Monte Carlo方法及相关软件在实验核物理中的应用.ppt
核技术应用研究中蒙特卡罗计算问题48页PPT
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！48ຫໍສະໝຸດ 核技术应用研究中蒙特卡罗计算问题
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
蒙特卡罗方法在核技术中的应用
e
LZ
A
(5) 介质的康普顿质量散射截面 Z e L A 对于一般造岩元素，上式中 Z/A=1/2，从而有
1 e L 常数 2
4、光子散射后的能量分布 设光子散射前后的能量分别为α 和α ’(以m0c2 为单位，m0为电子静止质量，c 光速速),x= α /α ’, 则x的分布密度函数为：
d 1 cos r02 d 2
2 02 1 cos 1 2 3 2 1 1 0 (1 cos ) （ cos ）1 0 1 cos
由上式对角度（0－1800）积分获得（克莱因－仁 科公式）
这种不损失能量的散射，称为“汤姆逊散射”， 其微分截面为
d r02 1 cos 2 d 2
(2) 光子能量增加时的散射截面 随着入射光子能量增加，反散射几率减小。对 某一较大能量的入射光子，随散射角增大，散射几 率逐渐减小。这是散射光子角分布的一般规律。 (3) 一个电子的康普顿散射截面
二、康普顿散射
光子的一部分能量交给电子，使电子从原子中 发射出来，光子的能量和方向发生改变。 散射光子，散射角 ； 反冲电子，反冲角 。
散射光子还可继续发生 康普顿散射和光电效应。 与原子外层电子的散射， “自由电子”； 轨道电子速度远小于光速， “静止电子”。
1、能量与角度关系 根据能量守恒：源自第一节 γ射线与物质的相互作用
• 射线是能量很高的电磁波具有波粒二象性 • 光子不带电 • 光子与电子或原子核存在电磁相互作用，
在一次作用中损失全部能量或大部分能量 • 光子与物质有三种作用类型：
一．光电效应 二．康普顿散射 三．电子对效应
一、光电效应
光子与一个原子作用，把能量全部交给原子，使 一个束缚电子从原子中发射出来，光子消失。
《蒙特卡罗模拟》PPT课件
定义 1:设 R 为[0,1]上服从均匀分布的随机变量，即的分布密度函数与 分布函数分别为：
布物物的理理随方方机法法数：：一。一是是放放射射性性物物质质随随机机蜕蜕变变；；二二是是电电子子管管回回路路的的热热噪噪声声。（。（如如
②可可产将将生热热方噪噪法声声源源装装于于计计算算机机外外部部，，按按其其噪噪声声电电压压的的大大小小表表示示不不同同的的随随机机 物数数理。。方此此法法法：产产一生生是的的放随随射机机性性性物最最质好好随，，机但但蜕产产变生生；过过二程程是复复电杂杂子。。）管）回路的热噪声。（如 可查查将随随热机机噪数数声表表源-----装---””R于Raan计ndd算TTaa机bblel外e”（”（部11，995按555其年年噪由由美声美国电国兰压兰德的德公大公司小司编表编制示制，不，有同有随的随机随机数机数 数1100。00 此万万法个个产。。））生随随的机机随数数机表表性中中最的的好数数，字字但具具产有有生均均过匀匀程的的复随随杂机机。性）性，，没没有有周周期期性性。。使使 查用用随时时机，，数可可表根根-据据---需需”R要要an任任d取T取a一b一l段e段”（（（1横9横5或或5 竖年竖）由）。。美如如国需需兰220德0个公个，司，便编便可可制从从，中有中取随取（机（顺数顺 1次次00））万2200个个个。，），需随需要机要几几数位位表取取中几几的位位数，，字随随具机机有数数均表表匀无无的所所随谓谓机位位性数数，，，没不不有能能周四四期舍舍性五五入。入。使。 用 次由 个由个时 ）我递 随递随2，们推 机推机0可在数公个数公根使是式，是式据用由（需由（中需第如要第如可要同几i同i以个任余个位余在按取数按取数E一一公一几公x定c段式定e位式l公（中）公，）式产横在式随在推生或计推机计算随竖 算算数算出机机）出表机。来数内来无内如的，产的所产需，命生，谓生故令2伪故0位伪并为随个并数随非R机，非a，机真n数便真d不数正（：可正能：的）由从的四由随于中随于舍机第取机第五数（i数+入。i1+顺。。1 由但但递满满推足足公：：式（如同余数公式）在计算机内产生伪随机数：由于第 i+1 个aa随））机有有数较较是好好由的的第随随机i机个、、按均均一匀匀定性性公。。式推算出来的，故并非真正的随机数。 但abcbdcbdc） ））满）） ））））有 算周足算周 算 故算故周算较 法期：法期 法 这法期法这好 过长过长 可 是过长可是的 程、程、 再 目程、再目随 不重不前重 现不前重现机 退复退复 ， 最退复，最、 化化性性 速常化性速常均 （（差差 度 用（差度用即匀 即的。 快。即的。快不方性 不。不方。能法。 能能法反。反反。cd复复））复出出算算出现现法法现某某过可某一程再一一常不现常常数退，数数。化速。。）））度快。
MonteCarlo方法及其简单应用（图文）
