江苏省学物理竞赛讲义-11.2电势
高中物理竞赛初级讲义 电学电势及电势能
半径为R、电荷为q的均匀带电球壳内外，距球心r处的电势：
【例1】试求电偶极子周围的电势分布．
【例2】试求均匀带电圆环轴线上电势和电场分布。设圆环半径为R，电荷线密度为η。
【例3】半径为R的半球形薄壳，其表面均匀分布面电荷密度为σ的电荷，求该球开口处圆面上任一点的电势．
【例7】如图所示，AB=2l，OCD是以B为中心，l为半径的半圆。A点有正点电荷q，B点有负点电荷-q。
（1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它作了多少功？
（2） 把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远，电场力对它作了多少功？
（3）电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图所示．P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为φP，试求Q点的电势φQ．
【例6】有人设想了一种静电场：电场的方向都垂直于纸面并指向纸里，电场强度的大小自左向右逐渐增大，如图所示．这种分布的静电场是否可能存在？试述理由．
电势差：电场中两点电势的差值叫电势差。
匀强电场中，沿场强方向两点间的电势差：
2.等势面
等势面：静电场中电势相同的点组成的面叫等势面。
判断电势高低的方法：
等量异种点电荷和等量同种点电荷连线上与中垂线上场强及电势的变化规律
3.电势的计算
（1）由定义 ，B点为电势零点，一般为无穷远处
（2）点电荷的电势： ，其中r是场点到电荷q的距离。
电磁学第3讲电势及电势能
一、电势能
1.静电场的环路定理
静电场力是保守力，静电场是保守场。
静电场的环路定理：静电场中场强沿场力对电荷所做功等于电荷电势能的改变量：
《电势》 讲义
《电势》讲义一、什么是电势在物理学中，电势是一个非常重要的概念。
简单来说，电势就像是一个“势能的高度”，用来描述电场中某一点所具有的能量性质。
想象一下，在一个山坡上，位置越高的地方，物体所具有的重力势能就越大。
类似地，在电场中，某一点的电势越高，电荷在这一点所具有的电势能就越大。
为了更形象地理解电势，我们可以把电场比作是一个高低不平的“势能场地”。
电荷在这个场地中移动时，其电势能会发生变化，而电势就是用来衡量这个场地中不同位置的势能高低的。
二、电势的定义电势的定义是：把单位正电荷从电场中的某一点移动到参考点（通常取为无穷远处或者大地）时，电场力所做的功。
这个定义可能听起来有点抽象，我们来举个例子。
假设有一个电场，我们要计算其中某一点 A 的电势。
我们把一个单位正电荷从 A 点移动到无穷远处，如果电场力对这个电荷做了 10 焦耳的功，那么 A 点的电势就是 10 伏特。
需要注意的是，电势是一个相对的概念，就像高度一样。
我们说一个地方的高度是多少，总是相对于某个基准面而言的。
在电势中，参考点就是这个基准。
三、电势的单位电势的国际单位是伏特（V），它是以意大利物理学家亚历山德罗·伏特的名字命名的。
1 伏特等于 1 焦耳/库仑。
这意味着，如果在电场中移动 1 库仑的电荷，电场力做了 1 焦耳的功，那么这个位置的电势就是 1 伏特。
除了伏特，在一些特定的情况下，还可能会用到毫伏（mV）、千伏（kV）等单位。
四、电势差电势差是指电场中两点之间电势的差值。
它也被称为电压。
比如说，A 点的电势是 10 伏特，B 点的电势是 5 伏特，那么 A、B 两点之间的电势差就是 5 伏特。
电势差是非常重要的概念，在电路中，电流的产生就是由于存在电势差，电荷在电势差的作用下定向移动，从而形成电流。
五、等势面在电场中，电势相等的点所组成的面叫做等势面。
等势面有一些重要的性质。
首先，等势面与电场线垂直。
这是因为如果不垂直，电场力就会在等势面上做功，这与等势面的定义矛盾。
《电势 电势差》 讲义
《电势电势差》讲义一、什么是电势在电学中，电势是一个非常重要的概念。
想象一下，电势就像是一座山上不同位置的高度。
在电场中，不同的点具有不同的电势。
为了更好地理解电势，我们可以先从重力势能来类比。
当我们把一个物体举到高处时，它具有了重力势能。
物体所处的高度越高，重力势能就越大。
在电场中也是类似的，电荷在电场中的位置决定了它所具有的电势能。
而电势就是用来描述电场中某一点电势能的高低。
比如说，我们把正电荷从电场中的一点移动到另一点，如果电场力对电荷做正功，那么电荷在起始点的电势就高于终点的电势；反之，如果电场力做负功，起始点的电势就低于终点的电势。
电势的定义是：把单位正电荷从电场中的某一点移动到参考点（通常是无穷远处）时电场力所做的功。
电势的单位是伏特（V）。
二、电势的性质1、相对性电势具有相对性，就像我们说山上某一点的高度，是相对于海平面来说的。
在电场中，电势的大小也是相对于选定的参考点而言的。
如果参考点改变了，那么同一位置的电势数值也会改变。
但两点之间的电势差是不变的，这就像两座山之间的高度差不会因为测量起点的改变而改变。
2、标量性电势是一个标量，只有大小，没有方向。
但这并不意味着电势不重要，它在描述电场的性质和计算电场中的能量等方面发挥着关键作用。
3、沿电场线方向电势降低电场线总是从高电势指向低电势。
这就好比水总是从高处往低处流一样。
如果我们沿着电场线的方向移动正电荷，电场力会做正功，电荷的电势能会减少，也就是电势会降低。
三、什么是电势差既然有了电势，那么电势差就很好理解了。
电势差就是电场中两点之间电势的差值。
比如说，A 点的电势是 5V，B 点的电势是 2V，那么 A、B 两点之间的电势差就是 3V。
电势差也称为电压，它反映了电场中两点之间能量的差异。
在电路中，电势差是驱使电荷移动形成电流的原因。
四、电势差的计算计算电势差可以用公式：UAB ＝φA φB ，其中 UAB 表示 A、B两点之间的电势差，φA 表示 A 点的电势，φB 表示 B 点的电势。
