高中数学第二章概率章末优化总结课后作业含解析北师大版选修2_3
高中数学(北师大版,选修23)第二章 概 率+课件+同步练习+章末归纳总结+综合测试(14份)第2章 4
第二章 §4一、选择题1．设随机变量ξ服从二项分布B (6，12)，则P (ξ＝3)等于( )A.516 B.316 C.58 D.38[答案] A[解析] P (ξ＝3)＝C 36(12)3·(12)3＝516. 2．一名学生通过英语听力测试的概率为13，她模拟测试3次，至少有1次通过测试的概率为( )A.49 B.2027 C.1927 D.827[答案] C[解析] 模拟测试3次相当于做了3次独立重复试验，“测试通过”即试验成功，则模拟测试3次通过测试的次数X ～B (3，13)，故所求概率为1－P (X ＝0)＝1－C 03(13)0(1－13)3＝1927. 3．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5 [答案] B[解析] 质点P 移动五次后位于点(2,3)，即质点向上移动了2次，向右移动了3次，将质点移动5次视为做了5次独立重复试验，“向上移动”视为试验成功，设5次移动中向上移动的次数为X ，则X ～B (5，12)，所以P (X ＝2)＝C 25(12)2(12)3＝C 25(12)5. 二、填空题4．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．[答案] 0.947 7[解析] 4人服用新药相当于做了4次独立重复试验，设服用新药的4个病人中被治愈的人数为X ，则X ～B (4,0.9)，所求概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34×0.93×0.11＋C 44×0.94×0.10＝0.2916＋0.656 1＝0.947 7.5．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (3，p )，若P (ξ≥1)＝34，则P (η≥1)＝________.[答案] 78[解析] 由P (ξ≥1)＝1－p (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝34得p ＝12，则P (η≥1)＝1－P (η＝0)＝1－(1－p )3＝78. 三、解答题6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一，三，五次3次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．[分析] 本题要注意恰有k 次和指定的某k 次发生的差异，具体说(1)是相互独立事件概率模型，其公式为p k (1－p )n －k ；(2)是恰有3次发生，其公式为C k n p k (1－p )n －k；(3)也是相互独立事件概率模型，但要考虑多种情况．[解析] (1)该射手射击了5次，其中只在第一，三，五次3次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二，四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝35×(1－35)×35×(1－35)×35＝1083 125.(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率情况不确定，根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C 35种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝C 35×(35)3×(1－35)2＝216625. (3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，将3次连续击中目标看成一个整体，另外两次没有击中目标，产生3个空隙，所以共有C 13种情况，故所求概率为P ＝C 13×(35)3×(1－35)2＝3243 125.一、选择题1．在4次独立重复试验中事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13B.25C.56 D ．以上全不对[答案] A[解析] 设事件A 在1次试验中出现的概率为p .由二项分布的概率公式得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以(1－p )4＝1681，解得p ＝13.2．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 依题意有C k 5×(12)k ×(12)5－k ＝C k ＋15×(12)k ＋1×(12)5－(k ＋1)，所以C k 5＝C k ＋15. 故有k ＋(k ＋1)＝5.∴k ＝2.3．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子个数为X ，则P (X ≤2)等于( ) A ．C 210(16)2×(56)8 B ．C 110(16)×(59)9＋(56)10 C ．C 110(16)×(56)9＋C 210(16)2×(56)8 D ．以上均不对 [答案] D[解析] 由题意，X ～B (10，16)，∴P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝(56)10＋C 110×16×(56)9＋C 210×(16)2×(56)8.∴A ，B ，C 三选项均不对．4．如果X ～B (15，14)，则使P (X ＝k )最大的k 值是( )A ．3B ．4C ．4或5D ．3或4 [答案] D[解析] P (X ＝k )＝C k 15(34)15－k (14)k，然后把选择项代入验证．5．(2013·河南安阳中学高二期中)若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28C ．0.88×0.22D ．0.82×0.28[答案] A[解析] ∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝k )＝C k 100.8k (1－0.8)10－k ，∴P (X ＝8)＝C 8100.88·0.22，故选A. 二、填空题6．设每门高射炮击中飞机的概率为0.6，今有一飞机来犯，则至少需要________门高射炮射击，才能以99%的概率击中它．[答案] 6[解析] 设需要n 门高射炮才可达到目的，用A 表示“命中飞机”这一事件，由题意得，没有命中飞机的概率为1－0.6＝0.4，故由对立事件的概率分式得P (A )＝1－0.4n .由题意得1－0.4n ≥0.99，∴n ≥5.02.故应取6.7．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是________． [答案]1132[解析] 依题意得所求的概率为C 46(12)6＋C 56(12)6＋C 66·(12)6＝1132. 三、解答题8．(2014·西安市质检)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列．[解析] (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝(1－13)×(1－13)×13＝427.(2)由题意，可得ξ可以取的值为0,2,4,6,8(单位：分钟)，事件“ξ＝2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”(k ＝0,1,2,3,4)， ∴P (ξ＝2k )＝C k 4(13)k (23)4－k(k ＝0,1,2,3,4)， ∴即ξ的分布列是9.(2014·乌鲁木齐诊断)某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列．[解析] 设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C .(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D ＝A ＋BC ， ∵P (A )＝12×12＝14，P (B )＝2×12×(1－12)＝12，P (C )＝310，∴P (D )＝P (A ＋BC )＝P (A )＋P (B )P (C )＝25.(2)根据题意，X ＝0,1,2,3,4，A i 表示“应聘的4人中恰有i 人被录用”(i ＝0,1,2,3,4)， ∵P (A 0)＝C 04×(35)4＝81625， P (A 1)＝C 14×25×(35)3＝216625， P (A 2)＝C 24×(25)2×(35)2＝216625， P (A 3)＝C 34×(25)3×35＝96625， P (A 4)＝C 44×(25)4×(35)0＝16625. ∴X 的分布列为10.实力相等的甲，3局就算胜出，并停止比赛)．(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； (2)求按比赛规则甲获胜的概率．[分析] 甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12.[解析] 记事件A 为“甲打完3局才能取胜”，记事件B 为“甲打完4局才能取胜”，记事件C为“甲打完5局才能取胜”．(1)①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜． ∴甲打完3局取胜的概率为P (A )＝C 33(12)3＝18. ②甲打完4局取才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，∴甲打完4局才能取胜的概率为P (B )＝C 23×(12)2×12×12＝316. ③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，∴甲打完5局才能取胜的概率为P (C )＝C 24×(12)2×(12)2×12＝316. (2)设事件D 为“按比赛规则甲获胜”，则D ＝A ∪B ∪C .又∵事件A 、B 、C 彼此互斥，故P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝18＋316＋316＝12.因此按比赛规则甲获胜的概率为12.。
2020-2021学年北师大版数学选修2-3课后作业：第二章 4 二项分布 Word版含解析
[A 组 基础巩固]1．若100件产品中有10件次品，从中有放回地抽取5件，其中次品数ξ～B (n ，p )，则( ) A ．n ＝5，p ＝0.1 B ．n ＝10，p ＝0.1 C ．n ＝5，p ＝0.9 D ．n ＝10，p ＝0.9解析：n ＝5，p ＝10100＝0.1.答案：A2．已知小王通过英语听力测试的概率是13，若他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是( )A.19B.29C.13D.49解析：P ＝C 13(13)×(1－13)2＝49. 答案：D3．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手每次射击命中的概率为( )A.13B.23C.14D.25 解析：设此射手射击四次命中次数为ξ， ∴ξ～B (4，p )，依题意可知，P (ξ≥1)＝8081.∴1－P (ξ＝0)＝1－C 04(1－p )4＝8081， ∴(1－p )4＝181，p ＝23.答案：B4．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )A ．C 23⎝⎛⎭⎫142×34 B ．C 23⎝⎛⎭⎫342×14C.⎝⎛⎭⎫142×34D.⎝⎛⎭⎫342×14解析：P (X ＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的，则P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫142×34. 答案：C5．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：由1－C 0n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＞0.9， 得⎝⎛⎭⎫12n＜0.1， ∴n ≥4. 答案：C6．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中结论正确的是________(写出所有正确结论的序号)．解析：②中概率应为C 34×0.93×0.1.答案：①③7．已知随机变量X ～B (3，34)，则X 的分布列为________．解析：P (X ＝0)＝C 03(14)3＝164， P (X ＝1)＝C 13·(34)·(14)2＝964，P (X ＝2)＝C 23·(34)2·(14)＝2764， P (X ＝3)＝(34)3＝2764.答案：8.下列随机变量X 的分布列不属于二项分布的是________．①某事业单位有500名在职人员，人事部门每年要对他们进行年度考核，每人考核结果为优秀的概率是0.25.假设每人年度考核是相互独立的，X 为考核结果为优秀的人数；②某汽车总站附近有一个加油站，每辆车出汽车总站后再进加油站加油的概率是0.12，且每辆车是否加油是相互独立的，某天出汽车总站有50辆汽车，X 为进加油站加油的汽车数；③某射手射中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要的射击次数；④某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为0.5，X 表示下载n 次数据后电脑被病毒感染的次数．解析：命题①：每人考核结果只有“优秀”“不优秀”两个对立结果，且每人考核结果为优秀是相互独立的，并且概率为常数，所以随机变量X 服从二项分布；命题②：每辆车出汽车总站后，只有进加油站加油和不进加油站加油两个结果，同时每辆车进加油站加油的概率为常数，而且相互独立，所以随机变量X 服从二项分布；命题③：在一次又一次射击中，第一次射中是我们关注的事件A ，随机变量X 表示第一次击中目标时射击的次数，显然随机变量X 不服从二项分布；命题④：同命题①②，可判断随机变量X 服从二项分布．答案：③9．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．解析：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝35×(1－35)×35×(1－35)×35＝1083 125.(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率情况不确定，根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C 35种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝C 35×(35)3×(1－35)2＝216625. (3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，将3次连续击中目标看成一个整体，另外两次没有击中目标，产生3个空隙，所以共有C 13种情况，故所求概率为p ＝C 13×(35)3×(1－35)2＝3243 125. 10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110P ＝4950，解得p ＝15. (2)由题意，P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫1102×⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000，P (X ＝2)＝C 23×110×⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量X 的概率分布列为X 0 1 2 3 P11 000271 0002431 0007291 000[B 组 能力提升]1．已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为p 、q ，他们各投两次，若p ＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q 的值为( )A.45B.34C.23D.12解析：C 12(12)2C 02(1－q )2＋C 22(12)2(1－q 2)＝736， 解得q ＝23.答案：C2．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝{ －1，第n 次摸到红球，1，第n 次摸到白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫235 B ．C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135 C ．C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫135D ．C 27×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232 解析：由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸到红球，5次摸到白球，而每次摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135，故选B. 答案：B3．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝716，则P (Y ＝2)＝________. 解析：716＝P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2，即(1－p )2＝916，p ＝14.故P (Y ＝2)＝C 23(14)2(34)1＝964. 答案：9644．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X 的分布列．解析：可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故X ～B (5，13)，即有P (X ＝k )＝C k 5(13)k (23)5－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 从而X 的分布列为：5.如图是高尔顿板的改造装置示意图，小球从入口处自由下落，已知在下落过程中，小球遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12.(1)求小球落入A 袋的概率P (A )；(2)在入口处依次放入4个小球，设落入A 袋中的小球个数为ξ，求ξ的分布列． 解析：(1)记“小球落入A 袋中”为事件A ，记“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，而小球落入B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝(12)4＋(12)4＝18，从而P (A )＝1－P (B )＝78； (2)ξ可能的取值为0,1,2,3,4. P (ξ＝0)＝C 04(78)0·(18)4＝14 096.P (ξ＝1)＝C 14(78)1·(18)3＝71 024； P (ξ＝2)＝C 24(78)2·(18)2＝1472 048； P (ξ＝3)＝C 34(78)3·(18)1＝3431 024； P (ξ＝4)＝C 44(78)4·(18)0＝2 4014 096. 所以ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 P14 09671 0241472 0483431 0242 4014 096莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
