2020年山东省普通高中学业水平等级考试4月(模拟)数学试题
山东省济南市2020届高三下学期4月模拟考试数学试题(含答案)
{cn }，{dn } 为等方差数列； .........................................................................................4 分
（2）因为数列{an} 是首项为 1，公方差为 2 的等方差数列，
所以 an2 1 2( n 1) 2n 1 ， .................................................................................7 分
33
（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点 P 的轨迹方程； 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
（2）记（1）中的轨迹为 E，经过点 D（1，0）的直线 l′ 交 E 于 M，N 两点，若线段 MN 的垂直平分线与
y 轴相交于点 Q，求点 Q加速度大小为 g＝10m / s2，3 ≈ 1.732 ）
A． 63
B． 69
C． 75
D．81
4.已知函数 y＝（f x）的部分图象如图，则 （f x）的解析式可能是
A． （f x）＝x＋tanx
B． （f x）＝x＋sin2x C． （f x）＝x − 1 sin 2x
2 D. （f x）＝x − 1 cos x
2
5.方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用。某方舱医院医疗小组有七名护士，
每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班。若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚
早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为
A． 甲
B． 丙
C． 戊 D．庚
6.已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 A，B 两点，过 A 作抛物线准线的垂线，垂
山东省日照市2020届高三4月模拟考试(一模)数学试题(含答案解析)
山东省日照市2020届高三4月模拟考试（一模）数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习山东省日照市2020届高三4月模拟考试（一模）数学试题（含答案解析）1 已知复数z满足,则复数z在复平面内对应点所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案解析】 A【分析】把已知变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由，得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．故选：A．2 已知集合，，则（）A. B. {1} C. {0,1} D. {－1,0,1}【答案解析】 B【分析】化简集合，按交集定义，即可求解.【详解】由，得，所以，故选：B．3 南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为，则“总相等”是“相等”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】 A【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可.【详解】根据祖暅原理，当总相等时，相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“总相等”是“相等”的充分不必要条件.故选：A4 已知圆，直线．若直线上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则a的取值范围（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】由已知可得直线上存在点，使得，转化为圆心到直线的距离，求解即可.【详解】直线上存在点，以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点，则，只需，即圆的圆心到直线的距离，或.故选：C.5 当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.【详解】由于，所以为上的递减函数，且过；为上的单调递减函数，且过，故只有D选项符合.故选：D.6 已知定义在R上的函数，，，，则a、b、c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】先判断函数在时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个数的大小，然后根据函数在时的单调性，比较出三个数的大小.【详解】当时，，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.7 已知函数和（）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到的图象，只需把的图象（）A. 向左平移1个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移1个单位D. 向右平移个单位【答案解析】 A【分析】如图所示，计算得到，取靠近原点的三个交点，，，，得到，故，根据平移法则得到答案.【详解】如图所示：，故，.取靠近原点的三个交点，，，，为等腰直角三角形，故，故，故，，故为了得到的图象，只需把的图象向左平移1个单位 .故选：.8 如图，在直角坐标系xOy中，一个质点从出发沿图中路线依次经过，，，，按此规律一直运动下去，则（）A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案解析】 C【分析】由已知点坐标，得出的前8项，归纳出数列项的规律，即可求解.【详解】由直角坐标系可知，，，，，，，即，，，，，，，，…，由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，且都等于其项数除以2，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，因为，则，所以，，，.故选：C．9 （多选题）为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，测量了他们的体重（单位：千克）．健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过半年的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示，对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）A. 他们健身后，体重在区间内的人数不变B. 他们健身后，体重在区间内的人数减少了2个C. 他们健身后，体重在区间内的肥胖者体重都有减轻D. 他们健身后，这20位肥胖着的体重的中位数位于区间【答案解析】 ACD【分析】根据饼图分别求出20名肥胖者在健身前和健身后在各区间体重的人数，逐项验证，即可得出答案.【详解】图（1）中体重在区间，，内的人数分别为8，10，2；图（2）中体重在区间，，内的人数分比为为6，8，6；故选：ACD．10 （多选题）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（）A. 该班选择去甲景点游览B. 乙景点的得票数可能会超过9C. 丙景点的得票数不会比甲景点高D. 三个景点的得票数可能会相等【答案解析】 AC【分析】根据已知可得出游览两个景点时乙和丙选择的人数，得出游览三个景点时，选择乙和丙的人数的范围，即可得出结论.【详解】由已知只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，则选择乙的为9人，则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择乙的小于等于9人；若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，则选择丙的为8人，则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择丙的小于等于8人，所以选择甲的一定大于等于10人.故选：AC．11 （多选题）若定义在R上的函数满足，其导函数满足，则下列成立的有（）A. B.C. D.【答案解析】 AC【分析】由已知条件，构造函数，可得在上单调性，利用函数的单调性，结合的取值范围，得到的范围，进而求出的范围，即可求出结论.【详解】设，则，故函数在上单调递增，且，，故，，而，，故A正确，B错误．，故，所以，，故C正确，D错误．故选：AC.12 （多选题）已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点B，C，（B在轴上方，C在轴下方），与双曲线渐近线交于点A，D（A在轴上方），O为坐标原点，下列选项中正确的为（）A. 恒成立B. 若，则C. 面积的最小值为1D. 