电磁学1(江苏物理竞赛夏令营内部课件)讲解学习
l r
1
l r
k
2ql r3
（3）
E
k
ql r3
k
ql sin
r3
E//
k
2ql// r3
k
2ql cos
r3
ET
E2
E/2/
k
ql r3
3cos2 1,
tan E sin 1 tan E// 2 cos 2
E
k
(
ql r3
3ql
cos r4
r)
【例3】 （1）求均匀带电半圆环在圆心处的电场强度 ；
F
真空介电常数 叠加原理
F2
r10 q
F1
q1
q2 r20
例1：一均匀带电半球壳，面电荷密度为，半径为R。在其球心处有一带电 量为q的点电荷。求该点电荷受到的库仑力。
(f )y
k
q
q R2
cos
k
q
S R2
cos
S cos S
q
f k R2
S
cos
k
q
R2
S f0 R2
kq
（1）
E
E
k
r2
q
l2
4
E
2E
cos
2k
r2
q
l2
4
l 2 r2 l2
4
k
(r 2
ql
l
2
)
3 2
k
ql r3
4
（2）
E
k
r
q l
2
, E
k
r
q l
2
,
2
2
电势ppt课件
(L1)
P1
L2
( L2)((P P21))E dl
(L2)
Edl 0 — 静电场的环路定理
L
6
11.2 电势差 电势
一. 电势差（electric potential difference）
由((PP12))Edl与路径无 可引关 入电，势差的概念。
定义P1对P2的电势差：
12((P P 12))E dl
2
Hale Waihona Puke 2S1 E 2q4r2
dV
1 2
0E2
dV
令
we dV
电场能量密度 we ddW V 120E2
以上we的表示式也适用于静电场的一般情2况9 。
在电场存在的空间V中，静电场能（静电能）：
WV wedVV 1 20E2dV
在静电学中，上式和 W
1 2
q
dq
是等价的。
例如，对均匀带电球壳的电场能W：
§11.7 电荷系的静电能
§11.8 静电场的能量
附：真空中静电场小结提纲
2
§11.1 静电场的保守性
（The conservatism of electrostatic field）
一. 静电力作功的特点
移动 实验点电荷qo ，电场力作功：
P2
( P2 )
( P2 )
A12 q0 E d l q0 E d l
推广至一般点电荷系：W互
1 2
qii
i
i — 除 qi 外，其余点电荷在 qi 所在处的电2势5
二. 连续带电体的静电能（自能）
静电能W：把电荷无限分割，并分散到相距无 穷远时，电场力作的功。
• 只有一个带电体：
物理竞赛电学讲义
静电场一、电场强度 1、实验定律a 、库仑定律：[内容]条件：⑴点电荷，⑵真空，⑶点电荷静止或相对静止。
事实上，条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k 进行修正(如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为k′= k /εr )。
只有条件⑶，它才是静电学的基本前提和出发点(但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的)。
b 、电荷守恒定律c 、叠加原理 2、电场强度a 、电场强度的定义(使用高斯定理)电场的概念；试探电荷(检验电荷)；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具(电场线的基本属性)。
b 、不同电场中场强的计算：决定电场强弱的因素有两个，场源(带电量和带电体的形状)和空间位置。
这可以从不同电场的场强决定式看出——⑴点电荷：E = k2r Q结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强⑵均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P ：E = 2322)R r (kQr +，其中r 和R 的意义见图。
⑶均匀带电球壳 内部：E 内 = 0 外部：E 外 = k2r Q，其中r 指考察点到球心的距离 如果球壳是有厚度的的(内径R 1 、外径R 2)，在壳体中(R 1＜r ＜R 2)：E = 2313rR r k 34-πρ ，其中ρ为电荷体密度。
这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中(条件部分)的“剥皮法则”理解〔)R r (3433-πρ即为图中虚线以内部分的总电量〕。
⑷无限长均匀带电直线(电荷线密度为λ)：E =rk 2λ⑸无限大均匀带电平面(电荷面密度为σ)：E = 2πk σ 二、电势1、电势：把一电荷从P 点移到参考点P 0时电场力所做的功W 与该电荷电量q 的比值，即U =qW参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点。
和场强一样，电势是属于场本身的物理量。
2023-2024学年高二下学期物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势
四、电势差
Q Aab qo
bv v a E dl Wa Wb
电势差：
b
E dl
Wa
Wb
a
qo b qvo v
Uab Va Vb
E dl
a
结论：静电场中a,b两点的电势差，在数值上等于 将单位正电荷从a点移至b点电场力所作的功。
Aab W Wa Wb qo (Va Vb )
二、电势能（W）
Wa q0
Wb
保守力作功等于势能的减少 a
b
b
Aab qo a E dl Wa Wb W
Wa,Wb的量值是相对的量；与零势能参考点的选取 有关，而势能的增量 W与零势能点选取无关是绝对
的量.