20202021学年北师大版数学选修23课时作业第二章概率单元质量评估2含解析.docx
第二章单元质量评估（二）错误！第I春（选择题共60分）〜、选择题r本大题共12小题,每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只有~项是符合要求的」1.寓散型随机变量X的税率分布列如下：则c等于r A )A.0.1B. 0.24C. 0.01D. 0.76解析：c = l-（0.2 + 0o 3 + 0.4J =0o 1.2.禁同学通过计算机S则汶的税率为错误!，他连续S则汶3次，其中怜有1次通过的税率为（A ）A.错误！Bo错误！Co错误！D。
错误！解析:连续S则汶3次，其中怜有1次通过的税率为P =。
错误!X 错误!X错误!2 =错误！.故选A。
3.若Y〜B（n, pj,且EY = 3o 6,DY = 2.16,则此二项分布是r B ）A. B（4,0o 9）B. B（9, 0。
4）C. B C18, 0o 2JD. B （36, 0。
1）解析：由题惹得 np = 3。
6, np fl -pj = 2.16,所以 n = 9, p = 0.4.4. 甲、乙、丙三人参加某项s 则弑j,他们能达到标准的概率分 别是0.8,0。
6,0.5,则三人中至少有~人达标的概率是(C )D. 0.04解析：三人都不达标的概率是(1 — 0.8J x(l-0。
6)x(1— 0o 5) = 0.04,故三人中至少有~人达标的概率为1 一0。
04 = 0.96。
故选Co5、巳知门的分布列为设& = 3r| — 2,则Dg 的值为（AB.错误!C 、一错误!解析:Er| = ( - 1)X-+ Ox 错误！ + lx 错误！= 一错误！，Di]=错误!2乂错误！ +错误!2乂错误！ +错误!2乂错误！=错误！, Dg = D(3r| - 2) =3?x 错误！ = 5.故选.A.6、对,示有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检'，则，不放回地依次摸出2件' 在第一次摸到正品的条件下，第二次 B, 0。
2020-2021学年北师大版数学选修2-3课后作业：第二章 概 率 章末优化总结 Word版含解析
章末检测(二) 概 率 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某人射击的命中率为p (0＜p ＜1)，他向一目标射击，当第一次射中目标则停止射击，射击次数的取值是( )A ．1,2,3，…，nB ．1,2,3，…，n ，…C ．0,1,2，…，nD ．0,1,2，…，n ，…解析：射击次数至少1次，由于命中率p ＜1，所以，这个人可能永远不会击中目标． 答案：B2．若随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)＝( )A.19B.16C.14D.13解析：由分布列的性质12a ＋22a ＋32a ＝1，解得a ＝3，则P (X ＝2)＝22a ＝13.答案：D3．将一枚硬币连掷4次，出现“2个正面，2个反面”的概率是( ) A.12 B.38 C.25D ．1解析：掷一枚硬币一次看作一次试验，出现正面事件为A ，则P (A )＝12，而连掷4次可看成4次独立试验，由题意，硬币出现正面的次数X ～B (4，12)，故可得P (X ＝2)＝C 24·(12)2·(12)2＝38. 答案：B4．已知X ～B (n ，p )，EX ＝2，DX ＝1.6，则n ，p 的值分别为( ) A ．100,0.8 B ．20,0.4 C ．10,0.2D ．10,0.8解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2，np (1－p )＝1.6，解得p ＝0.2，n ＝10.答案：C5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么下列事件中发生的概率为710的是( )A ．都不是一等品B ．恰有1件一等品C ．至少有1件一等品D ．至多有1件一等品解析：P (都不是一等品)＝C 22C 25＝110，P (恰有1件一等品)＝C 13C 12C 25＝35，P (至少有1件一等品)＝C 13C 12＋C 23C 25＝910， P (至多有1件一等品)＝C 22＋C 13C 12C 25＝710.答案：D6．随机变量X 的分布密度函数f (x )＝12πe 22x - (x ∈R)，X 在(－2，－1)与(1,2)内取值的概率分别为P 1和P 2，则P 1和P 2的大小关系是( )A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．不能确定解析：由f (x )＝12πe 22x -可知随机变量X ～N (0,1)，由于f (x )的图像关于直线x ＝0对称，且区间(－2，－1)与(1,2)为两个对称区间，故P 1＝P 2.答案：C7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个问题的概率是P 2，那么其中至少有一人能解决这个问题的概率是( )A ．P 1＋P 2B ．P 1·P 2C ．1－P 1·P 2D ．1－(1－P 1)·(1－P 2)解析：至少有1人能解决这个问题的对立事件是两人都不能解决，两人解决问题是相互独立的，故所求概率为1－(1－P 1)·(1－P 2)．答案：D8．设ξ为离散型随机变量，则E (Eξ－ξ)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定解析：∵Eξ是常数，∴E (Eξ－ξ)＝Eξ－Eξ＝0.9．已知X 的分布列为：设Y ＝2X ＋1，则Y 的数学期望EY 的值是( ) A ．－16B.23 C ．1D.2936 解析：EY ＝2EX ＋1，由已知得a ＝13，∴EX ＝－12＋13＝－16，∴EY ＝23.答案：B10．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49 B.190 C.45D.59解析：该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.答案：B11．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X ～N (110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )A ．(90,100]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]解析：∵X ～N (110,52)， ∴μ＝110，σ＝5，5760＝0.95≈P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ) ＝P (100＜X ≤120)．12．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.14解析：满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. 所以所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13．设随机变量X ～B (4，13)，则P (X ≥3)＝________.解析：P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝C 34(13)3×23＋C 44(13)4＝881＋181＝981＝19. 答案：1914．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，ξ 0 2 3 Pabc则这名运动员投中3分的概率是________．解析：由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以投中3分的概率是16. 答案：1615．两台车床加工同一种机械零件质量情况如下表：从这100个零件中任取一个零件，取得的零件是甲机床加工的产品，则是合格品的概率是________．解析：记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件A ，记“从100个零件中任取一件取得合格品”为事件B .则P (B |A )＝n (AB )n (A )＝3540＝0.875. 答案：0.87516．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望EX ＝________.解析：由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的概率分布为：EX ＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：53三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？ (2)成绩在80～90间的学生占多少？解析：(1)设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10.分析成绩在60～80之间的学生的占比为：P(70－10＜X≤70＋10)＝0.683，所以成绩不及格的学生的占比为：12(1－0.683)＝0.158 5，即成绩不及格的学生占15.85%.(2)成绩在80～90之间的学生的占比为：12[P(70－2×10＜X≤70＋2×10)－P(70－10＜x≤70＋10)]＝12(0.954－0.683)＝0.135 5，即成绩在80～90之间的学生占13.55%.18．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示．据统计，随机变量X的概率分布如下表所示.(1)求a的值和X的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解析：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2.∴X的概率分布为：∴EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．则由事件的独立性，得P(A1)＝C12P(X＝2)·P(X＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，P(A2)＝[P(X＝1)]2＝0.32＝0.09，∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.19．(12分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列，期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．解析：(1)由题意，得ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120，P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320，P (ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为：以Eξ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，Dξ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (aξ＋b )＝a 2Dξ＝11，E (aξ＋b )＝aEξ＋b ＝1，及Eξ＝1.5，Dξ＝2.75，得2.75a 2＝11,1.5a ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝－2或a ＝－2，b ＝4.20．(12分)把一副扑克(除去大小王)的52张随机均分给赵、钱、孙、李四家，A ＝{赵家得到6张草花(梅花)}，B ＝{孙家得到3张草花}．(1)计算P (B |A )； (2)计算P (A ∩B )．解析：(1)四家各有13张牌，已知A 发生后，A 的13张牌已固定，余下的39张牌中恰有7张草花，在另三家中的分派是等可能的．问题已经转变成：39张牌中有7张草花，将这39张牌随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到3张草花的概率 .于是P (B |A )＝C 37C 1039－7C 1339≈0.278.(2)在52张牌中任选13张牌有C 1352种不同的等可能的结果．于是Ω中的元素为C 1352，A 中的元素数为C 613C 739，利用条件概率公式得到P (A ∩B )＝P (A )P (B |A )＝C 613C 739C 1352×0.278≈0.012.21．(12分)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．解析：(1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为故X 的数学期望为EX ＝2×14＋3×34＝114.22．(14分)从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求：(1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．解析：(1)设“选出的3位同学中，至少有一位男同学”为事件A ，则事件A 为“选出的3位同学中没有男同学”，而P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56.即选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为56.(2)设“女同学甲和男同学乙被选中”为事件A ，“女同学甲通过测验”为事件B ，“男同学乙通过测验”为事件C ，则“甲、乙同学被选中且通过测验”为事件A ∩B ∩C ，由条件知A 、B 、C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35，所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125.即甲、乙同学被选中且通过测验的概率为4125.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
北师大高中数学选修23作业：第2章 概率3 含解析
