《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰 习题答案

《误差理论与数据处理》(第七版)
习题及参考答案
第一章 绪论
1－5 测得某三角块得三个角度之与为180o
00’02”,试求测量得绝对误差与相对误差 解:
绝对误差等于: 相对误差等于:
1-8在测量某一长度时,读数值为2.31m,其最大绝对误差为20m μ,试求其
最大相对误差。

%
108.66 %
1002.31
1020 100%
max
max 4-6
-⨯=⨯⨯=⨯=
测得值
绝对误差相对误差
1-10检定2、5级(即引用误差为2、5%)得全量程为100V 得电压表,发现50V 刻度点得示值误差2V 为最大误差,问该电压表就是否合格？
%5.22%100%100
2100%
<=⨯=⨯=
测量范围上限
某量程最大示值误差
最大引用误差
该电压表合格
1-12用两种方法分别测量L1=50mm,L2=80mm 。

测得值各为50.004mm,80.006mm 。

试评定两种方法测量精度得高低。

相对误差
L 1:50mm 0.008%100%5050
004.501=⨯-=
I
L 2:80mm 0.0075%100%80
80
006.802=⨯-=I
21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。

1－13 多级弹导火箭得射程为10000km 时,其射击偏离预定点不超过0、lkm,优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 得靶心,试评述哪一个射击精度高? 解:
21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈='''
'''⨯⨯''=''＝o
射手得相对误差为:
1-14m μ11±与m μ9±;而用第三种测量方法测量另一零件得长度L2=150mm 。

其
测量误差为m μ12±,试比较三种测量方法精度得高低。

相对误差
0.01%110111±=±
=mm m
I μ
0.0082%11092±=±=mm m
I μ
%008.0150123±=±=mm
m
I μ
123I I I <<第三种方法得测量精度最高
第二章 误差得基本性质与处理
2-6测量某电路电流共5次,测得数据(单位为mA)为168、41,168、54,168、59,168、40,168、50。

试求算术平均值及其标准差、或然误差与平均误差。

168.41168.54168.59168.40168.50
5
x ++++=
168.488()mA =
)(082.01
55
1
2
mA v
i i
=-=
∑=σ
0.037()x mA σ=
=
= 或然误差:0.67450.67450.0370.025()x R mA σ==⨯= 平均误差:0.79790.79790.0370.030()x T mA σ==⨯=
2-7在立式测长仪上测量某校对量具,重量测量5次,测得数据(单位为mm)为20、0015,20、0016,20、0018,20、0015,20、0011。

若测量值服从正态分布,试以99%得置信概率确定测量结果。

20.001520.001620.001820.001520.0011
5
x ++++=
20.0015()mm =
0.00025σ=
=
正态分布 p=99%时,t 2.58= lim x x t δσ=±
2.58=± 0.0003()mm =±
测量结果:lim (20.00150.0003)x X x mm δ=+=±
2-9用某仪器测量工件尺寸,在排除系统误差得条件下,其标准差
mm 004.0=σ,若要求测量结果得置信限为mm 005.0±,当置信概率为
99%时,试求必要得测量次数。

正态分布 p=99%时,t 2.58=
lim x t
δ=±
2.580.004
2.064
0.005
4.265
n n ⨯=
===取
2－9 用某仪器测量工件尺寸,已知该仪器得标准差σ＝0、001mm,若要求测量得允许极限误差为±0、0015mm,而置信概率P 为0、95时,应测量多少次？ 解:根据极限误差得意义,有
0015.0≤±=±n
t
t x σ
σ
根据题目给定得已知条件,有
5.1001
.00015
.0=≤
n
t
查教材附录表3有
若n ＝5,v ＝4,α＝0、05,有t ＝2、78,
24.1236
.278
.25
78.2==
=
n
t 若n ＝4,v ＝3,α＝0、05,有t ＝3、18,
59.12
18
.34
18.3==
=
n
t 即要达题意要求,必须至少测量5次。

2-12某时某地由气压表得到得读数(单位为Pa)为102523、85,102391、30,102257、97,102124、65,101991、33,101858、01,101724、69,101591、36,其权各为1,3,5,7,8,6,4,2,试求加权算术平均值及其标准差。

)(34.1020288
1
8
1Pa p
x
p x i i
i i
i ==
∑∑==
)(95.86)18(8
1
8
1
2
Pa p v
p i i
i xi i x ≈-=
∑∑==σ
2-13测量某角度共两次,测得值为6331241'''= α,
''24'13242
=α,其标准差分别为8.13,1.321''=''=σσ,试求加权算术平均值及其标准差。