1、对有限的带电体选无限远处作为电势能零点，
Aa
qo
a
E dl
Wa W
1) rib
电场力是保守力
qi ria
qn a
qo
3、若q0在电场中沿L运动一周
A lqo E dl 0
q0
静电场的环路定理：
l
静电场中电场强度 E的环流为零。
l E dl 0
结论：一定量的电荷在静电场中移动时，电场力所作 的功只与电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无 关。即电场力是保守力。静电场是保守场。
致冷系数：
Q2 Q2
A Q1 Q2
K‘系观察者测得相对他静止的棒的长度为：
l0 x2 ' x1 ' l0 称为固有长度
问：在K系中观察者（相对棒运动的观察者）测得
的棒的长度为多少？
他测得棒两端的坐标为x1和x2, t1=t2=t（同时测）
则棒长 l= x2-x1
高中物理竞赛电势课件
x2 r2
P
能否选
？
例3 “无限长”带电直导线的电势
整个带电体在P处产生的电势为：
例1 正电荷 均匀分布在半径为 的细圆环上.
例3 “无限长”带电直导线的电势
（2）球壳内两点间的电势差；
1 2πrdr 整个带电体在P处产生的电势为：
R
结论：点电荷系中某点电势等于各个点电荷单独存在时产生电势的代数和，
下页
轴线上距环心为 处点 P的电势.
y
dl + + +
+
+
+Ro+
+
+
dqdl qdl
r
2π R
P
x
x
+
+
z +++
1 qdl
duP 4π0r 2πR
VP4π10r
2qπdlR4πq0r 4π0
q x2 R2
上页
下页
UP
4π0
q x2 R2
q
U
讨论
4 0 R
x0，U0
q
4π0R
xR，UP
q
4π0x
电场中某一点A的电势等于单位正电荷从
该点移到零电势处静电力所做的功。
上页
下页
电势的计算
1.点电荷电势的计算
E
4π
q
0r3
r
U
q
r 4π0r3
令U
rdl
0
qrdr
r 4π 0r3
q
q U
4 π 0r
q 0, U 0 q 0, U 0
dl
高二物理竞赛E与U的微分关系----电势梯度PPT(课件)
小圆台在 O点的电势为:
例如图，N点有正电荷Q，M点有－Q，今将试验电荷q。 连线上各点的 E 与 P 点的相同，
E E 性质：电势梯度是矢量，其方向沿该点电势升 x
X
(
4 0
Q )
x2 R2
QX
3
4 0 (R2 x2 ) 2
13
点电荷之间相互作用能
１. 两点电荷（q1 q2）相互作用能
E d
8
dl
n
若积分沿 PF 联线方向，且认为
连线上各点的 E 与 P 点的相同， B
Q
E
d E dr Edr cos
E cos
Er
d
dr
A
dl F
P dr
+d
上式表明：场强沿r方向的分量等于电势沿此
方向的空间变化率的负值。
El cos Er
d cos d
dl
dr
d
( dl )m
例如图，N点有正电荷Q，M点有－Q，今将试验电荷q。
B
小圆台在 O点的电势为:
A, B是两个靠得很近的等势面 求场强：由对称性分析知场强方向沿轴线
A
梯度——物理量(标量)的空间变化率。
解 一个球壳内外的电势分布为：
若积分沿 PF 联线方向，且认为
Q
小圆台在 O点的电势为:
连线上各点的 E 与 P 点的相同，
E dl p 解: x 处取一小圆台，其到 O 点的母线长为 r，
Q
求场强：由对称性分析知场强方向沿轴线
定义：电势变化率的最大值d /dl为电势梯度。
P
n
Q
E
dl
P
p
Q
若积分沿 PQ 联线方向，即n方向，且
物理竞赛培优--电势
竞赛专题---电势【知识要点】－电势反映电场能的性质．电场力做功电势能减小，克服电场力做功电势能增加，电势：电场中某点处电荷的电势能‘与它的电量q 之比值叫做场中该点的电势U . 即电势叠加原理：任意带电体电场中某点的电势，等于带电体上各部分电荷单独存在时，在该点产生电势的代数和．电势差：电场中两点电势的差值．若场中 A , B 两点的电势分为ＵＡ，ＵＢ，则两点的电势差记作ＵＡＢ，ＵＡＢ＝ＵＡ－ＵＢ．几种典型电场的电势( l ）点电荷电势如图所示，空间有一点电荷，电量为Q ，先计算AB两点的电势差．设A ,B 到Q 的距离分别为rA , rB ，把检验电荷q 从 A 移到 B 电场力做功为w ，由于是变力做功，不能直接求w ，现把 A 刀分成n段，当n 足够大时，W 可表示为由电势差定义得若以无穷远处为零电势，即把rＢ→∞，ＵＢ＝０．则由于 A 是任意的，所以点电荷的电势为( 2 ）均匀带电球壳电场的电势与场强公式相类似，根据点电荷的电势，可得半径为Ｒ的均匀带电球壳电场的内、外电势分别为【例题分析】例 1 半径分别为Rl 和R２的两个同心球面均匀带电．