对每一个确定的n，若，则的面积为定值【答案解析】 ABD【分析】对于A选项，设直线方程为，分别与双曲线方程以及双曲线渐近线方程联立，求出中点坐标，并判断是否相等即可；对于B选项，由，得到，结合A选项的结果，即可判断选项B是否正确；对于C选项，设直线方程为，，直线分别与渐近线方程联立，求出坐标，进而求出的面积，根据的范围，求出的面积的范围即可；对于D选项，由已知可得，利用选项A的方程，得到关系，求出的面积即可.【详解】设，代入得，①显然，，即，设，，则，是方程①的两个根，有，，设，，由得，由，得；所以，所以和的中点重合，所以，所以恒成立．故A正确．因为和的中点重合为，所以，又，所以，所以，故B正确．设直线方程为，，由得，由得，，，，，故C错误.因为，所以，得，即，所以，，又，，，所以是定值．故D正确．故选：ABD.13 已知向量，，若，则__________．【答案解析】【分析】根据向量垂直坐标表示，即可求解.【详解】因为，所以，即.故答案为：．14 的展开式中常数项为__________．（用数字作答）【答案解析】 15的展开式的通项公式为，令，，故该展开式中的常数项为，故答案为15．15 直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，则__________，的最小值是__________．【答案解析】 2；【分析】由抛物线焦点坐标，求出；设直线方程为，将直线方程与抛物线方程联立，得出的纵坐标积为定值，进而得到横坐标积为定值，结合抛物线的定义将所求的式子转化为点（或点）横坐标的函数，即可求解.【详解】因为抛物线的焦点，所以；设点，，直线，联立方程，得，所以，，所以，法一：，当且仅当时取等号．法二：，所以，当且仅当时取等号．故答案为：2；.16 若点M在平面外，过点M作面的垂线，则称垂足N为点M在平面内的正投影，记为．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，记平面AB1C1D为，平面为，点P是棱CC1上一动点（与C，C1不重合），．给出下列三个结论：①线段长度的取值范围是；②存在点P使得平面；③存在点P使得其中正确结论的序号是___________．【答案解析】①②【分析】设，根据正方体的结构特征确定在边上，且，为中点，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，确定点坐标，用表示长度，结合的范围，求出长度，即可判断①；根据正方体的特征，取的一个法向量，利用建立的方程，求解即可判断②；再由，建立的方程，求解即可判断③.【详解】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点．在正方体中，平面，平面，，又，，平面，即，，同理可证，，则，．以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则,，，，．对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；对于命题②，，则平面的一个法向量为，，令，解得，所以，存在点使得平面，命题②正确；对于命题③，，令，整理的，该方程无实根，所以不存在点使得，命题③错误．故答案为：①②．17 △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．（1）求的值；（2）若，，求△ABC的面积．【答案解析】（1）；（2）【分析】（1）将已知等式边化角，再由两角和正弦得，即可求解；（2）由（1）的结论结合已知，根据余弦求出其中一个角，即可得出结论.【详解】（1）由正弦定理，可化为，也就是．由中可得．即．由正弦定理可得，故．（2）由可知．而，由余弦定理可知．又于是．．18 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{an}的公差，前n项和为Sn，若________，数列{bn}满足，，．（1）求{an}的通项公式；（2）求{bn}的前n项和．【答案解析】（1）；（2）．【分析】（1）若选①，在中，取，结合值和①，即可求出的通项公式，若选其它的两个条件公差皆为3，结果一样；（2）根据已知关系，得到为等比数列，即可求解.【详解】（1）因为，当时，．，，，若选①，．若选②，整理得，或（舍去），；若选③，（2）由（1）知：，即．即数列是以1为首项，以为公比的等比数列．的前项和．19 如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，为正方形，平面平面ABCD，，.(1)求证:平面平面；(2)点M为线段EF上一动点，求与平面所成角正弦值的取值范围.【答案解析】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得，由面面垂直的性质定理证得平面，由此证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，设出的长，利用直线的方向向量和平面的法向量，求得与平面所成角正弦值的表达式，进而求得与平面所成角正弦值的取值范围.【详解】在等腰梯形中，，，，. 即，.又平面平面，平面平面平面，平面平面，平面平面（2）解:由(1)知，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为，即令，则，平面的一个法向量为.设与平面所成角为，当时取最小值，当时取最大值故与平面所成角正弦值的取值范围为.20 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为圆心过椭圆左顶点M的圆与直线相切于N，且满足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C右焦点的直线与椭圆C交于不同的两点A、B，问内切圆面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．【答案解析】（1）；（2）有，最大值【分析】（1）由已知可得到直线的距离等于，结合，建立方程组，求解即可得出椭圆的标准方程；（2）即求内切圆的半径是否有最大值，因为周长为，转化为的面积是否有最大值，设，则，再设出直线的方程为，与椭圆方程联立，得出关系，表示为的函数，根据其特征求出范围，即可得出结论.【详解】（1）由已知椭圆方程为，设椭圆右焦点，由到直线的距离等于，得，，又，，又，求得，．椭圆方程为，（2）设，，设的内切圆半径为，的周长为，所以，根据题意，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由，得，，，，，所以，令，则，所以，令，则当时，，单调递增，所以，，即当，，直线的方程为时，的最大值为3，此时内切圆半径最大，内切圆面积有最大值．21 每年的3月12日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满30棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满50棵获得一次乙箱内摸奖机会，每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中个红球，个黄球，5个黑球，乙箱内有4个红球和6个黄球，每次摸一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．（1）经统计，每人的植树棵数X服从正态分布，若其中有200位植树者参与了抽奖，请估计植树的棵数X在区间内并中奖的人数（结果四舍五入取整数）；附：若，则，．（2）若，某位植树者获得两次甲箱内摸奖机会，求中奖金额（单位：元）的分布列；（3）某人植树100棵，有两种摸奖方法，方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大．【答案解析】（1）34人；（2）分布列见解析；（3）选方法二所得奖金的期望值较大【分析】（1）甲箱内摸奖一次中奖的概率为0.5，根据已知正态分布，在区间的概率为根据参考数据，即可求解；（2）先求出中奖金额的可能值，求出对应值的概率，即可得到分布列；（3），先求出甲摸一次所得奖金的期望，并用表示，从而得到方法一所得奖金的期望，再求出方法二所得奖金的期望值，两种方法期望值对比，即可得出结论.【详解】（1）依题意得，，得，植树的棵数在区间内有一次甲箱内摸奖机会，中奖率为，植树棵数在区间内人数约为：人中奖的人数约为：人．（2）中奖金额的可能取值为0，50，100，150，200．；；；；；故的分布列为501001502000．250．30．290．120．04（3），甲箱摸一次所得奖金的期望为，方法一所得奖金的期望值为；乙箱摸一次所得奖金的期望值为，方法二所得奖金的期望值为140，的值可能为1，2，3，4，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．22 已知函数在点处的切线方程为．（1）求，；（2）函数图像与轴负半轴的交点为P，且在点P处的切线方程为，函数，，求的最小值；（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．【答案解析】（1），；（2）0；（3）证明见解析【分析】（1）由已知可得，，求出，可得的方程组，求解即可；（2）先求出的负根，进而求出切线方程，求出函数，进而求出单调区间，即可得出结论；（3）根据（2）可得的图像在的上方，同理可证出的图像也在以的另一零点为切点的切线上方，求出与两切线交点的横坐标为，则有，即可证明结论.【详解】（1）将代入切线方程中，得，所以，又或，又，所以，若，则（舍去）；所以，则；（2）由（1）可知，，所以，令，有或，故曲线与轴负半轴的唯一交点为曲线在点处的切线方程为，则，因为，所以，所以，．若，，若，，，所以.若，，，，所以在上单调递增，，函数在上单调递增．当时，取得极小值，也是最小值，所以最小值．（3），设的根为，则，又单调递减，由（2）知恒成立．又，所以，设曲线在点处的切线方程为，则，令，．当时，，当时，，故函数在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，设的根为，则，又函数单调递增，故，故．又，所以．。