第二章 §3A 级 基础巩固一、选择题1．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( D )A ．29B ．118C ．13D ．23[解析] 由P (A ∩B )＝P (B ∩A )得P (A )P (B )＝P (B )·P (A )，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，∴P (A )＝P (B )．又P (A ∩B )＝19，∴P (A )＝P (B )＝13.∴P (A )＝23.2．三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是( A )A ．1532B ．932C ．732D ．1732[解析] 记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34. 不发生故障的事件为(A 2∪A 3)∩A 1， ∴不发生故障的概率为P ＝P [(A 2∪A 3)∩A 1] ＝[1－P (A 2)·P (A 3)]·P (A 1) ＝(1－14×14)×12＝1532.故选A ．3．(2019·烟台高二检测)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( B )A ．18B ．14C ．25D ．12[解析] P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率公式得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.故选B ． 4．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )A ．12B ．512C ．14D ．16[解析] 所求概率为23×14＋13×34＝512或P ＝1－23×34－13×14＝512.5．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是( C )A ．2个球都是白球B ．2个球都不是白球C ．2个球不都是白球D ．2个球中恰好有1个白球[解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P 1＝13×12＝16，∴两个球不都是白球的概率为P ＝1－P 1＝56.6．(2019·烟台期末)袋中有大小形状都相同的4个黑球和2个白球．如果不放回地依次取出2球，那么在第1次取到的是黑球的条件下，第2次取到黑球的概率为( C )A ．12B ．25C ．35D ．23[解析] 设事件A 表示“第一次取出黑球”，事件B 表示“第二次取出黑球”， P (A )＝46＝23，P (AB )＝46×35＝25，∴在第1次取到的是黑球的条件下，第2次取到黑球的概率为： P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35. 故选C ． 二、填空题7．已知P (A )＝0.3，P (B )＝0.5，当事件A 、B 相互独立时，P (A ∪B )＝__0.65__，P (A |B )＝__0.3__.[解析] ∵A 、B 相互独立，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A )·P (B )＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65. P (A |B )＝P (A )＝0.3.8．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为__0.09__.[解析] 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.三、解答题9．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率． [解析] 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A ， 则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516，即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.10．抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A 为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A 发生的条件下事件B 发生的概率； (2)事件B 发生的条件下事件A 发生的概率．[解析] 抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6×6＝36，事件A 的基本事件数为 6×2＝12， 则P (A )＝1236＝13.∵3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8， ∴事件B 的基本事件总数为4＋3＋2＋1＝10. ∴P (B )＝1036＝518.又4＋5>8,4＋6>8,6＋3>8,6＋4>8,6＋5>8,6＋6>8， ∴事件AB 的基本事件数为6. 故P (AB )＝636＝16.由条件概率公式，得 (1)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1613＝12.(2)P (A |B )＝P (AB )P (B )＝16518＝35.B 级 素养提升一、选择题1．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( A )A ．13B ．29C ．49D ．827[解析] 由已知逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.2．一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是( A )A ．12B ．13C ．14D ．23[解析] 解法一：设A ＝“第一次取到二等品”，B ＝“第二次取得一等品”，则AB ＝“第一次取到二等品且第二次取到一等品”，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝2×35×42×3＋3×25×4＝12. 解法二：设一等品为a 、b 、c ，二等品为A 、B ，“第二次取到一等品”所含基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(b ，a )，(b ，c )，(c ，a )，(c ，b )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )共12个，其中第一次取到二等品的基本事件共有6个，∴所求概率为P ＝612＝12.二、填空题3．如图，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝__2π__；(2)P (B |A )＝__14__.[解析] (1)由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O＝2×2π×12＝2π.(2)事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14. 4．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是__⎣⎡⎦⎤－13，13__. [解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧P (ξ＝x 3)＋P (ξ＝x 1)＝2P (ξ＝x 2)P (ξ＝x 1)＋P (ξ＝x 2)＋P (ξ＝x 3)＝1， ∴P (ξ＝x 2)＝13，∵P (ξ＝x i )≥0，∴公差d 取值满足－13≤d ≤13.三、解答题5．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．[解析] (1)从甲箱中任取2个产品的事件数为 C 28＝8×72＝28，这2个产品都是次品的事件数为C 23＝3. ∴这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A 为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B 1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B 2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B 3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B 1、事件B 2、事件B 3彼此互斥．P (B 1)＝C 25C 28＝514，P (B 2)＝C 15C 13C 28＝1528，P (B 3)＝C 23C 28＝328，P (A |B 1)＝23，P (A |B 2)＝59，P (A |B 3)＝49，∴P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝514×23＋1528×59＋328×49＝712.6．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．[解析] (1)设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧ P (A ·B )＝14，P (B ·C )＝112，P (AC )＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·[1－P (B )]＝14， ①P (B )·[1－P (C )]＝112， ②P (A )·P (C )＝29. ③由①、③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0. 解得P (C )＝23或 119(舍去)．将P (C )＝23分别代入③、②可得P (A )＝13、P (B )＝14，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则 P (D )＝1－P (D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.C 级 能力拔高甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23，P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415. (2)解法一：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.解法二：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为 P (AB )＝P (A )·P (B )＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－1415＝145. 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P (AB )＝1－145＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.。
高中数学(北师大版,选修23)第二章 概 率+课件+同步练习+章末归纳总结+综合测试(14份)第2章 5
第二章 §5一、选择题1．(2013·广东理，4)已知离散型随机变量X 的分布列为( )则X 的数学期望E (X )＝( ) A.32 B ．2 C.52 D ．3 [答案] A[解析] E (x )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.2．已知X ～B (n ，p )，EX ＝8，DX ＝1.6，则n ，p 的值分别为( ) A ．100和0.8 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8 [答案] D[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝8，np (1－p )＝1.6，解之得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝10，p ＝0.8.3．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A ．92,2 B ．92,2.8 C ．93,2 D ．93,2.8[答案] B[解析] 去年一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为90、90、93、94、93， 所以x ＝90＋90＋93＋94＋935＝4605＝92，s 2＝2×(90－92)2＋2×(93－92)2＋(94－92)25＝145＝2.8.二、填空题4．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ＝1表示结果中有正面向上，ξ＝0表示结果中没有正面向上，则Eξ＝________.[答案] 0.75[解析] 本题考查随机变量的数学期望，P (ξ＝1)＝34，P (ξ＝0)＝14，则Eξ＝1×34＋0×14＝34＝0.75.5．已知离散型随机变量X 的分布列如下表：若EX ＝0，DX ＝1，则[答案]512 14[解析] 由分布列中概率满足的条件可知a ＋b ＋c ＋112＝1 ①，由均值和方差的计算公式可得－a ＋c ＋16＝0 ②，12×a ＋12×c ＋22×112＝1 ③，联立①②③解得a ＝512，b ＝14.三、解答题6．(2012·山东理，19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX . [解析] (1)P ＝34·(13)2＋14·C 12·13·23＝736；(2)X ＝0,1,2,3,4,5P (X ＝0)＝14·(13)2＝136，P (X ＝1)＝34·(13)2＝112，P (X ＝2)＝14C 1213·23＝19，P (X ＝3)＝34C 12·13·23＝13，P (X ＝4)＝14·(23)2＝18，P (X ＝5)＝34·(23)2＝13. EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112＝3512.一、选择题1．设离散型随机变量ξ的可能取值为0,1，且P (ξ＝0)＝23，则Dξ＝( )A.13B.23C.19D.29[答案] D[解析] 由题意知ξ服从两点分布，且P (ξ＝1)＝1－23＝13，故Dξ＝P (ξ＝1)[1－P (ξ＝1)]＝13×23＝29. 2．(2013·湖北理，9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A.126125B.65 C.168125 D.75[答案] B[解析] P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125，∴E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.3．甲、乙两名运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下：A ．甲B ．乙C ．一样D ．无法比较 [答案] B[解析] Eξ＝9.2，Eη＝9.2＝Eξ，Dξ＝0.76，Dη＝0.56<Dξ，乙稳定．4．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的6支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个．则X 的均值为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6[答案] B[解析] 由题意可知，X 可以取3、4、5、6， P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 23C 36＝320；P (X ＝5)＝C 24C 36＝310；P (X ＝6)＝C 25C 36＝12，∴EX ＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12＝5.25.5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为d (a ，b ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A.148 B.124 C.112 D.16[答案] B[解析] 由已知得3a ＋2b ＋0×c ＝1，即3a ＋2b ＝1，所以ab ＝16·3a ·2b ≤16·(3a ＋2b 2)2＝16×(12)2＝124，当且仅当3a ＝2b ＝12，即a ＝16，b ＝14时取“等号”，故选B. 二、填空题6．(2014·浙北名校联盟联考)一袋中装有分别标记着1,2,3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X ，Y ，设ξ＝Y －X ，则E (ξ)＝________.[答案] 43[解析] 由题意知ξ的取值为0,1,2，ξ＝0，表示X ＝Y ，ξ＝1表示X ＝1，Y ＝2；或X ＝2，Y ＝3；ξ＝2表示X ＝1，Y ＝3.∴P (ξ＝0)＝333＝19，P (ξ＝1)＝2×2×333＝49，P (ξ＝2)＝2×3＋A 3333＝49， ∴E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝43.7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y 的值为________． [答案] 0.4[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，由此解得y ＝0.4.三、解答题8．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下：[分析] 一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下生产出次品数的平均值，即期望；二是要看次品数的波动情况，即方差值的大小．[解析] 工人甲生产出次品数X 的期望和方差分别为： EX ＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，DX ＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81；工人乙生产出次品数Y 的期望和方差分别为： EY ＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，DY ＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由EX ＝EY 知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但DX >DY ，可见乙的技术比较稳定．