MonteCarlo方法及其简单应用(图文)论文导读：本文介绍了Monte Carlo方法的思想，主要从在定积分计算方面介绍了随机投点法和平均值法，并将其推广到二重积分、三重积分和多重积分情形，最后以棋手分奖金问题介绍了Monte Carlo方法在古典概率问题中的应用.分析了误差，介绍了减少误差的方法. 给出这些方法的实例及其Mathematica实现程序.关键词：MonteCarlo方法，积分计算，古典概率，模拟1 引言Monte Carlo方法，源于第二次世界大战美国关于研制原子弹的“曼哈顿计划”.该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城——摩纳哥的Monte Carlo——来命名这种方法,为它蒙上了一层神秘色彩.Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用.19世纪人们用投针试验的方法来确定圆周率.20世纪40年代电子计算机的出现,特别是近年来高速电子计算机的出现,使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能.Monte Carlo方法研究的问题大致可分为两种类型:一种是问题本身就是随机的,另一种本身属于确定性问题,但可以建立它的解与特定随机变量或随机过程的数字特征或分布函数之间的联系,因而也可用随机模拟方法解决.文[1]-[7] 介绍了Monte Carlo方法的思想，但没有给出具体的实例及实现过程。
发表论文。
本文介绍了MonteCarlo方法的思想，从计算定积分和古典概率两方面的应用进行研究，给出了实例及其Mathematica实现程序.2 Monte Carlo方法2.1 Monte Carlo方法思想概述Monte Carlo方法，有时也称随机模拟(RandomSimulation)方法或统计试验(Statistical Testing)方法.它的基本思想是:首先建立一个概率模型或随机过程,使它的参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察、抽样来计算所求参数的统计特征；最后给出所求解的近似值,而解的精度可用估计值的标准误差来表示.假设所求的量是随机变量的数学期望,那么近似确定的方法是对进行重复抽样,产生相互独立的值的序列并计算其算术平均值:根据大数定理，当充分大时,以概率1成立，即可用作为的估计值.Monte Carlo方法以概率统计理论为基础,以随机抽样(随机变量的抽样)为手段，在很多方面有重要的应用.它的优点表现在三个方面：方法和程序的结构简单，易分析、易理解；收敛的概率性和收敛速度与问题的维数无关，很好的避免了维数问题；受问题条件限制的影响较小，很好的提高可行性.使用Monte Carlo方法的步骤如下：(l)构造或描述概率过程(2)实现从已知概率分布中抽样(3)建立各种估计量2.2 Monte Carlo方法的可行性从Monte Carlo方法的基本思想可以得到它通常的做法，利用数学或物理方法产生[0，1]中均匀分布的随机数，在变换得到任意分布的随机数.随机数个数很大时，可以由大数定理，求出事件的概率值.这种做法的可行性主要依据下面的事实：（1）如果随机变量的分布函数是，由于非降.对于任意的,(),可以定义：作为的反函数.我们考虑随机变量的分布，这里假定是连续函数，则对于有：（1）即服从上的均匀分布.（2）反之，如果服从上的均匀分布，则对于任意的分布函数，令，则：（2）因此是服从分布函数的随机变量.所以我们只要能够产生中均匀分布的随机变量的子样，那么通过（2）式我们就可以得到任意分布函数的随机变量的子样.再结合大数定理、就可以运用Monte Carlo方法进行随机模拟，解决一些实际的问题.3 Monte Carlo方法在定积分中的应用3.1随机投点法对于定积分.为使计算机模拟简单起见，设，有限，，令，并设是在上均匀分布的二维随机变量，其联合密度函数为.则是中曲线下方的面积（如图2）.图2假设我们向中进行随机投点.若点落在下方（即）称为中的，否则称不中.则点中的概率为，若我们进行次投点，其中次中的.则可以得到的一个估计（3）该方法的具体计算步骤为：①独立地产生2个随机数,,i=1,…,n；②计算，，和；③统计的个数；④用（3）估计.例1 1777年，法国学者Buffon提出用试验方法求圆周率的值.原理如下：假设平面上有无数条距离为1的等距平行线，现向该平面随机地投掷一根长度为的针.则我们可以计算该针与任一平行线相交的概率.此处随机投针可以这样理解：针中心与最近的平行线间的距离x均匀地分布在区间上，针与平行线间的夹角（不管相交与否）均匀地分布在区间上（如图1）.于是，针与线相交的充要条件是，从而针线相交概率为：图1而由大数定律可以估计出针线相交的概率，其中为掷针次数，为针线相交次数，从而圆周率.其mathematica实现语句见附录1.3．2 样本平均值法对积分，设是上的一个密度函数，改写（4）由矩法，若有个来自的观测值，则可给出的一个矩估计，这便是样本平均值法的基本原理.若，有限，可取.设是来自的随机数，则的一个估计为（5）该方法的具体计算步骤为：①独立地产生个随机数；②计算和，；③用（5）估计.后面将给出一个例子说明此方法的应用.4 Monte Carlo方法在计算多重积分中的应用方法一：（重积分）（7）其中为S维单位立方体，，在上有：.很明显.此时积分（5）可以看作为求维空间长方体V：的体积.即：（8）对于这种较为一般形式的多重积分计算问题，采用的还是随机投点.具体步骤如下：首先产生个随机数（i=1,2,…，）及，构造维随机向量，然后检验是否落后在V中，同理可以推论.