初中几何证明题思路及做辅助线总结
初中数学做辅助线的方法总结
初中数学做辅助线的方法总结
在初中数学中，做辅助线是解题的重要方法之一。
以下总结了几
种常见的做辅助线的方法：
1. 对称性辅助线法：当一个图形或方程式具有对称性时，可以
画出一条对称轴或一些对称线，从而利用对称性来简化问题。
例如，
在求三角形的中线长度相等定理时，可以描绘出三角形的垂直平分线，并在中点处作垂线，得到两个相等的直角三角形。
2. 垂线辅助线法：当一个角、线段或线段的垂线很难直接操作时，可以画出一条垂线，将问题转化为一个直角三角形问题。
例如，
在求一条线段的垂线长度时，可以先画出一条垂线与该线段相交，并
组成一个直角三角形。
3. 平移辅助线法：当一个几何图形或方程式涉及到平移时，可
以通过向图形或方程式添加平移线或平移量来使问题变得简单。
例如，在证明平行四边形对角线平分的定理时，可以平移一个平行四边形，
使其成为一个重合的平行四边形，从而使问题变得简单。
4. 分割辅助线法：当一个图形或方程式很复杂时，可以通过将
其分解成几个简单的部分来解题。
例如，在求多边形面积时，可以将
多边形分割成几个三角形或梯形，并将它们的面积相加，从而得到多
边形的面积。
总之，做辅助线的方法不只有以上四种，还可以根据具体问题的
不同情况选用其他的方法。
需要注意的是，在使用辅助线时，要注意
画出清晰的图形，并理解各种辅助线的作用，才能有效地解决问题。
几何证明题辅助线基本方法
几何证明题辅助线基本方法几何证明题是数学中的一种重要题型，需要通过逻辑推理和几何知识来证明给定的几何关系。
在解决几何证明题时，辅助线是一种常用的策略，可以帮助我们简化问题、构建更简洁的证明过程。
本文将介绍几何证明题中常用的辅助线基本方法。
1. 平行辅助线法当我们需要证明两条线段平行时，可以在图形中引入一条辅助线来构建平行关系。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能存在平行关系的线段。
2. 在相应的位置引入一条辅助线。
3. 利用平行线的性质进行推理，证明所需的平行关系。
2. 相等辅助线法当我们需要证明两个线段相等时，可以通过引入一条相等的辅助线来简化证明过程。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能具有相等关系的线段。
2. 在相应的位置引入一条相等的辅助线。
3. 利用等边、等角等性质进行推理，证明所需的相等关系。
3. 垂直辅助线法当我们需要证明两条线段垂直时，可以通过引入一条垂直的辅助线来简化证明过程。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能具有垂直关系的线段。
2. 在相应的位置引入一条垂直的辅助线。
3. 利用垂直线的性质进行推理，证明所需的垂直关系。
4. 同位角辅助线法当我们需要证明两条直线的同位角相等时，可以通过引入同位角的辅助线来简化证明过程。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能存在同位角的直线。
2. 在相应的位置引入同位角的辅助线。
3. 利用同位角的性质进行推理，证明所需的同位角相等关系。
5. 其他辅助线方法除了上述介绍的常用辅助线方法外，还可以根据具体的几何证明题目选择其他辅助线的方法。
例如，可以利用中位线、角平分线、内切圆、外接圆等辅助线，根据题目要求灵活运用。
综上所述，几何证明题辅助线基本方法包括平行辅助线法、相等辅助线法、垂直辅助线法、同位角辅助线法等。
通过合理引入辅助线，可以帮助我们简化问题、构建更简洁的证明过程，提高解题效率。
在实际解题中，我们需要综合运用不同的辅助线方法，根据题目要求灵活选择适合的策略。
初中数学几何证明题怎么做辅助线,怎么做好辅助线
初中数学几何证明题怎么做辅助线，怎么做好辅助线
这个不能一概而论。
至于几何证明问题，每个问题都有解决方案，因问题而异。
如果在证明问题中不知道怎么做辅助线，多练习去发现这类问题，多练习多看，自然就能发现辅助线这类问题的一定规律。
此外，老师应该谈论这类话题的一些常见类型。
你应该从根本上理解这些常见的类型。
遇到类似的题目，可以依靠这些辅助线的常用做法。
初中数学没那么复杂，常见的题也就那么几个。
你可以对它们进行分类总结。
我知道我朋友的孩子数学也不太好。
他刚刚在快乐学网上找到苏航老师辅导，初三面临中考。
听朋友讲，苏航老师讲的很仔细很认真，主要是老师把常见的问题总结的很到位，正好解决了你不会做辅助线的问题。
老师会总结常见的辅助线，你可以认真背，老师会用大量的练习巩固。
学数学，了解了课文的基础知识，掌握了常见题的做法，再刷很多题，多做，多看，自然就有了题感，数学教程好，很容易出成绩，加油。
完整)初中数学几何辅助线技巧
完整)初中数学几何辅助线技巧
几何常见辅助线口诀
三角形
在三角形中，可以使用角平分线来构造垂线，也可以将图形对折以后进行对称，从而得到更多的关系。
同时，角平分线还可以和平行线一起使用，来构造等腰三角形。
另外，在线段问题中，垂直平分线常常被用来将线段连接起来，而线段和差的问题可以通过延长或缩短线段来解决。
四边形
在处理平行四边形时，可以使用对称中心和等分点来进行计算。
对于梯形问题，可以将其转换为三角形或平行四边形，然后利用已有的知识来解决。
如果出现腰中点，可以连接中位线来解决问题。
如果以上方法都无法奏效，可以尝试使用全等来解决问题。
在证明相似时，可以使用比例和平行线的关系来辅助证明。
圆形
在圆形问题中，可以利用半径和弦长来计算弦心距。
如果出现切线，可以使用勾股定理来计算其长度。
要想证明一条线段是切线，需要利用半径垂线进行辨别。
在处理弧的问题时，需要记住垂径定理和圆周角的性质。
如果要作出内接或外接圆，需要将各边的中垂线或角平分线连起来。
如果遇到相交圆，需要注意作出公共弦。
最后，如果要证明等角关系，可以使用角平分线来构造辅助线。
由角平分线想到的辅助线
在使用角平分线时，可以通过截取构造全等来解决问题。
也可以在角分线上的点向两边作垂线，来构造全等三角形。
同时，三线合一也可以用来构造等腰三角形。
最后，在处理角平分线和平行线问题时，可以使用线段的加减和移动来解决问题。
几何证明题辅助线经典方法
几何证明题辅助线经典方法
引言
几何证明题是数学中常见的题型，也是学生们认识几何图形、发现几何规律的重要手段。
辅助线是解决几何证明题时常用的方法之一，本文将介绍几种经典的辅助线方法。
方法一：画垂直平分线
对于某些几何图形中的线段，我们可以通过画垂直平分线来辅助证明。
垂直平分线将线段分成两等分，从而在几何证明过程中起到重要的辅助作用。
方法二：画过顶点的高
在证明三角形相等或等腰三角形时，辅助线中的高是常见的方法之一。
通过画一条从顶点到对边的垂线，我们可以将几何图形转化为更容易处理的形式，从而证明所需结论。
方法三：画过顶点的中位线
在证明平行四边形或矩形时，辅助线中的中位线是一种常见的
方法。
通过画一条从顶点到对边中点的线段，我们可以将问题简化，并且利用矩形或平行四边形的性质得到所需结论。
方法四：画三角形的内切圆
在证明三角形的某些性质时，画三角形的内切圆是一种常见的
辅助线方法。
