQ ∠=，即3sin 35DM A x == 解得95DM x =则119(58)225S CQ DM x x =⋅=-+⋅ 整理得：29472()2525S x =--+由二次函数的性质可知，当45x =时，S 取得最大值，最大值为7225；（3）在Rt DMQ 中，125DQ x === 123758855CD CQ DQ x x x ∴=-=-+-=-+ 在Rt CDM 中，22222379(8)()55CM CD DM x x =+=-++ 由等腰三角形的定义，分以下三种情况：①当CQ MQ =时，CMQ △是等腰三角形则583x x -+=解得1x =②当CQ CM =时，CMQ △是等腰三角形则22CQ CM =，即222379(58)(8)()55x x x -+=-++ 解得6455x =或0x =（不符题意，舍去） ③当MQ CM =时，CMQ △是等腰三角形则22MQ CM =，即222379(3)(8)()55x x x =-++ 解得4049x =或85x =（不符题意，舍去） 综上，x 的值为1或6455或4049． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．14．（2020·山东德州市·九年级二模）如图，抛物线y=12x 2+mx+4m 与x 轴交于点A(1x ，0）和点B(2x ，0)，与y 轴交于点C ，22121220x x x x +=且、满足，若对称轴在y 轴的右侧． （1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴上取一点M ，使|MC-MB|的值最大；（3）点Q 是抛物线上任意一点，过点Q 作PQ ⊥x 轴交直线BC 于点P ，连接CQ ，当△CPQ 是等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）y=212x -x-4；（2）M(1，-6)；（3）P 1 (4--，P 2(2，-2)，P 3(4+． 【分析】（1）利用根与系数的关系即可求出m ，结合对称轴在y 轴右侧可得结果；（2）根据点A 和点B 关于对称轴对称，过点AC 作直线交对称轴于点M ，求出A ，B ，C 的坐标，求出AC 的表达式，得到点M 的坐标即可；（3）分PC=PQ ，QC=QP ，CP=CQ 分别讨论，求出相应x 值即可.【详解】解：（1）∵y=12x 2+mx+4m 与x 轴交于1(x ，0)和点B(2x ，0)，∴12 x x 、是方程12x 2+mx+4m=0的两个根，122x x m ∴+=-，128x x m ∴=，221220x x +=∴(-2m)2-16m=20，解得m 1=5，m 2=-1，∵对称轴在y 轴的右侧，∴m=-1，∴y=212x -x-4；（2）y=212x -x-4中，当x=0时，y=-4，当y=0时1x =-2，2x =4，∴A(-2，0)，B(4，0)，C(0，-4)，过点AC 作直线交对称轴于点M ，设直线AC 的解析式为y=kx+b ，将(-2，0)，(0，-4)代入，则024k bb =-+⎧⎨-=⎩，解得24k b =-⎧⎨=-⎩，得y=-2x-4，当x=1时，y=-6，∴M(1，-6)；（3）直线BC 的解析式为y=k 1x+b 1，将(4，0)，(0，-4)代入，则111044k b b =+⎧⎨-=⎩， 解得1114k b =⎧⎨=-⎩， 得y=x-4，∴∠OCB=∠OBC=45°，设P 的横坐标为x ，作PH ⊥y 轴于H ，则，∴PQ=|(x-4)-212x （-x-4）|（图一） （图二）如图一图二，当CQ=CP 时，(x-4)+212x （-x-4）=-8， x=0，不合题意，所以不存在；（图三） （图四） （图五）如图三，当PC=PQ =(x-4)-212x （-x-4），解得x=4-∴P(4--如图四，当CQ=PQ 时，x=(x-4)-212x （-x-4）， 解得x=2，∴P(2，-2)；如图五，当PC=PQ 时 ， 212x （-x-4），解得：x=4+∴P(4+；综上：P 1(4--，P 2(2，-2)，P 3(4+【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图像和性质，最值问题，等腰三角形的性质，解题的关键是学会分类讨论，利用等腰三角形的性质解题.15．（2020·陕西九年级二模）问题探究（1）如图1．在ABC 中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC 面积的最大值是_______．（2）如图2，在ABC 中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC 的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，12AB =，6BC =，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】问题探究：（1）24；（2）存在，BC 的最小值为144【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2中，连接OA ，OB ，OC ，作OE BC ⊥于E ．设2OB OC x ==．求出x 的最小值即可解决问题；（3）如图3中，连接AF ，延长BC 交AE 的延长线于G ，将EFM △顺时针旋转得到FBH ，作FNH △的外接圆O ．