中心差分法.ppt
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波动方程差分方法初步(PPT文档)
U
n1 j
(1
2 2 )U
n j
2
U
n j 1
U
n j 1
U
n1 j
U
n 0
(n
)
n,
U
n J
(n )
n,
n0
U
0 j
fj,
U
1 j
fj
gj
2
2
f j1 2 f j f j1 ,
0 jJ
h
U
1 j
2(1
2
)U
0 j
2
U
0 j 1
U
0 j 1
U
1 j
初始速度的离散
一、简单处理
初始位移
U
0 j
f
(
jh)
f
0 j
初始速度 u(xj ,tk ) u(x j ,tk ) u(x j ,tk ) O( )
t
u(x j ,tk ) u(x j ,tk ) u(x j ,tk )
U
0 j 1
U
1 j
2U
1 j
2(1
2
)U
0 j
2
U
0 j 1
U
0 j 1
2 g j
2f j 2 g j 2 f j1 2 f j f j1
U
1 j
fj
gj
差分进化算法精品PPT课件
▪ 应用：在约束优化计算、聚类优化计算、非线 性优化控制、神经网络优化、滤波器设计、阵列 天线方向图综合及其它方面得到广泛应用。
引言
开始
根据实际问题进行编码 设置参数
生成初始种群
计算个体适应值
是否满足进 化终止条件
是
算法结束， 输出最优个体
一般演化算法的过程
问题
遗传操作， 生成新种群
否
1、遗传操作象 ✓ 种群中所有个体 ✓ 种群中部分个体 2、遗传操作顺序 ✓ 重叠 ✓ 非重叠 3、新种群重组方式
DE的改进方法
为了提高DE的寻优能力、加快收敛速度、 克服启发式算法常见的早熟收敛现象，许多学 者对DE算法进行改进:
▪ 控制参数的改进。 ▪ 差分策略的改进。 ▪ 选择策略的改进。 ▪ 种群重构 ▪ 混合算法。
DE的改进方法---多种扩展模式
DE算法的多种变形形式常用符号DE /x/y/ z 以 示区分,其中:
开开开开开
基本原理
求解非线性函数f (x 1, x 2, ⋯, x n)的最小值问题, x i满足：
xi t xi,1 t , xi,2 t , , xi,n t
i 1, 2, , M ; t 1, 2, tmax.
令xi 是t 第t代的第i个染色体, 则
xiLj xij xiUj j 1, 2, n
行变异操作;
▪ ：一般在[ 0, 2 ]之间选择, 通常取0. 5;
▪ CR：一般在[ 0, 1 ]之间选择, 比较好的选择应在0. 3 左右,
CR 大些收敛速度会加快, 但易发生早熟现象。
差异演化算法的优缺点
和其它进化算法相比, 差异演化具有以下优点:
▪ 差异演化在求解非凸、多峰、非线性函数优化问题表 现极强的稳健性。
引言
开始
根据实际问题进行编码 设置参数
生成初始种群
计算个体适应值
是否满足进 化终止条件
是
算法结束， 输出最优个体
一般演化算法的过程
问题
遗传操作， 生成新种群
否
1、遗传操作象 ✓ 种群中所有个体 ✓ 种群中部分个体 2、遗传操作顺序 ✓ 重叠 ✓ 非重叠 3、新种群重组方式
DE的改进方法
为了提高DE的寻优能力、加快收敛速度、 克服启发式算法常见的早熟收敛现象，许多学 者对DE算法进行改进:
▪ 控制参数的改进。 ▪ 差分策略的改进。 ▪ 选择策略的改进。 ▪ 种群重构 ▪ 混合算法。
DE的改进方法---多种扩展模式
DE算法的多种变形形式常用符号DE /x/y/ z 以 示区分,其中:
开开开开开
基本原理
求解非线性函数f (x 1, x 2, ⋯, x n)的最小值问题, x i满足：
xi t xi,1 t , xi,2 t , , xi,n t
i 1, 2, , M ; t 1, 2, tmax.