检验是否成立，如果在构成的个随机向量中，有个随机向量落于V中，那么取作为积分的近似值，即，如果积分区域及被积函数不满足上述条件，那么可以通过变换便可达到所希望的条件.方法二：其中积分区域包含在维多面体中，此多面体决定于个不等式.设函数在内连续且满足条件：，是在维多面体中均匀分布的随机质点的个数，是在个随机点之中落入以维区域V为底以为顶之曲顶柱体内的随机点的个数.这里表示由不等式和决定的维多面体.则重积分的Monte Carlo近似计算公式为：=（9）例 2 在三维空间中，由三个圆柱面：，，围成一个立体，利用Monte Carlo方法求它的体积.分析：据题意，所求体积,其中{，，且，，}.记，，},考虑在空间内随机的产生个点，落在空间内有个，则.在Mathematica中模拟程序见附录2.5 在古典概率问题中的应用下面的例子说明了Monte Carlo方法在古典概率中的应用.例3 甲乙两位棋手棋艺相当，现他们在一项奖金为1000元的比赛中相遇，比赛为五局三胜制，已经进行了三局的比赛，结果为甲三胜一负，现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？分析：平均分对甲欠公平，全归甲则对乙欠公平.合理的分法是按一定的比例分配.现在我们用计算机模拟两位棋手后面的比赛，是否就可以知道奖金分配方案.由于两位棋手的棋艺相当，可以假定他们在以下每局的比赛胜负的机会各半.Mathematica中函数产生随机数0或1，0与1出现的机会各占一半，可以用随机数1表示甲棋手胜，而随机数0表示乙胜.（也可以用中的随机实数来模拟两人的胜负，随机数大于0.5表示甲胜，否则乙胜）连续模拟1000次（或更多次数）每次模拟到甲乙两方乙有一方胜了三局为止.按所说方案分配奖金，1000次模拟结束后，计算两棋手每次的平均奖金，就是该棋手应得的奖金.模拟结果：甲：750，乙：250（程序见附录1）最终以甲分到；乙分到.即甲750元，乙250元.实际上，因为比赛只需进行两局.则可分出胜负.结果无非是以下四种情况之一：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.上面四种情况可看出，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.在Mathematica 中模拟程序见附录3.6 误差分析6.1 收敛性蒙特卡罗方法是由随机变量的简单子样的算术平均值：作为所求解的近似值.由大数定律可知，如独立同分布，且具有有限期望值（<∞），则.即随机变量的简单子样的算术平均值，当子样数Ｎ充分大时，以概率1收敛于它的期望值.6.2 误差蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论的中心极限定理给出了答案.该定理指出，如果随机变量序列，，…，独立同分布，且具有有限非零的方差，即是的分布密度函数.则当N充分大时，有如下的近似式其中称为置信度，1－称为置信水平.这表明，不等式近似地以概率1－成立，且误差收敛速度的阶为.通常，Monte Carlo方法的误差ε定义为上式中与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出.关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的.第二，误差中的均方差是未知的，必须使用其估计值来代替，在计算所求量的同时，可计算出.例4 求用平均值法估计圆周率，并考虑置信度为5%，精度要求为0.01的情况下所需的试验次数.解：易知，故考虑令～，令，其期望值为，因此=，其中是[0，1]区间上均匀分布的随机数.此时，，，，所以（次）.6.3 减小方差的各种技巧显然，当给定置信度α后，误差ε由σ和N决定.要减小ε，或者是增大N，或者是减小方差.在固定的情况下，要把精度提高一个数量级，试验次数N 需增加两个数量级.因此，单纯增大N不是一个有效的办法.另一方面，如能减小估计的均方差σ，比如降低一半，那误差就减小一半，这相当于N增大四倍的效果.因此降低方差的各种技巧，引起了人们的普遍注意.一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子样的时间增加.在固定时间内，使观察的样本数减少.所以，一种方法的优劣，需要由方差和观察一个子样的费用（使用计算机的时间）两者来衡量.这就是蒙特卡罗方法中效率的概念.它定义为，其中c 是观察一个子样的平均费用.显然越小，方法越有效.总的来说，增大样本的值对计算机要求较高；减小方差的技巧都只具有指导思想上的意义.对于实际的计算问题，往往要求对涉及的随机变量有先验的了解，或者对发生的物理过程的性态有一定的认识.通过利用这些预知的信息采取相应的手段减小误差，提高精度.附录1.