山东省潍坊市寿光市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)

2020年1月九年级期末教学质量监测一、选择题（本大题共12小题，每小题3分）1.cos30°的值是（ ）A. 1B. 2C. 12D. 2【答案】B【解析】【分析】根据特殊三角函数值直接选出正确答案即可.【详解】cos30°=故选B. 【点睛】此题重点考察学生对特殊三角函数值的应用，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键. 2.设,a b 是方程2320170x x +-=的两个实数根，则22a a b +-的值为（ ）A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020 【答案】D【解析】【分析】首先根据根与系数的关系，求出a+b=-3；然后根据a 是方程2320170x x +-=的实数根，可得2320170a a +-=，据此求出232017a a +=,利用根与系数关系得：+a b =-3，22a a b +- 变形为（2a 3a +）-（+a b ），代入即可得到答案．【详解】解：∵a 、b 是方程2320170x x +-=的两个实数根，∴+a b =-3；又∵2320170a a +-=，∴232017a a +=，∴22a a b +-=（2a 3a +）-（+a b ）=2017-（-3）=2020即22a a b +-的值为2020．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系与一元二次方程的解，把22a a b +-化成（2a 3a +）-（+a b ）是解题的关键．3.抛物线224y x x =-+的顶点坐标是（ ）A. (1,3)B. (1,3)-C. (1,3)--D. (1,3)-【答案】A【解析】【分析】将抛物线解析式的一般式用配方法转化为顶点式，可求顶点坐标．【详解】解：∵224y x x =-+=()213x -+， ∴抛物线顶点坐标为（1，3）．故选：A ．【点睛】将解析式化为顶点式y=a （x -h ）2+k ，可得顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x=h ．4.如图，在⊙O 中，直径CD⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( )A. AC=ABB. ∠C=12∠BODC. ∠C=∠BD. ∠A=∠B0D【答案】B【解析】【分析】先利用垂径定理得到弧AD =弧BD ，然后根据圆周角定理得到∠C =12∠BOD ，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵直径CD ⊥弦AB ，∴弧AD =弧BD ，∴∠C =12∠BOD ． 故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5.一种商品原价45元，经过两次降价后每盒26元，设两次降价的百分率都为x ，则x 满足等式（ ）A. 26(12)45x +=B. 45(12)26x -=C. 245(1)26x -=D. 226(1)45x += 【答案】C【解析】【分析】等量关系为：原价×（1-下降率）2=26，把相关数值代入即可．【详解】解：第一次降价后的价格为45（1-x ），第二次降价后的价格为45（1-x ）·（1-x ）=45（1-x ）2，∴列的方程为45（1-x ）2=26，故选：C ．【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．6. 如图4，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】解：∵个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，∴它的一半是60°，它的邻补角也是60°，∴上面的小三角形是等边三角形，∴上面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1，同理可知下面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1，故这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是8．故选B．7.从一个装有3个红球、2个白球的盒子里（球除颜色外其他都相同），先摸出一个球，不再放进盒子里，然后又摸出一个球，两次摸到的都是红球的概率是（）A. 12B.35C.16D.310【答案】D【解析】【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，两次摸到的球的颜色都是红球的有6种情况，∴两次摸到的球的颜色相同的概率为：3 10．故选：D．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8.如图，一个直角梯形的堤坝坡长AB 为6米，斜坡AB 的坡角为60°，为了改善堤坝的稳固性，准备将其坡角改为45°，则调整后的斜坡AE 的长度为（ ）A.米B.米C. （﹣2）米 D. （3）米 【答案】A【解析】分析】 如图（见解析），作AH BC ⊥于H ，在Rt ABH ∆中，由sin ABH ∠可以求出AH 的长，再在Rt AEH ∆中，由sin AEH ∠即可求出AE 的长. 【详解】如图，作AH BC ⊥于H在Rt ABH ∆中，sin AH ABH AB∠= 则sin AH AB ABH =⋅∠=在Rt AEH ∆中，sin AH AEH AE ∠=则sin AH AE AEH==∠ 故选：A.【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟记常见角度的三角函数值是解题关键.9.如图，半径为3的⊙O 内有一点P 在⊙O 上，当∠OPA 最大时，PA 的长等于（ ，【A. B. C. 3 D. 