9．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)下表是某市11月10日至23日的空气质量指数统计表，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择11月10日至11月21日中的某一天到达该市，并停留3天(包括到达的当天)．(1)求此人到达当日空气质量重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列、数学期望与方差.[解析] 设A i 根据题意，P (A i )＝112，且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 14∪A 15，所以P (B )＝P (A 12∪A 15)＝212＝16. (2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝P (A 13∪A 14)＝212＝16，P (X ＝1)＝P (A 12∪A 15∪A 18∪A 19∪A 20∪A 21)＝612＝12，P (X ＝2)＝P (A 11∪A 16∪A 17)＝312＝14， P (X ＝3)＝P (A 10)＝112，所以X 的分布列为：∴X 的期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×14＋3×112＝54.D (X )＝(0－54)2×16＋(1－54)2×12＋(2－54)2×14＋(3－54)2×112＝1116.10．(2012·湖南理，17)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该 顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)[解析] (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310，P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15，P (X ＝3)＝10100＝110.X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i (i ＝1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P (A )＝P (X 1＝1且X 2＝1)＋P (X 1＝1且X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5且X 2＝1)． 由于各顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以 P (A )＝P (X 1＝1)×P (X 2＝1)＋P (X 1＝1)×P (X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5)×P (X 2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.。
高中数学(北师大版,选修23)第二章 概 率+课件+同步练习+章末归纳总结+综合测试(14份)第2章 6
第二章 §6一、选择题1．(2013·吉林白山一中高二期末)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 由正态分布的性质及条件P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)得，(c ＋1)＋(c －1)＝2×2，∴c ＝2.2．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)＝( )A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.1585 [答案] B[解析] P (X >4)＝12[1－P (2≤X ≤4)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7. 3．已知ξ～N (2，σ2)，P (ξ<4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84 [答案] A[解析] 因为ξ～N (2，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝2对称，所以P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝1－P (ξ<4)＝1－0.84＝0.16，故选A.二、填空题4．已知随机变量X ～N (3，σ2)，且P (X ≥4)＝0.16，则P (2<X ≤3)＝________.[答案] 0.34[解析] 如图可知P (X ≤2)＝P (X ≥4)＝0.16，所以P (2<X <4)＝1－P (X ≤2)－P (X ≥4)＝1－0.16－0.16＝0.68，所以P (2<X ≤3)＝12P (2<X <4)＝12×0.68＝0.34. 5．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．[答案] 0.8[解析] 由X ～N (1，σ2)可知，密度函数关于x ＝1对称，从而X 在(0,1)内取值的概率就等于在(1,2)内取值的概率．∵X ～N (1，σ2)，故X 落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.4，如图所示，故X 落在(0,1)内的概率为P (0<X <1)＋P (1<X <2)＝0.4＋0.4＝0.8.三、解答题6．某糖厂用自动打包机打包，每包质量X (单位：kg)服从正态分布N (100,1.22)，一公司从该糖厂进货1500包，试估计质量在下列范围内的糖包数量：(1)(100－1.2,100＋1.2)；(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．[解析] 因为X ～N (100,1.22)，所以μ＝100，σ＝1.2.(1)由于随机变量X 在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为0.683，而该正态分布中，μ－σ＝100－1.2，μ＋σ＝100＋1.2.于是糖包质量位于区间(100－1.2,100＋1.2)内的概率为0.683.所以估计质量在(100－1.2,100＋1.2)范围内的糖包数量为1500×0.683≈1025包．(2)由于随机变量X 在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率为0.997，而该正态分布中，μ－3σ＝100－3×1.2，μ＋3σ＝100＋3×1.2.于是糖包质量位于区间(100－3×1.2,100＋3×1.2)内的概率为0.997.所以估计质量在(100－3×1.2,100＋3×1.2)范围内的糖包数量为1500×0.997≈1496包.一、选择题1．设随机变量ξ服从标准正态分布N (0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P (|ξ|<1.96)＝( )A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.975[答案] C[解析] P (|ξ|<1.96)＝P (－1.96<ξ<1.96)＝P (ξ<1.96)－P (ξ≤－1.96)＝1－P (ξ≥1.96)－P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ<－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.2．若Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ(1－μσ) D ．2Φ(μ＋σ) [答案] B[解析] P (|ξ－μ|<σ)＝P (－σ<ξ－μ<σ)＝P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝P (ξ<μ＋σ)－P (ξ≤μ－σ)＝Φ(μ＋σ－μσ)－Φ(μ－σ－μσ)＝Φ(1)－Φ(－1)．故选B. 3．已知ξ～N (0，σ2)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)等于( )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4 [答案] A [解析] P (ξ>2)＋P (0≤ξ≤2)＋P (－2≤ξ≤0)＋P (ξ<－2)＝1，P (ξ>2)＝P (ξ<－2)，P (0≤ξ≤2)＝p (－2≤ξ≤0)，所以P (ξ>2)＝12×[1－2P (－2≤ξ≤0)]＝0.1. 4．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2[答案] A[解析] 根据正态分布的性质：对称轴方程x ＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可知选A.5．某地区数学考试的成绩X 服从参数为σ2＝64的正态分布，其正态分布密度函数图像如图所示，则成绩X 位于区间(52,68)内的概率为( )A ．0.954B ．0.997C ．0.683D ．不确定[答案] C[解析] 观察图中正态分布密度函数图像可知，对称轴为x ＝60，由正态分布密度函数图像的性质可知μ＝60.又σ2＝64，所以X 服从正态分布N (60,64)，由于52＝60－8,68＝60＋8，则成绩X 位于区间(52,68)内的概率为P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683.二、填空题6．如图所示为两条正态分布曲线．①为fμ1，σ1(x )的图像；②为fμ2，σ2(x )的图像．μ1________μ2，σ1________σ2(填“<”、“>”或“＝”)．[答案] < >[解析] 根据图像关于直线x ＝μ对称可知μ1<μ2，又由σ(σ>0)的大小决定图像的“胖瘦”，σ越小，图像越“高瘦”，可知σ1>σ2.7．某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命(单位：小时)为随机变量Y ，已知Y ～N (1 000,302)，要使灯管的平均寿命在1 000小时的概率为99.7%，问灯管的最低寿命应控制在________小时．[答案] 910[解析] 因为P (μ－3σ<Y <μ＋3σ)＝99.7%，又Y ～N (1 000,302)，所以Y 在(μ－3σ，μ＋3σ)即(910,1 090)内取值的概率为99.7%，故最低寿命应控制在910小时．三、解答题8．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X (万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (7,12)．投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，那么他应该选择哪一个方案？[解析] 对于第一种方案有X ～N (8,32)其中μ＝8，σ＝3，P (X >5)＝1－P (5<X ≤11)2＋P (5<X ≤11) ＝1＋P (5<X ≤11)2＝1＋0.6832对于第二种方案有X ～N (7,12)，其中μ＝7，σ＝1P (X >5)＝1－P (7－2<X ≤7＋2)2＋P (7－2<X ≤7＋2) ＝1＋P (7－2<X ≤7＋2)2＝1＋0.9542比较知，“利润超过5万元”的概率以第二种方案为大，可选第二个方案．[点评] 本题是利用正态曲线的对称性结合三个特殊区间概率的值求概率，要体会应用方法．9．设ξ～N (1,22)，试求：(1)P (－1<ξ≤3)；(2)P (3<ξ≤5)；(3)P (ξ≥5)．[分析] 由ξ～N (1,22)知，μ＝1，σ＝2，∴正态密度曲线关于直线x ＝1对称．[解析] ∵ξ～N (1,22)知，μ＝1，σ＝2.(1)P (－1<ξ≤3)＝P (1－2<ξ≤1＋2)＝P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.683.(2)∵P (3<ξ≤5)＝P (－3<ξ≤－1)，∴P (3<ξ≤5)＝12[P (－3<ξ≤5)－P (－1<ξ≤3)] ＝12[P (1－4<ξ≤1＋4)－P (1－2<ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ<μ＋σ)] ＝12[0.954－0.683]＝0.135 5. (3)P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)，∴P (ξ≥5)＝12[1－P (－3<ξ≤5)] ＝12[1－P (1－4<ξ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954)＝0.023. 10．乘出租车从学校到汽车站有两条路线可走，第一条路线的路程较短，但交通拥挤，所需的时间(单位：min)服从正态分布N (50,102)；第二知路线的路程较长，但阻塞较少，所需时间服从正态分布N (60,42)．问：如果有65min 时间可以利用，应走哪一条路线？[分析] 有关正态分布的概率问题，均应化为标准正态分布去处理．[解析] 设ξ为行走的时间，如有65min 时间可利用，则：(1)若走第一条路线，ξ～N (50,102)，及时赶到汽车站的概率为P (ξ≤65)＝Φ(65－5010)＝Φ(1.5)＝0.933 2； (2)若走第二条路线，ξ～N (60,42)，及时赶到汽车站的概率为P (ξ≤65)＝Φ(65－604)＝Φ(1.25)＝0.894 4. 显然走第一条路线及时赶到汽车站的概率大于第二条路线，故应走第一条路线．[点评]利用标准正态分布表可以顺利地求出服从正态分布的随机变量的概率，进而可使实际问题得到顺利地解决．。
高中数学 第二章 概率单元测评 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
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《概率》测评(时间90分钟,满分100分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1。
某地区气象台统计,该地区下雨的概率是154，刮风的概率为52,既刮风又下雨的概率为101，设A 为下雨，B 为刮风，那么P （B ｜A ）等于A 。
43 B.83 C 。
101 D 。
758答案：B 解析：P （A ）=154,P （AB ）=101，由条件概率公式P （B ｜A ）=83154101)()(==A P AB P .2.设离散型随机变量X 的概率分布如下:则q 的值为A 。
21B 。
41C 。
31 D.51答案：C 解析：∵61+31+61+q=1,∴q=31。
3。
某校高考数学成绩近似地服从正态分布N （100，102）,则此校数学成绩不低于120分的考生占总人数的百分比为A 。
46%B 。
23％C 。
2.3%D 。
4。
6% 答案：C 解析：P (μ—2σ<X 〈μ+2σ）=95.4％， 即P(80〈X<120)=95。
4％，2P(X ≥120）=1—P （80〈X<120）=4。
6％， ∴P(X ≥120)=2。
3％。
4.某兴趣小组共12人,有5名“三好学生”,现从中任选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，下列概率等于6123735C C C •的是 A.P(X=2) B 。
高中数学(北师大版,选修23)第二章 概 率+课件+同步练习+章末归纳总结+综合测试(14份)第2章综合测试