（1）n=1000;p={}Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[];If[x+y<=1,m++],{k,1,n}];AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}];Print[p];Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10（2）n=10000;p={}Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[];If[x+y<=1,m++],{k,1,n}];AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}];Print[p];Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10（3）n=100000;p={}Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[];If[x+y<=1,m++],{k,1,n}];AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}];Print[p];Sum[p[[t]],{t,1,10}]/102. n=1000;p={}Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[];z=Random[];If[x+y<=1&&x+z<=1&&y+z<=1,m++],{k,1,n}]; AppendTo[p,N[8m/n]],{t,1,10}];Print[p];Sum[p[[t]],{t,1,10}]/103. n=1000;p={}Do[m=0;Do[x=Random[Integer]+2;y=Random[Integer]+1;If[x>y,m++],{k,1,n}];AppendTo[p,N[m]],{t,1,20}]Print[m];{Sum[p[[t]],{t,1,20}]/20,1000-Sum[p[[t]],{t1,20}]/20}参考文献[1] 徐钟济．蒙特卡罗方法[M]．上海：上海科学技术出版社，1985：171-188.[2] 茆诗松，王静龙，濮晓龙．高等数理统计[M].北京：高等教育出版社，2006：415－454．[3] 周铁，徐树方，张平文等．计算方法[M]．吉林：清华大学出版社，2006：299－353．[4] 李尚志，陈发来，张韵华等．数学实验[M]．北京：高等教育出版社，2004：23－30．[5] 王岩．Monte Carlo方法应用研究[J].云南大学学报(自然科学版)，2006，28(S1): 23－26.[6] 薛毅，陈立萍.统计建模与R软件[M].北京：清华大学出版社，2008：476-485.[7] 杨自强.你也需要蒙特卡罗方法———提高应用水平的若干技巧[J]. 数理统计与管理, 2007,27(2):355-376.。
《蒙特卡罗方法》PPT课件
5
1.引言
Monte Carlo方法简史 简单地介绍一下Monte Carlo方法的发展历史
1、Buffon投针实验： 1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计的值
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1.引言
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1.引言
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1.引言
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1.引言
注意以下两点： • Monte Carlo方法与数值解法的不同: ✓ Monte Carlo方法利用随机抽样的方法来求解物理问题;
✓数值解法:从一个物理系统的数学模型出发,通过求解一 系列的微分方程来的导出系统的未知状态;
• Monte Carlo方法并非只能用来解决包含随机的过程的问题:
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2.MC基本思想
二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和 电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方 法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了 应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科 学试验中就已发现，并加以利用。
➢ 两个例子 例1. 蒲丰氏问题 例2. 射击问题（打靶游戏）
4. 编程进行计算机模拟
5. 获得统计量
j
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1.引言
MC的模拟方法－1 确定统计方案
1 确定统计模型 1) 现象 模型
随机现象Y＝Y(Xi)， Xi={X1, X2, X3,…}
2) 确定随机变量Xi的分布特征fi(x) 平均分布，指数分布，正态分布，Γ分布…
2 确定统计量
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i lnim1nkn1ik(xi,...)