山东日照2020届高三4月模拟考试(一模)数学试题
参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A2019——2020学年度高三模拟考试数学试题 2020．04考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足()12z i i +=，则复数z 在复平面内对应点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}2=|20M x x -<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =I （ ） A ．∅B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-3．南北朝时代数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V ，2V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S ，2S ，则“1V ，2V 相等”是“1S ，2S 总相等”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知圆22:1C x y +=，直线:40l ax y -+=．若直线l 上存在点M ，以M 为圆心且半径为1的圆与圆C 有公共点，则a 的取值范围（ ） A ．(][),33,-∞-+∞UB ．[]3,3-C ．(),-∞+∞UD ．⎡⎣5．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，(3log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>7．已知函数()f x x ω=和()()0g x x ωω=>的图像的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点．为了得到()y g x =的图像，只需把()y f x =的图像（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位 8．如图，在直角坐标系xOy 中，一个质点从()12,A a a 出发沿图中路线依次经过()34,B a a ，()56,C a a ，()78,D a a ，L ，按此规律一直运动下去，则2017201820192020a a a a +++=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年4月山东省潍坊市2020届高三下学期高考模拟考试(一模)数学试题
2020年4月山东省潍坊市2020届高三下学期高考模拟考试(一模)数学试题山东省潍坊市2020届高三下学期高考模拟考试(一模)数学试题一、单项选择题：1.设集合A，则AUB= {2,4}，B= {x∈N|x-3≤0}，则A的取值为 {2}。
2.四位同学各自对x，y两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r，如下表：相关系数。
| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |r。
| -0.82 | 0.78 | 0.69 | 0.87 |则试验结果体现两变量有更强的线性相关性的是同学丁。
3.在平面直角坐标系xOy中，点P将向量OP绕点O按逆时针方向旋转后得到向量2u，则点Q的坐标为 (-1,2)。
4.“a＜1且对于任意x，x2+1≥a”是必要不充分条件。
5.函数f(x)= (x-sin x)/(x-e+e^x)在区间[-π,π]上的图像大致为：6.XXX是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址。
玉琮王通高8.8cm，孔径4.9cm、外径17.6cm。
琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图像，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔。
该神人纹玉琮王的体积约为 2850 cm³。
7.定义在R上的偶函数f(x)= 2|x-m|-1，记a=(f^-1(3n))，b=(flog5)，c=f(2m)，则a<c<b。
8.如图，已知抛物线C:y=2px的焦点为F，点P（x,2px）(x>2p)是抛物线C上一点。
以P为圆心的圆与线段PF相交于点Q，与过焦点F且垂直于对称轴的直线交于点A,B，AB=PQ，直线PF与抛物线C的另一交点为M，若PF=3PQ，则.二、多项选择题：1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)>0，下列命题中正确的是：A。
∫₀¹f(x)dx=∫₀¹lnf(x)dxB。
2020届山东省烟台市高三4月模拟考试(一模)数学题目参考答案
2020年高考诊断性测试数学参考答案一、单项选择题1. C2. B3. A4. B5. B6. D7. A8. C 二、多项选择题9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD 三、填空题13. 45-14. 300 15. 12 16. 24x y =，四、解答题17．解：（1）因为2cos cos +cos )a A b C c B =，由正弦定理得所以2sin cos cos sin cos )A A B C C B =+, …………………………1分即 2sin cos )A A B C =+， …………………………2分 又B C A π+=-，所以sin()sin()sin B C A A π+=-=所以2sin cos A A A =， …………………………3分 而0A π<<，sin 0A ≠所以cos A =所以6A π=. …………………………4分（2）因为11sin 22ABCBC S bc A a h ∆==⋅ …………………………5分将b =3BC h =，1sin 2A =代入，得a =…………………………6分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，于是2222c =+-⨯， …………………………8分 即 29180c c -+=，解得3c =或6c =. …………………………10分18．解：设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则18b q=，38b q =， 于是8384q q-⨯=， …………………………2分 即2620q q +-=，解得12q =，23q =-（舍去）. …………………………4分 若选①：则142a b ==，41434202S a d ⨯=+=，解得2d =， …………………………6分所以2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+，…………………………8分 1111(1)1n S n n n n ==-++， …………………………9分 于是12111111111+(1)()()122311k k T S S S k k k =++=-+-++-=-++L L ……10分 令1151116k ->+，解得15k >，因为k 为正整数，所以k 的最小值为16. ……12分 若选②：则142a b ==，113232(2)2a d a d ⨯+=+，解得12a d ==.下同①.若选③：则142a b ==，113(2)(3)8a d a d +-+=，解得43d =. ………………6分 于是2(1)42422333n n n S n n n -=+⨯=+， …………………8分 131311()2(2)42n S n n n n =⨯=-++， ……………………9分 于是31111111[(1)()()()]4324112k T k k k k =-+-++-+--++L 3111(1)4212k k =+--++ 9311()8412k k =-+++， ………………………………………10分 令1516k T >，得111124k k +<++，注意到k 为正整数，解得7k ≥，所以k 的最小值为7. ………………………12分19．解：（1）证明：延长EG 交BC 于点D ,点D 为BC 的中点，因为,D E 分别是棱,BC AB 的中点,所以DE 是ABC ∆的中位线，所以//DE AC ， …………………………2分y又DE PAC ⊄平面，AC PAC ⊂平面，所以//DE PAC 平面.