第二章综合测试时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (X ＝2)等于( ) A.316 B.4243 C.13243 D.80243[答案] D[解析] P (X ＝2)＝C 26⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫1－134＝80243. 2．设随机变量X ～B (n ，p )，且EX ＝1.6，DX ＝1.28，则( ) A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45[答案] A[解析] ∵X ～B (n ，p )，∴EX ＝np ，DX ＝np (1－p )，从而有⎩⎪⎨⎪⎧np ＝1.6np (1－p )＝1.28，解得n ＝8，p ＝0.2.3．从某地区的儿童中挑选体操运动员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任选一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320B.15C.14D.25[答案] D[解析] 设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ，则P (A )＝15，P (B )＝14.又A ，B 相互独立，则A ，B 也相互独立，则P (A B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35，故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (A B )＝25，选D.4．(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.78[答案] D[解析] 四位同学安排有16种方式，周六、周日都有同学参加以有下方式，周六1人，周日3人；周六2人；周六3人，周日1人；所以共有2C 14C 33＋A 22C 24C 222＝14，由古典概型的概率得P ＝1416＝78.计算古典概型的概率，要将基本事件空间和满足条件的基本事件数逐一计算准确． 5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机取2只，那么在第一只取为好的前提下，至多1只是坏的概率为( )A.112 B ．1 C.8384 D.184[答案] B[解析] 设事件A 表示“抽取第一只为好的”，事件B 为“抽取的两只中至多1只是坏的”，P (A )＝A 17A 19A 210＝710，P (AB )＝A 17A 13＋A 17A 16A 210＝710，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1. 6．(2011·湖北)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576[答案] B[解析] 可知K 、A 1、A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个能正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为P k ·P ＝0.9×0.96＝0.864.7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．P 1P 2B ．P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1)C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2) [答案] B[解析] 恰好有1人解决分两种情况： ①甲解决乙没解决： P ′＝P 1(1－P 2) ②甲没解决乙解决： P ″＝(1－P 1)P 2∴恰好有1人解决这个问题的概率P ＝P ′＋P ″＝P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1)． 8．设随机变量X 服从正态分布N (2,2)，则D ⎝⎛⎭⎫12X 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D ．4[答案] C[解析] 由X ～N (2,2)，即D (X )＝2， ∴D ⎝⎛⎭⎫12X ＝14D (X )＝12. 9．将一粒质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( )A.5216B.25216 C.31216 D.91216 [答案] D[解析] 质地均匀的骰子先后抛掷3次，共有6×6×6种结果．“3次均不出现6点向上”的有5×5×5种结果．由于抛掷的每一种结果都等可能出现的，所以“不出现6点向上”的概率为5×5×56×6×6＝125216，由对立事件的概率公式，知“至少出现一次6点向上”的概率是1－125216＝91216.故选D. 10．(2014·浙江理，9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)． 则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)[答案] C[解析] p 1＝m m ＋n ＋n m ＋n ×12＝2m ＋n2(m ＋n )，p 2＝3m 2－3m ＋2mn ＋n 2－n 3(m ＋n )(m ＋n －1)，p 1－p 2＝2m ＋n2(m ＋n )－3m 2－3m ＋2mn ＋n 23(m ＋n )(m ＋n －1)＝5mn ＋n (n －1)6(m ＋n )(m ＋n －1)>0，故p 1>p 2， E (ξ1)＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋n ×12＋1×2m ＋n 2(m ＋n )＝2m ＋n 2(m ＋n )， E (ξ2)＝3m 2－3m ＋2mn ＋n 2－n3(m ＋n )(m ＋n －1)，由上面比较可知E (ξ1)>E (ξ2)，故选C.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．(2010·重庆文，14)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为__________． [答案]370[解析] 本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法． 设加工出来的零件为次品为事件A ，则A 为加工出来的零件为正品． P (A )＝1－P (A )＝1－(1－170)(1－169)(1－168)＝370.12．某人乘公交车前往火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分钟)服从正态分布N (50,102)．则他在30～70分钟内赶上火车的概率为________．[答案] 0.954[解析] 因为X ～N (50,102)．即μ＝50，σ＝10，所以P (30<X <70)＝P (50－2×10<X <50＋2×10)＝0.954.13.(2013·九江一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．[答案] 34[解析] 小球落入B 袋中的概率为P 1＝(12×12×12)×2＝14，∴小球落入A 袋中的概率为P ＝1－P 1＝34. 14．某种动物从出生起算起，活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.3，现在一个10岁的这种动物，则它活到15岁的概率为________．[答案] 13[解析] 设事件A “能活到10岁”，事件B 为“能活到15岁”， 则P (A )＝0.9，P (B )＝0.3，而所求的概率为P (B |A )由于B ⊆A ，故A ∩B ＝B ，于是 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝P (B )P (A )＝0.30.9＝13. 15．(2012·新课标理，15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．[答案] 38[解析] 本题考查了正态分布有关知识．三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000,502)得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p ＝12.超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P 1＝1－(1－p )2＝34，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p 2＝p 1×p ＝38.正确理解正态分布的意义是解题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的概率分布列； (2)求得分大于6分的概率．[解析] (1)从袋中随机取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求分布列为(2)根据随机变量X 的分布列，可以得到得分大于6分的概率为：P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8) ＝1238＋135＝1335. [点评] 建立超几何分布的关键是求得P (X ＝k )的组合关系式，利用超几何分布的概率公式进行验证，然后利用公式求得取其他值的概率，建立分布列．17．(2013·江西理，18)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种．X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形， 所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形． 所以X 的分布列为：EX ＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.18．(2013·湖南理，18)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．[解析] (1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29.(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列． 因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)， P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)， 所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则 n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝n kN得P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝615＝25，P (X ＝4)＝315＝15.故所求的分布列为所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝34＋64＋90＋425＝46.19．某突发事件在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定使总费用最少的预防方案．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值)[分析] 本题是一道期望应用题．根据题意，应分别求出①不采取任何措施，②单独采取甲措施，③单独采取乙措施，④联合采取甲、乙措施，这四种情况的总费用，比较总费用，少者为应选方案．[解析] ①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3＝120(万元)；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失期望值为400×0.1＝40(万元)，故总费用为45＋40＝85(万元)；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，损失期望值为400×0.15＝60(万元)，故总费用为30＋60＝90(万元)；④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30＝75(万元)，发生突发事件的概率为(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，损失期望值为400×0.015＝6(万元)，故总费用为75＋6＝81(万元)．综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．[点评] 理解题意，将实际问题数学化，进而通过比较四种情况下的总费用多少来解决实际问题． 20．某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是12.构造数列{a n }，使a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，当第n 次出现正面时－1，当第n 次出现反面时，记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n (n 为正整数)． (1)求S 8＝2的概率； (2)求S 2≠0且S 8＝2的概率．[分析] (1)要使S 8＝2，需要8次中有5次正面，3次反面，则S 8＝2的概率可看作是求8次独立重复试验中成功5次的概率；(2)S 2≠0，即前两次同时出现正面或同时出现反面，此时S 2＝2或S 2＝－2，由此分析S 8＝2的概率可看作是求6次独立重复试验中成功3次或5次的概率．[解析] (1)S 8＝2的概率为C 58×⎝⎛⎭⎫125×⎝⎛⎭⎫123＝732.(2)①当前两次同时出现正面时，则后6次出现3次正面，相应的概率为12×12×C 36×(12)3×(12)3＝564. ②当前两次同时出现反面时，则后6次出现5次正面，相应的概率为12×12×C 56×(12)5×(12)1＝3128. 所以S 2≠0且S 8＝2的概率为564＋3128＝13128. [点评] 此题以数列的和为载体，解题时需理解a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，当第n 次出现正面时－1，当第n 次出现反面时的含义．实际上，此题是一个典型的n 次独立重复试验成功k 次的问题，不过用相关知识前，需要进行有效的转化．21．(2014·山东理，18)乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．[解析] (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3，由事件的独立性和互斥性， P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1) ＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3) ＝12×15＋15×16＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3) ＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为：所以，数学期望Eξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.。
2020学年高中数学第二章概率6正态分布课后巩固提升北师大版选修2-3(最新整理)
2019-2020学年高中数学第二章概率6 正态分布课后巩固提升北师大版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年高中数学第二章概率6 正态分布课后巩固提升北师大版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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6 正态分布［A组基础巩固］1．下列函数中哪个是正态分布密度函数( )A．f(x）＝错误!e222xμσ(-)-，μ和σ(σ>0)都是实数B．f(x)＝错误!e2 2 x -C．f(x)＝错误!e214x(-) -D．f(x)＝错误!e2 2 x解析：仔细对照正态分布密度函数：f(x）＝错误!·e222xμσ-(-)，x∈(－∞，＋∞)，注意指数上的σ和系数分母上的σ要一致,且指数部分是一个负数．选项A是错误的，错在系数部分中的σ应该在分母根号的外面．选项B是正确的，它是正态分布密度函数N(0,1)．选项C是错误的，从系数方面看σ＝2，可是从指数部分看σ＝错误!，不统一．选项D是错误的，指数部分缺少一个负号．所以，选择B。
答案：B2．关于正态曲线性质有下列叙述：(1）曲线关于直线x＝μ对称，这条曲线在x轴的上方；（2）曲线关于直线x＝0对称，这条曲线只有当x∈（－3σ，3σ）时，才在x轴的上方；(3）曲线关于y轴对称,因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4）曲线在x＝μ时位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低;（5）曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；(6）当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”,σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是( )A．只有（1)(4）（5)（6）B．只有（2)(4)(5）C．只有(3)(4)（5）（6) D．只有（1)(5）(6)解析:正态曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ时处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸时，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x 轴的上方，曲线的形状由σ确定，而且当μ一定时，比较若干不同的σ对应的正态曲线,可以发现σ越大,曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．答案:A3．设随机变量ξ服从正态分布N (0，1）,若P （ξ〉1)＝p ，则P (－1〈ξ〈0）＝（ ） A 。
2020-2021学年北师大版数学选修2-3课件：第二章 概 率 章末优化总结
[解析] (1)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4. P(X＝i)＝C4iCC8444－i(i＝0,1,2,3,4)． 即 X 的分布列为：
X0 1 2 3 4
P
1 70
8 35
18 35
8 35
1 70
(2)令 Y 表示此员工的月工资，则 Y 的所有可能取值为 2 100，2 800,3 500.