令xi 是t 第t代的第i个染色体, 则
xiLj xij xiUj j 1, 2, n
行变异操作;
▪ ：一般在[ 0, 2 ]之间选择, 通常取0. 5;
▪ CR：一般在[ 0, 1 ]之间选择, 比较好的选择应在0. 3 左右,
CR 大些收敛速度会加快, 但易发生早熟现象。
差异演化算法的优缺点
和其它进化算法相比, 差异演化具有以下优点:
▪ 差异演化在求解非凸、多峰、非线性函数优化问题表 现极强的稳健性。
CFD2013-第4讲-差分方法2
色散误差： 数值解传播的速度与精确解不一致
快格式(FST) ： dki / d 1 慢格式(SLW): dki / d 1 混合格式(MXD):
特点： 波数越高，误差越严重
0： 精确解； 1： 2阶迎风 ； 2： 5阶迎风偏心
3： 3阶迎风紧致 ；4： 5阶迎风紧致
14
【数值实验】 波的传播问题
精度特性 分辨率特性
3
概念澄清2： 有效网格
1
0.5
目的： 计算差分
u x
，x [0, 2 ]
u
0
-0.5
-1
Case 1 u sin x , x 2
0
10
1
Case 2 u sin 2x , x 2
0.5
20
u
0
网格点数增加了一倍， -0.5
但问题也复杂了一倍
-1 0
精度： 反映 x 0 时的情况
分辨率：网格点数很少（例如波里面只有6个点）时的性能 对于多尺度问题，分辨率更重要。 牺牲精度，提高分辨率
8
如何计算修正波数？
方法1. 理论计算 根据差分具体表达式及定义计算
定义： u(x j ) eikxj
~
xu j
k eikx j x
例1：
xu j
vˆk
1 N
N
v eikx j j
j 1
根据修正波数的定义， 有 k~ vˆk x
仅提取波数为k 的波
Step 5) 改变k的值，重复2-5， 得到 k~ 对于 kx 的依赖关系。画图
非线性情况会产生高次谐波，造成 step 4 中隐含的假设无法成立 将Fourier分析手段拓展到非线性系统 需要研究的课题
偏微分方程数值解_图文_图文
估计误差
这种误差称为“局部截断误差”，如图。
局部截断误差是以点 的精确解 而产生的误差。
为出发值，用数值方法推进到下一个点
2.整体截断误差—收敛性
整体截断误差是以点 的初始值 为出发值，用数值方法推进i+1步到点
，所得的近似值 与精确值
的偏差：
称为整体截断误差。
特例，若不计初始误差，即 则
即 3.舍入误差—稳定性
五、线性多步（Linear Multistep Method）法
1. 预备知识：插值多项式
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况， 估算出函数在其他点处的近似值。
从几何上理解：对一维而言，已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式 曲线通过这些点。插值多项式一般常见的是拉格朗日插值多项式。