内切圆与三角形的各边均相切，通过利用内切圆的性质，我们可以得到有关三角形的一些重要结论。
方法五：画过顶点的角平分线
在证明两角相等或证明某些三角形相似时，画过顶点的角平分
线是一种常见的辅助线方法。
通过将角细分为两等分，我们可以得
到有关角度的一些重要关系，从而得到所需结论。
结论
辅助线方法在解决几何证明题时起到了重要的作用。
以上介绍
的几种经典辅助线方法仅是其中的一部分，通过熟练掌握这些方法，并结合具体问题，我们可以更好地解决几何证明题，提高数学水平。
名师总结,初中几何学习辅助线“口诀”整理
初中几何辅助线“口诀”大全及练习一初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
二、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
初中 几何 辅助线 思路
初中几何辅助线思路
在初中几何中，当我们遇到一些看似复杂的问题时，常常需要添加辅助线来帮助我们解决问题。
以下是一些常见的添加辅助线的思路：
1. 构造中点：通过构造中点，我们可以利用中点定理来解决问题。
中点定理告诉我们，如果一条线段的中点被找到，那么可以通过这条中点作一条垂线或平行线，将问题简化为一个更简单的问题。
2. 延长或截取：在某些情况下，通过延长或截取线段，我们可以使图形的形状更加明显，从而更容易找到解题思路。
3. 平行线构造：平行线的性质可以为我们提供很多有用的信息。
通过构造平行线，我们可以利用平行线的性质来解决问题。
4. 作垂线：在处理与矩形、菱形等四边形有关的问题时，我们可以通过作垂线来构造直角三角形，从而利用勾股定理等三角函数性质来解决问题。
5. 利用30度角：在一些与30度角有关的问题中，我们可以构造一条过30度角的线段，从而利用30度角的一些特殊性质来解决问题。
6. 连接两点：连接两点构造一条线段，可以通过这条线段找到一些与问题相关的信息，从而更容易解决问题。
7. 作平行四边形：通过作平行四边形，我们可以利用平行四边形的性质来解决问题。
8、在添加辅助线时，我们需要注意以下几点：
要明确添加辅助线的目的，不要为了添加而添加。
要根据题目的条件和要求，选择合适的方法添加辅助线。
在添加辅助线后，要仔细分析图形的形状和性质，从而找到解决问题的关键点。
总之，在初中几何中添加辅助线是一项非常重要的技能。
通过不断练习和掌握常见的辅助线方法，我们可以更好地解决各种几何问题，提高自己的数学水平。
初中几何证明题思路及做辅助线总结
中考几何题证明思路总结一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等;2.同一三角形中等角对等边;3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边;4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等;5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等;6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等;7.角平分线上任一点到角的两边距离相等;8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等;二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等;2.同一三角形中等边对等角;3.等腰三角形中,底边上的中线或高平分顶角;4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等;5.同角或等角的余角或补角相等;6.同圆或圆中,等弦或弧所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角;三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行;2.同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行;3.平行四边形的对边平行;4.三角形的中位线平行于第三边;5.梯形的中位线平行于两底;6.平行于同一直线的两直线平行;7.一条直线截三角形的两边或延长线所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边;四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边;2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角;3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角;4.邻补角的平分线互相垂直;5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条;6.两条直线相交成直角则两直线垂直;7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上;8.利用勾股定理的逆定理;9.利用菱形的对角线互相垂直;10.在圆中平分弦或弧的直径垂直于弦;11.利用半圆上的圆周角是直角;五、证明线段的和、差、倍、分1.作两条线段的和,证明与第三条线段相等;2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段,证明余下部分等于第二条线段;3.利用一些定理三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等;六、证明角的和、差、倍、分1.作两个角的和,证明与第三角相等;2.作两个角的差,证明余下部分等于第三角;3.利用角平分线的定义;4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;第一讲：如何做几何证明题例题精讲专题一证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系;很多其它问题最后都可化归为此类问题来证;证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到;例1已知：如图所示,∆A B C 中,∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，; 求证：DE ＝DF巩固如图所示,已知∆A B C 为等边三角形,延长BC 到D,延长BA 到E,并且使AE ＝BD,连结CE 、DE;求证：EC ＝ED例2已知：如图所示,AB ＝CD,AD ＝BC,AE ＝CF; 求证：∠E ＝∠FF EDC BA