由（2）可知，当FNH △的外接圆的圆心O 在线段BF 上时，FNH △的面积最小，此时四边形ANFM 的面积最大．【详解】解：（1）当AD BC ⊥时，ABC 面积的最大，则ABC 面积的最大值是11862422BC AD ⋅=⨯⨯=， 故答案为：24；（2）如图中，连接OA ，OB ，OC ，作OE BC ⊥于E ．设2OA OC x ==，∵2120COB CAB ∠=∠=︒，OC OB =，OE CB ⊥，∴CE EB =，60COE BOE ∠=∠=︒，∴12OE OB x ==，BE =． ∵OC OE AG +，∴33x ，∴1x ，∴x 的最小值为1，∵BC =，∴BC 的最小值为（3）如图中，连接AF ，EF ，延长BC 交AE 的延长线于G ，∵90D ∠=︒，6AD DE ==，∴45DAE AED ∠=∠=︒，∵12CD AB ==，∴6CE CF ==，∴45CEF CFE ∠=∠=︒，∴90AEF ∠=︒，∴EF BF ==，将EFM △顺时针旋转得到FBH ，作FHB △的外接O 交BC 于N ，连接ON ，∵90AEF ABF ∠=∠=︒，AF AF =，EF BF =，∴Rt Rt ()AEF ABF HL △≌△，∴AEF ABF S S =△△，∵45EFG ∠=︒，∵90FEG ∠=︒，45EFG ∠=︒，∴EF EG ==，∴12FG ==，由（2）可知，当FHN △的外接圆的圆心O 在线段BF 上时，FNH △的面积最小，此时四边形ANFE 的面积最大，设OF ON r ==，则OB BN ==，∴r +=∴r ⋅=，∴12(2NH ==，∴四边形ANFM 的面积的最大值112(1212(222=⨯⨯+⨯⨯-⨯ 144=．【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．16．（2020·陕西西安市·九年级二模）问题提出（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小． 问题探究（2）如图2，在等腰ABC 中，AB AC =，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点,D E ，若5,6AB BC ==，求线段BP 的取值范围，并求AD CE +的最大值．问题解决（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道，分别为BB '、CC '、DD '．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和()BB CC DD '''++最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．【答案】（1）答案见解析；（2）BP 的取值范围是2465BP ≤≤，当BP 取最小值245时，AD CE +取得最大值，最大值是5；（3）可以按照要求进行规划（点P 选在点E 处），三条输送轨道之【分析】（1）根据垂线段最短即可得；（2）如图2（见解析），先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出4AF =，再根据等面积法可求出245BG =，由此即可得线段BP 的取值范围；然后根据ABC ABP BCP S S S =+可得当BP 取最小值时，AD CE +取得最大值，将BP 的最小值代入求解即可得；（3）如图3（见解析），连接,DP AC ，先参照（2）的方法求出AP 的取值范围，再根据ABP ADP ACP ABCD S S S S =++正方形得出1()92AP BB CC DD '''++=，由此即可得出答案． 【详解】（1）如图1，过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D由垂线段最短可知，此时AD 的值最小；（2）如图2，过点A 作AF BC ⊥，垂足为点F ，过点B 作BG AC ⊥，垂足为点G AB AC =ABC ∴是等腰三角形116322BF BC ∴==⨯=4AF ∴= 由等面积法得：1122ABC SAF BC AC BG =⋅=⋅，即1146522BG ⨯⨯=⨯⋅ 解得245BG = 点P 在AC 边上，BC AB >BG BP BC ∴≤≤，即2465BP ≤≤ 则BP 的取值范围是2465BP ≤≤ 1111()462222ABC ABP BCP S S S BP AD BP CE BP AD CE =+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯ ∴当BP 取最小值245时，AD CE +取得最大值 将245BP =代入得：1241()46252AD CE ⨯+=⨯⨯ 解得5AD CE +=则AD CE +的最大值是5；（3）如图3，连接,DP AC正方形ABCD 边长为3，E F 、为BC 边的三等分点3,1,2,90AB BF BE ABC ∴===∠=︒参考（2）可知，AF AP AE ≤≤APAP ≤≤AP ≤又ABP ADP DCP ABP ADP ACP ABCD S S S S S S S =++++=正方形11133222BB AP DD AP CC AP '''∴⨯⋅+⋅+⋅=即1()92AP BB CC DD '''++= ∴当AP BB CC DD '''++取得最小值将AP =1)92BB CC DD '''++=解得BB CC DD '''++=则BB CC DD '''++综上，可以按照要求进行规划（点P 选在点E 处），三条输送轨道之和最小为13千米．