把
代入 中，有
经比较得到
取 为自由参数： 从而得到不同的但都是二阶的R-K方法，对应的有中点法、Heun（亨）法 以及改进的Euler法。
基于相同的过程，通过比较五次Taylor多项式，得到更加复杂的结果，给出了包含 13个未知数的11个方程。得到多组系数，其中常用的是以下四阶R-K法：
改进的Euler法、R-K法以及解析解的比较：
是待定的系数。
Euler法就是
的R-K法。
其系数的确定如下：将 展开成 的幂级数，并与微分方程的精确解
在点 的Taylor展开式相比较，使两者的前
项相同，这样确定的R-K法，
其局部截断误差为
，根据所得关于待定系数的方程组，求出它们的值后
代入公式，就成为一个 阶R-K方法。
例题 以二阶R-K法为例说明上述过程
2. Curtis F.Gerald and Patrick O., Applied Numerical Analysis, Person Education, Inc., 2004.
【计算流体力学】第5讲-差分方法3
通量差分分Байду номын сангаас （FDS）： 耗散低、分辨率高
Step 1: 运用差分格式，计算
U ,U L j 1/ 2
R j 1/ 2
Step 2: 运用Riemann解， 计算
F j 1/ 2
F
(U
L j 1/
2
,U
) R
j 1/ 2
Step 3: F Fj1/2 Fj1/2
x
x
U ,U L j 1/ 2
R j 1/ 2
f
j 1/
2
x
x
f f + f =+
x x x
13
3. 特征重构方法
常系数方程组：
U t
A U x
0
U t
S1ΛS U x
0
V t
Λ V x
0
vk t
k
vk x
0
变系数情况—— 局部冻结系数
完全 解耦
U f(U) 0 U A U 0
t x
t x
在基架点上系数 A j 不变
U t
u j u j1 u j1 u j
二阶精度区
TVD区
二阶精度TVD区（二 者交集）
1
通量分裂技术： 模型方程 NS/ Euler 方程
Step 1 针对模型方程构造差分格式
u a u 0 t x
u uˆ j1/2 uˆ j1/2
x
x
a0
uˆ j1/2 =......
格式1
a0
uˆ j1/2 =......
6
➢ Steger-Warming 具体步骤 （以一维为例）
u a u 0
t x
第1章 差分法 PPT模板
uh u
0.
稳定性概念
将（2）写成 Lhu(xi ) fi Ri (u)
以此与（1）相减，得
Lh (u(xi ) ui ) Ri (u)
引进误差 ei u(xi ) ui
则误差函数eh (xi ) ei满足下列差分方程
eL0h
ei
Ri (u) eN 0
i 1, 2,L , N 1
O(h)
u(xj
, tn
)
u(x h
j 1 ,
tn
)
u x
n j
O(h)
u(x j1, tn ) u(x j1, tn ) 2h
u x
n
j
O(h2 )
u(x j1, tn )
2u(x j , tn ) h2
u(x j1, tn )
2u
x
2
n j
O(h2 )
对空间的 二阶导
综上，有
（4）的有限差分方
u n1 j
u
n j
a
un j 1
u
n j
0
程，或简称差分方程
j 0, 1, 2,L , n 0,1, 2,L
h
其中unj 为u(xj ,tn )的近似值。
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
0
h
u n1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
0
h
u
n j
u
n j
1
a
u
n j
1
,
tk
1
)
y 4
h2
3第二章-有限差分方法基础
2.1.1 基本方程和定解问题
u t
2u x2
( 0)
求解域： (x, t) [0,1][0, ]
(2.1.1)
初始条件： u(x, 0) f (x)
边界条件： u(0, t) a(t), u(1, t) b(t)
(2.1.2)
方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。
根据数学分析中的知识，我们知道
2u (x,t) lim u(x x,t) 2u(x,t) u(x x,t)
x2
x0
x2
所以，二阶导数可以近似为
2u
x
2
n
k
un k 1
2ukn x2
ukn
un k 1
2ukn
un k 1
称为二阶中心差分。
容易证明：
un k 1
2ukn
un k 1
t
)
ut
(
x,
t
)
lim
t 0
u(
x,
t
t
)u 2t
(
x,
t
t
)
其中，lim 后面的项称为差商(difference quotient)。 t 0
当t足够小时，可以用差商来近似导数。
即：
u(x,t t) u(x,t)
ut (x,t)
t
u(x,t) u(x,t t)
ut (x,t)
t
u(x,t t) u(x,t t)
The Elements of Computational Fluid Dynamics
第二章 有限差分方法基础
§2.1 有限差分方法概述 §2.2 导数的数值逼近方法 §2.3 差分格式的性质 §2.4 发展方程的稳定性分析
微分方程和差分方程方法ppt课件