电荷面密度分别为δ 1 和δ 2 ．试求：( l ）大球面任一直径AB 上的电势分布？( 2 ）如果过AB 将两球各切掉一半，如图9 一 3 一 2 所示，剩下两半球仍均匀带电，电荷面密度不变．直径AB 上的电势分布又如何？分析与解（ 1 ）由均匀带电球壳的电势分布可知：大球面均匀带电，因此它在球内产生的电势处处相等，有小球面均匀带电，它在其球内和球外的电势由电势叠加原理可得：直径AB 上电势分布为( 2 ）当通过直径AB 将两个球面都切去一半时，因为剩下的半球面和切去的半球面相对AB 是对称的，所以剩下的大（小）半球面对直径 A 刀上的电势的贡献仅为完整球面的一半．即直径AB 上的电势分布为例 2 如图9 一 3 一 3 所示，三根等长的细绝缘棒连接成等边三角形，尸点为三角形的内心，Q 点与三角形共面且与尸关于AC 棒对称，三棒带有均匀分布的电荷，此时，测得Ｐ，Q 两点的电势各为ＵＰ，UＱ，现将BＣ棒取走，而AB , AC 棒的电荷分布不变，求这时Ｐ，Q 两点的电势．分析与解由于三棒带有均匀分布的电荷，所以三根棒对Ｐ点电势的贡献应相同，设为Ｕl ．由对称性可知，AＣ对Q 点电势的贡献与它对Ｐ点电势的贡献应相等；BC 和ＢA 对Q点电势的贡献也应相等，设为U２．则电势叠加原理可得由以上两式解得取走BC 棒后，Ｐ，Q 的电势为【巩固习题】1 ．有两个质量分别为ml 和m２的带电相同小球，每个球的电量为Q ，开始时两个小球相距甚远，一个以初速v 向另一个运动，而另一个初速为O ，假定作用在小球上的惟一的力是小球间的静电斥力，求两个小球能接近的最小距离．2 . N 个相同的球形水银液滴，都带有相同的电量，具有相同的电势U ，如果这些水银聚集在一起成一个大的水银滴，这个大水银滴的电势多大？3 ．如图9 一 3 一4 所示，半径为R２的导电球壳包围半径为Rl 的金属球，金属球原来具有电势Ul ．如果让球壳接地，那么金属球的电势变为多少？4 ．正点电荷Ql 和Q２分别置于 A , B 两点，相距为L ，现以L 为直径作半圆，如图9 一 3 一5 所示，试求在此半圆上电势最低点Ｐ的位置，5 一个半径为 a 的孤立的带电金属丝环，其中心处电势为U０．将此环靠近半径为 b 的接地的球，只有环中心点位于球面上，如图9 一 3 一6 ．试求球上感应电荷的电量．6 ．如图9 一 3 一7 所示，点电荷十Q 位于金属球壳的中心，金属球壳的内、外半径分别为Ｒ1 , R２，球壳所带的净电荷为零．若在无限处电势为零，求 A , B 两点的电场强度和电势的大小．7 ．如图9 一 3 一8 所示，半径分别为Rl 与R２的两个同心半球面相对放置，两个半球均匀带电，电荷面密度分别为δ 1 和δ２，试求大的半球面所对应底面直径AOB 上电势分布．8 ．电荷q 均匀分布在半球面ACB 上，球面的半径为R , CD为通过半球顶点 C 与球心O 的轴线，如图9 一 3 一9 所示．Ｐ、Q 为CD 轴线上在O 点两侧．已知Ｐ点的电势为UＰ，离O 点距离相等的两点．试求Q 点的电势U Q ．9 ．如图9 一 3 一10 所示，在真空中有 4 个半径为 a 的不带电的相同导体球，球心分别位于边长为r ( r 》ａ）的正方形的四个顶点上．首先，让球 1 带电荷Q ( Q > 0 ) ，然后取一细金属丝，其一端固定于球 1 上，另一端分别依次与球 2 、 3 、 4 、大地接触，每次接触时间都足以使它们达到静电平衡．设分布在细金属丝上的电荷可忽略不计．试求流人大地的电量的表达式．10 ．两个互相绝缘的同心导体薄球壳，内球壳半径为r１，外球壳半径为r2 ．开始时内球壳带电量为Q ，外球壳不带电．( l ）试求外球壳内、外两个侧面的电荷及外球壳的电势；( 2 ）将外球壳接地后再与地绝缘，计算此时外球壳内、外两侧面的电荷；( 3 ）再将内球壳接地，求此时内球壳的总电量．11 ．点电荷＋Q 附近有一半径为R 的导体球，球心到点电荷Q 的距离为 d ，如图9 –３－１１所示．求：( 1 ）当导体球接地时，感应电荷Q ' ; ( 2 ）当导体球不接地时它的电势U .12 ．真空中，有五个电量均为q 的均匀带电薄球壳，他们的半径分别为R , R / 2 , R / 4 , R / 8 , R / l6 ，彼此内切于Ｐ点，如图9 一 3 一12 所示．球心分别为Ｏ1 , Ｏ2 , Ｏ3 , Ｏ4 ,Ｏ5 ，求Ｏ1 与Ｏ5 间的电势差．。
江苏省南京物理竞赛讲义-11.2电势
11.2电势一、电势叠加原理某点的总电势等于各场源电荷在该点产生的电势的标量和。