ACEDFBABDCE专题二证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置;证两直线平行,可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明;证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90°,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证; 例3如图所示,设BP 、CQ 是∆A B C 的内角平分线,AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线; 求证：KH ∥BC例4已知：如图所示,AB ＝AC,∠，，A A E B F B D D C =︒==90; 求证：FD ⊥ED专题三证明线段和的问题一在较长线段上截取一线段等一较短线段,证明其余部分等于另一较短线段;截长法 例5如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC,点E 是AB 上一个动点,若∠B ＝60°,AB ＝BC, 且∠DEC ＝60°； 求证：BC ＝AD ＋AE巩固已知：如图,在∆A B C 中,∠=︒B 60,∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O; 求证：AC ＝AE ＋CDABCDEF E DCBAAOE BDABQP HCK二延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段等于较长线段;补短法例6 已知：如图7所示,正方形ABCD 中,F 在DC 上,E 在BC 上,∠=︒E A F 45; 求证：EF ＝BE ＋DF专题四证明几何不等式：例7已知：如图所示,在∆A B C 中,AD 平分∠BAC,AB AC >; 求证：B DD C>拓展∆A B C 中,∠=︒⊥B A C A D B C 90，于D,求证：()A D AB AC B C <++14FED CBAAC BDBCDA基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目,常将中线加倍;含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题;方法2：含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题;方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理;方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段;2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形包括矩形、正方形、菱形的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下：1连对角线或平移对角线：2过顶点作对边的垂线构造直角三角形3连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线4连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形;5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形;它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决;辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线有：1在梯形内部平移一腰;2梯形外平移一腰3梯形内平移两腰4延长两腰5过梯形上底的两端点向下底作高6平移对角线7连接梯形一顶点及一腰的中点;8过一腰的中点作另一腰的平行线;9作中位线当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的;通过辅助线这座桥梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键;。
初中数学辅助线应用技巧总结
初中数学辅助线应用技巧总结数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，而辅助线是在解决数学问题时起到辅助作用的直线。
学会灵活运用辅助线可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
本文将总结几种初中数学辅助线的应用技巧。
一、应用技巧1：利用垂直线垂直线是辅助线中最常见的一种。
在解决几何问题时，垂直线可以帮助我们确定几何图形的性质。
例如，在求解平面几何问题时，我们可以利用垂直线来证明两条直线垂直。
在作图时，通过画出垂直线可以辅助我们队几何图形进行分析。
二、应用技巧2：运用平行线平行线也是常用的辅助线之一。
在解决平面几何问题时，可以利用平行线的特性来求解未知角度、边长或形状。
例如，当我们需要求解两条直线平行时，可以通过与这两条直线交叉的另一条直线来构造平行线，从而帮助我们解决问题。
三、应用技巧3：利用等腰三角形等腰三角形是一个重要的几何图形，其辅助线的运用可以帮助我们解决关于三角形的问题。
例如，在求解三角形的面积或者角度时，我们可以构造等腰三角形，从而简化问题的解决。
另外，等腰三角形的对称性质也在解决证明问题时起到重要作用。
四、应用技巧4：利用垂直平分线垂直平分线是连接线段的中点并垂直于该线段的直线。
在解决几何问题时，利用垂直平分线可以帮助我们证明角的相等、线段的相等以及几何图形的对称性质。
例如，当我们需要证明一个四边形是矩形时，可以利用垂直平分线来证明其中的两个角相等。
五、应用技巧5：利用相似三角形相似三角形是指形状相似但大小不同的三角形。
在解决几何问题时，我们可以通过构造相似三角形来求解未知边长或者角度。
例如，在利用勾股定理求解三角形问题时，常常需要使用相似三角形的性质进行推导和证明。
六、应用技巧6：使用角平分线角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。
在解决几何问题时，角平分线可以帮助我们证明角的相等或者构造特定的几何图形。
例如，在求解两个角相等时，可以通过画出角平分线来帮助我们得出证明结果。
七、应用技巧7：利用直行线直行线是指两条相交直线间的形成的四个角中有两个是相等的。
初中几何辅助线大全及口诀
作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心，因题而异，有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。
故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。
”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。
即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。
即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
