一元二次方程所有知识点总结复习 PPT
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一元二次方程根与系数关系复习课件
应用
通过根的和与积，可以快 速求解一元二次方程的根 。
根的判别式与系数的关系
判别式
应用
一元二次方程的判别式等于方程的一 次项系数平方减去四倍的常数项除以 二次项系数。
通过判别式与系数的关系，可以判断 方程的根的情况，进而解决实际问题 。
判别式与系数的关系
判别式的值可以判断一元二次方程的 根的情况，如有两个实的过程中，要注意归纳总结，将知识点串联起来形成知识网 络，有助于加深理解和记忆。
积极参与课堂讨论
在课堂上要积极参与讨论，通过与老师和同学的交流，可以发现自 己的不足并及时纠正。
THANKS
感谢观看
高阶习题
总结词
考察创新思维
VS
详细描述
题目难度较大，需要学生具备较高的数学 素养和创新能力。这类题目通常会涉及到 一些较为复杂的数学问题，需要学生通过 创新思维和数学方法的综合运用来解答。
05
总结与回顾
重点回顾
根与系数的关系
一元二次方程的根的和等于方程 的一次项系数除以二次项系数所 得的商的相反数；根的积等于常 数项除以二次项系数所得的商。
根与系数关系的理解
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其根的和等于-b/a，根的积等于c/a，但在使用时需要 注意a≠0且Δ≥0。
根的性质的运用
一元二次方程的实根具有对称性，但需要注意这个性质只适用于实根，不适用于虚根。
学习建议
强化练习
通过大量的练习题来巩固对一元二次方程根与系数关系的理解和 应用，特别是对于易错点和难点要重点练习。
判别式
总结词
判别式 Δ = b^2 - 4ac 是用于判断一元二次方程解的个数的 工具。
详细描述
初三数学中考专题复习 一元二次方程 课件(共22张PPT)
• 8、若9am2-4m+4与5a9是同类项，则m= ___
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
一元二次方程所有知识点总结复习 ppt课件
2020/10/22
一元二次方程所有知识点总结复习
4
探究交流
❖ （1）判断方程X（X＋10）=X2－3是否是一元 二次方程？
❖ （2）方程3 X2＋2X=1的常数项是1，方程 3 X2－2X＋6=0的一次项系数是2，这种说法对 吗？
答案：（1）化简后为10X＋3=0,所以它是一元一次方程。
（2）要将一元二次方程化为一般形式，且系数包括它前 面的性质符号。
21 . 3
18
2x225.
解：系数化1，得 x 22 5,
2
开平方，得
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次方程，得
2020/10/22
x 102,x 102
2
2
一元二次方程所有知识点总结复习
20
解下列方程：
小结
(1 ) ( x 1 ) 2 4 (2) 1 (y 2)2 3 0
2020/10/22
一元二次方程所有知识点总结复习
5
练习：
（1）方程（m＋2）X|m|＋3mx＋1=0是关于X 的一元二次方程，求m的值。 答案：m=2
（2）当m=
时，方程（m2－1）x2－（m
－1）x＋1=0是关于x的一元一次方程。 答案：m=－1
（3）已知关于x的一元二次方程（m－1） x2＋ 3x＋㎡－1=0有一个解是0，求m的值。答案：m=－1
13
一元二次方程的解法(1) ----开平方法
2020/10/22
一元二次方程所有知识点总结复习
14
问题1：
一桶某种油漆可刷的面的为1500dm2，李林用这
桶油漆恰好刷好完10个同样的正方体形状的盒
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解
一元二次方程小结与复习PPT
分等。
在其他科目中的应用
01
一元二次方程在物理中的应用
在物理中，一元二次方程可以用于解决与速度、加速度、动能等有关的
物理问题。
02
一元二次方程在经济中的应用
在经济中，一元二次方程可以用于解决与成本、收益、利润等有关的经
济学问题。
03
一元二次方程在计算机科学中的应用
在计算机科学中，一元二次方程可以用于算法设计和数据结构等方面。
一元二次方程小结与复习
目
CONTENCT
录
• 一元二次方程的定义与形式 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的变体与扩展
01
一元二次方程的定义与形式
定义
总结词
一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方 程。
详细描述
一元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含有一个未知数 x，且 x 的最高次数为 2。
一元二次方程的根与系数之间存在特定的关系，这 些关系可以通过求解方程得到。
这些关系包括：根的和、根的积、以及与系数的关 系等。
通过这些关系，可以方便地求解一元二次方程或判 断其解的性质。
04
一元二次方程的应用
解决实际问题
计算面积和体积
一元二次方程可以用于计算各种形状的面积和体积 ，如圆的面积、圆柱体的体积等。
02
一元二次方程的解法
公式法
总结词
适用于所有一元二次方程的通用解法
详细描述
公式法是通过将一元二次方程ax^2+bx+c=0化为标准形式，利用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a求解。求根 公式包含了判别式Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程无实根。
一元二次方程ppt课件
一元二次方程ppt课件
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
一元二次方程所有知识点总结复习PPT参考课件
3
拓展与提高：
2、解方程：4 ((xx 1)22)2 4((xx21))22
练习 (1) (x 1)2 36(12x)2 0 (2) 4(3x 1)2 9(3x 1)2 0