二、几种常见电场的电势1、距离点电荷 r 处的电势（微元法证明）rkQ =ϕ 2、半径为R 的均匀带电薄球壳壳外：r kQ =ϕ 壳内：RkQ=ϕ例1、（1）解释：接触起电中电量均分定理的适用条件为两个小球完全相同。
（2）解释：不规则导体，尖的部位电荷面密度较大。
244kQ k R k R R Rσπϕπσ===例2、求带电量为Q ，半径为R 的均匀带电细环在圆心处的电势kQ Rϕ=例3、半径为R 2的导体球壳包围半径为R 1的金属球，金属球具有电势U 1。
如果让球壳接地。
那么金属球的电势变为多少？例4、一个半径为a 的孤立带电金属丝环，其中心处电势为U 0，将此球靠近圆心为O 1、半径为b 的接地的导体球，只有球中心O 位于球面上，如图所示，试求球上感应电荷的电量。
例5、如图所示，两个同心导体球，内球半径为R 1，外球是个球壳，内半径为R 2，外半径R 3.在下列各种情况下求内外球壳的电势差以及壳内空腔和壳外空间的电势分布规律.（1）内球带q +，外球壳带Q +.（2）内球带q +，外球壳不带电.（3）内球带q +，外球壳不带电且接地.（4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带Q +.【解析】如错误!未找到引用源。
所示，根据叠加原理:(1)R 1处有均匀的+q ，R 2必有均匀的-q ，R 3处当然有+(Q+q)电荷，因此：内球1123q q Q qU k k k R R R +=-+外球233()()q q k Q q k Q q U kk r r R R ++=-+= 上式中23R r R << 电势差121212q qU U U k k R R =-=- 腔内23()q q k Q q U kk r R R +=-+内 (R 1<r<R 2) aO壳外33()()q q k Q q k Q q U k k r r R R ++=-+=外 (r>R 3) (2)R 1处有+q ，R 2处有-q ，R 3处有+q ，因此：内球1123q q q U k k k R R R =-+ 外球233q q q q U kk k k r r R R =-+= 上式中23R r R << 电势差121212q qU U U k k R R =-=- 腔内23q q kqU k k r R R =-+内 (R 1<r<R 2) 壳外q q kq kqU kk r r r r=-+=外 (r>R3) （3）R 1处有+q ，R 2处有-q ，外球壳接地，外球壳U 2=0，R 3处无电荷. 内球112q qU k k R R =-电势差121212q qU U U k k R R =-=- 腔内2q qU k k r R =-内 (R 1<r<R 2) 壳外0q qU kk r r=-=外 （r ＞R 3） （4）内球接地电势为零，内球带'q -，R 2处有'q +，R 3处有()Q q '+-，先求q ′，因为:123''(')0q q k Q q k k R R R --++= 解得:12122313QR R q R R R R R R '=+-内球:10U = 外球:2223'''q q Q q U kk k R R R -=-++ 21122313()kQ R R R R R R R R -=+-21U =腔内:23'inside q q Q q U k k k r R R ''-=-++21122313(1)kQR RR R R R R R r =-+- (R 1<r<R 2)壳外:3'outside q q Q q U k k k r r R ''-=-++321122313()()kQR R R R R R R R R r -=+- （r ＞R 3）例6、如图所示，O 为半径等于R 的原来不带电的导体球的球心，O 1、O 2、O 3为位于球内的三个半径皆为r 的球形空腔的球心，它们与O 共面，已知2321ROO OO OO ===．在OO 1、OO 2的连线上距O 1、O 2为2r的P 1、P 2点处分别放置带电量为q 1和q 2的线度很小的导体（视为点电荷），在O 3处放置一带电量为q 3的点电荷，设法使q 1、q 2和q 3固定不动．在导体球外的P 点放一个电量为Q 的点电荷，P 点与O 1、O 2、O 3共面，位于O O 3的延长线上，到O 的距离R OP 2=．1．求q 3的电势能．2．将带有电量q 1、q 2的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布有何变化？ 此时q 3的电势能为多少？1．由静电感应知空腔1、2及3的表面分别出现电量为1q -、2q -和3q -的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量321q q q ++．