初三数学关于几何证明的常见技巧
初三数学关于几何证明的常见技巧在初三数学的学习中，几何证明是一个重要的部分，它不仅考查我们对几何概念和定理的理解，还锻炼我们的逻辑思维和推理能力。
掌握一些常见的技巧，可以让我们在解决几何证明问题时更加得心应手。
一、善于添加辅助线辅助线是解决几何证明问题的有力工具。
通过合理添加辅助线，可以将复杂的图形变得简单，将分散的条件集中起来，从而找到解题的突破口。
例如，在证明三角形全等时，如果条件不充分，我们可以考虑连接对应顶点、作垂线、平行线等。
比如，已知两个三角形有两边相等，而夹角难以直接证明相等时，可以通过作另一边的平行线，构造新的三角形，利用平行的性质来证明夹角相等。
再如，遇到圆的问题，若涉及到角度关系，常常连接圆心和圆上的点，构造出圆心角和圆周角的关系；若要证明切线，通常连接圆心和切点，证明半径垂直于切线。
二、利用等量代换等量代换是一种常用的思维方法。
在几何证明中，我们要善于发现和利用相等的线段、相等的角等进行代换，从而简化问题。
比如，在证明平行四边形的性质时，经常会用到对边相等、对角相等的性质。
如果要证明某两条线段相等，而它们与平行四边形的边有关系，就可以通过平行四边形的性质进行等量代换。
又如，在证明三角形内角和为 180 度时，通过作平行线，将三角形的三个内角转化为一个平角，利用平角为180 度的性质进行等量代换。
三、运用逆推法逆推法是从结论出发，反向思考要得到这个结论需要什么条件，逐步往前推，直到与已知条件相符合。
比如，要证明一个三角形是等腰三角形，我们可以先假设它是等腰三角形，那么就会有两条边相等，然后根据这个条件去寻找能够证明两条边相等的条件。
再如，证明两条直线平行，先假设它们平行，那么会有相应的同位角、内错角相等或同旁内角互补，然后去寻找能够证明这些角关系的条件。
四、注意特殊图形的性质特殊图形如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、正方形、菱形等都有各自独特的性质。
在解题时，要充分利用这些性质。
初一数学几何题辅助线技巧详解
巧添辅助线 解证几何题在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决;值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关;下面我们分别举例加以说明;例题解析一、倍角问题 例1：如图1,在△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D;求证：∠DBC=12∠BAC.分析：∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C,可利用三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系; 证法一：∵在△ABC 中,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=12180°-∠BAC=90°-12∠BAC; ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-90°-12∠BAC= 12∠BAC 即∠DBC=12∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC ”中含有角的倍、半关系,因此,可以做∠A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把½∠A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解;证法二：如图2,作AE ⊥BC 于E,则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC 同角的余角相等即∠DBC=12∠BAC;证法三：如图3,在AD 上取一点E,使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=12∠BAC 说明：例1也可以取BC 中点为E,连接DE,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三例2、如图4,在△ABC 中,∠A=2∠B求证：BC 2=AC 2+AC •AB分析：由BC 2=AC 2+AC •AB= ACAC+AB,启发我们构建两个相似的三角形,且含有边BC 、AC 、AC+AB.又由已知∠A=2∠B 知, 构建以AB 为腰的等腰三角形;证明：延长CA 到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA ∵∠BAC 是△ABD 的一个外角 ∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D ∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠C ∴△ABC ∽△BDC ∴AC BCBC CD=∴BC 2=AC •CD AD=AB∴BC 2= ACAC+AB=AC 2+AC •AB二、 中点问题例3．已知：如图,△ABC 中,AB=AC,在AB 上取一点D,在AC的延长线上取一点E,连接DE 交BC 于点F,若F 是DE 的中点;求证：BD=CE分析：由于BD 、CE 的形成与D 、E 两点有关,但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形,所以 关系不明显,由于条件F 是DE 的中点,如何利用这个中点条件,把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键; 由已知AB=AC,联系到当过D 点或E 点作平行线,就可以形成新 的图形关系——构成等腰三角形,也就是相当于先把BD 或CE 移动一下位置,从而使问题得解;证明：证法一：过点D 作DG ∥AC,交BC 于点G 如上图 ∴∠DGB=∠ACB, ∠DGF=∠FCE ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠B=∠DGB ∴BD=DG ∵F 是DE 的中点 ∴DF=EF在△DF G 和△DEFC 中,DFG= EFC DGF= FCE DF=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△DF G ≌EFC∴DG=CE ∴BD=CEABCEGDFCAB证法二：如图,在AC 上取一点H,使CH=CE,连接DH ∵F 是DE 的中点∴CF 是△EDH 的中位线 ∴DH ∥BC∴∠ADH=∠B, ∠AHD=∠BCA ∵AB=AC ∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD ∴AD=AH ∴AB-AD=AC-AH ∴BD=HC∴BD=CE说明：本题信息特征是“线段中点”;也可以过E 作EM ∥BC,交AB 延长线于点G,仿照证法二求解;例4．