1.引言
蒙特卡罗方法PPT课件
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蒙特卡 罗方法
直接方法
可以分解为各个独立 过程的随机性事件
统计方法 数值求解多维定积分
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5.1 基本思想和一般过程
• Buffon投针实验
• 1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计 值
L
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p 2L
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• 长度为 l的针随机地落在相距为d>l 的一组水平线之间， 求针与线相交的概率？
分布的随机数的抽样，进行大量的计算随机模拟实验，从中获得随机变量 的大量试验值。各种概率模型具有不同的概率分布，因此产生已知概率分 布的随机变量，是实现Monte Carlo方法的关键步骤。最简单、最基本、 最重要的一个概率分布是(0，1)上的均匀分布 (或称矩形分布)。随机数就 是具有这种均匀分布的随机变量。对于其他复杂概率模型的概率分布可以 用数学方法在此基础上产生。因此，随机数是Monte Carlo模拟的基本工 具。
方法就叫做简单抽样法或非权重随机抽样法。
• 随机抽样法的真正优势表现在对较高维积分的近似求解，诸如在多体动力
学和统计力学中所遇到的问题。蒙待卡罗方法对较高维体系的积分误差仍
是
，而这时梯形定则给出的误差变为1/m2/D，这里D为维数。
1m
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5.3.1 简单抽样 • 将其推广到多维的情况
模拟这个概率过程。对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积 分、解线性方程组及偏微分方程边值问题等，要用蒙特卡罗方法求解，就 必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求的问题的 解。
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5.1 基本思想和一般过程 • (2) 实现从已知概率分布的抽样 • 有了明确的概率过程后，为了实现过程的数字模拟，必须实现从已知概率
蒙特卡洛方法的应用课件
材料属性模拟
蒙特卡洛方法可以模拟材料的物理和化学属性，如热导率、电 导率、扩散系数等，为材料的选择和应用提供依据。
结构可靠性分析
蒙特卡洛方法可以用于结构可靠性分析，通过模拟结构在 不同工况下的失效概率，评估结构的可靠性和安全性。
系统可靠性分析
系统可靠性评估
蒙特卡洛方法可以用于评估系统 的可靠性，通过模拟系统在不同 条件下的运行状态，评估系统的 可靠性和故障概率。
控制系统优化
蒙特卡洛方法可以用于控制系统的优化，通过模拟控制系 统的不同参数和控制策略，优化控制系统的性能和稳定性 。
控制系统故障诊断
蒙特卡洛方法可以用于控制系统的故障诊断，通过模拟控 制系统的运行状态和故障模式，诊断控制系统的故障和问 题。
05
蒙特卡洛方法在社会科学领 域的应用
人口统计学模拟
总结词
要点一
金融风险管理
蒙特卡洛方法可以用于评估金融衍生品的风险，通过模拟 标的资产价格的波动，计算出衍生品的价值及其波动性。
要点二
物理模拟
蒙特卡洛方法可以用于模拟物理现象，如粒子运动、气体 扩散等，通过大量模拟实验得出物理量的统计结果。
感谢您的观看
THANKS
它通过构造一个概率模型或随机过程 ，将需要求解的问题转化为一个概率 问题，然后通过大量的随机抽样来近 似求解该概率问题。
蒙特卡洛方法的原理
蒙特卡洛方法的原理基于大数定律和中心极限定理，通过大量的随机抽样来逼近真实概率分布的特征 值或概率质量函数。
在每个抽样点上，根据问题的具体条件和约束，进行相应的计算和判断，最终得到问题的近似解。
化学反应模拟
总结词
蒙特卡洛方法在化学领域常用于模拟化 学反应的过程和机理。
蒙特卡罗方法课件
( x , x ,L, x )
(i ) 1
(i ) 2
(i ) s
§1 蒙特卡罗方法概述 蒙特卡罗方法概述---MC优点 优点
得到积分的近似值： 得到积分的近似值：
Ds gN = N
( g ( x1(i ) , x 2i ) , L , x s( i ) ) ∑ i =1
N