961:190441
:
1
:2
22121==
σσp p
''35'1324961
19044'
'4961''1619044''20'1324
=+⨯+⨯+
=x
''0.3961
1904419044
''1.32
1
≈+⨯
==∑=i i
i
x
x p
p i
σσ
2-14 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体得锥角α各重复测量5次,测得值如下:
;
5127,0227,5327,037,0227:''''''''''''''' 甲α
;5427,0527,0227,5227,5227:''''''''''''''' 乙α
试求其测量结果。

甲:20"60"35"20"15"
72'72'30"5
x ++++=
+
=甲
σ甲
18.4"=
x 8.23"σσ=
=
=甲 乙:25"25"20"50"45"
72'72'33"
5
x ++++
=+
=乙
σ=
=
乙
13.5"=
x 6.04"σ==
=乙 22
22
x x
1
1
11
::
:3648:67738.23 6.04p p σσ=
=
=乙
乙甲甲 364830"677333"
72'36486773
p x p x x p p +⨯+⨯=
=+++甲乙乙甲乙甲72'32"=
78.46773
36483648
32.8''=+⨯
''=+=乙
甲甲甲
p p p x x σσ
''15''32'273±=±= x x X σ
2-16重力加速度得20次测量具有平均值为2
/811.9s m 、标准差为
2/014.0s m 。

另外30次测量具有平均值为2/802.9s m ,标准差为2/022.0s m 。

假设这两组测量属于同一正态总体。

试求此50次测量得平均
值与标准差。

147:24230022.01:
20014.011
:
1
:2
2
22212
2
21
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
=
x
x p p σσ
)/(9.808147
2429.802
1479.8112242s m x ≈+⨯+⨯=
）
（2m/s 0.0025147242242
20
014.0≈+⨯=
x σ 2-19对某量进行10次测量,测得数据为14、7,15、0,15、2,14、8,15、5,14、
6,14、9,14、8,15、1,15、0,试判断该测量列中就是否存在系统误差。

96.14=x
按贝塞尔公式 2633.01=σ
按别捷尔斯法0.2642)
110(10253.110
1
i 2≈-⨯
=∑=i
v
σ
由
u +=112σσ 得 0034.011
2=-=σσ
u 67.01
2
=-<
n u 所以测量列中无系差存在。

2-18对一线圈电感测量10次,前4次就是与一个标准线圈比较得到得,后6次就是与另一个标准线圈比较得到得,测得结果如下(单位为mH): 50、82,50、83,50、87,50、89;
50、78,50、78,50、75,50、85,50、82,50、81。

试判断前4次与后6次测量中就是否存在系统误差。

使用秩与检验法:
排序:
T=5、5+7+9+10=31、5 查表 14=-T 30=+T +>T T 所以两组间存在系差 2－21 对某量进行两组测量,测得数据如下:
试用秩与检验法判断两组测量值之间就是否有系统误差。

解:
x y i 203)2)1((
211=++=n n n a ;474)12
)
1((2121=++=n n n n σ求出:
1.0-=-=
σ
a
T t
现取概率295.0)(=t φ,即475.0)(=t φ,查教材附表1有96.1=αt 。

由于
αt t ≤,因此,可以认为两组数据间没有系统误差。

第三章 误差得合成与分配
3-1相对测量时需用54.255mm 得量块组做标准件,量块组由四块量块研合而
成
,
它
们
得
基
本
尺
寸
为
mm l 401=,mm l 122=,mm l 25.13=,mm l 005.14=。

经测量,它们得尺
寸
偏
差
及
其
测
量
极
限
误
差
分
别
为
m l μ7.01-=∆,m l μ5.02+=∆,m l μ3.03-=∆,
,
20.0,25.0,35.0,1.03lim 2lim 1lim 4m l m l m l m l μδμδμδμ±=±=±=+=∆m l μδ20.04lim ±=。

