差分法

第三章 有限差分法

函数()f x ，x 为定义在区间[]a b ,上的连续变 量。将区间[]a b ,等分成n 份，令()h b a n =-称为 步长，x 在这些离散点处的取值为

x a ih i =+ ()i n =01,,,

称为节点。函数()f x 在这些节点处的差值

()()()()()()

f x h f x f x f x h f x h f x h i i i i i i +---+--⎧⎨⎪

⎩⎪

(5-1)

分别称为一阶向前、向后和中心差分，可以用它 们作为函数()f x 在x i 处的微分近似值。这些差分 与相应x 区间的比值

()()[]

()()

[

]

()()[]

1

1

1

2h f x h f x h f x f x h h f x h f x h i i i i i i +---+--⎧⎨⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪ (5-2) 分别称为一阶向前、向后和中心差商，可以用它 们作为函数()f x 在x i 处的导数近似值。完全类似

地可以定义高阶差商，例如常用的二阶中心差商

()()()[]

1

22h

f x h f x f x h i i i +-+- (5-3)

可以作为函数()f x 在x i 处的二阶导数近似值。

§3.1 常微分方程初值问题的差分解法

考虑电学中的一个问题：如图5-1。研究 电容器上的电荷随时间的变化规律。

图5-1 RC 放电回路

这个问题对应的微分方程及其定解条件为：

d d Q t

Q RC Q

Q t =-=⎧⎨⎪

⎩⎪=00

(5-4) 这是一阶微分方程的初值问题，它的解析解为 Q Q e t RC =-0 (5-5)

一、欧拉(Euler )折线法

求解下列普遍形式的一阶微分方程的初值 问题：

()[]()'=∈=⎧⎨⎪⎩⎪y f x y x a b y a y ,,0

(5-6) 首先，将区间[]a b ,等分n 份，取值

a x x x

b n =<<<=01 ，步长h x x i i =-+1。 然后，用一阶向前差商近似一阶导数，即

()()

()()[]

y x y x h

y x f x y x i i i i i +-≈'=1, (5-7) 简记()y x y i i ≈，则式(5-7)可以写成差分格式：

()y y h f x y i i i i +=+⋅1, ()i n =-011,,,

(5-8)

此即向前欧拉差分格式。这是一个递推计算格式， 从区间左端点即式(5-6)中的初始条件出发，按式 (5-8)依次可以算到区间右端点，得到的 y y y n 12,,, 就是原方程解()y x 的近似值。 应用式(5-8)计算RC 放电方程(5-4)，按SI 单 位制，取Q 010=，RC =8，时间步长h =1，计 算结果如下：

从表5-1可见，时间较小时，计算值与解析 值比较一致，而随着时间的增加，两者之差有增 加的趋势，其原因可以从向前欧拉差分格式(5-8) 的几何意义得到解释。

图5-2 向前欧拉差分格式的几何意义

如图5-2，一开始从y 0求y 1时，公式为 ()y y h f x y 1000=+⋅,

也可以将其写为

()()y y f x y x x 100010-=-,

这是过点()P x y 000,、斜率为()f x y 00,的直线方 程，由y 0求y 1的过程相当于从点()P x y 000,沿该 直线求点()P x y 111,的过程，直线上的y 1与曲线上 的()y x 1一般是不相等的，这就是由于采用直线近 似曲线产生的计算误差，并且由此往后的每一步 计算都是如此，欧拉法实际上是用一条折线近似 原来的曲线，所以又称为欧拉折线法。

关于欧拉法的局部截断误差，可以利用级数 展开的方法进行讨论，在x i 点处作泰勒级数展开：

()()()()y x y x h y x h y i i i +=+'+''12

2

ξ []ξ∈a b , (5-9)

与欧拉差分格式(5-8)比较可知，局部截断误差为

()()()

22

112

h O y h y x y R i i =''=-=++ξ (5-10) 记号()

O h 2表示局部截断误差是h 的二次方数量

级，此时称该计算具有一阶精度。一般情况下， 如果局部截断误差为()

O h m +1，则称有m 阶精度。

如果采用一阶向后差商近似一阶导数，即

()()

()()[]

y x y x h

y x f x y x i i i i i -≈'=-1, (5-11) 并将所有角标加1，可以得到向后欧拉差分格式：

()y y h f x y i i i i +++=+⋅111, ()i n =-011,,, (5-12)

计算时，要从式(5-12)中解出y i +1。如果称向前 欧拉差分格式(5-8)为显式格式的话，那么向后 欧拉差分格式(5-12)就是隐式格式。

向后欧拉差分格式(5-12)的局部截断误差也 是()

O h 2。

我们还可以采用一阶中心差商近似一阶导 数，即

()()

()()[]

y x y x h

y x f x y x i i i i i +--≈'=112, (5-13) 可以得到中心欧拉差分格式：

()y y h f x y i i i i +-=+⋅112, ()i n =-011,,,

(5-14)

如果我们将式(5-8)和式(5-12)称为单步格式的话， 那么式(5-14)就是两步格式。

中心欧拉差分格式的局部截断误差为()

O h 3，

比前两者精度高一阶。

二、Lax 等价定理

关于微分方程的适定性，差分方程的相容性、 收敛性和稳定性。如图5-3所示。

图5-3 微分方程的适定性与差分方程的相容性、

收敛性和稳定性之间的关联

微分方程的适定性：

定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称 为定解问题的适定性。满足存在性、唯一性和稳 定性的定解问题称为适定的，否则就是不适定的。

相容性、收敛性和稳定性是差分方程的三个 最基本的性质。

相容性是指差分方程是否逼近原微分方程的