章末检测
从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个数之和为偶
数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝( )
1
1
A.8
B.4
C.25 [解析]
D.12 P(A)＝C23C＋25C22＝25，P(AB)＝CC2225＝110，
P(B|A)＝PPAAB＝14.
章末优化总结
网络 体系构建 专题 归纳整合
章末检测
考点 1 求解概率问题 1．在高考试题中，对概率的考查主要以古典概型、互斥事件、条件概率、相互独立 事件同时发生的概率、独立重复试验和二项分布的概率为基础，综合考查某一事件发 生的概率，进而通过计算期望与方差考查总体取值的平均水平和稳定性，这是高考的 必考内容，明确各个概率模型成立的条件是正确求解概率的关键． 2．求事件概率的关键是将事件分解为若干个小事件，然后利用概率的加法(互斥事件 的求和)、乘法(独立事件同时发生)或除法公式(条件概率)来求解．
则 P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝710，
P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝385， P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝5730. EY＝3 500×710＋2 800×385＋2 100×5730＝2 280. 所以此员工月工资的期望为 2 280 元．
北师大高中数学选修23作业：第2章 概率2 含解析
第二章 §2A 级 基础巩固一、选择题1．袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，那么下列事件中发生的概率为710的是( D )A ．都不是白球B ．恰有1个白球C ．至少有1个白球D ．至多有1个白球[解析] P (都不是白球)＝C 22C 25＝110，P (恰有1个白球)＝C 13C 12C 25＝35，P (至少有1个白球)＝C 13C 12＋C 23C 25＝910， P (至多有1个白球)＝C 22＋C 13C 12C 25＝710，故选D ． 2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是( D )A ．C 116C 24C 320B ．C 216C 24C 320C ．C 216C 14＋C 316C 320D ．以上均不对[解析] 至少有一个是一等品的概率是C 116C 24＋C 216C 14＋C 316C 04C 320或C 320－C 34C 320. 3．某电视台有一次对收看新闻节目观众的抽样调查中， 随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2人，则恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率为( B )A ．15B ．35C ．310D ．110[解析] 由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2人．设随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从参数为N ＝5，M ＝2，n ＝2的超几何分布，故P (X＝1)＝C 12C 13C 25＝35.4．若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球．今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( C ) A ．P (X ＝0) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)[解析] 当X ＝1时，有甲袋内取出的是白球，乙袋内取出的是红球或甲袋内取出的是红球，乙袋内取出的是白球个数是X ＝1时，有P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112. 5．一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽到1件次品的概率是( A )A ．C 12C 948C 1050B ．C 12C 950C 1050C ．C 12C 1050D ．C 948C 1050[解析] 50件产品中，次品有50×4%＝2件，设抽到的次品数为X ，则X 服从N ＝50，M＝2，n ＝10的超几何分布，其中抽到1件次品的概率是P (X ＝1)＝C 12C 948C 1050.二、填空题6．在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为__0.7__.[解析] 5名学生中抽取2人的方法有C 25种，至少有1名男生参加的可能结果有C 12C 13＋C 22种，所以概率为C 12C 13＋C 22C 25＝0.7. 7．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A 的概率是__0.001 8__. [解析] 因为一副扑克牌中有4张A ，所以根据题意，抽到扑克牌A 的张数X 为离散型随机变量，且X 服从参数为N ＝52，M ＝5，n ＝4的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4，根据超几何分布的公式得至少有3张A 的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552＝4×1 1282 598 960＋1×482 598 960≈0.001 8.故至少有3张A 的概率约为0.001 8.8．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为__37__.[解析] 设选出4人中，会说日语的人数为X ，则X 服从N ＝10，M ＝6，n ＝4的超几何分布．∴有两人会说日语的概率为：P (X ＝2)＝C 26C 24C 410＝37.三、解答题9．在装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，写出随机变量X 的概率分布列．[解析] 由题意知，随机变量X 的取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝110＝0.1，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝0.3(或P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝0.3)．故随机变量X 的概率分布列为：X 0 1 2 P0.10.60.310．某学院为了调查本校学生2019年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列．[解析] (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10. (2)随机变量Y 的所有可能取值为0、1、2. P (Y ＝0)＝C 230C 240＝2952；P (Y ＝1)＝C 110C 130C 240＝513；P (Y ＝2)＝C 210C 240＝352.所以Y 的分布列为：B 级 素养提升一、选择题1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)等于( C )A ．715B ．815C ．1415D ．1 [解析] 由题意，知X 取0,1,2，X 服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17·C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115，于是P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝715＋715＝1415.2．12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛，若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则C 35C 37C 612为( C )A ．P (X ＝6)B ．P (X ＝5)C ．P (X ＝3)D ．P (X ＝7)[解析] 由题意可知随机变量X 服从参数为N ＝12，M ＝5，n ＝6的超几何分布，由公式P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C nN 易知C 35C 37C 612表示的是k ＝X ＝3的取值概率． 二、填空题3．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__37__.[解析] 将50名学生看做一批产品，其中选修A 课程为不合格品，选修B 课程为合格品，随机抽取两名学生，X 表示选修A 课程的学生数，则X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝15，n ＝2.依题意所求概率为P (X ＝1)＝C 115C 2－150－15C 250＝37. 4．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，则其中出现次品的概率为__47245__.[解析] 设抽到次品的件数为X ，则X 服从参数为N ＝50，M ＝5，n ＝2的超几何分布，于是出现次品的概率为P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 2－150－5C 250＋C 25C 2－250－5C 250＝949＋2245＝47245.即出现次品的概率为47245或P ＝1－C 245C 250＝47245.三、解答题5．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：(1)甲答对试题数X 的分布列； (2)乙所得分数Y 的分布列．[解析] (1)X 的可能取值为0、1、2、3. P (X ＝0)＝C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝2)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 310＝16.所以甲答对试题数X 的分布列为(2)乙答对试题数可能为1、2、3，所以乙所得分数Y ＝5、10、15.P (Y ＝5)＝C 22C 18C 310＝115，P (X ＝10)＝C 12C 28C 310＝715，P (Y ＝15)＝C 38C 310＝715.所以乙所得分数Y 的分布列为6．(2019·长春高二检测)盒子中装着标有数字1、2、3、4、5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ξ的概率分布．[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23. (2)由题意ξ可能的取值为2、3、4、5，P (ξ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130，P (ξ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215，P (ξ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310，P (ξ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815.所以随机变量ξ的分布列为：C 级 能力拔高(2019·福建模拟)持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一．为此，某城市实施了机动车尾号限行措施，该市某报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：(2)若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列；(3)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记η为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率P (η＝k )取得最大值的整数k .[解析] (1)该市公众对“车辆限行”的赞成率约为3250×100%＝64%，被调查者年龄的平均值约为：20×5＋30×10＋40×15＋50×10＋60×5＋70×550＝43(岁)．(2)依题意得ξ＝0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 26C 210＝610×1545＝15，P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 26C 210＋C 24C 25·C 14·C 16C 210＝410×1545＋610×2425＝102225＝3475，P (ξ＝2)＝C 14C 25·C 14·C 16C 210＋C 24C 25·C 24C 210＝410×2445＋610×645＝66225＝2275，P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 24C 210＝410×645＝12225＝475，所以ξ的分布列是：(3)因为P(η＝k)＝C k32C20－k18C2050，其中k＝2,3,4，…，20，所以P(η＝k＋1)P(η＝k)＝C k＋132C19－k18C k32C20－k18＝(32－k)(20－k) (k＋1)(k－1)，当(32－k)(20－k)(k＋1)(k－1)≥1，即k≤12＋1752时，P(η＝k＋1)≥P(η＝k)；当(32－k)(20－k)(k＋1)(k－1)<1，即k>12＋1752时，P(η＝k＋1)<P(η＝k)，即P(η＝2)<P(η＝3)<P(η＝4)<…<P(η＝13)；P(η＝13)>P(η＝14)>P(η＝15)>…>P(η＝20)．故有P(η＝k)取得最大值时k＝13.。
高中数学第二章概率章末检测北师大版选修2_3
