函数项级数

∞
用的比值法
⇒
原级数发散
1 当 x = 1 时, 取模后的级数 ∑ 2 收敛 ⇒ 原级数收敛 n =1 n
∴收敛域为x ≤ 1
1 (2) ∑ (cos x ) n n =1 3 − 4 n 1 n+1 解 (cos x ) 3 − 4( n + 1) lim = cos x , n→ ∞ 1 (cos x ) n 3 − 4n
cos x < 1 , 即 x ∈ R , x ≠ k π ( k = 0 , ± 1 , ⋯ ) 时，级数 绝对收敛； 绝对收敛； x = 2 k π ( k = 0 , ± 1, ⋯ )时 , 级数发散 ; cos x = 1, x = ( 2 k + 1 )π ( k = 0 , ± 1, ⋯ )时 , 级数收敛 .
有 S n ( x ) − S ( x ) < ε，
ε
根据定义， 根据定义，
所给级数在区间 [ 0,+∞ ] 上一致收敛于 S ( x ) ≡ 0.
例5
再研究级数 x + ( x 2 − x ) + ( x 3 − x 2 ) + ⋯ + ( x n − x n −1 ) + ⋯ 在区间 (0, 1] 内的一致收敛性 .
1 所以只要取 ε < , 不论 n 多么大， 多么大， 2
1 在 (0,1) 总存在点 x n , 使得 S n ( x n ) − S ( x n ) > . 2
因此级数在 (0, 1) 内不一致连续 .
虽然 S n ( x ) = x n 在 (0, 1) 内处处收敛于 S ( x ) ≡ 0， 说明: 说明:
1 S ( x ) = lim S n ( x ) = lim = 0, (0 ≤ x < +∞ ) n→∞ n→ ∞ x + n
1 1 Sn ( x) − S( x) = ≤ , (0 ≤ x < +∞ ) x+n n
对于任给 ε > 0, 取自然数 N ≥ ，
1
则当 n > N 时， 对于区间 [ 0,+∞ ] 上的一切 x ,
例3 讨论函数序列
f n ( x ) = x , x ∈ [0,1), n = 1,2,⋯ 收敛性。 收敛性。
n
y
y = fn ( x) = x n
(1,1)
n=1
ε
n=2 n=4
n = 10
o
n = 30
1
x
先讨论函数序列的一致收敛性： 先讨论函数序列的一致收敛性： 定义3(函数列的一致收敛性) 定义3(函数列的一致收敛性) 3(函数列的一致收敛性
∞
∴ 收敛域为
R \ { kπ 2
k = 0 ,± 1,⋯
}
二、函数项级数的一致收敛性
(1)有限个连续函数的和仍是连续函数; (1)有限个连续函数的和仍是连续函数; 有限个连续函数的和仍是连续函数 (2)有限个可导函数的和仍是可导函数， (2)有限个可导函数的和仍是可导函数， 有限个可导函数的和仍是可导函数 且和函数的导数等于导函数的和; 且和函数的导数等于导函数的和; (3)有限个可积函数的和仍是可积函数， (3)有限个可积函数的和仍是可积函数， 有限个可积函数的和仍是可积函数 且和函数的积分等于积分函数的和; 且和函数的积分等于积分函数的和; 问题 无限个函数的和 函数项级数） 函数的和（ 无限个函数的和（函数项级数）是否具有这些性 质呢？ 质呢？
lim Rn ( x) = 0( x ∈ D).
n→∞
例1
研究级数 u n ( x ) = x + ( x 2 − x ) + ( x 3 − x 2 ) + ⋯ + ( x n − x n −1 ) + ⋯ ∑
n =1 ∞
的收敛性， 的收敛性，并求和函数 。
定义1 定义
若 ∑ un ( x 0 ) 收敛 , 则称 x 0 为函数项级数 ∑ un ( x ) 的
y
y = f ( x) + ε
y = f ( x)
ε ε
o
y = f n ( x)
y = f ( x) − ε
D
x
将函数序列的一致收敛性应用到函数项级数 的部分和函数 S n ( x ), 即得函数项级数的 一致收敛性： 一致收敛性： 定义4(函数项级数的一致收敛性) 定义4(函数项级数的一致收敛性) 4(函数项级数的一致收敛性
但 S n ( x ) 在 (0, 1) 内各点处收敛于零的“ 快慢”程度 内各点处收敛于零的“ 快慢” 是不一致的 .