但增加是有一定限度的，当产品在市场上趋于 饱和时，销售速度将趋于极限值，这时无论采 取那种形式作广告(不包括其它的促销手段)， 都不能使销售速度增加。
ppt精选版
22
设 M 为销售饱和水平，即市场对产品的最 大容纳能力，它对应着销售速度的上限。当 销售速度达到饱和水平之后，广告已不起作 用，销售速度随时间增加而自然衰减，同样 为衰减因子， 0 ，且为常数。
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16
x(t t) x(t) kx(t)t
两边除以t ，令t 0 ，有
lim x(t t) x(t) kx (t)
t 0
t
即 x(t) 满足微分方程
d x kx (t) dt
其解为
(3.7)
x(t) C ekt
若已知t 0 时，x(0) x0 ，则满足初值条件的解为
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12
r(x)
r0
(1
x xm
)
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
d x d t
r0
x (1
x xm
)
x(0) x0
(3.5)
称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离
变量法，解得
x(t)
xm
1 ( xm 1) er0 t
x0
(3.6)
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8
这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体”， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。
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22
设 M 为销售饱和水平，即市场对产品的最 大容纳能力，它对应着销售速度的上限。当 销售速度达到饱和水平之后，广告已不起作 用，销售速度随时间增加而自然衰减，同样 为衰减因子， 0 ，且为常数。
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16
x(t t) x(t) kx(t)t
两边除以t ，令t 0 ，有
lim x(t t) x(t) kx (t)
t 0
t
即 x(t) 满足微分方程
d x kx (t) dt
其解为
(3.7)
x(t) C ekt
若已知t 0 时，x(0) x0 ，则满足初值条件的解为
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12
r(x)
r0
(1
x xm
)
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
d x d t
r0
x (1
x xm
)
x(0) x0
(3.5)
称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离
变量法，解得
x(t)
xm
1 ( xm 1) er0 t
x0
(3.6)
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8
这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体”， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。
【计算流体力学】第4讲-差分方法2
暗示
Re x 是某一特 征量
5
对流-扩散方程的特性：
u t
u x
1 Re
2u x2
（线性）差分方程：
u n1 j
ak
u
n j
k
(1)
k
j-2 j-1 j j+1 j+2
n+1
n
u n1 j
a un 2 j2
a un 1 j 1
......
a2
u
n j
2
某点的值是上一时刻周围几个点上值的线性组合
ui ui1 ui1 ui 则j点在间断右侧
j
（a>0 时， 右侧为“前”）
原理： 越靠近间断，振荡越剧烈
2） 根据GVC的思想构造格式
u a u 0 a 0 t x
xu j
(3u j
4u j1
u j2 ) /(2x)
(u j1 u j1) /(2x) when
when u j u j1 u j1 u j u j u j1 u j1 u j
B: 高阶人工粘性 人工粘性
系数
人工粘 性项
x2
x
N
U x
光滑区为二阶小量
分离流—— 对粘性敏感
Von Neumann MacCormack
N
u x
N
| u | c p
2 p x2
大梯度区，加大 人工粘性
转捩——对粘性敏感 8
Jameson 人工粘性法
二阶人工粘性
四阶人工粘性
u t
f (u) x
人工粘性法
TVD, 保单调限 制器 群速度控制格式
j=1
j=N n时刻： 单调函数
有限差分法基本原理课件
差分和逼近误差
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程 度。
