BP神经网络详细讲解

PS：这篇介绍神经网络是很详细的，有一步一步的推导公式！神经网络是DL（深度学习）的基础。

如果对神经网络已经有所了解，可以直接跳到“三、BP算法的执行步骤“ 部分，算法框架清晰明了。

另外，如果对NN 很感兴趣，也可以参阅最后两篇参考博文，也很不错！

学习是神经网络一种最重要也最令人注目的特点。在神经网络的发展进程中，学习算法的研究有着十分重要的地位。目前，人们所提出的神经网络模型都是和学习算法相应的。所以，有时人们并不去祈求对模型和算法进行严格的定义或区分。有的模型可以有多种算法．而有的算法可能可用于多种模型。不过，有时人们也称算法为模型。

自从40年代Hebb提出的学习规则以来，人们相继提出了各种各样的学习算法。其中以在1986年Rumelhart等提出的误差反向传播法，即BP(error BackPropagation)法影响最为广泛。直到今天，BP算法仍然是自动控制上最重要、应用最多的有效算法。

1．2．1 神经网络的学习机理和机构

在神经网络中，对外部环境提供的模式样本进行学习训练，并能存储这种模式，则称为感知器；对外部环境有适应能力，能自动提取外部环境变化特征，则称为认知器。

神经网络在学习中，一般分为有教师和无教师学习两种。感知器采用有教师信号进行学习，而认知器则采用无教师信号学习的。在主要神经网络如BP网络，Hopfield网络，ART网络和Kohonen 网络中；BP网络和Hopfield网络是需要教师信号才能进行学习的；而ART网络和Kohonen网络则无需教师信号就可以学习。所谓教师信号，就是在神经网络学习中由外部提供的模式样本信号。

一、感知器的学习结构

感知器的学习是神经网络最典型的学习。

目前，在控制上应用的是多层前馈网络，这是一种感知器模型，学习算法是BP法，故是有教师学习算法。

一个有教师的学习系统可以用图1—7表示。这种学习系统分成三个部分：输入部，训练部和输出部。

图1-7 神经网络学习系统框图

输入部接收外来的输入样本X ，由训练部进行网络的权系数W 调整，然后由输出部输出结果。在这个过程中，期望的输出信号可以作为教师信号输入，由该教师信号与实际输出进行比较，产生的误差去控制修改权系数W 。 学习机构可用图1—8所示的结构表示。

在图中，X l ，X 2 ，…，X n ，是输入样本信号，W 1 ，W 2 ，…，W n 是权系数。输入样本信号X i 可以取离散值“0”或“1”。输入样本信号通过权系数作用，在u 产生输出结果 ∑W i X i ，即有： u=∑W i X i =W 1 X 1 +W 2 X 2 +…+W n X n

再把期望输出信号Y(t)和u 进行比较，从而产生误差信号e 。即权值调整机构根据误差e 去对学习系统的权系数进行修改，修改方向应使误差e 变小，不断进行下去，使到误差e 为零，这时实际输出值u 和期望输出值Y(t)完全一样，则学习过程结束。

神经网络的学习一般需要多次重复训练，使误差值逐渐向零趋近，最后到达零。则这时才会使输出与期望一致。故而神经网络的学习是消耗一定时期的，有的学习过程要重复很多次，甚至达万次级。原因在于神经网络的权系数W 有很多分量W 1 ，W 2 ，----W n ；也即是一个多参数修改系统。系统的参数的调整就必定耗时耗量。目前，提高神经网络的学习速度，减少学习重复次数是十分重要的研究课题，也是实时控制中的关键问题。 二、感知器的学习算法

感知器是有单层计算单元的神经网络，由线性元件及阀值元件组成。感知器如图1-9所示。

图1-9 感知器结构

感知器的数学模型：

(1-12)

其中：f[.]是阶跃函数，并且有

(1-13)

θ是阀值。

感知器的最大作用就是可以对输入的样本分类，故它可作分类器，感知器对输入信号的分类如下：

(1-14)

即是，当感知器的输出为1时，输入样本称为A类；输出为-1时，输入样本称为B类。从上可知感知器的分类边界是：

(1-15)

在输入样本只有两个分量X1，X2时，则有分类边界条件：

(1-16)

即

W 1 X 1 +W 2 X 2 -θ=0 (1-17) 也可写成

(1-18)

这时的分类情况如固1—10所示。

感知器的学习算法目的在于找寻恰当的权系数w ＝(w1．w2，…，Wn)，使系统对一个特 定的样本x ＝(xt ，x2，…，xn)熊产生期望值d 。当x 分类为A 类时，期望值d ＝1；X 为B 类 时，d=-1。为了方便说明感知器学习算法，把阀值θ 并人权系数w 中，同时，样本x 也相应增加一 个分量x n+1 。故令：

W n+1 =-θ，X n+1 =1 (1-19) 则感知器的输出可表示为：

(1-20)

感知器学习算法步骤如下： 1．对权系数w 置初值

对权系数w ＝(W 1 ．W 2 ，…，W n ，W n+1 )的各个分量置一个较小的零随机值，但W n+1 ＝-θ 。 并记为W l (0)，W 2 (0)，…，W n (0)，同时有Wn+1(0)＝-θ 。这里W i (t)为t 时刻从第i 个 输入上的权系数，i ＝1，2，…，n 。W n+1 (t)为t 时刻时的阀值。

图1-10 感知器的分类例子

2．输入一样本X＝(X

1

，X

2

，…，X

n+1

)以及它的期望输出d。

期望输出值d在样本的类属不同时取值不同。如果x是A类，则取d＝1,如果x是B类，则取-1。

期望输出d也即是教师信号。

3．计算实际输出值Y

4．根据实际输出求误差e

e＝d—Y(t) (1-21)

5．用误差e去修改权系数

i=1,2,…,n,n+1(1-22)

其中，η称为权重变化率，0<η≤1

在式(1—22)中，η的取值不能太大．如果1取值太大则会影响w

i

(t)的稳定；的取值也不能太小，

太小则会使W

i

(t)的求取过程收敛速度太慢。

当实际输出和期望值d相同时有：

W

i

(t+1)=W

i

(t)

6．转到第2点，一直执行到一切样本均稳定为止。

从上面式(1—14)可知，感知器实质是一个分类器，它的这种分类是和二值逻辑相应的。因此，感知器可以用于实现逻辑函数。下面对感知器实现逻辑函数的情况作一些介绍。

例：用感知器实现逻辑函数X

1

VX

2

的真值：

X

1

0011

X

2

0101

X

1

V X

2

0111

以X1VX2＝1为A类，以X1VX2=0为B类，则有方程组

(1-23)