试求量块组按基本尺寸使用时得修正值及给相对测量
带来得测量误差。

修正值=)(4321l l l l ∆+∆+∆+∆- =)1.03.05.07.0(+-+-- =0、4)(m μ 测量误差: l δ=4
3
2
1
lim 2lim 2lim 2lim 2l l l l δδδδ+++±
=2
222)20.0()20.0()25.0()35.0(+++± =)(51.0m μ±
3-2 为求长方体体积V
,直接测量其各边长为
mm a 6.161=,mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量得系统误差为mm a 2.1=∆,mm b 8.0-=∆,mm c 5.0=∆,测量得极限误差为
mm
a 8.0±=δ,
mm b 5.0±=δ,mm c 5.0±=δ, 试求立方体得体积及其体积得极限误差。

abc V = ),,(c b a f V =
2.115.446.1610⨯⨯==abc V
)(44.805413
mm =
体积V 系统误差V ∆为:
c ab b ac a bc V ∆+∆+∆=∆
)(74.2745)(744.274533mm mm ≈=
立方体体积实际大小为:)(70.777953
0mm V V V =∆-=
2
22222lim )()()(
c b a V c
f b f a f δδδδ∂∂+∂∂+∂∂±= 2
22
22
2)()()(c b a ab ac bc δδδ++±= )(11.37293mm ±=
测量体积最后结果表示为:
V V V V lim 0δ+∆-=3)11.372970.77795(mm ±=
3-4 测量某电路得电流mA I 5.22=,电压V U 6.12=,测量得标准差分别
为mA I 5.0=σ,V U
1.0=σ,求所耗功率UI P =及其标准差P σ。

UI P =5.226.12⨯=)(5.283mw =
),(I U f P =I U 、 成线性关系 1=∴UI ρ
I u I U P I
f U f I f U f σσσσσ))((2)()(
2
222∂∂∂∂+∂∂+∂∂=
I U I U U I I
f
U f σσσσ+=∂∂+∂∂=
5.06.121.05.22⨯+⨯= )(55.8mw =
3—12 按公式V=πr2h 求圆柱体体积,若已知r 约为2cm,h 约为20cm,要使
体积得相对误差等于1％,试问r 与h 测量时误差应为多少? 解:
若不考虑测量误差,圆柱体积为
3222.25120214.3cm h r V =⨯⨯=⋅⋅=π
根据题意,体积测量得相对误差为1％,即测定体积得相对误差为:
%1=V
σ
即51.2%12.251%1=⨯=⋅=V σ
现按等作用原则分配误差,可以求出 测定r 得误差应为:
cm hr r V r 007.021
41.151.2/12
==∂∂=
πσ
σ
测定h 得误差应为:
cm r
h V h 142.01
41.151.2/122
=⋅=∂∂=
πσ
σ 3-14对某一质量进行4次重复测量,测得数据(单位g)为428、6,429、2,426、5,430、8。

已知测量得已定系统误差,6.2g -=∆测量得各极限误差分量及其相应得传递系数如下表所示。

若各误差均服从正态分布,试求该质量得最可信赖值及其极限误差。

4
=
x
)(8.428)(775.428g g ≈=
最可信赖值 )(4.4316.28.428g x x =+=∆-=
∑∑==∂∂+∂∂±=31222
2
5
1)(41)(i i i i i i
x x f e x f δδ )(9.4g ±≈
测量结果表示为:x x x δ+∆-=g )9.44.431(±=
第四章 测量不确定度
4—1 某圆球得半径为r,若重复10次测量得r ±σr =(3、132±0、005)cm,试求该圆球最大截面得圆周与面积及圆球体积得测量不确定度,置信概率P=99％。

解:①求圆球得最大截面得圆周得测量不确定度
已知圆球得最大截面得圆周为:r D ⋅=π2 其标准不确定度应
为:()222
22
2
005.014159.342⨯⨯==
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=r r r D u σπσ
＝0、0314cm
确定包含因子。

查t 分布表t 0、01(9)＝3、25,及K ＝3、25 故圆球得最大截面得圆周得测量不确定度为:
U ＝Ku ＝3、25×0、0314＝0、102
②求圆球得体积得测量不确定度 圆球体积为:33
4
r V ⋅⋅=
π 其标准不确定度应为:
()616
.0005.0132.314159.316424222
22
2
=⨯⨯⨯=⋅⋅=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=r
r r r V u σ
πσ
确定包含因子。

查t 分布表t 0、01(9)＝3、25,及K ＝3、25 最后确定得圆球得体积得测量不确定度为
U ＝Ku ＝3、25×0、616＝2、002
4-4某校准证书说明,标称值10Ω得标准电阻器得电阻R 在20C
时为
Ω±Ωμ129000742.10(P=99%),求该电阻器得标准不确定度,并说明属于
哪一类评定得不确定度。