一元二次方程的解法(2) ----配方法
复习
填空
1) x2-2x+ (1) = [x+ (-1)]2
2) x2+6x+ ( 9) = [x- (-3)]2
例 已知：关于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程, 求：m的取值范围.
解：∵ 原方程是一元二次方程，
∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2 .
方程的解的定义
❖ 使方程两边相等的未知数的值，叫做这个方 程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方 程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程 X2－5X＋6=0 的根。 注意：一元二次方程可以无解，若有解，就 一定有两个解。
活动1
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm． 在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出 的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的 无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去 多大的正方形？(课件：制作盒子)
活动1
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间 都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划 安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请 多少个队参赛？（课件：探索比赛场次）
3) x2+ 1 x+ (1 ) = [x+ ( 1 )]2
4)
y2-y+2 (1
16
)=
4
5)yHale Waihona Puke 5y ([y-5)2
拓展与提高：
2、解方程：4 ((xx 1)22)2 4((xx21))22
练习 (1) (x 1)2 36(12x)2 0 (2) 4(3x 1)2 9(3x 1)2 0
一元二次方程的解法(2) ----配方法
复习
填空
1) x2-2x+ (1) = [x+ (-1)]2
2) x2+6x+ ( 9) = [x- (-3)]2
例 已知：关于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程, 求：m的取值范围.
解：∵ 原方程是一元二次方程，
∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2 .
方程的解的定义
❖ 使方程两边相等的未知数的值，叫做这个方 程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方 程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程 X2－5X＋6=0 的根。 注意：一元二次方程可以无解，若有解，就 一定有两个解。
活动1
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm． 在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出 的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的 无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去 多大的正方形？(课件：制作盒子)
活动1
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间 都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划 安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请 多少个队参赛？（课件：探索比赛场次）
3) x2+ 1 x+ (1 ) = [x+ ( 1 )]2
4)
y2-y+2 (1
16
)=
4
5)yHale Waihona Puke 5y ([y-5)2
24.1 一元二次方程课件(共20张PPT)
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
解一元二次方程数学知识点总结PPT
$ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）。
使方程左右两边相等的未知数的值。
方程的根
一元二次方程的根与系数之间存在特定的关系，如根的和等于$-frac{b}{a}$，根的积等于$frac{c}{a}$。
系数与根的关系
判别式的意义
当$Delta > 0$时，方程有两个不相等的实数根。
解题步骤
适用范围
当一元二次方程可以化为形如 $(x - a)(x - b) = 0$ 的形式时，可以使用因式分解法。
解题步骤
首先尝试将方程左边化为两个一次多项式的乘积形式，然后分别令每个一次多项式为零，得到方程的解。
03
CHAPTER
一元二次方程的应用
运动学问题
一元二次方程可以描述物体在匀加速直线运动中的位移、速度和时间之间的关系，用于求解物体的初速度、加速度、时间或位移等。
利用函数的极值点
一元二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的极值点为 $x = -frac{b}{2a}$。当极值点处函数值大于零时，方程无实根；当极值点处函数值小于等于零时，方程有两个实根。因此，可以通过判断极值点处函数值的正负来确定方程的根的情况。
05
CHAPTER
复杂一元二次方程的解法
要点一
要点二
判别式与函数图像的关系
