江苏省学物理竞赛讲义-11.2电势

11.2电势 一、电势叠加原理

某点的总电势等于各场源电荷在该点产生的电势的标量和。 二、几种常见电场的电势

1、距离点电荷 r 处的电势（微元法证明）

r

kQ =

ϕ 2、半径为R 的均匀带电薄球壳

壳外：r kQ =

ϕ 壳内：R

kQ

=ϕ

例1、（1）解释：接触起电中电量均分定理的适用条件为两个小球完全相同。 （2）解释：不规则导体，尖的部位电荷面密度较大。

244kQ k R k R R R

σπϕπσ===

例2、求带电量为Q ，半径为R 的均匀带电细环在圆心处的电势

kQ R

ϕ=

例3、半径为R 2的导体球壳包围半径为R 1的金属球，金属球具有电势U 1。如果让球壳接地。那么金属球的电势变为多少？ 例4、一个半径为a 的孤立带电金属丝环，其中心处电势为U 0，将此球靠近圆心为O 1、半径为b 的接地的导体球，只有球中心O 位于球面上，如图所示，试求球上感应电荷的电量。

例5、如图所示，两个同心导体球，内球半径为R 1，外球是个球壳，内半径为R 2，外半径R 3.在下列各种情况下求

内外球壳的电势差以及壳内空腔和壳外空间的电势分布

规律.

（1）内球带q +，外球壳带Q +. （2）内球带q +，外球壳不带电.

（3）内球带q +，外球壳不带电且接地.

b a

O

O 1

（4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带Q +.

【解析】如错误!未找到引用源。所示，根据叠加原理:

(1)R 1处有均匀的+q ，R 2必有均匀的-q ，R 3处当然有+(Q+q)电荷，因此： 内球1123q q Q q U k

k k R R R +=-+ 外球233

()()

q q k Q q k Q q U k k r

r

R R ++=-+

= 上式中23R r R << 电势差121212

q q U U U k k R R =-=- 腔内23()q q k Q q U k k

r

R R +=-+内 (R 1

()()

q

q k Q q k Q q U k k r r

R R ++=-+

=外 (r>R 3) (2)R 1处有+q ，R 2处有-q ，R 3处有+q ，因此： 内球1123q q q

U k

k k R R R =-+ 外球233

q q q q U k k k k r

r

R R =-+= 上式中23R r R <<

电势差121212

q q U U U k k R R =-=- 腔内23

q q kq

U k k

r

R R =-+内 (R 1

q kq kq

U k k r r r r

=-+

=外 (r>R3) （3）R 1处有+q ，R 2处有-q ，外球壳接地，外球壳U 2=0，R 3处无电荷. 内球112

q q

U k

k R R =- 电势差121212

q q

U U U k k R R =-=- 腔内2

q

q

U k k

r

R =-内 (R 1

壳外0q q U k k r r

=-=外 （r ＞R 3）

（4）内球接地电势为零，内球带'q -，R 2处有'q +，R 3处有()Q q '+-，先求q ′，因为:

123

''(')0q q k Q q k

k R R R --++= 解得:12

122313

QR R q R R R R R R '=

+-

内球:10U = 外球:2223

'''q q Q q U k

k k R R R -=-++ 21122313

()

kQ R R R R R R R R -=

+-

21U =

腔内:23

'inside q q Q q U k

k k r R R ''-=-++ 21122313(1)kQR R

R R R R R R r

=

-+- (R 1

壳外:

3

'outside q q Q q U k k k r r R ''

-=-++ 321122313()

()kQR R R R R R R R R r

-=

+- （r ＞R 3）

例6、如图所示，O 为半径等于R 的原来不带电的导体球的球心，O 1、O 2、O 3为位于球内的三个半径皆为r 的球形空腔的球心，它们与O 共面，已知

2

321R OO OO OO =

==．在OO 1、OO 2的连线上距O 1、O 2为2r

的P 1、P 2点处分别放置

带电量为q 1和q 2的线度很小的导体（视为点电荷），在O 3处放置一带电量为q 3的点电荷，设法使q 1、q 2和q 3固定不动．在导体球外的P 点放一个电量为Q 的点电荷，P 点与O 1、O 2、O 3共面，位于O O 3的延长线上，到O 的距离R OP 2=． 1．求q 3的电势能．