如图,已知AB ∥CD,AE 平分∠BAD,且E 是BC 的中点 求证：AD=AB+CD证法一：延长AE 交DC 延长线于F ∵AB ∥CD ∴∠BAE=∠F, ∠B=∠ECF ∵E 是BC 的中点 ∴BE=CE 在△ABE 和△CEF 中BAE= F B= ECF BE=CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABE ≌△CEF ∴AB=CF∵AE 平分∠ABD ∴∠BAE=∠DAE ∴∠DAE=∠F ∴AD=DF ∵DF=DC+CF CF=AB ∴AD=AB+DC证法二：取AD 中点F,连接EF ∵AB ∥CD,E 是BC 的中点 ∴EF 是梯形ABCD 的中位线∴EF ∥AB , EF=12AB+CD∴∠BAE=∠AEF ∵AE 平分∠BAD ∴∠BAE=∠FAE ∴∠AEF=∠FAE ∴AF=EF ∵AF=DF∴EF=AF=FD=12AD ∴12 AB+CD= 12ADAB CD HEF A B CEFDA BCEF三．角平分线问题例5．如图1,OP 是∠MON 的平分线,请你利用图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形;请你参考这个全等三角形的方法,解答下列问题;（1） 如图2,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE相交于点F,请你判断并写出EF 与FD 之间的数量关系;（2） 如图3,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而1中的其他条件不变,请问,你在1中所得的结论是否仍然成立 若成立,请证明；若不成立,请说明理由;（3）分析：本题属于学习性题型;这类题型的特点是描述一种方法,要求学生按照指定的方法解题;指定方法是角平分问题的“翻折法”得全等形;解：1EF=FD2答：1结论EF=FD 仍然成立理由：如图3,在AC 上截取AG=AE,连接FG 在△AEF 和△AGF 中,AE=AG EAF= FAG AF=AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AEF ≌△AGF由∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC ∠BCA 的平分线 可得∠FAG+∠FCA=60° ∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60° ∴∠GFC=60°在△CFG 和△CFD 中GFC= DFC CF=CF DCE= ACE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△CFG ≌△CFD ∴FG=FD 又因为EF=GF ∴EF=FD说明：学习性问题是新课程下的新型题,意在考查学生现场学习能力和自学能力;抛开本题要求从角平分线的角度想,本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的;解法二：2答1中的结论EF=FD 仍然成立;理由：作FG ⊥AB 于G,FH ⊥AC 于H,FM ⊥BC 于M ∵∠EAD=∠DAC ∴FG=FH∵∠ACE=∠BCE ∴FH=FG∵∠B=60° ∴∠DAC+∠ACE=60° ∴∠EFD=∠AFC=180°- 60°=120°在四边形BEFD 中 ∠BEF+∠BDF=180°∵∠BDF+∠FDC=180° ∴∠FDC =∠BEF 在△EFG 和△DFM 中FDC = BEF EGF= DMF=90FG=FM ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴EFG ≌△DFM ∴EF=DF四、线段的和差问题例6 如图,在△ABC 中,AB=AC,点P 是边BC 上一点,PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M,试探究线段PD 、PE 、CM 的数量关系,并说明理由;分析：判断三条线断的关系,一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系,通过测量猜想PD+PE=CM.分析：在CM 上截取MQ=PD,得□PQMD,再证明CQ=PE 答：PD+PE=CM证法一：在CM 上截取MQ=PD,连接PQ. ∵CM ⊥AB 于M, PD ⊥AB 于D∴∠CMB=∠PDB=90°∴CM ∥DP∴PQ ∥AB∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B ∵AB=AC ∴∠B=∠ECP ∴∠QPC=∠ECP ∵PE ⊥AC 于E ∴∠PEC=90°在△PQC 和△PEC 中PQC= PEC QPC= ECP PC=PC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△PQC ≌△PEC ∴QC=PE ∵MQ=PD ∴MQ+QC=PD+PE ∴PD+PE=CM分析2：延长DF 到N 使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM, 再证明PN=PE证法2：延长DF 到N,使DN=CM,连接CN同证法一得平行四边形DNCM,及△PNC ≌△PEC ∴PN=PE ∴PD+PE=CM分析3：本题中含有AB=AC 及三条垂线段PD 、DE 、CM, 且PABPACABCSSS+=,所以可以用面积法求解;证法三：连接AP,∵PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M ∠PQC=∠PEC ∠QPC=∠ECP PC=PC ∴121212ABPACPABCS AB PD S AC PE SAB CM =•=•=• ∵AB=AC 且PABPACABCSSS+=∴1112220AB PD AB PE AB CM AB PD PE CM•+•=•≠∴+= 说明：当题目中含有两条以上垂线段时,可以考虑面积法求解;FEDCBA五、垂线段问题例7 在平行四边形ABCD 中,P 是对角线BD 上一点,且,,PE AB PF BC ⊥⊥垂足分别是E 、F求证：AB PF BC PE=分析：将比例式AB PF BC PE=转化为等积式AB PE BC PF •=•,联想到AB PE BC PF•=•1122, 即△PAB 与△PBC 的面积相等,从而用面积法达到证明的目的;证明：连接AC 与BD 交于点O,连接PA 、PC 在平行四边形ABCD 中,AO=COAOBBOCSS∴=同理,AOPCOP AOBAOPBOCCOPPAB PBCS S SS SSSS=∴-=-=∵,,PE AB PF BC ⊥⊥,11221122PAB PBC SAB PE S BC PF AB PE BC PF AB PE BC PF AB PFBC PE∴=•=•∴•=•∴•=•∴=例8求证：三角形三条边上的中线相交于一点;分析：这是一个文字叙述的命题;要证明文字命题,需要根据题意画出图形,再根据题意、结合图形写出已知、求证;已知：△ABC 中,AF 、BD 、CE 是其中线; 求证：AF 、BD 、CG 相交于一点;分析：要证三线交于一点,只要证明第三条线经过另两条线的交点即可;FED CBAP,ABDCBDAGDCGD AGBCGBCGBAGCAGBAGCAD DC SSSSS S SSSS=∴==∴==∴=同理，作BM ⊥AF ,于M,CN ⊥AF ,于N则,11221122AGB AGC SAG BM S AG CN AG BM AG CN BM CN=•=•∴•=•∴= 在△BMF ,和△CNF ,中 BF MCF N BMF CNF BM CN ''∠=∠⎧⎪''∠=∠⎨⎪=⎩∴△BMF ≌△CNF ∴''BF CF =∴AF ,是BC 边上的中线 又∵AF 时BC 边上的中线∴AF 与AF ,重合 即AF 经过点D∴AF 、BD 、CE 三线相交于点G因此三角形三边上的中线相交于一点;六、梯形问题例9．