其中D 为区域D 的体积。这是数值方法难以作到的。 其中 s为区域 s的体积。这是数值方法难以作到的。 因此，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统形状很复杂， 因此，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统形状很复杂，难以用 一般数值方法求解，而使用蒙特卡罗方法，不会有原则上的困难。 一般数值方法求解，而使用蒙特卡罗方法，不会有原则上的困难。 （3）收敛速度与问题的维数无关 ） 由误差定义可知，在给定置信水平情况下， 方法的误差为O(N-1/2) ， 由误差定义可知，在给定置信水平情况下，MC方法的误差为 方法的误差为 与问题本身的维数无关。维数的变化， 与问题本身的维数无关。维数的变化，只引起抽样时间及估计量计算时 间的变化，不影响误差。这一特点，决定了蒙特卡罗方法对多维问题的 间的变化，不影响误差。这一特点， 适应性。 适应性。 而一般数值方法，比如计算定积分时， 而一般数值方法，比如计算定积分时，计算时间随维数的幂次方而增 而且由于分点数与维数的幂次方成正比， 加，而且由于分点数与维数的幂次方成正比，需占用相当数量的计算 机内存，这些都是一般数值方法计算高维积分时难以克服的问题。 机内存，这些都是一般数值方法计算高维积分时难以克服的问题。
λα
两点说明： 两点说明：
(1)MC方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。 (1)MC方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。 方法的误差为概率误差 (2)误差中的均方差 是未知的，必须使用其估计值来代替， 误差中的均方差σ (2)误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值来代替，在计算所 求量的同时，可计算出估计值。 求量的同时，可计算出估计值。 1 N 2 1 N σ= X i − ( ∑ X i )2 ∑ N i =1 N i =1
蒙特卡洛方法第一讲PPT课件
扩散理论关注的重点在于通过扩散方程解决中 子通量密度与空间位置的关系。
2021/3/12
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扩散方程可以通过对输运方程中泄漏项 的角分布函数进行1阶PN近似得到，也可以 通过类比分子扩散运动，利用斐克定律 (Fick’s Law)得到，不过要假定以下前提：
2021/3/12
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1.5.1 与能量相关的稳态中子扩散方程
稳态单能中子扩散方程：
S ( r ) D 2 ( r ) a ( r ) 0
其中：
• 产生率： S ( r )
• 泄漏率： D2(r)
• 移出率（损失率）： a(r)
2021/3/12
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在考虑能量变量后： • 产生率：
移出率（损失率）：
R = ( Σ a ( r , E ) + Σ s ( r , E ) ) φ ( r , E ) = Σ t ( r , E ) φ ( r , E )
2021/3/12
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与能量相关的中子扩散方程
1∂φ(r,E,t) v ∂t
=∇•D∇φ(r,E,t)-Σt(r,E)φ(r,E,t)+
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常用边界条件
• i. 在扩散方程适用范围内，中子通量密度 的数值必须为正的有限实数：
0
2021/3/12
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常用边界条件
• ii. 在两种不同扩散性质的介质交界面上， 垂直于分界面的中子流密度相等，中子通 量密度相等：
A
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B
x
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计算物理 蒙特卡罗方法基础ppt课件
5
一 基本思想
直接蒙特卡洛模拟法： 对求解问题本身就具有概率和统计性的情况。