同理可证//EF PAC 平面. ………………………………………3分 又DE EF E =I ，,DE DEF EF DEF ⊂⊂平面平面，所以平面//DEF PAC 平面， ……………………………………4分 因为GF DEF ⊂平面，所以//GF PAC 平面. ………………………………5分 （2）连接PE ，因为PA PB =，E 是AB 的中点，所以PE AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC .以E 为坐标原点，以向量,EB EP u u u r u u u r所在的方向分别作为y 轴、z 轴的正方向，以与向量,EB EP u u u r u u u r垂直的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -. ………6分设1EB =，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P ，11(0,,)22F ，1,0)2G ， 11(0,,)22FE =--u u u r，1()62FG =-u u u r ， 11(0,,)22FP =-u u u r . ……………………7分设平面EFG 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则00FE FG ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u u rg m m，即00y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩， 令1z =，得1y =-，x =1,1)=-m …………………………9分又平面PFG 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，则00FG FP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u u rg n n，即111100x y z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩， 令11y =，得11z =，1x =于是取=n ………………………………………………11分 设平面EFG 与平面PFG 的所成的角二面角的大小为θ，则3cos cos ,5θ=<>===g m n m n m n . 所以平面CFG 与平面EFG 的所成的锐二面角的余弦值为35. ………………12分20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为13011090110100600.61000+++++=，故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6. …………………2分（2）由题意得列联表如下：…………3分2K 的观测值21000(250270330150) 5.542400*********k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ …………………5分 因为5.542 3.841>所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. ………………6分 （3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人. ………………7分随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，其中0364310(0)n n C C P C ξ++==，1264310(1)n n C C P C ξ++==,2164310(2)n n C C P C ξ++==,36310(3)n n C P C ξ++==, ………………9分 所以随机变量ξ的分布列为0312213646464633331010101001232n n n n n n n n C C C C C C C E C C C C ξ++++++++=⨯+⨯+⨯+⨯≥ ………………10分12213364646101232n n n n C C C C C C ++++⨯+⨯+⨯≥,可得，116(6)4(6)(5)(6)(5)(4)(10)(9)(8)23n n n n n n n n n ++++++++≥+++， 23(6)(1772)2(10)(9)(8)n n n n n n +++≥+++，3(6)2(10)n n +≥+，解得2n ≥. …………………………………………12分 21．解：（1）由()0f x ≤可得，1ln (0)xa x x+≥>， 令1ln ()x h x x +=，则221(1ln )ln ()x x x x h x x x ⋅-+-'==， ………………1分 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(1+)x ∈∞，时，()0h x '<，()h x 单调递减，故()h x 在1x =处取得最大值， ………………3分 要使1ln xa x+≥，只需(1)1a h ≥=， 故a 的取值范围为1a ≥， ………………4分显然，当1a =时，有1ln 1xx+≤，即不等式ln 1x x <-在(1,)+∞上成立， 令11()n x n n *+=>∈N ，则有111ln 1n n n n n ++<-=，所以231111ln ln ln 11223n n n ++++<++++L L ，即：1111ln(1)23n n++++>+L ； ………………6分（2）由()()f x g x =可得，21ln (1)e x x a x x +-=-，即21ln (1)e x xa x x+=--，令21ln ()(1)e x x t x x x +=--，则22ln ()(1)e x xt x x x-'=--， ………………8分 当(0,1)x ∈时，()0t x '>，()t x 单调递增，当(1+)x ∈∞，时，()0t x '<，()t x 单调递减，故()t x 在1x =处取得最大值(1)1t =， ………………10分 又当0x →时，()t x →-∞，当+x →∞时，()t x →-∞， ………………11分所以，当1a =时，方程()()f x g x =有一个实数解；当1a <时，方程()()f x g x =有两个不同的实数解；当1a >时，方程()()f x g x =没有实数解. ………………12分 22．解：（1）将点的坐标代入椭圆C 的方程得22224214a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2284a b ==，，所以椭圆C 的方程为22184x y +=． ……3分 （2）设11((,)P t Q x y .因为以PQ 为直径的圆恒过点O ，所以110OP OQ x t =+=u u u r u u u r g，即1y =. ……………………4分因为Q 点在椭圆上，所以2211184x y +=. （i）将1y =代入椭圆，得212324x t =+，221244t y t =+，于是22222114=(8)4()OP OQ t x y ++++2264244t t =+++,t ∈R . …………5分 因为2264244t t +++2264+4204t t =+++20≥36= 当且仅当2264+4=4t t +，即=2t ±时，取等号. 所以224OP OQ +的取值范围为[36,)+∞. ……………………………………7分 （ii ）存在.定圆的方程为224x y +=.假设存在满足题意的定圆，则点O 到直线PQ 的距离为定值.因为11((,)P t Q x y ，所以直线PQ 方程为11()(()0x t y y x t -----=，整理可得1111(()0y x x t y ty ----+=， ………………………………8分 所以O 到直线PQ的距离d =， …………………………9分由（i）知，1y =，得212324x t =+，221244t y t =+，110x t +=，注意到10x ≠，知11t x =-.所以222111|||ty t -+=+=+， …………………10分又=2=== ……………………11分所以2d r ===，因此，直线PQ 与圆224x y +=恒相切. …………………………………………12分。
2020年4月普通高考数学(山东卷)全真模拟卷(有答案)
2020年4月普通高考（山东卷）全真模拟卷（4）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z ＝1a ii＋－（a 为实数），若z 为纯虚数，则a 是（ ） A ．－1 B ．1 C ．－2D ．22．若3422a b c ln ===，，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<3．已知()0,1A ，()3,5B ，向量a AB =r u u u r ，()sin ,cos b αα=r ，且//a b r r，则tan α=（ ）A ．34B ．34-C ．43D ．43-4．已知02παβ<<<且()41,tan 53sin ααβ=-=-，则tan β=（ ） A ．13B ．913C ．139D ．35．函数在处的切线过点，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，某广场要规划一矩形区域ABCD ，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有1 m 宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200 m 2，则该矩形区域ABCD 占地面积的最小值为( )A ．248 m 2B ．288 m 2C ．328 m 2D ．368 m 27．如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧»AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若PQ 与SO 所成角为4π，则此圆锥的全面积与体积分别为（ ）A ．B ．100(1π+C ．D ．100(1π+ 8．汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ） A ．20 B ．15 C ．10 D ．5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