由函数的 Taylor 级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量 差分的量级，称为用差商代替导数的精度。
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
有限差分法基本原理
有限差分法基本原理
上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微 分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 级数表示，这样都可 以得到一个与差分方程对应有的限差新分法的基本微原理分方程，该微分方程称为差
T t
x2T2 ET
ET 2tt22Tin 1x22x44Tin O(t2,x2)
上式中的E T 就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误
有限差分法基本原理
离散网格点
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
差分概念：
设有x的解析函数 y f(x) ，函数y 对x 的导
数为：
d yli m ylim f(x x )f(x )
dx x 0 x x 0
x
dy dy 、dx 分别是函数及自变量的微分，dx 是函数 对自变量的导数，又称微商。上式中的y 、x 分别称 为函数及其自变量的差分，y 为函数对自变量的差商。
uin1 uin uin1 uin 0
t
x
ui0 u(xi)
uin1 uin axt (uin1uin)
ui0 u(xi)
有限差分法基本原理
几种差分格式介绍
FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）
uin1 uin axt (uin uin1)
ui0 u(xi)
03 材料科学研究中常用的数值分析方法
解决这类问题通常有两种途径：（1）对方 程和边界条件进行简化，从而得到问题在简 化条件下的解答；（2）采用数值解法。 第一种方法只在少数情况下有效，因为过多 的简化会引起较大的误差，甚至得到错误的 结论。 目前，常用的数值解法大致可以分为两类： 有限差分法和有限元法。
数值模拟通常由前处理、数值计算、后处理三 部分组成 前处理 实体造型、物性赋值、定义单元类型、网格 划分 数值计算 施加载荷、设定时间步、确定计算控制条件、 求解计算 后处理 显示和分析计算结果、分析计算误差
1.差分方程的建立
合理选择网格布局及步长 将离散后各相邻离散点之间的距离，或者离散 化单元的长度称为步长。
y
(i,j+1)
dy
(i-1,j) (i,j)
(i+1,j)
(i,j-1)
dx x
将微分方程转化为差分方程
向前差分
T T (i 1, j ) T (i, j ) x x
2
1 1 T (i, j ) T (i, j ) T (i, j 1) 2T (i, j ) T (i, j 1) T 2 2 2 y y y y 2
2
差分格式的物理意义
y
dT dx T(x+dx)-T(x) dx
2u 2u 2 0,0 x 0.5,0 y 0.5 2 x y u (0, y ) u ( x,0) 0 u ( x,0.5) 200x u (0.5, y ) 200y
3.3 有限单元法
有限元法（FEMA）也称为有限单元法或有限元素 法，基本思想是将求解区域离散为一组有限个且按 一定方式相互连接在一起的单元的组合体。它是随 着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计 算方法。 把物理结构分割成不同大小、不同类型的区域，这 些区域称为单元。 根据不同分析科学，推导出每一个单元的作用力方 程，组集成整个结构的系统方程，最后求解该系统 方程，就是有限元法。
04有限差分法.ppt
uin n 1 n 1 a n n n ui ui ui 1 ui 1 2 ui 1 2uin uin 1 2h h uin n a n n 1 n n ui ui ui 1 ui 1 2 ui 1 2uin uin 1 或 2h h
n Rj
O t x
2
无条件稳定
2.一维混合问题
u 2u 2 0 t x u x ,0 F x u a, t t u b, t t
0 x b, t 0, 0
对于[a，b]区间的内点，可以构造以上各种格式。 如四点显式
例:驱动腔内的流体流动。
3.网格划分
x h y l xi ih
-----称为步长。
u x, y u i , j
xi , y j i, j
y j jl
4.差分格式 将u在(i,j)附近展成Taylor级数
ui 1, j ui , j ui 1, j ui , j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j
-----中心差分式
O h 表示具有二阶精度。
2
两Taylor展式相加
2u 1 ui 1, j 2ui , j ui 1, j O h 2 x 2 h2 i, j
n Rj
O t x
2
无条件稳定
2.一维混合问题
u 2u 2 0 t x u x ,0 F x u a, t t u b, t t
0 x b, t 0, 0
对于[a，b]区间的内点，可以构造以上各种格式。 如四点显式