判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 可用于判断一元二次方程的根的情况。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根，函数图像与x轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根（即一个重根），函数图像与x轴有一个交点；当 $Delta < 0$ 时，方程无实根，函数图像与x轴无交点。
使方程左右两边相等的未知数的值。
方程的根
一元二次方程的根与系数之间存在特定的关系，如根的和等于$-frac{b}{a}$，根的积等于$frac{c}{a}$。
系数与根的关系
判别式的意义
当$Delta > 0$时，方程有两个不相等的实数根。
解题步骤
适用范围
当一元二次方程可以化为形如 $(x - a)(x - b) = 0$ 的形式时，可以使用因式分解法。
解题步骤
首先尝试将方程左边化为两个一次多项式的乘积形式，然后分别令每个一次多项式为零，得到方程的解。
03
CHAPTER
一元二次方程的应用
运动学问题
一元二次方程可以描述物体在匀加速直线运动中的位移、速度和时间之间的关系，用于求解物体的初速度、加速度、时间或位移等。
利用函数的极值点
一元二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的极值点为 $x = -frac{b}{2a}$。当极值点处函数值大于零时，方程无实根；当极值点处函数值小于等于零时，方程有两个实根。因此，可以通过判断极值点处函数值的正负来确定方程的根的情况。
05
CHAPTER
复杂一元二次方程的解法
要点一
要点二
判别式与函数图像的关系
判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 可用于判断一元二次方程的根的情况。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根，函数图像与x轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根（即一个重根），函数图像与x轴有一个交点；当 $Delta < 0$ 时，方程无实根，函数图像与x轴无交点。
一元二次方程所有知识点总结复习 PPT
.
2 4
答:在1s时,小球达 10m到 ;至最高 后下,在 落2s时,其高度1又 0m.为
小结 拓展 回味无穷
本节课复习了哪些旧知识呢？ 继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法”的理解运用:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a .
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2. 本节课你又学会了哪些新知识呢？ 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题(即列一元二
2、解方程：4 ((xx 1)22)2 4((xx21))22
练习 (1) (x 1)2 36(12x)2 0 (2) 4(3x 1)2 9(3x 1)2 0
一元二次方程的解法(2) ----配方法
复习
填空
• x2-2x+ ( 1) = [x+ (-1)]2 • x2+6x+ ( 9) = [x- (-3)]2
请同学解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式， 那么可得
x=± p 或mx+n= ± p （p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
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(3) 4(3 2 x)2 49 0
小结
(4) 1 (2 x 3)2 10 0 2
如何解形如 (x h)2 k 的一元二次方程?
例 2、 解 下 列 方 程 ： (1) ( y 1) 2 2 (2) 9(x 2)2 25 0 (3) 1 (2 x 3)2 4 0
3
拓展与提高：
请同学解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式， 那么可得
x=± p 或mx+n= ± p （p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
二、探索新知 列出下面二个问题的方程并回答： （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程
a2xb xc0(a0) a2 xc0(a0 ,b0 ,c0) a2 xb x 0 (a 0 ,b 0 ,c 0 ) a2x 0(a0,bc0)
探究交流
❖ （1）判断方程X（X＋10）=X2－3是否是一元 二次方程？
❖ （2）方程3 X2＋2X=1的常数项是1，方程 3 X2－2X＋6=0的一次项系数是2，这种说法对 吗？
2、解方程：4 ((xx 1)22)2 4((xx21))22
练习 (1) (x 1)2 36(12x)2 0 (2) 4(3x 1)2 9(3x 1)2 0
一元二次方程的解法(2) ----配方法
复习
填空
• x2-2x+ ( 1) = [x+ (-1)]2 • x2+6x+ ( 9) = [x- (-3)]2
一元二次方程及其解法
2014年3月
已知两个最简二次根式 2x a 与 3 b 相加等于 7 3 ，
那么a= 3
,b= 3
,x=
2.
已知 a2b30，求 a3ba3ba3b3的值
答案：
小结：
都可转化为a=b=0
一、复习提问、 1、一元二次方程的一般形式是什么？
2、一元二次方程分类
一般形式 缺一次项 缺常数项 缺一次项及常数项
10
活动2
3．猜测下列方程的根是什么？
x2x560
方程的根：使一元二次方程等号两边相等 的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫 做根）.