【答案】B【解析】如图所示：∵OA，OP 是定值，∴在△OPA 中，当∠OPA 取最大值时，PA 取最小值，∴PA ⊥OA 时，PA 取最小值；在直角三角形OPA 中,OA=3√，OP=3，∴故选B.点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用.解答此题的关键是找出“PA ⊥OA 时，∠OPA 最大”这一隐含条件. 当PA ⊥OA 时，PA 取最小值，∠OPA 取得最大值，然后在直角三角形OPA 中利用勾股定理求PA 的值即可．10.反比例函数3y x =-的图像经过点1(1,)y -，2(2,)y ，则下列关系正确的是（ ） A. 12y y <B. 12y y >C. 12y y =D. 不能确定 【答案】B【解析】【分析】根据点的横坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出y 1、y 2的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数3y x=-的图象经过点1(1,)y -，2(2,)y ，∴y 1=3，y 2=32-， ∵3＞32-， ∴12y y >．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的纵坐标是解题的关键．11.定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A 的正对记作sadA ，即sadA =底边:腰.如图，在ABC ∆中，AB AC =，2A B ∠=∠.则sin B sadA ⋅=（ ）A. 12 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】证明△ABC 是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠A=2∠B ，∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，∴在Rt△ABC 中，BC=sin AC B∠AC ， ∴sin ∠B•sadA=1AC BC BC AC =g , 故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12.如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②④【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题．二、填空题（本题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）13.若二次函数25(0)y ax bx a =-+≠的图像经过点(2,2)，则242017b a -+的值是_______．【答案】2020【解析】【分析】首先根据二次函数25(0)y ax bx a =-+≠的图象经过点(2,2)得到243b a -=，再整体代值计算即可．【详解】解：∵二次函数25(0)y ax bx a =-+≠的图象经过点(2,2)，∴4252a b -+=，∴243b a -=，∴242017b a -+=32017+=2020，故答案为2020．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用整体代值计算，此题比较简单． 14.定义：如果一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a +b +c ＝0．那么我们称这个方程为“凤凰”方程，已知ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论：①a ＝c ，②a ＝b ，③b ＝c ，④a ＝b ＝c ，正确的是_____（填序号）．【答案】①【解析】【分析】由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，再由a +b +c ＝0，把表示出b 代入根的判别式中，变形后即可得到a ＝c ．【详解】解：∵方程有两个相等实数根，且a +b +c ＝0，∴b 2﹣4ac ＝0，b ＝﹣a ﹣c ，将b ＝﹣a ﹣c 代入得：a 2+2ac +c 2﹣4ac ＝（a ﹣c ）2＝0，则a ＝c ．故答案为①．【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解． 15.如图，ABC ∆内接于O e ，若O e 的半径为2，45A ︒∠=，则BC 的长为_______．【答案】【解析】【分析】连接OB 、OC ，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=90°，根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接OB 、OC ，由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=90°，∴，，，，，，，，BC=2222OB OC +=．故答案为：【点睛】本题考查是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键．16.如图，以点O 为圆心，半径为2的圆与k y x =的图像交于点A B ，，若30AOB ︒∠=，则k 的值为_______．【解析】【分析】过点B 作BM ⊥x 轴，过点A 作AN ⊥y 轴，先证△BOM ≌△AON ，由此可求出∠BOM 的度数，再设B （a ，b ），根据锐角三角函数的定义即可求出a 、b 的值,即可求出答案．【详解】解：如图，过点B 作BM ⊥x 轴，过点A 作AN ⊥y 轴， 的∵点B 、A 均在反比例函数k y x =的图象上，OA=OB ， ∴点B 和点A 关于y=x 对称，∴AN=BM ，ON=OM ，∴△BOM ≌△AON ，∴∠BOM=∠AON=290AOB ︒-∠ ∵30AOB ︒∠=∴∠BOM=290AOB ︒-∠=30°，设B （a ，b ），则OM=a=OB•cos30°=2×2BM=b=OB×sin30°=2×12=1，∴【点睛】本题考查的是反比例函数综合题反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意作出辅助线构造出直角三角形，根据直角三角函数求得B 的坐标是解题的关键．