级数一致收敛 级数一致收敛
级数处处收敛 级数处处收敛
从下图可以看出: 从下图可以看出:
y
y = fn ( x) = x n
(1,1)
n=1
1 2
n=2 n=4
n = 10
o
n = 30
n =1 n =1 ∞ ∞
收敛点，收敛点的全体称为收敛域。 收敛点，收敛点的全体称为收敛域。类似地 收敛域 有发散点和发散域的定义。 有发散点和发散域的定义。
对于任一 x ∈ 收敛域 B , ∑ un ( x ) 收敛 , 因而有一个
n =1
∞
称为和函数， 确定的和 S ( x ) , 称为和函数，和函数的定义域就 是级数的收敛域 B .
若函数项级数 un的部分和函数列Sn }在D上一致 { ∑
n=1 ∞
S 收敛于函数 : D → R,即∀ε > 0, ∃N(ε ) ∈ N+ ,当 n > N(ε )时, ∀x ∈ D, 恒有| Sn ( x) − S( x) |< ε , 则称该 D S 级数在 上一致收敛于 .
y
y = S( x) + ε
n=1
∞
是∀ε > 0, ∃N(ε ) ∈ N+ , 使得 n, p ∈ N+ , ∀ 当n > N(ε )时, ∀x ∈ D, 恒有 | Sn+ p ( x) − Sn ( x) |=|
n+ p k=n+1
∑u ( x) |< ε
k
推论1 推论1
, 设级数 un在D ⊂ R上一致收敛则函数 ∑
n=1
{ x , x { 某个 0 ∈ D, 数列 f n ( x0 )}收敛 则称 0是 f n }的一个
定义1 定义1 { D , 设 f n }是定义在集合 ⊂ R上的一个函数列若对
收敛域, 若 , { { 收敛域, ∀x ∈ D, 数列 f n ( x)}都收敛 则称 f n }在D
{ 所定义的函数f : D → R叫做函数列 f n }的处处
1 解: 该级数在区间 (0，) 内处处收敛于和 S ( x ) ≡ 0,
但不一致收敛， 不一致收敛，
对于任意一个自然数 n, 取 x n =
1 n Sn ( xn ) = xn = , 2 但 S ( x n ) = 0,
1
n
，于是
2
1 从而 S n ( x n ) − S ( x n ) = . 2
再考察例 ： 再考察例1：
研究级数 u n ( x ) = x + ( x 2 − x ) + ( x 3 − x 2 ) + ⋯ + ( x n − x n −1 ) + ⋯ ∑
n =1 ∞
和函数连续性。 和函数连续性。
结论 函数项级数的每一项在[ ]上连续， 函数项级数的每一项在[a,b]上连续，并且级数 上收敛， 上连续． 在[a,b]上收敛，其和函数不一定在 上收敛 其和函数不一定在[a,b]上连续． 上连续 同样函数项级数的每一项的导数及积分所成的 级数的和也不一定等于他们和函数的导数及积分． 级数的和也不一定等于他们和函数的导数及积分． 问题 对什么级数， 对什么级数，能从每一项的连续性得出和函数的 连续性， 连续性，从每一项的导数及积分所成的级数之和 得出原来级数的和函数的导数及积分呢？ 得出原来级数的和函数的导数及积分呢？ 一致收敛的函数项级数满足上述性质。 一致收敛的函数项级数满足上述性质。
n=1 ∞
D上处处收敛或逐点收敛 此时 则称由 ( ). , S( x) = lim Sn ( x) x ∈ D
n→∞
S , 所定义的函数 : D → R为级数 un的和函数 简称为 . 和 ∑
n=1
∞
若级数 un在D上处处收敛则称 n = S − Sn = , R ∑
n=1
∞
k=n+1
∑u
∞
k
余项 并且 , 为该级数的
(或 ) , 逐点 极限 记作 lim f n = f
n→∞
n→∞
或 fn → f
(n → ∞)
定义2(函数项级数的处处收敛性与和函数) 定义2(函数项级数的处处收敛性与和函数) 2(函数项级数的处处收敛性与和函数
{ , 若x0 ∈ D是级数 un的部分和函数列Sn }的收敛点 ∑
பைடு நூலகம்n=1 ∞
x , 则称 0为该级数的 收敛点由收敛点的全体所构成 的 收敛域若x0不是收敛点则称它为 . , 集合称为该级数的 发散点由发散点的全体所构成 , 的集合称为级 级数的 发散域若∀x ∈ D, 级数∑un都收敛 则称该级数在 . , 数的
∑u
n=1
∞
n
D , . 称为集合 上的 函数项级数un称为它的 通项 S . 前n项之和 n = ∑uk 称为它的 部分和
k=1 n
{ 收敛点, 由收敛点的全体所构成 的集合称为 f n }的 收敛点,
上处处收敛或逐点收敛 此时 称由 ( ), , f ( x) = lim f n ( x), x∈D