山东省潍坊市2020届高三数学4月模拟考试 理(潍坊市二模,无答案)
山东省潍坊市2020届高三数学4月模拟考试 理（潍坊市二模，无答案）本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题共50分）注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。
4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 (1)i z i +⋅=，则z 的虚部为A ． 2i -B ． 12-C ．2iD ．122．设集合 {}{}|213,|lg(1)A x x B x y x =-≤==-，则 A B =IA.(1,2)B.[1,2]C.(1,2]D.[1,2)3．下列结论正确的是A.若向量a ∥b ，则存在唯一的实数 λ使 a b λ=B.已知向量a ，b 为非零向量，则“a ，b 的夹角为钝角”的充要条件是“a ⋅b<0’’ c ．“若 3πθ=，则 1cos 2θ=”的否命题为“若 3πθ≠，则 1cos 2θ≠” D ．若命题 2:,10p x R x x ∃∈-+<，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>4．已知 21()sin(),'()42f x x x f x π=++为 ()f x 的导函数，则 '()y f x =的图象大致是5．已知 ,αβ表示平面，m ，n 表示直线， ,m βαβ⊥⊥，给出下列四个结论：① ,n n αβ∀⊂⊥；② ,n m n β∀⊂⊥；③,//n m n α∀⊂；④ ,n m n α∃⊂⊥， 则上述结论中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数 2()f x x x =+，执行右边的程序框图，若输出的结果是 3132，则 判断框中的条件应是 A. 30n ≤ B ． 31n ≤C ． 32n ≤D ． 33n ≤ 7．已知双曲线 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F 过 2F 垂直x 轴的直线与双曲线C 的两渐近线的交点分别是M 、N ，若1MF N ∆为正三角形，则该双曲线的离心率为A ． 213B ． 3C ． 13D ． 23+8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A ． 43πB ． 323πC ． 4πD ． 16π 9．在区间[-3，3]上任取两数x ，y ，使 210x y --<成立的概率为A ． 827B ． 727C ． 16D ． 42710．已知定义在R 上的函数 ()y f x =对任意的x 满足 (1)()f x f x +=-，当-l ≤x<l时， 3()f x x =．函数 log ,0,()1,0a x x g x x x⎧>⎪=⎨-<⎪⎩若函数在 [)6,-+∞上有6个零点，则实数a的取值范围是A ． 1(0,)(7,)7+∞U B. (]11,7,997⎡⎤⎢⎥⎣⎦U C. (]1,1,1,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭U D ． [)11,7,997⎛⎤ ⎥⎝⎦U 第Ⅱ卷 （非选择题共1 00分）注意事项：将第Ⅱ卷答案用0. 5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．1 1．已知 12,e e 是夹角为 60o 的两个单位向量，若向量 1232a e e =+，则 a =________.12.现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法种数共有_________．（用数字作答）13.已知抛物线 2:2(0)C y px p =>上一点 (2,)(0)P m m >，若P 到焦点F 的距离为4，则以P 为圆心且与抛物线C 的准线相切的圆的标准方程为_________．14．曲线 sin y x =在点 (,),(,)2222A B ππππ-处的切线分别为 12,l l ,设 12,l l 及直线 x-2y+2=0围成的区域为D(包括边界)．设点P(x ，y)是区域D 内任意一点，则x+2y 的最大值为________.15.如右图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东 45o，与观测站A 距离 202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时 后，又测得该货船位于观测站A 东偏北 (045)θθ<<o o 的C 处，且4cos 5θ=，已知A 、C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为 海里／小时___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数 ()sin()(0,0)4f x A x A πωω=+>>的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为 3π． (I)若 26(),03125f a a ππ+=<<，求sina ； (Ⅱ)将函数 ()y f x =的图象向右平移 6π个单位得到 ()y g x =的图象，若函数 ()y g x k =-是在 110,36π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求实数 k 的取值范围． 17．（本小题满分1 2分）直三棱柱 111ABC A B C -中，,2,AB BC BC ⊥=，112,BB AC =与1A C 交于一点P ，延长 1B B 到D ，使得BD=AB ，连接DC ，DA ，得到如图所示几何体．(I)若AB=1，求证：BP ∥平面ACD,(Ⅱ)若直线 1CA 与平面 11BCC B 所成的角为 30o，求二面角 1D AC C --的余弦值．18．（本小题满分12分）某超市制定“五一”期间促销方案，当天一次性购物消费额满1000元的顾客可参加“摸球抽奖赢代金券”活动，规则如下：①每位参与抽奖的顾客从一个装有2个红球和4个白球的箱子中逐次随机摸球，一次只摸出一个球；②若摸出白球，将其放回箱中，并再次摸球；若摸出红球则不放回，工作人员往箱中补放一白球后，再次摸球；③如果连续两次摸出白球或两个红球全被摸出，则停止摸球．停止摸球后根据摸出的红球个数领取代金券，代金券数额Y 与摸出的红球个数x 满足如下关系：Y=144+72x(单位：元)．(I)求一位参与抽奖顾客恰好摸球三次即停止摸球的概率；(Ⅱ)求随机变量Y 的分布列与期望．19．（本小题满分12分）已知等差数列 {}135468,42,69n a a a a a a a ++=++=;等比数列 {}1,2n b b =， 2123log ()6b b b =．(I)求数列 {}n a 和数列 {}n b 的通项公式；(Ⅱ)设 n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和 n T ．20.（本小题满分13分） 如图，椭圆 2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为2，点P 为上顶点，圆 222:O x y b +=将椭圆C 的长轴三等分，直线 4:(0)5l y mx m =-≠与椭圆C 交于A 、B 两点，PA 、PB 与圆O 交于M 、N 两点．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)求证△APB 为直角三角形；(Ⅲ)设直线MN 的斜率为n ，求证： m n为定值．21．（本小题满分14分）已知函数 2()ln (01)x f x a x x a a a =+->≠且． ( I)求函数 ()f x 的单调区间；(Ⅱ)a>l ，证明：当 (0,)x ∈+∞时， ()()f x f x >-； (Ⅲ)若对任意 1212,,x x x x ≠，且当 12()()f x f x =时，有 120x x +<，求a 的取值范围，。
山东师范大学附属中学2020届高三4月份线上模拟数学试题(高清打印版)
D.ω的取值范围是[13 , 19] 66
12. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ，过对角线 BD1 作平面α交棱 AA1 于点 E,交棱 CC1 于
点 F,下列正确的是( ).