11
活动2
4.（1）下列哪些数是方程 x2x60
的根？从中你能体会根的作用吗？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
（2）若x＝2是方程 ax24x50的一个
（3）已知关于x的一元二次方程（m－1） x2＋ 3x＋㎡－1=0有一个解是0，求m的值。答案：m=－1
（4）m为何值时，关于x的一元二次方程 mx2＋ m2x－1= x2＋x 没有一次项？ 答案：m=－1
5
活动1
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm． 在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出 的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的 无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去 多大的正方形？(课件：制作盒子)
∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2 .
8
家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
方程的解的定义
❖ 使方程两边相等的未知数的值，叫做这个方 程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方 程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程 X2－5X＋6=0 的根。 注意：一元二次方程可以无解，若有解，就 一定有两个解。
答案：（1）化简后为10X＋3=0,所以它是一元一次方程。 （2）要将一元二次方程化为一般形式，且系数包括它前 面的性质符号。
4
练习：
（1）方程（m＋2）X|m|＋3mx＋1=0是关于X 的一元二次方程，求m的值。 答案：m=2
（2）当m=
时，方程（m2－1）x2－（m
－1）x＋1=0是关于x的一元一次方程。 答案：m=－1
解 设正方体的棱长为X，则一个正方体的表面积 为6X2.根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
由此可得 根据平方根的意义，得
即
因为棱长不能是 负值，所以正方 体的棱长为5dm.
对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程 2x12 5
及方程 x26x92 ?
解 由方程 2x12 5
方程 x26x92
得： 2x1 5
x 7, 3
x 21 , 3
x1
21 3
,x2
21 . 3
2x225.
解：系数化1，得 x 22 5,
2
开平方，得
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次方程，得
x 102,x 102
2
2
解下列方程：
(1) ( x 1) 2 4
(2) 1 (y 2)2 3 0 3
可化为
即
2x15 ,2x15 得
方程的两根为
方程的两根为
x1125
,x2
1 5 2
形如 ax2c0（a≠0，c ≠ 0）的 一元二次方程的解法：
ax2 c.
x2 c .
a 当ac<0时 ， x
c.
a
当ac＞0时 ，此方程无实数解.
-3x2+7=0.
解： 3 x 2 7 ,
x2 7 , 3
根，你能求出a的值吗？
根的作用：
可以使等号成立.
12
活动3
巩固练习
1．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
（1） x2 360；
（2） 4x2 90.
13
一元二次方程的解法(1) ----开平方法
问题1：
一桶某种油漆可刷的面的为1500dm2，李林用这 桶油漆恰好刷好完10个同样的正方体形状的盒 子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
3) x2+ + (1 ) = [x+ ( 1 )]2
4)
y2-y+ (1
4
)
16
=
[y-
( 12
)]2
4
5
5
2
2
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2
(2)x2－3x＋
9 4
=(x－
3 2
)2
(3)x2－12x＋ 36 =(x－ 6)2
配方时,若二次项系数为1，则配上的
常数是一次项系数一半的平方.
6
活动1
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间 都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划 安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请 多少个队参赛？（课件：探索比赛场次）
7
例 已知：关于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程, 求：m的取值范围.
解：∵ 原方程是一元二次方程，
有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？
小结
(4) 1 (2 x 3)2 10 0 2
如何解形如 (x h)2 k 的一元二次方程?
例 2、 解 下 列 方 程 ： (1) ( y 1) 2 2 (2) 9(x 2)2 25 0 (3) 1 (2 x 3)2 4 0
3
拓展与提高：
请同学解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式， 那么可得
x=± p 或mx+n= ± p （p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
二、探索新知 列出下面二个问题的方程并回答： （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程
a2xb xc0(a0) a2 xc0(a0 ,b0 ,c0) a2 xb x 0 (a 0 ,b 0 ,c 0 ) a2x 0(a0,bc0)
探究交流
❖ （1）判断方程X（X＋10）=X2－3是否是一元 二次方程？
❖ （2）方程3 X2＋2X=1的常数项是1，方程 3 X2－2X＋6=0的一次项系数是2，这种说法对 吗？
2、解方程：4 ((xx 1)22)2 4((xx21))22
练习 (1) (x 1)2 36(12x)2 0 (2) 4(3x 1)2 9(3x 1)2 0
一元二次方程的解法(2) ----配方法
复习
填空
• x2-2x+ ( 1) = [x+ (-1)]2 • x2+6x+ ( 9) = [x- (-3)]2
一元二次方程及其解法
2014年3月
已知两个最简二次根式 2x a 与 3 b 相加等于 7 3 ，
那么a= 3
,b= 3
,x=
2.
