求展开式系数的六种常见类型

求展开式系数的六种常见类型

求展开式中的系数是高考常考题型之一，本文以高考题为例，对二项式定理 试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。

一、(a b)n (n N )型

例1. (x-、、2y)10的展开式中x 6y 4项的系数是( )

(A ) 840

( B )— 840 (C ) 210

(D )— 210

解析：在通项公式T 「i 二C ；0(r2y)r X 10」中令r =4，即得(Xi2y)10的展 开式中

x 6y 4项的系数为C1O G ，2)4=840,故选A 。

例2. (x- 1 )8展开式中x 5的系数为

Vx

则r = 2，故所求x 5的系数为(-1)2C ； =28

评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数， 由待定

系数法确定r 的值。

二、(a b)n —(c d)m (n,m N )型

例3. (x^-)4 (x ^)8的展开式中整理后的常数项等于 ___________________ .

x

x

解析；(X 3

-Z)4 的通项公式为

T" =

C 「2

)r

(* 丁 1 C 4-( 2r )x 2 4令 x

x

12 -4r =0 ,则r = 3,这时得(x^-)4的展开式中的常数项为-C ；23 = — 32,

x

(x ―)8的通项公式为T k 厂c k (l)k x 8

» =c8x 8'k ,令8-2k=0，则k = 4,这时得

x x

(x ―)8的展开式中的常数项为C ；=70,故(X 3 -2)4 • (x •丄)8的展开式中常数项 x x x

等于- 32 70 =38。

例4.在(1 - x)5 - (1 - x)6的展开式中，含x 3的项的系数是(

)

O

解析：通项公式T r 1

3

，由题意得y 5,

(A) -5 (B) 5 (C) -10 (D) 10

解析：(1 —X)5中X3的系数-C；二-10 , - (1 -X)6中x3的系数为

-Cl (-1)3=20,故(1 _x)5一(1 —X)6的展开式中X3的系数为10,故选D

评注：求型如(a • b)" _(c d)m(n,m • N )的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。

三、(a b)n(c d)m(n,m N )型

例5. (x2 J)(x-2)7的展开式中x3项的系数是 _____________ 。

解析：(x-2)7的展开式中x、x3的系数分别为C；(-2)1和C；(-2)4，故

(x2 +1)(x-2)7 的展开式中x3项的系数为c7(-2)l+c；(-2)4=1008。

例6.x-1 8

X+1 )的展开式中X5的系数是( )

(A )-14 (B ) 14 (C ) - 28

| 28

略解：(X 1) 8的展开式中X4、x5的系数分别为C；和C：,

故

f(x_1)( x+1)展

开式中x5的系数为dC； =14,故选B

评注：求型如(a b)n(c d)m(n,m・N “)的展开式中某一项的系数，可分别

展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。

四、(a b c)n(n N )型

例7. (x,2)5的展开式中整理后的常数项为

2 x

—* 5 k 解法一：12)5= (「丄)，2 ，通项公式T k厂康22(?

2 x ]2x 」 2 x G」)5'的通项公式为T, =C5l x」x5_2"i)二。:/⑵強心,令

2 x 5-2r-k = 0，贝U k 2r =5，可得k =1,r = 2 或k=3,r =1 或k=5, r = 0 。

- 15

当k =1,r =2时，得展开式中项为c5c：222絃二叱 ;

2

当k=3,r=1时,，得展开式中项为C.3C22 2 2^ =20 2 ;

当k = 5,r =0时，得展开式中项为C54.2 =4辽

综上，(| 1 2)5的展开式中整理后的常数项为呼述很^亠字

X 1 2)5=(X22 2 • 2)5= (x 、..2)2L(x .2)10

解法，对于二

2 X2X(2X)5(2X)5

项式(x •、、2)10中，T「i二C i；x10*2)r，要得到常数项需10-r =5，即r =5。所

以，常数项为

^63：。

解法三：• 1•2)5是5个三项式(--,2)相乘。常数项的产生有三

2 X 2 X

种情况：在5个相乘的三项式(X— x2)中，从其中一个取X，从另外4个三

2 X 2

项式中选一个取1，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得

X

c；1C4C3(J2)3=20“ ；从其中两个取-，从另外3个三项式中选两个取-，

52 4 3 2 X 从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得c； ^1)2J . 2 ；从5个相

乘的三项式(--.2)中取常数项相乘，可得c| C35=4'、2。

2 X

综上，• 1「2)5的展开式中整理后的常数项为

2 X

20、、2空42=3。

2 2

评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。

五、(a b)m (a b)m1 IH (a b)n(m, n N ,1 乞m ：： n)型

例8•在(1 X) (1 X)^- (1 X)6的展开式中，x2项的系数是 __________ (用数字作答)

解析：由题意得X2项的系数为C；=35。

例9.在(1 -X)5+ (1 -X)6+ (1 -X)7+ (1 - X)8的展开式中，含X3的项的系数是()