A.平面α分正方体所得两部分的体积相等;
B.四边形 BFD1E 一定是平行四边形;
2
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C.平面α与平面 DBB1 不可能垂直;
4
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（3）以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立。为了深入研究，该研究团队随机 调查了 20 名患者，其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附：
21.(12 分)
A.(-1,3)
B. (-1,3]
C. (0,3)
2.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z·i=1+2i,则 z 的共轭复数为
D. (0,3]
A.2-i
B.1- 2i
C.2 +i
D.i-2
3.已知两个力 F1 (1, 2), F2 (2, 3) 作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体
仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力 F3, F3
得
，
即
，……………………………3 分
解得
或
.………………………………4 分
当 所以
时，
，此时直线
.………………………………6 分
恰为切线，故舍去，…………………5 分
（2）当
时，
设
，则
， ，………………………………7 分
2020年山东省普通高中学业水平等级考试(模拟卷)数学试题及答案
绝密★启用前山东省2020年普通高中学业水平等级考试(模拟卷)数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合}|){(}2|){(2x y y x B y x y x A ===+=，，，,则=B A I A ．)}11{(， B ．)}42{(，- C ．)}42()11{(，，，- D ．Φ2．已知)(R b a bi a ∈+，是ii +-11的共轭复数,则=+b a A ．1- B ．21- C ．21 D ．1 3．设向量)12()31()11(，，，，，=-==c b a ,且c b a ⊥-)(λ,则=λA ．3B ．2C ．2-D ．3- 4．10)1(x x-的展开式中4x 的系数是 A ．210- B ．120- C ．120 D ．2105．已知三棱锥ABC S -中,2π=∠=∠ABC SAB ,4=SB ,132=SC ,2=AB ,6=BC ,则三棱锥ABC S -的体积是A ．4B ．6C ．34D ．366．已知点A 为曲线)0(4>+=x xx y 上的动点,B 为圆1)2(22=+-y x 上的动点,则||AB 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．23 D ．247．设命题p ：所有正方形都是平行四边形,则p ⌝为A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形8．若1>>>c b a 且2b ac <,则A ．a c b c b a log log log >>B ．c a b a b c log log log >>C ．a b c c a b log log log >>D ．c b a a c b log log log >>二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
2020年4月山东省潍坊市昌乐县普通高中2020届高三毕业班高考模拟考试数学试题及答案
绝密★启用前山东省潍坊市昌乐县普通高中2020届高三毕业班下学期4月高考模拟考试数学试题2020年4月一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =--<，{}2|log 2B x x =<，则集合A B =IA ．{|14}x x -<<B ．{|03}x x <<C ．{|02}x x <<D ．{|01}x x <<2．设复数z 满足||1z i +=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则A ．22(1)1x y ++= B ．22(1)1x y -+= C ． 22(1)1x y ++= D ．22(1)1x y +-=3．已知123a =，131log 2b =，21log 3c =，则 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75．现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为x ,方差为2s ,则A ．70x =,275s <B ．70x =,275s >C ．70x >,275s <D ．70x <,275s >5.已知角α的终边经过点(sin47,cos 47)P o o ,则sin(-13)=αoA. B. 12-D.126．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,……,该数列的特点是：前两个数均为1,从第三数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,则()()()222132243354+a aa a a a a a a -+-+-+L L ()2201320152014a a a -=A.1006- B ．0 C ．1007 D ．17．已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >,0b >）的左、右焦点分别为12,F F ,O 为坐标原点．P是双曲线在第一象限上的点,直线PO 交双曲线C 左支于点M ,直线2PF 交双曲线C 右支于另一点N ．若122PF PF =,且260MF N ︒∠=,则双曲线C 的离心率为A B ． C D 8．设()f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x ≥时,()x f x e =,若对任意的[,1]x a a ∈+,不等式2()()f x a f x +≥恒成立,则实数a 的最大值是A ．32-B ．23-C ．34- D ．2 二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分． 9.设函数(32)1,1()(0,1),1x a x x f x a a a x --≤⎧=>≠⎨>⎩,下列关于函数的说法正确的是A.若2a =,则2(log 3)3f =B.若()f x 为R 上的增函数,则312a <<C.若(0)1f =-,则32a = D.函数()f x 为R 上的奇函数 10.已知函数()|cos |sin f x x x =+,则下列结论正确的是A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象是轴对称图形C.函数()f xD.函数()f x 的最小值为1-11.已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为A.1MB.2MC.3MD.4M12.在三棱锥D-ABC 中,AB=BC=CD=DA =1,且AB ⊥BC ,CD ⊥DA ,M,N 分别是棱,BC CD 的中点,下面。
2020年山东省高考数学(4月份)模拟试卷 含解析
2020年山东省高考数学（4月份）模拟试卷一、选择题. 1．复数√3+i1−√3i（i 为虚数单位）等于（ ） A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i2．若集合A ={y|y =x 13，−1≤x ≤1}，B ={x|y =√1−x}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣∞，1]B ．[﹣1，1]C ．∅D ．13．若0＜x ＜y ＜1，则下列不等式成立的是（ ） A ．(12)x ＜(12)y B ．x −12＜y −12C ．log 2x 12＜log 2y 12D ．log 12x 3＜log 12y 34．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 满足PA →=2PM →，则AM →⋅(PB →+PC →)=（ ） A ．2B ．﹣2C ．23D ．−235．设函数f(x)=cos 2(x +π4)−sin 2(x +π4)，x ∈R ，则函数f （x ）是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数6．过点（﹣2，0）且倾斜角为π4的直线l 与圆x 2+y 2＝5相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为（ ） A ．2√2B ．3C ．2√3D ．67．一个各面都涂满红色的4×4×4（长、宽、高均为4）正方体，被锯成同样大小的单位（长宽高均为1）小正方体，将这些小正方体放在一个不透明的袋子中，充分混合后，从中任取一个小正方体，则取出仅有一面涂有色彩的小正方体的概率为（ ） A ．14B ．12C ．18D ．388．设F 1，F 2是双曲线x 2−y 224=1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．4√2B ．8√3C ．24D ．48二、多项选择题：（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，优题速享部分选对的得3分，有选错的得0分．） 9．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数．则下列函数可以构成互生函数是（ ） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f(x)=√2(sinx +cosx) C ．