17.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m ，则能建成的饲养室面积最大为________ m 2 ．【答案】75【解析】试题分析：首先设垂直于墙面的长度为x ，则根据题意可得：平行于墙面的长度为（30－3x ），则S=x （30－3x ）=－32(5)x -+75，,则当x=5时，y 有最大值，最大值为75，即饲养室的最大面积为75平方米. 考点：一元二次方程的应用.【此处有视频，请去附件查看】18.如图抛物线y=x 2+2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上任意一点，若点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点，连接DE ，DF ，则DE +DF 的最小值为_____．【答案】2【解析】【分析】连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF 最小，求解即可.【详解】连接AC,与对称轴交于点P,此时DE+DF 最小，Q 点D，E，F 分别是BC，BP，PC 的中点，11,,22DE PC DF PB ∴== 在二次函数y=x 2+2x，3中，当0x =时，3,y =-当0y =时，3x =-或 1.x =即()()()3,0,1,0,0,3.A B C --3,OA OC ==AC ==点P 是抛物线对称轴上任意一点，则PA=PB,PA+PC=AC,PB+PC=DE+DF 的最小值为：()122PB PC +=故答案为2【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P 的位置是解题的关键.三、解答题（本题共7小题，共66分）19.解下列方程：（1）23210x x --=（2）()()22122130x x -+--=【答案】（1）113x ＝-，2x 1＝；（2）11x ＝-，2x 1＝. 【解析】【分析】（1）根据所给方程的系数特点，方程的左边可以进行因式分解，所以应用因式分解法．（2）方程的左边可以吧21x -当作一个整体，即可分解因式，所以应用因式分解法解答．【详解】（1）解：由原方程得：(31)(1)0x x +-=，可得310x +＝或10x -＝， 解得：113x ＝-，2x 1＝． （2）()()22122130x x -+--=()()2132110x x -+--=()()22220x x +-=所以，220x +=或220x -=解得，11x ＝-，2x 1＝． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．20.已知关于x 的方程220x ax a ++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【答案】（1）12，32-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x 1， ∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.21.在大课间活动中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分女生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和频数直方图，请你根据图表中的信息完成下列问题：（1）频数分布表中a= ，b= ；（2）将频数直方图补充完整；（3）如果该校九年级共有女生360人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30次或30次以上的女学生有多少人？（4）已知第一组有两名甲班学生，第四组中只有一名乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？【答案】（1）0.3，4；（2）见解析；（3）198；（4）1 P=2.【解析】【分析】（1）由第一组的频数和频率得到总人数，乘以0.2即可得b的值，用1−0.15−0.35−0.20可得a的值；（2）根据表格中第二组的数据将直方图补充完整；（3）利用样本估计总体的知识求解即可得答案；（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求答案．【详解】解：(1)a=1−0.15−0.35−0.20=0.3；总人数为：3÷0.15=20(人)，b=20×0.20=4(人)；故答案为0.3，4；（2）补全统计图如图：(3)估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：360×(0.35+0.20)=198(人)；(4)画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有6种情况，∴所选两人正好都是甲班学生的概率P=61=122. 【点睛】本题考查统计图与概率的计算，找到统计图中数据的对应关系是解题的关键.22.如图，港口B 位于港口A 南偏西30︒方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正东方向D 处，它沿正北方向航行15km 到达E 处，侧得灯塔C 在北偏西45︒方向上.求此时海轮距离港口A 有多远？【答案】海轮距离港口A的距离为30【解析】【分析】过点C 作CF ⊥AD 于点F ，设CF=x ，根据正切的定义用x 表示出AF ，根据等腰直角三角形的性质用x 表示出EF ，根据三角形中位线定理列出方程，解方程得到答案．【详解】解:如图，过点C 作CF AD ⊥于点F ．设CF x ＝，表示出EF x AF ＝，利用//CF BD ，求出AF DF ＝15x =+求出x =求出30AE =答：海轮距离港口A 的距离为30．