例:驱动腔内的流体流动。
3.网格划分
x h y l xi ih
-----称为步长。
u x, y u i , j
xi , y j i, j
y j jl
4.差分格式 将u在(i,j)附近展成Taylor级数
ui 1, j ui , j ui 1, j ui , j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j
-----中心差分式
O h 表示具有二阶精度。
2
两Taylor展式相加
2u 1 ui 1, j 2ui , j ui 1, j O h 2 x 2 h2 i, j
计算流体力学 第2讲差分方法1
要求： (1) 坐标变换必须足够光滑， 否则会降低精度
(2) 网格间距变化要缓慢， 否则会带来较大误差
网格非光滑、间距剧烈变化不会降低精度； 随机网格 都可保证精度
Copyright by Li Mingjun
2019/1328/24
方法2： 在非等距网格上直接构造差分格式
原理： 直接进行Taylor展开，构造格式格式系数是坐标（或网格间距）的函数
数值实验：
采用实际问题考 核方法的正确性
数值研究：
采用数值计算推导格式、考察精 度/稳定性/分辨率……
Copyright by Li Mingjun
2019/124/24
(2) 研究CFD的手段
研究CFD的理论手段
例：Fourier分析
初始值
差分系统
(解差分 方程)
数值解（特 定时刻离散 的函数值）
后
前
… j-2 j-1 j j+1 …
Copyright by Li Xinliang
2019/121/23 4
c. 差分方程
经差分离散后的方程，称为差分方程
微分方程
差分方程
截断误差：
如何确定精度？ 1） 理论方法， 给出误差表达式 2）数值方法， 给出误差对 的数值依赖关系
Copyright by Li Xinliang
2019/12/24
(3) 时-空耦合离散
n+1
在某一点进行
Taylor展开，构造格式
n
n,j
j-1 j j+1
(i) 蛙跳格式
(ii) Lax-Wandrof格式
2019/12/24
(iii) 半隐错点格式 (iv) MacCormack格式
中科院计算流体力学最新讲义CFD2020第5讲差分方法3
•双曲型守恒方程
•特点： 沿特征线
， u不变
•特征线未相交— —总变差不变
•特征线相交—— 总变差减小
•结论： 单个双曲型方程，总变差不增 •（Total Variation Diminishing： TVD）
•j= 1
•j=N 单调函数
•振荡函数
by Li Xinliang
•2 概念： 单调格式、保单调格式与TVD格式 •j=
•二阶迎风
•二阶中心
by Li Xinliang
•新格式 ：
•根据Harten定理，可知 •时，可满足TVD性质
•(2) 精度条件
•显然
格式为2 阶中心
•可验证： 格式为2阶迎风
•二者组合仍为二阶
•二阶精度区
•TVD区
•二阶精度TVD区（ 二者交集）
by Li Xinliang
•限制器（limiter)
•2阶中心 的修正量
•2阶迎风 的修正量
•精度高，但有些情况下预 测结果“不靠谱”
•作为“标杆”检 验高阶修正量是 否可用
•趋势相反时，不可用； •相差超过2倍时，不可用
by Li Xinliang
•2 以 L-W格式为基础改造的格式
•历史上，TVD格式是在Roe、L-W、B-M （或其组合）基础上改进 •80年代初、这些格式是主流
•很难计算对粘性敏感的问题
解
•改进措施：
•
A: 局部施加人工粘性
•
B: 高阶人工粘性
•分离流—— 对粘性敏感
•Von Neumann
•MacCormack
•转捩——对粘性敏
by Li Xinliang
•4) 数值振荡的定量描述—— 总变差
•特点： 沿特征线
， u不变
•特征线未相交— —总变差不变
•特征线相交—— 总变差减小
•结论： 单个双曲型方程，总变差不增 •（Total Variation Diminishing： TVD）
•j= 1
•j=N 单调函数
•振荡函数
by Li Xinliang
•2 概念： 单调格式、保单调格式与TVD格式 •j=
•二阶迎风
•二阶中心
by Li Xinliang
•新格式 ：
•根据Harten定理，可知 •时，可满足TVD性质
•(2) 精度条件
•显然
格式为2 阶中心
•可验证： 格式为2阶迎风
•二者组合仍为二阶
•二阶精度区
•TVD区
•二阶精度TVD区（ 二者交集）
by Li Xinliang
•限制器（limiter)
•2阶中心 的修正量
•2阶迎风 的修正量
•精度高，但有些情况下预 测结果“不靠谱”
•作为“标杆”检 验高阶修正量是 否可用
•趋势相反时，不可用； •相差超过2倍时，不可用
by Li Xinliang
•2 以 L-W格式为基础改造的格式
•历史上，TVD格式是在Roe、L-W、B-M （或其组合）基础上改进 •80年代初、这些格式是主流
•很难计算对粘性敏感的问题
解
•改进措施：
•
A: 局部施加人工粘性
•
B: 高阶人工粘性
•分离流—— 对粘性敏感
•Von Neumann
•MacCormack
•转捩——对粘性敏
by Li Xinliang
•4) 数值振荡的定量描述—— 总变差