f （x ）＝sin xD ．f(x)=√2sinx +√210．平面α外有两条直线m 和n ，从下面的条件中可以推出m ⊥n 的是（ ） A ．m ⊥α，n ∥αB ．m ⊥α，n ⊥αC ．m ⊥α，n ⊂αD ．m ∥α，n ∥α11．设y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，满足f （x +1）＝﹣f （x ），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于函数y ＝f （x ）的判断正确的是（ ） A ．y ＝f （x ）是周期为2的函数 B ．y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝1对称 C ．y ＝f （x ）在[0，1]上是增函数D ．f(12)=0．12．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，在定义域x ∈[﹣2，2]上表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为﹣1．下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）是奇函数B ．若f （x ）在[s ，t ]内递减，则|t ﹣s |的最大值为4C ．若f （x ）的最大值为M ，则最小值为﹣MD ．若对∀x ∈[﹣2，2]，k ≤f '（x ）恒成立，则k 的最大值为2 三、填空题（每题5分，共20分）13．点M （5，3）到抛物线x 2＝ay （a ＞0）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ． 14．若(x +1x )n 展开式中第2项与第6项的系数相同，则n ＝ ，那么展开式的常数项为 ．15．已知函数f(x)={log 2x 3x (x ＞0)#/DEL/#(x ≤0)#/DEL/#，且关于x 的方程f （x ）+x ﹣a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ． 16．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如表的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050则至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？ （请用百分数表示） 附： P （K 2＞k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)四、解答题（本题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若tan A ＝3，cos C =√55．（1）求角B 的大小；（2）若c ＝4，求△ABC 面积．18．已知数列{a n }满足a n+1=1+an3−an(n ∈N ∗)，且a 1=13.（I ）求证：数列{1a n −1}是等差数列，并求a n ；（II ）令b n =2(n+2)2a n(n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．一个袋中装有黑球，白球和红球共n （n ∈N *）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n ＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ；（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？ 20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定实数t 的值，使PA ∥平面MQB ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ＝PD ＝AD ＝2，求二面角M ﹣BQ ﹣C 的大小21．已知函数f （x ）=1−xax+lnx ． （Ⅰ）当a ＝1时，求f （x ）在[12，2]上最大值及最小值； （Ⅱ）当1＜x ＜2时，求证（x +1）lnx ＞2（x ﹣1）．22．已知椭圆两焦点F 1、F 2在y 轴上，短轴长为2√2，离心率为√22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且PF 1→⋅PF 2→=1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点． （1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值．参考答案一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数√3+i1−√3i（i为虚数单位）等于（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】先把√3+i1−√3i 等价转化为√3+i)(1+√3i)(1−√3i)(1+√3i)，由此能求出结果．解：√3+i1−√3i=(√3+i)(1+√3i)(1−3i)(1+3i)=4i4＝i．故选：C．2．若集合A={y|y=x13，−1≤x≤1}，B={x|y=√1−x}，则A∩B＝（）A．[﹣∞，1]B．[﹣1，1]C．∅D．1【分析】集合A表示的是函数的值域，求出幂函数的值域即集合A，集合B表示的函数的定义域，令被开方数大于等于0求出解集即集合B；利用交集的定义求出A∩B．解：∵A={y|y=x13，−1≤x≤1}={y|﹣1≤y≤1}集合B={x|y=√1−x}={x|x≤1}∴A∩B＝[x|﹣1≤x≤1}故选：B．3．若0＜x＜y＜1，则下列不等式成立的是（）A．(12)x＜(12)y B．x−12＜y−12C．log2x12＜log2y12D．log12x3＜log12y3【分析】由题意利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，得出结论．解：∵0＜x＜y＜1，根据指数函数的单调性可得(12)x＞(12)y，故A错误；再根据幂函数的单调性可得x−12＞y−12，故B错误；再根据对数函数的单调性可得log 2x 12＜log 2y 12，故C 正确；由x 3＜y 3，函数y =log 12x 在（0，+∞）上是减函数，可得log 12x 3＞log 12y 3，故D 错误，故选：C ．4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 满足PA →=2PM →，则AM →⋅(PB →+PC →)=（ ） A ．2B ．﹣2C ．23D ．−23【分析】由题设条件 PB →+PC →=2 PM →=P →A ，故可得 AM →•（ PB →+PC →）=−A →M 2，由于线段AM 长度可以求出，故可解出 A →M •（ PB →+PC →）的值． 解：∵PA →=2PM →，∴M 为PA 的中点，又AM ＝1，M 是BC 的中点， ∴AM →⋅(PB →+PC →)=2AM →⋅PM →=−2， 故选：B ．5．设函数f(x)=cos 2(x +π4)−sin 2(x +π4)，x ∈R ，则函数f （x ）是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y ＝A sin ωx 的形式，然后由y ＝A sin ωx 的性质得出相应的结论． 解：f （x ）=cos 2(x +π4)−sin 2(x +π4)=1+cos(2x+π2)2−1−cos(2x+π2)2＝﹣sin2x所以T ＝π，且为奇函数． 故选：A ．6．过点（﹣2，0）且倾斜角为π4的直线l 与圆x 2+y 2＝5相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为（ ）A ．2√2B ．3C ．2√3D ．6【分析】用点斜式求出直线l 的方程，再求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求出线段MN 的长．解：过点（﹣2，0）且倾斜角为π4的直线l 的斜率为1，方程为y ﹣0＝（x +2），x ﹣y +2＝0，圆x 2+y 2＝5的圆心到直线x ﹣y +2＝0 的距离等于√2=√2，由弦长公式得 MN ＝2√5−2=2√3， 故选：C ．7．一个各面都涂满红色的4×4×4（长、宽、高均为4）正方体，被锯成同样大小的单位（长宽高均为1）小正方体，将这些小正方体放在一个不透明的袋子中，充分混合后，从中任取一个小正方体，则取出仅有一面涂有色彩的小正方体的概率为（ ） A ．14B ．12C ．18D ．38【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是把一个各面都涂满红色的4×4×4正方体，锯成同样大小的单位小正方体，共有4×4×4种结果，满足条件的事件是仅有一面涂有色彩的小正方体，共有4×6种结果，得到概率． 解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是把一个各面都涂满红色的4×4×4正方体， 锯成同样大小的单位小正方体，共有4×4×4＝64种结果，满足条件的事件是仅有一面涂有色彩的小正方体，共有4×6＝24种结果， ∴根据古典概型概率公式得到P =2464=38， 故选：D ．8．设F 1，F 2是双曲线x 2−y 224=1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ） A ．4√2B ．8√3C ．24D ．48【分析】先由双曲线的方程求出|F 1F 2|＝10，再由3|PF 1|＝4|PF 2|，求出|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，由此能求出△PF 1F 2的面积．