由静电屏蔽可知，点电荷q 1及感应电荷（1q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 2及感应电荷（2q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 3及感应电荷（3q -）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量321q q q ++作球对称分布．当球外P 点处放置电荷Q 后，由于静电感应，球面上的总电量仍为()321q q q ++，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．O 3处的电势由位于P 点处的Q 、导体球表面的电荷()321q q q ++及空腔3表面的感应电荷（3q -）共同产生．无论()321q q q ++在球面上如何分布，球面上的面电荷到O 点的距离都是R ，因而在O 点产生的电势为R q q q k321++， Q 在O 点产生的电势为RQk 2，这两部分电荷在O 3点产生的电势U '与它们在O 点产生的电势相等，即有⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++='R q q q Q k R Q R q q q k U 22222321321 （1）因q 3放在空腔3的中心处，其感应电荷3q -在空腔3壁上均匀分布．这些电荷在O 3点产生的电。
《电势》 讲义
《电势》讲义在电学的世界中，电势是一个极其重要的概念。
它就像是一座隐藏在电学现象背后的神秘山峰，等待我们去攀登和探索。
那么，究竟什么是电势呢？简单来说，电势是描述电场中某一点能量性质的物理量。
想象一下，电场就像一个巨大的力场，而电势则告诉我们在这个力场中不同位置所具有的“能量高度”。
为了更形象地理解电势，我们可以把电场比作一个山坡。
在山坡上，位置越高，物体所具有的重力势能就越大。
同样，在电场中，电势越高的地方，电荷所具有的电势能也就越大。
要深入理解电势，我们还需要了解电势差。
电势差，也被称为电压，它是指两点之间电势的差值。
比如，我们常见的电池，其两端就存在电势差，正是这个电势差驱动了电荷的定向移动，从而形成了电流。
那电势是怎么测量的呢？在实际中，我们通常把大地或者无限远处的电势规定为零。
然后，通过测量其他点相对于这个零点的电势差，来确定该点的电势。
让我们来思考一个例子。
假设有一个带正电的点电荷，它周围会产生电场。
离这个点电荷越近的地方，电势就越高；离得越远，电势就越低。
这是因为正电荷会产生向外的电场，把正电荷从近处移动到远处，电场力做正功，电势能减小，电势降低。
再来说说等势面。
等势面是指电场中电势相等的点所组成的面。
等势面与电场线是垂直的。
为什么呢？因为如果不垂直，沿着等势面移动电荷时，电场力就会做功，这与等势面的定义相矛盾。
在实际应用中，电势的概念有着广泛的用途。
比如在电子电路中，我们需要了解不同点的电势，以确保电路的正常工作。
在静电学中，通过分析电势分布，可以计算出电场的强度和方向。
电势的概念还与电容器密切相关。
电容器是储存电荷和电能的器件，电容器两极板之间存在电势差。
当电容器充电时，两极板上的电荷逐渐增加，电势差也随之增大；当电容器放电时，电荷减少，电势差减小。
总之，电势是电学中一个非常基础且重要的概念。
它不仅帮助我们理解电荷在电场中的能量状态，还为我们分析和解决各种电学问题提供了有力的工具。
高二物理竞赛课件：等势面(电势图示法)
等势面
dl 1
2
E
V
V2
V1
0
E 的方向为电势降低的方向。
(4) 在画等势面图时，通常取相邻两等势面间的电势差 为一固定值。这样，E 越大，等势面越密。因此，等势
面的疏密也能反映 电场的强弱． dV E dl dV 一定时，E越大，dl 越小
点电荷的电场线和等势面
+
dl1 dl2
dl2 dl1, E2 E1
VQ
4
0
ln
b b
L/ L/
2 2
p、Q两点之间的电势差
VpQ
Vp
VQ
4
0
(ln
a a
L L
/2 /2
ln
b b
L/ L/
2) 2
(3) 电场线的方向指向电势降低的方向。 假设将正电荷 q0 沿电场线方向由 1 移
到 2 ，电2 场力 将做正功，
A12 1 q0E dl
q0 (V1 V2 ) q0V 0
电偶极子的电场线和等势面
+
平行板电容器的电场线和等势面 ++ ++ + + + + +
1) 电势梯度 取两个相邻近的等势面1和
V dV
P2
nˆ0
2，电势分别为 V 和 V+dV , 且 V
dV > 0 .