章末检测(二) 概 率时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某人射击的命中率为p (0＜p ＜1)，他向一目标射击，当第一次射中目标则停止射击，射击次数的取值是( )A ．1,2,3，…，nB ．1,2,3，…，n ，…C ．0,1,2，…，nD ．0,1,2，…，n ，…解析：射击次数至少1次，由于命中率p ＜1，所以，这个人可能永远不会击中目标． 答案：B2．若随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)＝( )A.19B.16C.14D.13解析：由分布列的性质12a ＋22a ＋32a ＝1，解得a ＝3，则P (X ＝2)＝22a ＝13.答案：D3．将一枚硬币连掷4次，出现“2个正面，2个反面”的概率是( ) A.12 B.38 C.25D ．1解析：掷一枚硬币一次看作一次试验，出现正面事件为A ，则P (A )＝12，而连掷4次可看成4次独立试验，由题意，硬币出现正面的次数X ～B (4，12)，故可得P (X ＝2)＝C 24·(12)2·(12)2＝38. 答案：B4．已知X ～B (n ，p )，EX ＝2，DX ＝1.6，则n ，p 的值分别为( ) A ．100,0.8 B ．20,0.4 C ．10,0.2D ．10,0.8解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2，np (1－p )＝1.6，解得p ＝0.2，n ＝10.答案：C5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么下列事件中发生的概率为710的是( )A ．都不是一等品B ．恰有1件一等品C ．至少有1件一等品D ．至多有1件一等品解析：P (都不是一等品)＝C 22C 25＝110，P (恰有1件一等品)＝C 13C 12C 25＝35，P (至少有1件一等品)＝C 13C 12＋C 23C 25＝910， P (至多有1件一等品)＝C 22＋C 13C 12C 25＝710. 答案：D6．随机变量X 的分布密度函数f (x )＝12πe22x - (x ∈R)，X 在(－2，－1)与(1,2)内取值的概率分别为P 1和P 2，则P 1和P 2的大小关系是( )A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．不能确定解析：由f (x )＝12πe22x -可知随机变量X ～N (0,1)，由于f (x )的图像关于直线x ＝0对称，且区间(－2，－1)与(1,2)为两个对称区间，故P 1＝P 2.答案：C7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个问题的概率是P 2，那么其中至少有一人能解决这个问题的概率是( )A ．P 1＋P 2B ．P 1·P 2C ．1－P 1·P 2D ．1－(1－P 1)·(1－P 2)解析：至少有1人能解决这个问题的对立事件是两人都不能解决，两人解决问题是相互独立的，故所求概率为1－(1－P 1)·(1－P 2)．答案：D8．设ξ为离散型随机变量，则E (E ξ－ξ)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定解析：∵E ξ是常数，∴E (E ξ－ξ)＝E ξ－E ξ＝0. 答案：A9．已知X 的分布列为：设Y ＝2X ＋1，则Y 的数学期望EY 的值是( ) A ．－16B.23 C ．1D.2936解析：EY ＝2EX ＋1，由已知得a ＝13，∴EX ＝－12＋13＝－16，∴EY ＝23.答案：B10．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49 B.190C.45D.59解析：该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.答案：B11．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X ～N (110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )A ．(90,100]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]解析：∵X ～N (110,52)， ∴μ＝110，σ＝5，5760＝0.95≈P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ) ＝P (100＜X ≤120)． 答案：C12．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116 B.18 C.316D.14解析：满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.所以所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13．设随机变量X ～B (4，13)，则P (X ≥3)＝________.解析：P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝C 34(13)3×23＋C 44(13)4＝881＋181＝981＝19. 答案：1914．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员投中3分的概率是________．解析：由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以投中3分的概率是16. 答案：1615．两台车床加工同一种机械零件质量情况如下表：从这100个零件中任取一个零件，取得的零件是甲机床加工的产品，则是合格品的概率是________．解析：记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件A ，记“从100个零件中任取一件取得合格品”为事件B .则P (B |A )＝n (AB )n (A )＝3540＝0.875. 答案：0.87516．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望EX ＝________.解析：由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的概率分布为：EX ＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：53三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？ (2)成绩在80～90间的学生占多少？解析：(1)设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10. 分析成绩在60～80之间的学生的占比为：P (70－10＜X ≤70＋10)＝0.683，所以成绩不及格的学生的占比为： 12(1－0.683)＝0.158 5， 即成绩不及格的学生占15.85%.(2)成绩在80～90之间的学生的占比为：12[P (70－2×10＜X ≤70＋2×10)－P (70－10＜x ≤70＋10)]＝12(0.954－0.683)＝0.135 5，即成绩在80～90之间的学生占13.55%.18．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X 表示．据统计，随机变量X 的概率分布如下表所示.(1)求a 的值和X 的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解析：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1， 解得a ＝0.2. ∴X 的概率分布为：∴EX ＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”；事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．则由事件的独立性，得P (A 1)＝C 12P (X ＝2)·P (X ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，P (A 2)＝[P (X ＝1)]2＝0.32＝0.09，∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.19．(12分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列，期望和方差；(2)若η＝a ξ＋b ，E η＝1，D η＝11，试求a ，b 的值．解析：(1)由题意，得ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120，P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320，P (ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为：以E ξ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D ξ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (a ξ＋b )＝a 2D ξ＝11，E (a ξ＋b )＝aE ξ＋b ＝1，及E ξ＝1.5，D ξ＝2.75，得2.75a 2＝11,1.5a ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝－2或a ＝－2，b ＝4.20．(12分)把一副扑克(除去大小王)的52张随机均分给赵、钱、孙、李四家，A ＝{赵家得到6张草花(梅花)}，B ＝{孙家得到3张草花}．(1)计算P (B |A )； (2)计算P (A ∩B )．解析：(1)四家各有13张牌，已知A 发生后，A 的13张牌已固定，余下的39张牌中恰有7张草花，在另三家中的分派是等可能的．问题已经转变成：39张牌中有7张草花，将这39张牌随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到3张草花的概率 .于是P (B |A )＝C 37C 1039－7C 1339≈0.278.(2)在52张牌中任选13张牌有C 1352种不同的等可能的结果．于是Ω中的元素为C 1352，A 中的元素数为C 613C 739，利用条件概率公式得到P (A ∩B )＝P (A )P (B |A )＝C 613C 739C 1352×0.278≈0.012.21．(12分)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．解析：(1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为故X 的数学期望为EX ＝2×14＋3×34＝114.22．(14分)从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求：(1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．解析：(1)设“选出的3位同学中，至少有一位男同学”为事件A ，则事件A 为“选出的3位同学中没有男同学”，而P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56.即选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为56.(2)设“女同学甲和男同学乙被选中”为事件A ，“女同学甲通过测验”为事件B ，“男同学乙通过测验”为事件C ，则“甲、乙同学被选中且通过测验”为事件A ∩B ∩C ，由条件知A 、B 、C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35，所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125.即甲、乙同学被选中且通过测验的概率为4125.。
高中数学 第二章 第十五课时《概率》本章小结与复习(一)教案 北师大版选修2-3
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
北师大高中数学选修23作业：第2章 概率4 含解析
第二章 §4A 级 基础巩固一、选择题1．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为( C )A ．0.93×0.1B ．0.93C ．C 34×0.93×0.1D ．1－0.13[解析] 由独立重复试验公式可知选C ．2．口袋中有5只白色乒乓球，5只黄色乒乓球，从中任取5次，每次取1只后又放回，则5次中恰有3次取到白球的概率是( D )A ．12B ．35C ．C 35C 510D ．C 35·0.55 [解析] 本题是独立重复试验，任意取球5次，取得白球3次的概率为C 350.53(1－0.5)5－3＝C 350.55.3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( B )A ．16625B ．96625C ．192625D ．256625[解析] P ＝C 24⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫152＝96625. 4．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)＝( C )A ．C 23⎝⎛⎭⎫142×34 B ．C 23⎝⎛⎭⎫342×14 C ．⎝⎛⎭⎫142×34D ．⎝⎛⎭⎫342×145．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( A )A ．[0.4,1)B ．(0,0.4]C ．[0.6,1)D ．(0,0.6][解析] 由条件知P (ξ＝1)≤P (ξ＝2)，∴C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，∴2(1－p )≤3p ，∴p ≥0.4，又0≤p <1，∴0.4≤p <1.6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( D )A ．0.216B ．0.36C ．0.432D ．0.648[解析] 甲获胜有两种情况，一是甲以20获胜，此时p 1＝0.62＝0.36；二是甲以21获胜，此时p 2＝C 12·0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p ＝p 1＋p 2＝0.648. 二、填空题7．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有__①③__.①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数(M <N )；④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数．[解析] 对于①，设事件A 为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P (A )＝13.而在n次独立重复试验中事件A 恰好发生了k 次(k ＝0、1、2……n )的概率P (ξ＝k )＝C k n ×⎝⎛⎭⎫13k ×⎝⎛⎭⎫23n －k，符合二项分布的定义，即有ξ～B (n ，13)．对于②，ξ的取值是1、2、3……P (ξ＝k )＝0.9×0.1k －1(k ＝1、2、3……n )，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n 次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B ⎝⎛⎭⎫n ，M N . 故应填①③.8．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0<p <1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为__1－(1－p )n __.[解析] 所有同学都不通过的概率为(1－p )n ，故至少有一位同学通过的概率为1－(1－p )n . 9．如果X ～B (20，p )，当p ＝12且P (X ＝k )取得最大值时，k ＝__10__.[解析] 当p ＝12时，P (X ＝k )＝C k 20⎝⎛⎭⎫12k ·⎝⎛⎭⎫1220－k ＝⎝⎛⎭⎫1220·C k20，显然当k ＝10时，P (X ＝k )取得最大值． 三、解答题10．(2019·大连高二检测)某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量(单位：克)，整理后得到如下的频率分布直方图(其中重量的分组区间分别为(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515])．(1)若从这40件产品中任取2件，设X 为重量超过505克的产品数量，求随机变量X 的分布列；(2)若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．[解析] (1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12，由题意得随机变量X 的所有可能取值为0,1,2， P (X ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (X ＝1)＝C 128C 112C 240＝2865，P (X ＝2)＝C 212C 240＝11130.∴随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 P63130286511130(2)由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，设Y 为从该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则Y ～B (5,0.3)，故所求概率为P (Y ＝2)＝C 25×0.32×0.73＝0.308 7. B 级 素养提升一、选择题1．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( B )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5[解析] 由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C 35(12)3(12)2＝C 35(12)5＝C 25(12)5. 2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( A )A ．