已知 a2b30，求 a3ba3ba3b3的值
答案：
小结：
都可转化为a=b=0
一、复习提问、 1、一元二次方程的一般形式是什么？
2、一元二次方程分类
一般形式 缺一次项 缺常数项 缺一次项及常数项
10
活动2
3．猜测下列方程的根是什么？
x2x560
方程的根：使一元二次方程等号两边相等 的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫 做根）.
11
活动2
4.（1）下列哪些数是方程 x2x60
的根？从中你能体会根的作用吗？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
（2）若x＝2是方程 ax24x50的一个
（3）已知关于x的一元二次方程（m－1） x2＋ 3x＋㎡－1=0有一个解是0，求m的值。答案：m=－1
（4）m为何值时，关于x的一元二次方程 mx2＋ m2x－1= x2＋x 没有一次项？ 答案：m=－1
5
活动1
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm． 在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出 的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的 无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去 多大的正方形？(课件：制作盒子)
∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2 .
8
家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
方程的解的定义
❖ 使方程两边相等的未知数的值，叫做这个方 程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方 程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程 X2－5X＋6=0 的根。 注意：一元二次方程可以无解，若有解，就 一定有两个解。
答案：（1）化简后为10X＋3=0,所以它是一元一次方程。 （2）要将一元二次方程化为一般形式，且系数包括它前 面的性质符号。
4
练习：
（1）方程（m＋2）X|m|＋3mx＋1=0是关于X 的一元二次方程，求m的值。 答案：m=2
（2）当m=
时，方程（m2－1）x2－（m
－1）x＋1=0是关于x的一元一次方程。 答案：m=－1
解 设正方体的棱长为X，则一个正方体的表面积 为6X2.根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
由此可得 根据平方根的意义，得
即
因为棱长不能是 负值，所以正方 体的棱长为5dm.
对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程 2x12 5
及方程 x26x92 ?
解 由方程 2x12 5
方程 x26x92
得： 2x1 5
x 7, 3
x 21 , 3
x1
21 3
,x2
21 . 3
2x225.
解：系数化1，得 x 22 5,
2
开平方，得
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次方程，得
x 102,x 102
2
2
解下列方程：
(1) ( x 1) 2 4
(2) 1 (y 2)2 3 0 3
可化为
即
2x15 ,2x15 得
方程的两根为
方程的两根为
x1125
,x2
1 5 2
形如 ax2c0（a≠0，c ≠ 0）的 一元二次方程的解法：
ax2 c.
x2 c .
a 当ac<0时 ， x
c.
a
当ac＞0时 ，此方程无实数解.
-3x2+7=0.
解： 3 x 2 7 ,
x2 7 , 3
根，你能求出a的值吗？
根的作用：
可以使等号成立.
12
活动3
巩固练习
1．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
（1） x2 360；
（2） 4x2 90.
13
一元二次方程的解法(1) ----开平方法
问题1：
一桶某种油漆可刷的面的为1500dm2，李林用这 桶油漆恰好刷好完10个同样的正方体形状的盒 子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
3) x2+ + (1 ) = [x+ ( 1 )]2
4)
y2-y+ (1
4
)
16
=
[y-
( 12
)]2
4
5
5
2
2
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2
(2)x2－3x＋
9 4
=(x－
3 2
)2
(3)x2－12x＋ 36 =(x－ 6)2
配方时,若二次项系数为1，则配上的
常数是一次项系数一半的平方.
6
活动1
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间 都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划 安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请 多少个队参赛？（课件：探索比赛场次）
7
例 已知：关于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程, 求：m的取值范围.
解：∵ 原方程是一元二次方程，
有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？