【点睛】本题考查了垂线段最短、等腰三角形的性质、正方形的性质等知识点，较难的是题（3），学会题（1）和（2）的思路，并运用到题（3）是解题关键．17．（2018·山东济南市·九年级二模）如图，抛物线252y ax bx =++经点()()1,0,5,0A B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O 到二次函数图象的垂直距离是线段OC 的长．已知点E 为抛物线对称轴上的一点，且在x 轴上方，点F 为平面内一点，当以,,,A B E F 为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F 到二次函数图象的垂直距离．(3)在(2)中，当点F 到二次函数图象的垂直距离最小时，在,,,A B E F 为顶点的菱形内部是否存在点Q ，使得,,AQ BQ FQ 之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)215322y x x =-+；(2)6-或2；(3)AQ BQ FQ ++的和最小值为【分析】（1）利用待定系数法列方程组求出a 、b 的值即可；（2）根据抛物线解析式可求出A 、B 两点坐标，即可得出对称轴解析式，分两种情况：当以AB 为边时，EF//AB ，由对称轴可得E 点的横坐标，根据EF=AB=4即可得出F 点的横坐标，根据菱形的性质求出EM 的长，把F 点横坐标代入抛物线解析式，根据点到二次函数图象的垂直距离的定义即可得出答案；当以AB 为菱形对角线时，根据菱形的性质可得AB ⊥EF ，利用勾股定理可求出FM 的长，进而可得F 点坐标，把F 点横坐标代入抛物线解析式，根据点到二次函数图象的垂直距离的定义即可得出答案；（3）由当(3,F 时，点F 到二次函数图象的垂直距离最小，将BQF 绕点B 逆时针旋转60︒到BDN 位置，连接AN ，作PN AB ⊥于P ，根据AB=AF=BF 可证明△ABF 是等边三角形，根据旋转性质可知,BQD BFN 均为等边三角形，进而可得当,,AQ DQ DN 共线时AQ BQ FQ ++的和最短，在Rt △APN 中，利用勾股定理求出AN 的长即可得答案.【详解】(1)∵抛物线252y ax bx =++过点()()1,0,5,0A B ， ∴502502552a b a b ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩。
安徽省2019年中考二轮复习题型二：选择压轴题之几何图形最值问题
题型二 选择压轴题之几何图形最值问题类型一 线段最值问题1. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为( )A.1.2B. 1.3C.1.4D. 2.4第1题图 第2题图2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC ＋PQ 的最小值是( )A.125B. 4C.245D. 5 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有▱ADCE 中，DE 的最小值是( )A.3B. 2C.4D. 5第3题图 第4题图4. 如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则12PB ＋PC 的最小值是( ) A. 3 B. 332 C.3 D. 32＋ 3 5. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在BC 上，BD ＝3，DC ＝1，点P 是AB 上的动点，则PC ＋PD 的最小值为( )A.4B. 5C.6D. 7第5题图 第6题图6. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为( ) A.2 5 B. 45 C.23 D. 4 37. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝2，AD ＝4，点M ，点N 分别在边BC ，CD 上，则△AMN 周长的最小值为( ) A.37 B. 47 C.27＋6 D. 11第7题图 第8题图 8. 如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1，5)和(4，0)，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是( )A.(0，1)B. (0，2)C.(0，3)D. (0，4)9. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E ，F ，G ，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE ＝CG ，BF ＝DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( ) A.4 3 B. 10 C.87 D. 20第9题图 第10题图 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，则AP ＋12BP 的最小值为( ) A.37 B. 6 C.217 D. 411. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，动点F 在边BC 上运动，连接AF ，过点C 作CD ⊥AF 于点D ，交AB 于点E ，则B 、D 两点之间距离的最小值为( )A.2B. 4C.213－3D. 213－4第11题图 第12题图 12. 如图，在等边△ABC 中，BF 是AC 边上中线，点D 在BF 上，连接AD ，在AD 的右侧作等边△ADE ，连接EF ，当△AEF 周长最小时，∠CFE 的大小是( )A.30°B. 45°C.60°D. 90°13. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 、B 、C 的坐标分别为A (3，0)、B (33，0)、C (0，5)，点D 在第一象限内，且∠ADB ＝60°，则线段CD 的长的最小值是( ) A.23－2 B. 25－2 C.27－2 D. 210－214. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是( )A.3B. 65C.35D. 2第14题图 第15题图 第16题图15. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别是边BC 、CD 的延长线上的动点，且CE ＝DF ，连接AE 、BF ，交于点G ，连接DG ，则DG 的最小值为( ) A.3－1 B. 5－1 C. 3 D. 516. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 是以点A 为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD ，点M 为BD 中点，线段CM 长度的最大值为( )A.8B. 7C.6D. 5类型二 面积最值问题(拓展)1. 如图，点E 为边长为4的等边△ABC 的BC 边上一动点(点E 不与B 、C 重合)，以AE 为边作等边△AEF ，则△AEF 面积的最小值是( )A.2B. 4C.3D. 33第1题图 第2题图2. (2017合肥蜀山区模拟)如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB ＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是( )A.2B. 4C.2 2D. 4 23. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，点E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且CE ＋CF＝8，若sin ∠ABD ＝45，BD ＝20，则△AEF 的面积的最小值为( ) A.24 B. 46 C.64D. 96第3题图 第4题图4. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝135°，AB ＝42，点P 是菱形ABCD 内或边上的一点，且∠DAP ＋∠CBP ＝90°，连接DP ，CP ，则△DCP 面积的最小值为( ) A.4 2 B. 8－52 3 C.4－2 2 D. 82－8类型一 线段最值问题1. A2. C3. A4. B5. B6. B7. B8. D9. D 10. A11. D 12. D 13. C 14. B 15. B 16. B 参考答案类型二面积最值问题(拓展) 1. D 2. D 3. B 4. D。
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几何最值问题复习
本内容全部需要在做讲义题目之前进行 一、 读一读下面的内容，想一想 1. 解决几何最值问题的理论依据
①两点之间，线段最短（已知两个定点）；
②_______________（已知一个定点、一条定直线）； ③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）． 2. 几何最值问题常见的基本结构
①利用几何变换进行转化——在右侧一栏中画出相关分析的辅助线，找到最终时刻点P 的位置
l
l
求min ()PA PB +，异侧和最小
l
l
MN 为固定线段长，求min ()AM BN +
l
l
求max PB PA -，同侧差最大 ②利用图形性质进行转化
D
C
A
B O N
M
求max OD
不变特征：Rt △AOB 中，直角与斜边长均不变，取斜边中点进行分析．
二、 还原自己做最值问题的过程（从拿到题目读题开始），与下面小明的动作对标，补充或调
整与自己不一样的地方．
①研究背景图形，相关信息进行标注；
②分析考查目标中的定点、动点及图形特征，利用几何变换或图形性质对问题进行分析； ③封装常见的几何结构，当成一个整体处理，后期直接调用分析．
三、 根据最值问题做题的思考过程，思考最值问题跟存在性问题、动点问题在分析过程中有什
么样的区别和联系，简要写一写你的看法． 答：
下面是小明的看法：
①都需要分层对问题分析，一层层，一步步进行分析；
②都需要研究基本图形，目标，条件，相关信息都需要有
标注；
③在画图分析时，都会使用与之有关的性质，判定，定理
及公理．
如存在性问题需要用四边形的判定；最值问题需要回到问题处理的理论依据．