以线段a=16,b=13为梯形的两底,以c=10为一腰,则另一腰长d 的取值范围是＿ 分析：如图,梯形ABCD 中,上底b=13,下底a=16,腰AD= c=10,过B 作BE ∥AD,得到平行四边形ABED,从而得AD=BE=10,AB=DE=13 所以EC=DC-DE=16-13=3. 所以另一腰d 的取值范围是 10-3＜d ＜10+3 答案：7＜d ＜13例10．如图,已知梯形ABCD 中,AB ∥DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD 的面积;分析：已知条件中给出两条对角线的长,但对角线位置交错,条件一时用不上;另外,求梯形面积只要求出上、下底的和即可,不一定求出上、下底的长,所以考虑平移腰;解：解法一：如图,过A 作AF ∥BD,交CD 延长线于FD CE B A//,AB FCFD AB AF BD FC AB DCAE FC AEF AEC ∴∴===∴=+⊥∴∠=∠=ABDF 1590。
初中几何辅助线大全-最全
三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC分析：欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
E 证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定义）在△DBE与△CAE中A BO EE()公共角∵DBECAE()已证D CBDAC(已知)图71∴△DBE≌△CAE（AAS）∴ED＝ECEB＝EA（全等三角形对应边相等）∴ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。
）二、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。
求证：BD＝2CEF分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时AE1B 12DC 图91CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长B A，CE交于点F。
∵BE⊥CF（已知）∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定义）在△BEF与△BEC中，12(已知)∵BEBE(公共边)BEFBEC()已证1C F（全等三角形对应边相等）∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=2∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°∴∠BDA＝∠BFC在△ABD与△ACF中BACCAF(已证)BDABFC()已证AB＝AC(已知)∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形对应边相等）∴BD＝2CE四、取线段中点构造全等三有形。
初中数学几何做辅助线方法技巧
初中数学几何做辅助线方法技巧初中数学里面，几何这个部分是比较重要的，因为对我们日后的学习和生活有一定的帮助。
在学习几何的过程中，我们常常需要用到做辅助线的方法来帮助我们更好的理解和解决问题。
下面是关于初中数学几何做辅助线方法技巧的介绍。
1. 画出平行线在处理一些证明题或求几何中的相关数据时，使用画一条平行线的方法，这条线起到辅助线的作用。
具体来说，我们可以根据题目已知的条件，画出一条平行于两条线的直接过这两条线的平行线。
这样做可以帮助我们更好的理解题目所需要求解的问题。
2. 画出垂线在几何中，垂线是非常重要的一种线。
垂线可以将一条线分成两段，并且在某些时候可以帮助我们求解一些困难的问题。
具体的做法是在需要求解的点上，画出一条线段与目标线段垂直相交。
3. 构造相似三角形有时候在处理一些题目时，不好直接得出一个结论或者一些数据，使用相似三角形来帮助我们更好的理解和求解问题。
相似三角形有一个共同的特点就是它们的对应角度相等，边长成比。
具体的做法是在画图的时候，根据题目条件构造一个相似三角形，利用等比例关系求解相关数据或者结论。
4. 利用勾股定理在解析几何中，勾股定理是一个非常重要的公式，它在很多问题中都有很大的帮助。
利用勾股定理可以求出直角三角形的三个边长。
同时在画图的时候，也可以利用勾股定理来帮助画出直角三角形。
5. 使用比例关系在某些问题中，我们可能需要根据已知条件来求出一些距离或长度之类的数据。
在这种情况下，我们可以通过比例关系来帮助我们快速求解。
具体的做法是在画图的时候，根据已知条件构造出一定的比例关系，在求出需要的数据。
6. 构造平行四边形和等边三角形利用平行四边形和等边三角形来帮助我们求解问题也是一个非常不错的方法。
具体的做法是在求解相关问题时，根据已知条件或者所求的条件，在画出平行四边形或者等边三角形，利用它们的性质来求解所需要求解的问题。
几何学是一个非常重要的数学分支，它在我们的生活中起着非常重要的作用。
初中数学证明题常见辅助线作法及几何规律
线、角、相交线，平行线规律L如果平面上有M应2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出3日(1]-1)条.规律工平面上的”条直线最多可把平面分成n(n十1)+1〕个部分口2裁律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为'n(n-l)条立规律4.线段(或延长线)上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半，例；如图，B在线段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点。