规定：等势面的法线正方向 n0
为指向电势升高的法线方向。
dn P3
P1 dl
2
E
1
A
VAB
RB q
RA 4)
例. 一均匀带电细棒，长为L，带电量为q，在其延长线 上有两点p、Q，距细棒中心O点分别为a、b，求p、Q 两点之间的电势差。
《电势》 讲义
《电势》讲义在物理学中，电势是一个非常重要的概念。
它就像是一个隐藏在电学世界背后的神秘力量，虽然看不见摸不着，但却对电荷的运动和电现象起着至关重要的作用。
接下来，让我们一起揭开电势的神秘面纱，深入了解它的本质和特性。
一、什么是电势简单来说，电势就是描述电场中某一点能量性质的物理量。
想象一下，电场就像是一个有高低起伏的“能量场”，而电势就好比是这个场中各个点的“高度”。
电荷在电场中会受到力的作用而移动，而电势的差异决定了电荷移动的方向和趋势。
更具体地讲，如果把一个正电荷从电场中的一点移动到另一点，电场力对它做了功，那么这两点之间就存在电势差。
电势差的大小等于单位正电荷从一点移动到另一点时电场力所做的功。
为了更形象地理解电势，我们可以打个比方。
把电场比作一个山坡，电势高的地方就像是山顶，电势低的地方就像是山脚。
正电荷就像一个小球，它总是会从山顶（电势高的地方）滚向山脚（电势低的地方）。
二、电势的单位在国际单位制中，电势的单位是伏特（V）。
1 伏特的定义是：将 1 库仑的正电荷从一点移动到另一点，如果电场力做了 1 焦耳的功，那么这两点之间的电势差就是 1 伏特。
伏特这个单位是为了纪念意大利物理学家亚历山德罗·伏特而命名的。
三、电势的计算计算电势需要用到一些特定的公式和方法。
对于一个点电荷产生的电场，在距离点电荷 r 处的电势可以用公式V ＝ kQ/r 来计算，其中 k 是库仑常量，Q 是点电荷的电荷量。
如果是多个点电荷组成的电场，或者是一个连续分布的电荷所产生的电场，计算电势就需要用到积分的方法。
这可能会涉及到比较复杂的数学运算，但基本的原理仍然是根据电场力做功来确定电势差。
四、等势面等势面是电势相等的点所组成的面。
等势面有以下几个重要的性质：1、等势面与电场线垂直。
这是因为电场线的方向表示电场强度的方向，而电场强度总是沿着电势降低最快的方向。
2、相邻等势面之间的电势差相等。
3、不同的等势面不会相交。
高二苏教版必备物理提升讲义
高二苏教版必备物理提升讲义第一章电学基础知识1.1 电荷与电场1.1.1 电荷的性质与分类1.1.2 电场的概念与性质1.1.3 电场的计算与表示方法1.2 电势与电势能1.2.1 电势的定义与性质1.2.2 电势差与电势能的关系1.2.3 电势的测量与应用1.3 电流与电阻1.3.1 电流的定义与性质1.3.2 欧姆定律与电阻的概念1.3.3 串联与并联电阻的计算方法1.4 电功与电能1.4.1 电功的概念与计算1.4.2 电能的转化与利用第二章运动学知识与分析2.1 直线运动2.1.1 平均速度与瞬时速度2.1.2 加速度与速度的关系2.1.3 速度-时间图与加速度-时间图的分析2.2 曲线运动2.2.1 弧长与曲率半径2.2.2 圆周运动的物理规律2.2.3 轨迹分析与向心力计算2.3 抛体运动2.3.1 自由落体运动的特点与公式2.3.2 斜抛运动的物理规律与计算2.4 动量与冲量2.4.1 动量的定义与性质2.4.2 动量守恒定律的应用2.4.3 冲量的概念与计算第三章能量与功率的探究3.1 功与机械能3.1.1 功的定义与性质3.1.2 功率的概念与计算3.1.3 功与机械能的转化与守恒3.2 动能与势能3.2.1 动能的概念与计算3.2.2 势能的定义与计算方法3.2.3 动能与势能的转化与应用3.3 能量守恒定律3.3.1 闭合系统中的能量守恒定律 3.3.2 能量转化的示例与分析第四章光学基础知识4.1 光的传播与光学仪器4.1.1 光的直线传播特性4.1.2 光学仪器的基本原理与应用4.2 光的折射与全反射4.2.1 折射定律与折射率的计算4.2.2 全反射的条件与应用4.3 光的色散与光的干涉4.3.1 光的色散现象与原理4.3.2 光的干涉现象的解释与应用4.4 光的衍射与光的偏振4.4.1 光的衍射现象与原理4.4.2 光的偏振现象的解释与应用第五章核与辐射的研究5.1 原子结构与放射性5.1.1 原子结构的基本概念与模型 5.1.2 放射性与半衰期的研究5.2 核反应与核能5.2.1 核反应的基本原理与应用 5.2.2 核能的利用与安全问题5.3 辐射与辐射防护5.3.1 辐射的种类与性质5.3.2 辐射防护的措施与方法5.4 核能与生活5.4.1 核能在能源领域的应用5.4.2 核能与环境、经济的关系结语以上是高二苏教版必备物理提升讲义的主要内容，通过学习本讲义，相信您能够更加深入地了解物理学的基础知识与应用，为今后的学习与科研打下坚实的基础。
2020-2021学年高二物理竞赛电动势课件
E
◆+
_
Ri
◆
正极
负极 电源
电源的电动势 E 和内阻 r
注意：规定从 负极指向正极 的方向为电动 势的“方向”。
在整个闭合回路上都存在非静电场时，电动势可表 示为：
E L Ene dr
如感生电动势 （第十章）
表明：电动势在量值上等于非静电力使单位正电荷 绕闭合回路一周所做的功。
辨析
电动势与电势差的异同是什么？
R2
注意：各量正负号的选取原则。 I2
E2 , r2
c
R3 I3
E3, r3
b
E1 E2 E3 I1(r1 R1) I2 (r2 R2 ) I3 (r3 R3 ) 0
例6-5-1 已知一段含源电路，则 UAB 等于多少？
E I (r R Reff ) 0 UBA IReff E I (r R)