如：中子在介质中的传播，核衰变过程等， 思想是按照实际问题所遵循的概率统计规律，用计算
机进行直接的抽样试验，然后计算其统计参数。 该方法也就是通常所说的“计算机实验”。
对1,000,000次投针为， 0.0024
可见，增加模拟的次数可以减小误差，但不可消除误差。
12
前人进行了实验，其结果列于下表 ：
实验者
年份 投计次数 π的实验值
沃尔弗(Wolf) 1850
5000
3.1596
斯密思(Smith) 1855
3204
3.1553
福克斯(Fox) 1894
1120
3.1419
对100次投针为，
0.1642
对10,000次投针为， 0.0164
对1,000,000次投针为， 0.0016 15
投点法实验程序流程图
n n max
n n1
Yes
产生随机数 1 ,2
x L1 , y L2
r 2 x2 y2 L2
Yes
M M1
计1
if (mod(ncount,100) .eq. 0 ) then
write(10,"(I10,F15.6)")ncount,
4.0d0*dble(m)/dble(ncount)
end if
end do
end
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结果和分析
(1) 总计投点1.0×105次 (2) 该算法收敛，
《MonteCarlo方法》PPT课件
f (x)
Sum areas of shapes approximating shape of curve
b
Evaluating the general integral I f ( x ) d x
a
x
n uniformly separated points
Quadrature formula Ixi n1f(xi)b nai n1f(xi)
精选PPT
23
2. 频率检验
检验每组观测频数 ni与理论频数mi ＝ N １/k之间相差的显著性
3. 独立性 按先后顺序排列的 N 个伪随机数中 ， 每个数的出现是否与 其前后各个数独立无关。 对于两组伪随机数来说 ， 独立性 就是指它们不相关 。
4. 组合规律性 将 N 个伪随机数按一定的规律组合起来 ， 则各种组合的出现具 有一定的概率。
提高精度一位数 ， 抽样次数要增加１００ 倍 ； 减小随机变量的标准 差 ， 可以减小误差 。
精选PPT
15
Monte Carlo 方法具有以下四个重要特征 ：
① 由于 Monte Carlo 方法是通过大量简单的重复抽样来实现的 ， 因 此 ， 方法和程序的结构十分简单 。
② 收敛速度比较慢 ， 因此 ， 较适用于求解精度要求不高的问题。
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数
1850 0.80 5000
1855 0.60 3204
1884 0.75 1030
1925 0.83 3408
相交次 数
2532 1218 489 1808
π的估计值
3.15956 3.15665 3.15951 3.14159292
Monte Carlo
基本思想
• 当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个事件的期望，或 是与概率或期望相关的量时，通过某种实验的方法，得出该事件 发生的概率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值， 通过它得到问题的解
蒙特卡罗方法其误差为概率-1误差，这一点与其他数值方
法有明显区别
O(N 2 )
• 误差
蒙特卡罗方法其收敛速度为
-1
O(N 2 )
，即精度每提高一
级，所需样本量就需要增大两个数量级
• 收敛
Monte Carlo
➢ 优点
• 对于具有随机性质的事件或物理过程其物理意义逼真 • 受几何限制小 • 收敛速度与问题的维数无关 • 误差容易确定 • 程序结构简单，易于实现
• 以容易实现，所用计算时间少为标准
Monte Carlo模拟
• 在通过对粒子输运问题的进行模拟的基础上，考虑实际情 况进一步对其结果进行分析，可以针对不同应用得出不同 的物理结果，如屏蔽问题中的光通量，核辐射探测器中的 探测效率、能量沉积谱、能量分辨率等。
Monte Carlo应用软件
蒙特卡罗方法研究的深入
• 根据欲研究的物理系统的性质，建立能够描述该系统特性
1
的理论模型，导出该模型的某些特征量的概率密度函数；
• 从概率密度函数出发进行随机抽样，得到特征量的一些模
2
拟结果；
• 对模拟结果进行分析总结，预言物理系统的某些特性。
3
Monte Carlo
Monte Carlo