求证工MN - J AC ；---- J ---证明:TM是的中点，N是LJC的中点二AM = BM= 1AB, BN = CN- |B C二MN = MB+BM= -AB+ - BC = -(AB + BC) 2 2 2二 MN =1 AC2规律S.有公其端点的n条射线所构成的交点的个数一共有1Mn - 1)个，规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n (n-1)个,规律工如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n (n-I)对对顶角. 规律&,平面上若有n(n>3)个点，任意三个点不在同一直线上,过任意三点作三用形一共可作出,小— 1)01—2)个口6规律9 ,互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90%规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为:n(n—IfN一规律11,互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半中规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行, 角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例；如图，以下三种情况请同学们自己证明。
规律14.成飞”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内 角和的一半.内错角的ZCDE - /BCD +/ABC规律13.已知AB 〃DE,如图{1}⑹，规律如下;⑸例：已知，BE、DE分别平分NABC和/ADC,若/A =45) ZC= 55。
几何证明题辅助线的技巧和方法
几何证明题辅助线的技巧和方法
在解决几何证明题时，辅助线是一种常用且有效的工具。
它可以帮助我们发现
隐藏的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。
以下是几种常见的辅助线技巧和方法，可用于解决几何证明题。
1. 平行线辅助线法：当题目涉及到平行线时，我们可以通过引入一条平行线作
为辅助线，从而构建出平行线之间的相似三角形或平行四边形。
这样，我们可以得出相应的角度和边的关系，进而证明几何问题。
2. 三角形中线辅助线法：三角形的中线是连接一个顶点与对应中点的线段。
通
过引入三角形中线作为辅助线，我们可以将原问题转化为直角三角形的性质或平行线的性质。
这种方法常常用于证明三角形的等边、等腰等性质。
3. 垂直线辅助线法：当题目涉及到垂直线时，我们可以通过引入一条垂直线作
为辅助线，从而构建出垂直角、直角三角形或平行四边形。
通过利用垂直线的性质，我们可以得到角度、边长等关系，进而解决问题。
4. 内切圆辅助线法：对于一个给定的三角形，可以通过引入其内切圆作为辅助线，来简化证明过程。
内切圆与三角形的的边相切于三个点，这些点可以提供有用的几何关系，如正方形的性质、垂直线的性质等。
5. 类似三角形辅助线法：当计算角度或证明形状相似时，引入类似三角形作为
辅助线可以大大简化证明过程。
通过找到两个或多个类似的三角形，我们可以得到两个三角形的边长比例，并据此解决问题。
总之，辅助线是几何证明中的有效工具，它们可以帮助我们发现关键的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。
通过灵活运用各种辅助线技巧和方法，我们可以更加轻松地解决各种几何证明题。
初中几何辅助线做法要点
初中几何辅助线做法要点几何辅助线是指在解题过程中，通过引入一条或多条辅助线，来帮助我们更好地理解、分析和解决几何问题的方法。
几何辅助线的运用可以大大简化问题，使得问题的解决更加直观和简便。
下面将介绍一些常见的几何辅助线做法要点。
1.画角平分线：在解决与角度有关的问题时，常常可以运用角平分线作为辅助线。
角平分线是将一个角分成两个相等的角，可以帮助我们定位和分析几何图形。
例如，在证明两个三角形相似时，可以通过画角平分线来建立一系列相似的三角形，进而证明两个三角形相似。
2.画垂直平分线：在解决与线段有关的问题时，可以考虑使用垂直平分线。
垂直平分线可以将一条线段分成两个相等的部分，并且垂直于这条线段。
通过垂直平分线，我们可以找到两个点之间的中点，并且可以与其他几何图形相交，在解题过程中起到关键的作用。
3.画平行线或等边线：当我们需要证明两条线段平行，或者需要构造一个等边三角形时，可以考虑画平行线或等边线作为辅助线。
对于线段平行的证明，我们可以通过画一条与这两条线段相交的第三条线段，再利用三角形内角和的性质来证明线段平行。
对于等边三角形的构造，我们可以通过画一条等边线来确定等边三角形的位置和形状。
4.画高线和中线：高线和中线是与三角形有关的重要辅助线。
通过画一条从一个顶点到对立边和中点的线段，可以得到三角形中的高线和中线。
高线可以帮助我们定位和分析三角形的一些性质，比如垂直平分线段、证明三角形的相似或全等等。
中线则可以帮助我们找到三角形的重心，进而分析三角形的形状和性质。
几何辅助线在解决几何问题中起着非常重要的作用，它们可以帮助我们更好地理解和分析几何图形，简化问题，提高解题的效率和准确性。
在运用几何辅助线时，我们应当根据问题的具体要求和条件，选择适当的辅助线，并且合理运用几何知识，灵活运用辅助线的性质和特点，以达到解决问题的目的。
初中几何辅助线归纳
初中数学知识归纳添辅助线的规律一添辅助线的目的：解证几何问题的基本思路就是要利用已知几何条件求得所求几何关系。
这往往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系十分明确的简单的几何图形之中。
如一个三角形（特别是直角三角形、等腰三角形），一个平行四边形（特别是矩形、菱形、正方形），一个圆，或两个全等三角形，两个相似三角形之中。
这种思路可称为条件集中法。
为了达到条件集中的目标，我们需要将远离的、分散的已知条件和所求条件，通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造一个三角形、一个平行四边形、一个圆、或两个全等三角形、两个相似三角形。
以便于运用这些图形的几何关系（性质定理）解题，这就需要添加辅助线。
添加什么样的辅助线，总由以下三方面决定：⑴由所求决定：问什么，先要作什么。
⑵由已知决定：已知什么，作出什么，并为充分运用已知条件提供的性质定理添加辅助线。
⑶由条件集中的需要决定：为补全或构造几何关系十分明确的一个三角形、一个平行四边形、一个圆，或两个全等三角形、两个相似三角形而添加辅助线。
二添辅助线的规律：（1）三角形中：①等腰Δ：常连底边上的中线或高或顶角的平分线（构造两个全等的直角Δ，或便于运用等腰Δ三线合一的性质。
如图1）②直角Δ斜边上有中点：连中线（构造两个等腰Δ，或便于运用直角Δ斜边上的中线的特殊性质。
如图2）③斜Δ有中点或中线：连中线(构造两个等底同高的等积Δ。
如图3）；或自左右两顶点分别作中线的垂线（构造两个全等直角三角形。
如图4）；或连中位线、或过一中点作另一边的平行线（构造两个相似比为1：2的相似Δ，或便于运用Δ中位线定理。