四、借助对上述问题的思考，做讲义的题目．
几何最值问题（讲义）
一、知识点睛
解决几何最值问题的通常思路：
1.分析定点、动点，寻找不变特征．
2.若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；
若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．
转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．
二、精讲精练
1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥
AC于点F．若M为EF的中点，则AM长度的最小值为____________．
M F
E P
C
B
A
O
E
D C
B
A
第1题图 第2题图
2. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，点D 在BC 边上，则以AC 为对角线的所
有□ADCE 中，DE 长度的最小值为_____________．
3. 若点D 与点A (8，0)，B (0，6)，C (a ，a )是一平行四边形的四个顶点，则CD 长度的最小
值为_____________．
4. 如图，已知AB =2，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为斜边，在AB 的同侧作等腰
直角三角形ACD 和等腰直角三角形BCE ，则DE 长度的最小值为_____________．
E
D B C
A
第4题图 第5题图
5. 如图，已知AB =10，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为边，在AB 的同侧作等边三
角形ACP 和等边三角形BCQ ，则PQ 长度的最小值为_____________．
6. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC
边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为________________．
Q
P
A'D C
B A
D C
B
A
7. 如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E ，F 分别在线段AB ，
AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的对应点记为P ．
Q
P
C
B
A
（1）当点P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围是_______．
（2）当点P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 长度的最小值为_____________．
P F E
D C
B A
P
F
E D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AC
=BC 的中点为D ．将△ABC 绕点
C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC ，EF 的中点为G ，连接DG ，则在旋转过程中，DG 长度的最大值为____________．
9. 如图，已知△ABC 是边长为2的等边三角形，顶点A 的坐标为(0，6)，BC 的中点D 在点A
下方的y 轴上，E 是边长为2且中心在坐标原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕其中心旋转一周，则在旋转过程中DE 长度的最小值为_________．
10. 探究：如图1，在等边三角形ABC 中，AB =6，AH ⊥BC 于点H ，则AH =_______，△ABC
的面积ABC S △__________．
发现：如图2，在等边三角形ABC 中，AB =6，点D 在AC 边上（可与点A ，C 重合），分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为点E ，F ，设BD =x ，AE =m ，CF =n ．
D
G
F
E
C
B A F
A
图1 图2
（1）用含x ，m ，n 的代数式表示ABD S △及CBD S △；
（2）求(m n +)与x 之间的函数关系式，并求出(m n +)的最大值和最小值．
应用：如图，已知正方形ABCD 的边长为1，P 是BC 边上的任一点（可与点B ，C 重合），分别过点B ，C ，D 作射线AP 的垂线，垂足分别为点B′，C′，D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为______，最小值为______．
三、回顾与思考
________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ 【参考答案】
精讲精练 1．
125
2．3
H
B
A
D'
B'C'
P D C
B
A
3． 4．1 5．5 6．2
7．（1）84PD -≤；（2）8 8．6
9．4
10．探究：发现：（1）12ABD S xm =
△，1
2
CBD S xn =△
（2）m n x
+=；m +n 的最大值为6，最小值为
应用：2。