由校准证书说明给定
∴属于B 类评定得不确定度
R 在[10、000742Ω-129μΩ,10、000742Ω+129μΩ]范围内概率为
99%,不为100%
∴不属于均匀分布,属于正态分布 129a =当p=99%时, 2.58p K = ∴12950()2.58
R p a U K μ=
==Ω 4-5在光学计上用52.5mm 得量块组作为标准件测量圆柱体直径,量块组由三块量块研合而成,其尺寸分别就是:
140l mm
=,
210l mm =,
3 2.5l mm
=,
量块按“级”使用,经查手册得其研合误差分别不超过0.45m μ±、
0.30m μ±、0.25m μ±(取置信概率P=99、73%得正态分布),求该量块组引
起得测量不确定度。

52.5L mm = 140l mm = 210l mm =
3 2.5l mm =
123L l l l ∴=++ 99.73%p = 3p K ∴=
10.450.15()3l p a U m k μ=
== 20.300.10()3l p a U m k μ=== 30.250.08()3
l p a U m k μ=
== 321l l l L U U U U ++=
= 0.20()m μ=
第五章 线性参数得最小二乘法处理
5-1测量方程为3 2.920.923 1.9x y x y x y +=⎧⎪
-=⎨⎪-=⎩
试求x 、y 得最小二乘法处理及其相应精度。

误差方程为123
2.9(3)0.9(2)1.9(23)v x y v x y v x y =-+⎧⎪
=--⎨⎪=--⎩
列正规方程11121111
212221
11n
n n
i i i i i i i i i n n n
i i i i i i i i i a a x a a y a l a a x a a y a l ======⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑∑代入数据得
14513.4
514 4.6x y x y -=⎧⎨-+=-⎩解得 ⎩⎨
⎧==015
.0962.0y x 将x 、y 代入误差方程式123
2.9(30.9620.015)0.001
0.9(0.96220.015)0.0321.9(20.96230.015)0.021v v v =-⨯+=-⎧⎪
=--⨯=-⎨⎪=-⨯-⨯=⎩
测量数据得标准差为0.038σ=
=
=
求解不定乘数 111221
22d d d d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦111211122122212214515140
1450
5141
d d d d d d d d -=⎧⎨
-+=⎩-=⎧⎨
-+=⎩ 解得 082.02211==d d
x 、y 得精度分别为01.011==d x σσ 01.022==d y σσ
5-7不等精度测量得方程组如下:1233 5.6,148.1,220.5,3
x y p x y p x y p -=-=⎧⎪
+==⎨⎪-==⎩
试求x 、y 得最小二乘法处理及其相应精度。

列误差方程11223
35.6(3),1
8.1(4),20.5(2),3
v x y p v x y p v x y p =---=⎧⎪
=-+=⎨⎪=--=⎩
正规方程为3
33
11121111
333
212221
11i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i p a a x p a a y p a l p a a x p a a y p a l ======⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑∑
代入数据得
4562.2
1431.5x y x y -=⎧⎨-+=⎩解得 ⎩⎨
⎧==352
.2434.1y x 将x 、y 代入误差方程可得⎪⎩⎪
⎨⎧-===016.0012.0022
.03
21v v v
则测量数据单位权标准差为039.02
33
1
2
=-=
∑=i i
i v p σ
求解不定乘数 111221
22d d d d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦1112111221222122451140
450
141
d d d d d d d d -=⎧⎨
-+=⎩-=⎧⎨
-+=⎩ 解得 ⎩⎨⎧==072.0022.022
11d d
x 、y 得精度分别为006.011==d x σσ 010.022==d y σσ
第六章 回归分析
6-1材料得抗剪强度与材料承受得正应力有关。

对某种材料试验得数据如下:
假设正应力得数值就是正确得,求
(1)抗剪强度与正应力之间得线性回归方程。

(2)当正应力为24、5Pa 时,抗剪强度得估计值就是多少？ (1)设一元线形回归方程 bx b y +=∧
0 12=N
⎪⎩⎪⎨
⎧
-==
x b y b l
l b xx xy 0
047.43=∴xx l 533.29-=xy l 69
.0047
.43533
.29-=-==
xx
xy l l b ()x y
b y x 69.069.42ˆ69.4297.2569.077.2477.242.29712197.256.31112
1
0-==⨯--=∴=⨯==⨯=
(2)当X=24、5Pa
)(79.255.2469.069.42ˆPa y
=⨯-= 6-10 用直线检验法验证下列数据可以用曲线x
y ab =表示。

y -0、4786 -2、188 -11、22 -45、71 -208、9 -870、9 -3802
()x b a y ab y x log )log()log(+-=-⇒=
)log(1y Z -= x Z =2
取点做下表
Z 2 30 40 50 60 Z 1
-0、32
1、05
2、32
3、58
以Z 1与Z 2画图
所得到图形为一条直线,故选用函数类型x
ab y =合适。