如图5、6）；或延长中位线或中线的一倍（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。
如图7、8）。
或延长中线的1/3（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。
如图9）。
④有角平分线：过其上某一交点作角两边的垂线（构造两全等的直角Δ。
如图10）或一边或两边的平行线（构造一个或两个等腰Δ或一菱形。
初中几何辅助线大全及口诀
初中几何辅助线大全及口诀
初中几何辅助线大全及口诀可以帮助同学们在解题时更高效地添加辅助线，解决几何问题。
下面是一些常见的辅助线和口诀:
一、常见辅助线:
1. 过中点作中位线;
2. 见中线延长一倍;
3. 见中点，引中位线;
4. 遇比例线段，常作平行线;
5. 梯形问题，常作垂线;
6. 遇切线问题，常连结过切点的半径;
7. 遇弦的问题，常作弦心距。
二、常见定理:
1. 三角形内角和定理;
2. 平行线的性质定理;
3. 中位线定理;
4. 命题等价性定理;
5. 相似三角形判定定理;
6. 直角三角形判定定理。
三、口诀:
1. 直角三角形直角边平方等于斜边平方加直角边平方;
2. 三角形两边之和大于第三边;
3. 三角形三边长度比等于斜边夹角角度比;
4. 梯形问题，常作垂线;
5. 遇切线问题，常连结过切点的半径;
6. 遇弦的问题，常作弦心距。
这些辅助线和口诀可以帮助同学们更好地解决几何问题，提高解题效率。
同时，辅助线添加的技巧也需要同学们在实际解题中不断练习和总结，才能更好地掌握和应用。
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中考几何题证明思路总结
一、证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
二、证明两角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
三、证明两直线平行
?1.垂直于同一直线的各直线平行。
?2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
?3.平行四边形的对边平行。
?4.三角形的中位线平行于第三边。
?5.梯形的中位线平行于两底。
?6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
11.利用半圆上的圆周角是直角。
五、证明线段的和、差、倍、分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
六、证明角的和、差、倍、分
1.作两个角的和，证明与第三角相等。
2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。
3.利用角平分线的定义。
4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
第一讲：如何做几何证明题
【例题精讲】
【专题一】证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
【例1】已知：如图所示，∆A B C 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。
求证：DE ＝DF
【巩固】如图所示，已知∆A B C 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。
求证：EC ＝ED
【例2】已知：如图所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。
求证：∠E ＝∠F
F E
D
C B
A A
C
E
D
F
B
A
B
D
C
E
【专题二】证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。
证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。
证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。
【例3】如图所示，设BP 、CQ 是∆A B C 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。
求证：KH ∥BC
【例4】已知：如图所示，AB ＝AC ，∠，，A A E B F B D D C =︒==90。
求证：FD ⊥ED
【专题三】证明线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。
（截长法） 【例5】如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 上一个动点，若∠B ＝60°，AB ＝BC ， 且∠DEC ＝60°； 求证：BC ＝AD ＋AE
【巩固】已知：如图，在∆A B C 中，∠=︒
B 60，∠BA
C 、∠BCA 的角平分线A
D 、C
E 相交于A
B
D
E
F E D
C
B
A
O
E
B
D
A
B
Q
P H
C
K
O 。
求证：AC ＝AE ＋CD
（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。
（补短法）
【例6】 已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=︒E A F 45。
求证：EF ＝BE ＋DF
【专题四】证明几何不等式：
【例7】已知：如图所示，在∆A B C 中，AD 平分∠BAC ，AB AC >。
求证：B DD C
>
【拓展】∆A B C 中，∠=︒⊥B A C A D B C 90，于D ，求证：()
A D A
B A
C B C <++14
F
E
D C
B
A
A
C B
D
B
C
D
A
基本图形的辅助线的画法
1.三角形问题添加辅助线方法
方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线：
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.
3.梯形中常用辅助线的添法
梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：
（1）在梯形内部平移一腰。
（2）梯形外平移一腰
（3）梯形内平移两腰
（4）延长两腰
（5）过梯形上底的两端点向下底作高
（6）平移对角线
（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。
（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。
（9）作中位线
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。
通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。