利用随机抽样的方法来求解物理问题
系统形状
吸收介质 类型及形状
粒子源分布 及初始信息
确定粒子 输运过程 中涉及的 物理过程
粒子湮灭的 条件
……
相关物理过 程及概率
Monte Carlo模拟
➢ 蒙卡模拟粒子输运问题的主要步骤
直接模拟 法
简单加权 法
确定所用
……
的蒙卡技
巧（单粒
子）
统计估计 法
指数变换 法
• 多粒子情况下常用的有字典编辑分支法
给定的pdf的随机变量; • 模拟结果记录—记录一些感兴趣的量的模拟结果 • 误差估计—必须确定统计误差（或方差）随模拟次数以及其它一些量
的变化； • 减少方差的技术—利用该技术可减少模拟过程中计算的次数； • 并行和矢量化—可以在先进的并行计算机上运行的有效算法
Monte Carlo
➢ 蒙特卡罗算法模拟的主要步骤
可看做服从某种分布的密度函数为f(r)的随机变量g(r)的数学期望
g= g(r)f(r)dr
• 而通过某种试验得到N个观察值r1，r2...rN等，将N个随机变量的值g(r1), g(r2),…, g(rN)的算术平均值作为积分估计值
1 N
gN= N
g(ri )
i =1
Monte Carlo
• 根据概率论知识，可知
实验核 物理困
难
+
实验成本高
统计特性 高样本量
非常有利于Monte Carlo方法的应用
Montห้องสมุดไป่ตู้ Carlo模拟
➢ 在核物理中的应用
通量及反应率 粒子探测效率 能量沉积谱及响应函数 粒子输运问题 屏蔽问题
• 而其中粒子输运问题是蒙特卡罗模拟的基本核物理过程
Monte Carlo模拟
➢ 蒙卡模拟粒子输运问题的主要步骤
➢ 缺点
• 收敛速度慢 • 误差具有概率性 • 在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关
Monte Carlo
➢ 蒙特卡罗算法主要组成部分
• 概率密度函数(pdf)— 必须给出描述一个物理系统的一组概率密度函数; • 随机数产生器—能够产生在区间[0,1]上均匀分布的随机数 • 抽样规则—如何从在区间[0,1]上均匀分布的随机数出发,随机抽取服从
历史
• 第一次由Metropolis在二次世界大战期间提出的Manhattan计划中 提出，用以研究与原子弹有关的中子输运过程
命名
• Monte Carlo是摩纳哥（monaco)的首都，该城以赌博闻名
Monte Carlo
• 蒙特卡罗方法又称统计模拟方法，是利用随机数进行数值模拟的方法 • 可以将蒙特卡罗法看作利用随机试验的方法计算积分，所计算的积分
应用范围的不断扩大
计算机技术的快速发展
针对不同应用 出现了很多基于蒙特卡罗方法的应用软件
省去了大量重复性繁琐的编程操作，提高了研究效率 应用软件的发展促进了蒙卡方法的进一步完善和深入
Monte Carlo应用软件——MORSE
➢ 全名Multigroup Oak Ridge Stochastic Experiment，是美国橡树岭国家实 验室从60年代开始研制的大型、多功能、多群中子-光子耦合输运程序
从一个物理系统的数学模型出发,通
数值 解法
过求解一系列的微分方程来的导出系
统的未知状态
Monte Carlo
实际 测试
模型/ 原理
模拟
理论分析
测试结果
模拟结果
理论结果
对比 一致
不一致
理解
模型错误
对比 一致
不一致
原理正确
原理错误
Monte Carlo模拟
放射源 剂量范围小
测试条件 相对单一
放射源 种类单一
Monte Carlo方法及应用软件 在实验核物理中的应用
内容
• Monte Carlo简介 • 核技术特点及Monte Carlo方法的应用 • Monte Carlo应用软件 • Geant4具体应用实例
Buffon投针问题
• 将一根长度为l的针，随机的投放在两条间距为d(d＞l)的
两条平行线中间，计算针与两条平行线相交的概率。
通过解析法，容易得到
针与平行线相交的概率
p
0
l sin 0
1 d
dAd
2l
d
由此可以得到圆周率
= 2l
pd
Buffon投针问题
Buffon投针问题
Buffon投针问题
Buffon投针问题
Buffon投针问题
试验者
Wolf Smith Fox Lazzarini
时间 针 投针次
(年) 长
Monte Carlo模拟
➢ 蒙卡模拟粒子输运问题的主要步骤
系统形状
粒子空间 位置
粒子能量
确定粒子 状态参数 及状态序 列
粒子寿命
粒子权重等
粒子运动 方法
Monte Carlo模拟
➢ 蒙卡模拟粒子输运问题的主要步骤
直接抽样法
挑选抽样 法
确定粒子 输运过程 中状态分 布的抽样 方法
……
复合抽样 法