0.665B ．0.56C ．0.24D ．0.285[解析] 设A ＝“从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的”，B ＝“从市场上买到一个灯泡是合格品”，则A 、B 相互独立，则事件AB ＝“从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡”．∵P (A )＝0.7，P (B |A )＝0.95，∴P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝0.7×0.95＝0.665. 二、填空题3．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为__1127__.[解析] 由条件知，P (X ＝0)＝1－P (X ≥1)＝49＝C 02P 0(1－P )2，∴P ＝13， ∴P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1－C 04P 0(1－P )4－C 14P (1－P )3＝1－1681－3281＝1127.4．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为__35__.[解析] 设篮球运动员罚球的命中率为P ，则由条件得P (ξ＝2)＝1－1625＝925，∴C 22·P 2＝925，∴P ＝35.三、解答题5．某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列．[解析] 设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C ．(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D ＝A ＋BC ， ∵P (A )＝12×12＝14，P (B )＝2×12×(1－12)＝12，P (C )＝310，∴P (D )＝P (A ＋BC )＝P (A )＋P (B )P (C )＝25.(2)根据题意，X ＝0,1,2,3,4， ∵P (X ＝0)＝C 04×(35)4＝81625， P (X ＝1)＝C 14×25×(35)3＝216625， P (X ＝2)＝C 24×(25)2×(35)2＝216625， P (X ＝3)＝C 34×(25)3×35＝96625， P (X ＝4)＝C 44×(25)4×(35)0＝16625. ∴X 的分布列为：6．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，求X 的分布列．[解析] (1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P ＝13.(2)由题意知：X ＝0,1,2,3. ∵P (X ＝0)＝C 03·(23)3＝827， P (X ＝1)＝C 13·(13)1·(23)2＝49， P (X ＝2)＝C 23·(13)2·(23)1＝29， P (X ＝3)＝C 33·(13)3＝127. ∴X 的分布列如下：C 级 能力拔高(2019·吉林高二检测)清明节小长假期间，某公园推出飞镖和摸球两种游戏，甲参加掷飞镖游戏，已知甲投中红色靶区的概率为12，投中蓝色靶区的概率为14，不能中靶概率为14；该游戏规定，投中红色靶区记2分，投中蓝色靶区记1分，未投中标靶记0分；乙参加摸球游戏，该游戏规定，在一个盒中装有大小相同的10个球，其中6个红球和4个黄球，从中一次摸出3个球，一个红球记1分，黄球不记分．(1)求乙恰得1分的概率；(2)求甲在4次投掷飞镖中恰有三次投中红色靶区的概率； (3)求甲两次投掷后得分ξ的分布列．[解析] (1)设“乙恰得1分”为事件A ，则P (A )＝C 24C 16C 310＝310.(2)因每次投掷飞镖为相互独立事件，故在4次投掷中，恰有3次投中红色靶区的概率P 4(3)＝C 34(12)3(1－12)＝14. (3)两次投掷后得分ξ的取值为0、1、2、3、4， 且P (ξ＝0)＝14×14＝116；P (ξ＝1)＝C 12×14×14＝18； P (ξ＝2)＝C 12×12×14＋14×14＝516； P (ξ＝3)＝C 12×12×14＝14； P (ξ＝4)＝12×12＝14，∴ξ的分布列为：。
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章末检测(二) 概 率时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某人射击的命中率为p (0＜p ＜1)，他向一目标射击，当第一次射中目标则停止射击，射击次数的取值是( )A ．1,2,3，…，nB ．1,2,3，…，n ，…C ．0,1,2，…，nD ．0,1,2，…，n ，…解析：射击次数至少1次，由于命中率p ＜1，所以，这个人可能永远不会击中目标． 答案：B2．若随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)＝( )A.19B.16C.14D.13解析：由分布列的性质12a ＋22a ＋32a ＝1，解得a ＝3，则P (X ＝2)＝22a ＝13.答案：D3．将一枚硬币连掷4次，出现“2个正面，2个反面”的概率是( ) A.12 B.38 C.25D ．1解析：掷一枚硬币一次看作一次试验，出现正面事件为A ，则P (A )＝12，而连掷4次可看成4次独立试验，由题意，硬币出现正面的次数X ～B (4，12)，故可得P (X ＝2)＝C 24·(12)2·(12)2＝38. 答案：B4．已知X ～B (n ，p )，EX ＝2，DX ＝1.6，则n ，p 的值分别为( ) A ．100,0.8 B ．20,0.4 C ．10,0.2D ．10,0.8解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2，np (1－p )＝1.6，解得p ＝0.2，n ＝10.答案：C5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么下列事件中发生的概率为710的是( )A ．都不是一等品B ．恰有1件一等品C ．至少有1件一等品D ．至多有1件一等品解析：P (都不是一等品)＝C 22C 25＝110，P (恰有1件一等品)＝C 13C 12C 25＝35，P (至少有1件一等品)＝C 13C 12＋C 23C 25＝910，P (至多有1件一等品)＝C 22＋C 13C 12C 25＝710. 答案：D6．随机变量X 的分布密度函数f (x )＝12πe 22x - (x ∈R)，X 在(－2，－1)与(1,2)内取值的概率分别为P 1和P 2，则P 1和P 2的大小关系是( )A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．不能确定解析：由f (x )＝12πe 22x -可知随机变量X ～N (0,1)，由于f (x )的图像关于直线x ＝0对称，且区间(－2，－1)与(1,2)为两个对称区间，故P 1＝P 2.答案：C7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个问题的概率是P 2，那么其中至少有一人能解决这个问题的概率是( )A ．P 1＋P 2B ．P 1·P 2C ．1－P 1·P 2D ．1－(1－P 1)·(1－P 2)解析：至少有1人能解决这个问题的对立事件是两人都不能解决，两人解决问题是相互独立的，故所求概率为1－(1－P 1)·(1－P 2)．答案：D8．设ξ为离散型随机变量，则E (Eξ－ξ)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定解析：∵Eξ是常数，∴E (Eξ－ξ)＝Eξ－Eξ＝0. 答案：A9．已知X 的分布列为：设Y ＝2X ＋1，则Y 的数学期望EY 的值是( ) A ．－16B.23 C ．1D.2936 解析：EY ＝2EX ＋1，由已知得a ＝13，∴EX ＝－12＋13＝－16，∴EY ＝23.答案：B10．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49 B.190 C.45D.59解析：该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.答案：B11．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X ～N (110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )A ．(90,100]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]解析：∵X ～N (110,52)， ∴μ＝110，σ＝5，5760＝0.95≈P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ) ＝P (100＜X ≤120)． 答案：C12．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.14解析：满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. 所以所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13．设随机变量X ～B (4，13)，则P (X ≥3)＝________.解析：P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝C 34(13)3×23＋C 44(13)4＝881＋181＝981＝19. 答案：1914．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员投中3分的概率是________．解析：由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以投中3分的概率是16. 答案：1615．两台车床加工同一种机械零件质量情况如下表：从这100个零件中任取一个零件，取得的零件是甲机床加工的产品，则是合格品的概率是________．解析：记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件A ，记“从100个零件中任取一件取得合格品”为事件B .则P (B |A )＝n (AB )n (A )＝3540＝0.875. 答案：0.87516．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望EX ＝________.解析：由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的概率分布为：EX ＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：53三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？ (2)成绩在80～90间的学生占多少？解析：(1)设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10. 分析成绩在60～80之间的学生的占比为： P (70－10＜X ≤70＋10)＝0.683， 所以成绩不及格的学生的占比为： 12(1－0.683)＝0.158 5， 即成绩不及格的学生占15.85%.(2)成绩在80～90之间的学生的占比为：12[P (70－2×10＜X ≤70＋2×10)－P (70－10＜x ≤70＋10)]＝12(0.954－0.683)＝0.135 5， 即成绩在80～90之间的学生占13.55%.18．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X 表示．据统计，随机变量X 的概率分布如下表所示.(1)求a 的值和X 的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解析：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1，解得a ＝0.2. ∴X 的概率分布为：∴EX ＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”；事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．则由事件的独立性，得P (A 1)＝C 12P (X ＝2)·P (X ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08， P (A 2)＝[P (X ＝1)]2＝0.32＝0.09， ∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.19．(12分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列，期望和方差；(2)若η＝aξ＋b ，Eη＝1，Dη＝11，试求a ，b 的值．解析：(1)由题意，得ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120，P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320，P (ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为：以Eξ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，Dξ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (aξ＋b )＝a 2Dξ＝11，E (aξ＋b )＝aEξ＋b ＝1，及Eξ＝1.5，Dξ＝2.75，得2.75a 2＝11,1.5a ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝－2或a ＝－2，b ＝4.20．(12分)把一副扑克(除去大小王)的52张随机均分给赵、钱、孙、李四家，A＝{赵家得到6张草花(梅花)}，B＝{孙家得到3张草花}．(1)计算P(B|A)；(2)计算P(A∩B)．解析：(1)四家各有13张牌，已知A发生后，A的13张牌已固定，余下的39张牌中恰有7张草花，在另三家中的分派是等可能的．问题已经转变成：39张牌中有7张草花，将这39张牌随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到3张草花的概率.于是P(B|A)＝C37C1039－7C1339≈0.278.(2)在52张牌中任选13张牌有C1352种不同的等可能的结果．于是Ω中的元素为C1352，A中的元素数为C613C739，利用条件概率公式得到P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝C613C739C1352×0.278≈0.012.21．(12分)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．解析：(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝3 4.所以X的分布列为故X 的数学期望为EX ＝2×14＋3×34＝114.22．(14分)从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求：(1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．解析：(1)设“选出的3位同学中，至少有一位男同学”为事件A ，则事件A 为“选出的3位同学中没有男同学”，而P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56.即选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为56.(2)设“女同学甲和男同学乙被选中”为事件A ，“女同学甲通过测验”为事件B ，“男同学乙通过测验”为事件C ，则“甲、乙同学被选中且通过测验”为事件A ∩B ∩C ，由条件知A 、B 、C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35，所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125.即甲、乙同学被选中且通过测验的概率为4125.。