I
dl
LS
I RL
I(r R)
dl
LS
L dRl RL
r：电源内的电阻（内阻）; R：电源外的电阻
E I (r R) 0 或 I E rR
全电路欧姆定律公式
注：只适用于电路只有一个回路的情况。
◆ 适用于有多个回路的复杂电路的全电路欧姆定律
公式
E1, r1 I1 R1
a
(E ) (IiRi ) 0
1、 电动势
+A B
A
+
+
+
B
A B
A
B
+
+
+
等势体
1) 单纯利用静电电势差不可能维持恒定的电流，它只能 产生短暂的非恒定电流。
2) 要产生恒定电流就必须设法使流到低电势处的电荷重 新回到高电势处去，这样才能保持恒定的电荷分布，从 而产生一个恒定电场。
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11.2电势 一、电势叠加原理
某点的总电势等于各场源电荷在该点产生的电势的标量和。
二、几种常见电场的电势
1、距离点电荷 r 处的电势（微元法证明）
r
kQ =
ϕ 2、半径为R 的均匀带电薄球壳
壳外：r kQ =
ϕ 壳内：R
kQ
=ϕ
例1、（1）解释：接触起电中电量均分定理的适用条件为两个小球完全相同。
（2）解释：不规则导体，尖的部位电荷面密度较大。
244kQ k R k R R R
σπϕπσ===
例2、求带电量为Q ，半径为R 的均匀带电细环在圆心处的电势
kQ R
ϕ=
例3、半径为R 2的导体球壳包围半径为R 1的金属球，金属球具有电势U 1。
如果让球壳接地。
那么金属球的电势变为多少？ 例4、一个半径为a 的孤立带电金属丝环，其中心处电势为U 0，将此球靠近圆心为O 1、半径为b 的接地的导体球，只有球中心O 位于球面上，如图所示，试求球上感应电荷的电量。
例5、如图所示，两个同心导体球，内球半径为R 1，外球是个球壳，内半径为R 2，外半径R 3.在下列各种情况下求
内外球壳的电势差以及壳内空腔和壳外空间的电势分布
规律.
（1）内球带q +，外球壳带Q +. （2）内球带q +，外球壳不带电.
（3）内球带q +，外球壳不带电且接地.
b a
O
O 1
（4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带Q +.
【解析】如错误!未找到引用源。
所示，根据叠加原理:
(1)R 1处有均匀的+q ，R 2必有均匀的-q ，R 3处当然有+(Q+q)电荷，因此： 内球1123q q Q q U k
k k R R R +=-+ 外球233
()()
q q k Q q k Q q U k k r
r
R R ++=-+
= 上式中23R r R << 电势差121212
q q U U U k k R R =-=- 腔内23()q q k Q q U k k
r
R R +=-+内 (R 1<r<R 2) 壳外33
()()
q
q k Q q k Q q U k k r r
R R ++=-+
=外 (r>R 3) (2)R 1处有+q ，R 2处有-q ，R 3处有+q ，因此： 内球1123q q q
U k
k k R R R =-+ 外球233
q q q q U k k k k r
r
R R =-+= 上式中23R r R <<
电势差121212
q q U U U k k R R =-=- 腔内23
q q kq
U k k
r
R R =-+内 (R 1<r<R 2) 壳外q
q kq kq
U k k r r r r
=-+
=外 (r>R3) （3）R 1处有+q ，R 2处有-q ，外球壳接地，外球壳U 2=0，R 3处无电荷. 内球112
q q
U k
k R R =- 电势差121212
q q
U U U k k R R =-=- 腔内2
q
q
U k k
r
R =-内 (R 1<r<R 2)
壳外0q q U k k r r
=-=外 （r ＞R 3）
（4）内球接地电势为零，内球带'q -，R 2处有'q +，R 3处有()Q q '+-，先求q ′，因为:
123
''(')0q q k Q q k
k R R R --++= 解得:12
122313
QR R q R R R R R R '=
+-
内球:10U = 外球:2223
'''q q Q q U k
k k R R R -=-++ 21122313
()
kQ R R R R R R R R -=
+-
21U =
腔内:23
'inside q q Q q U k
k k r R R ''-=-++ 21122313(1)kQR R
R R R R R R r
=
-+- (R 1<r<R 2)
壳外:
3
'outside q q Q q U k k k r r R ''
-=-++ 321122313()
()kQR R R R R R R R R r
-=
+- （r ＞R 3）
例6、如图所示，O 为半径等于R 的原来不带电的导体球的球心，O 1、O 2、O 3为位于球内的三个半径皆为r 的球形空腔的球心，它们与O 共面，已知
2
321R OO OO OO =
==．在OO 1、OO 2的连线上距O 1、O 2为2r
的P 1、P 2点处分别放置
带电量为q 1和q 2的线度很小的导体（视为点电荷），在O 3处放置一带电量为q 3的点电荷，设法使q 1、q 2和q 3固定不动．在导体球外的P 点放一个电量为Q 的点电荷，P 点与O 1、O 2、O 3共面，位于O O 3的延长线上，到O 的距离R OP 2=． 1．求q 3的电势能．。