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23.如图，已知反比例函数11k y x=（k 1＞0）与一次函数2221(0)y k x k =+≠相交于A 、B 两点，AC ⊥x 轴于点C . 若△OAC 的面积为1，且tan∠AOC ＝2 .（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值.【答案】（1）12y x=；21y x =+；（2）B 点的坐标为（－2，－1）；当0＜x ＜1和x ＜－2时，y 1＞y 2. 【解析】【分析】 （1）根据tan∠AOC ＝AC OC＝2，△OAC 的面积为1，确定点A 的坐标，把点A 的坐标分别代入两个解析式即可求解； （2）根据两个解析式求得交点B 的坐标，观察图象，得到当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值．【详解】解：（1）在Rt△OAC 中，设OC ＝m ．∵tan∠AOC ＝AC OC ＝2，∴AC ＝2×OC ＝2m ． ∵S △OAC ＝12×OC×AC ＝12×m×2m ＝1，∴m 2＝1．∴m ＝1（负值舍去）． ∴A 点的坐标为（1，2）． 把A 点的坐标代入11k y x=中，得k 1＝2． ∴反比例函数的表达式为12y x =． 把A 点的坐标代入221y k x =+中，得k 2＋1＝2，∴k 2＝1．∴一次函数的表达式21y x =+．（2）B 点的坐标为（－2，－1）．当0＜x ＜1和x ＜－2时，y 1＞y 2．【点睛】本题考查反比例及一次函数的的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函数的性质是本题的解题关键．24.如图，AC 为O e 的直径，B 为O e 上一点，30ACB ∠=o ，延长CB 至点D ，使得CB BD =，过点D 作DE AC ⊥，垂足E 在CA 的延长线上，连接BE .（1）求证：BE 是O e 的切线；（2）当3BE =时，求图中阴影部分的面积.【答案】（1）详见解析；（2）32π【解析】【分析】（1）连接OB ，欲证BE 是O e 的切线，即要证到∠OBE=90°，而根据等腰三角形的性质可得到30OBC OCB ∠=∠=o .再根据直角三角形的性质可得到30BEC ∠=o ，从而得到120EBC ∠=o ，从而得到90EBO ∠=o ，然后根据切线的判定方法得出结论即可.（2）先根据已知条件求出圆的半径，再根据扇形的面积计算公式计算出扇形OBC 的面积，再算出三角形OBC 的面积，则阴影部分的面积可求.【详解】（1）证明：如图，连接OB∵OB OC =,30ACB ∠=o ,∴30OBC OCB ∠=∠=o .∵DE AC ⊥,CB BD =,∴在Rt DCE ∆中，12BE CD BC ==. ∴30BEC OCB ∠=∠=o∴在BCE ∆中，180120EBC BEC OCB ∠=-∠-∠=o o .∴1203090EBO EBC OBC ∠=∠-∠=-=o o o ，即BE OB ⊥.又∵B 为圆O 上一点，∴BE 是圆O 的切线.（2）解：当3BE =时，3BC =.∵AC 为圆O 的直径，∴90ABC ∠=o .又∵30ACB ∠=o ，∴2AC AB =.在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，即2223(2)AB AB +=，解得AB =∴2AC AB ==AO =∴2211113322222ABC S S S AO AB BC πππ∆=-=•-•=⨯-=阴影半圆【点睛】本题考查了切线的判定方法和弓形面积的计算方法，正确作出辅助线是解题的关键. 25.抛物线2y ax bc c =++的对称轴为直线1x =，该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B ，与y 轴的交点为C ，其中(1,0),(0,3)A C --．（1）写出点B 的坐标________；（2）若抛物线上存在一点P ，使得POC ∆的面积是BOC ∆的面积的2倍，求点P 的坐标； （3）点M 是线段BC 上一点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，求线段MD 长度的最大值．【答案】（1）(3,0)；（2）点P 的坐标为(6,21)或()6,45-；（3）MD 长度的最大值为94． 【解析】【分析】（1）抛物线的对称轴为x=1，点A 坐标为（-1，0），则点B （3，0），即可求解； （2）由S △POC =2S △BOC ，则x=±2OB=6，即可求解；（3）设：点M 坐标为（x ，x -3），则点D 坐标为（x ，x 2-2x -3），则MD=x -3-x 2+2x+3，即可求解．【详解】解：（1）抛物线对称轴为1x =，点A 坐标为(1,0)-，则点(3,0)B ， 故：答案为(3,0)； （2）二次函数表达式为：2(1)(3)(23)y a x x a x x =+-=﹣﹣， 即：33a -＝-，解得：1a ＝，故抛物线的表达式为：223y x x --＝，所以11933222BOC S OB OC =⨯⨯=V g ＝ 由题意得：29POC BOC S S =V V ＝，设P （x, 223x x ﹣﹣） 则13922POC OC x S x ===V g g 所以6x =则6x ±＝，所以当6x =时，223x x ﹣﹣=-21，当6x =-时，223x x ﹣﹣=45故点P 的坐标为(6,21)或()6,45-；（3）如图所示，将点B C 、坐标代入一次函数y kx b +＝得表达式得330c k b =-⎧⎨+=⎩，解得：13k b =⎧⎨=-⎩， 故直线BC 的表达式为：3y x -＝，设：点M 坐标为(3)x x -，，则点D 坐标为2(23)x x x --，， 则2239323()24MD x x x x =--++=--+， 故MN 长度的最大值为94． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。