解：F 1（﹣5，0），F 2（5，0），|F 1F 2|＝10， ∵3|PF 1|＝4|PF 2|，∴设|PF 2|＝x ，则|PF 1|=43x ，由双曲线的性质知43x −x =2，解得x ＝6．∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6， ∴∠F 1PF 2＝90°， ∴△PF 1F 2的面积=12×8×6=24． 故选：C ．二、多项选择题：（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，优题速享部分选对的得3分，有选错的得0分．） 9．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数．则下列函数可以构成互生函数是（ ） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f(x)=√2(sinx +cosx) C ．f （x ）＝sin xD ．f(x)=√2sinx +√2【分析】根据新定义和利用三角函数的图象的性质可得答案． 解：f （x ）＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），将函数的图象向右平移π4个单位，在向上平移√2个单位可得函数f(x)=√2sinx +√2，根据题意如果若干个函数的图象经过平移后能够重合， 则称这些函数为“互为生成”函数． 则函数可以构成互生函数是A 、D ， 故选：AD ．10．平面α外有两条直线m 和n ，从下面的条件中可以推出m ⊥n 的是（ ） A ．m ⊥α，n ∥αB ．m ⊥α，n ⊥αC ．m ⊥α，n ⊂αD ．m ∥α，n ∥α【分析】在A 中，则由线面垂直的性质定理得m ⊥n ；在B 中，m ，n 平行；在C 中，由线面垂直的性质定理得m ⊥n ；在D 中，m ，n 相交、平行或异面． 解：由平面α外有两条直线m 和n ，知：在A 中，若m ⊥α，n ∥α，则由线面垂直的性质定理得m ⊥n ，故A 正确； 在B 中，若m ⊥α，n ⊥α，则m ，n 平行，故B 错误；在C 中，若m ⊥α，n ⊂α，则由线面垂直的性质定理得m ⊥n ，故C 正确； 在D 中，若m ∥α，n ∥α，则m ，n 相交、平行或异面，故D 错误． 故选：AC ．11．设y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）＝﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f（x）的判断正确的是（）A．y＝f（x）是周期为2的函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称C．y＝f（x）在[0，1]上是增函数D．f(12)=0．【分析】由y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）＝﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，可得f（x）＝f（x+2），求出周期，因为f（﹣x）＝f（x），所以f（﹣x）＝f（x+2），可得x＝1是对称轴及在[0，1]上单调递减，因为f（x+1）＝﹣f（x），令x=−12可得f（12）＝﹣f（−12）可得f（12）＝﹣f（12），所以f（12）＝0，故选出答案．解：因为y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）＝﹣f（x），所以f（x）＝﹣f（x+1），而f（x）＝﹣f（x﹣1），所以f（x﹣1）＝f（x+1），即f（x）＝f（x+2），所以可得函数的周期T＝2，所以A 正确，因为f（﹣x）＝f（x），所以f（﹣x）＝f（x+2），所以对称轴x=−x+x+22=1，即关于x＝1对称，所以B正确；由函数f（x）为偶函数关于y轴对称，又在[﹣1，0]上是增函数，所以在[0，1]上单调递减，故C不正确；因为f（x+1）＝﹣f（x），令x=−12可得f（12）＝﹣f（−12）可得f（12）＝﹣f（12），所以f（12）＝0，所以D正确，故选：ABD．12．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[﹣2，2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为﹣1．下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．若f（x）在[s，t]内递减，则|t﹣s|的最大值为4C．若f（x）的最大值为M，则最小值为﹣MD．若对∀x∈[﹣2，2]，k≤f'（x）恒成立，则k的最大值为2【分析】利用过原点求出c的值为0，再根据在x＝﹣1或1处的导数为﹣1，列方程组求出a ，b ．解：由题意f （0）＝0，得c ＝0． f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，∴{3+2a +b =−13−2a +b =−1，解得a ＝0，b ＝﹣4． ∴f （x ）＝x 3﹣4x ，f ′（x ）＝3x 2﹣4．对于A ，C ，显然f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）是奇函数，故A ，C 正确； 对于B ，令f ′（x ）＜0解得23x 23，所以|s −t|≤434，故B 错误； 对于D ，当x ∈[﹣2，2]时，3x 2﹣4≥﹣4，故k 的最大值为﹣4．故D 错误． 故选：AC ．三、填空题（每题5分，共20分）13．点M （5，3）到抛物线x 2＝ay （a ＞0）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 x 2＝12y ．【分析】先根据抛物线的方程表示出抛物线的准线方程，然后表示出点M 到准线的距离，根据结果为6求得a ，则抛物线的方程可得． 解：根据抛物线方程可知抛物线的准线为y =−a4则点M 到准线的距离为|3+a4|＝6，求得a ＝12或a ＝﹣36， 故抛物线方程为x 2＝12y ， 故答案为：x 2＝12y ．14．若(x +1x)n 展开式中第2项与第6项的系数相同，则n ＝ 6 ，那么展开式的常数项为 20 ．【分析】利用二项式系数的性质可知 ∁n 1=∁n 5，从而得n ＝6，于是利用二项展开式的通项公式即可求得常数项．解：由题可得∁n 1=∁n 5，从而得n ＝6；∴（x +1x ）6的展开式的通项公式为：∁6r •x 6﹣r •(1x)r =∁6r •x 6﹣2r ； 令6﹣2r ＝0可得r ＝3； ∴展开式的常数项为：∁63=20； 故答案为：6，20．15．已知函数f(x)={log 2x 3x (x ＞0)#/DEL/#(x ≤0)#/DEL/#，且关于x 的方程f （x ）+x ﹣a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是 （1，+∞） ． 【分析】关于x 的方程f （x ）+x ﹣a ＝0有且只有一个实根⇔y ＝f （x ）与y ＝﹣x +a 的图象只有一个交点，结合图象可求观察．解：关于x 的方程f （x ）+x ﹣a ＝0有且只有一个实根⇔y ＝f （x ）与y ＝﹣x +a 的图象只有一个交点，画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当a ＞1时，y ＝f （x ）与y ＝﹣x +a 的图象只有一个交点． 故答案为：（1，+∞）．16．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如表的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050则至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？ 99.5% （请用百分数表示） 附： P （K 2＞k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)【分析】由独立性检验公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)求出K 2，结合表格数据判断出 即可．解：由独立性检验公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50(20×15−10×5)225×25×30×20=253＞7.879，故至少有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关，故答案为：99.5%四、解答题（本题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若tan A＝3，cos C=√55．（1）求角B的大小；（2）若c＝4，求△ABC面积．【分析】（1）求出C的正切函数值，利用两角和的正切函数求解即可．（2）利用正弦定理求出b，然后求解A的正弦函数值，然后求解三角形的面积．解：（1）∵cos C=√55，∴sin C=2√55，∴tan C＝2．∵tan B＝﹣tan（A+C）=−tanA+tanC1−tanAtanC=−3+21−3×2=1，又0＜B＜π，∴B=π4．（2）由正弦定理，得bsinB =csinC，∴b=c×sinBsinC=4×√222√55=√10．∵B=π4，∴A=3π4−C．∴sin A＝sin（3π4−C）＝sin3π4cos C﹣cos3π4sin C=√22×√55−（−√22）×2√55=3√1010．∴S△ABC=12bc sin A=12×√10×4×3√1010=6．18．已知数列{a n}满足a n+1=1+a n3−a n(n∈N∗)，且a1=13.（I）求证：数列{1a n−1}是等差数列，并求a n；（II）令b n=2(n+2)2a n(n∈N∗)，求数列{bn}的前n项和T n．【分析】（I）对a n+1=1+a n3−a n两边同时减去1，整理得到a n+1−1=1+a n3−a n−1=2a n−23−a n，然后两边同时取倒数得到1a n+1−1=−12+1a n−1，即1a n+1−1−1a n−1=−12，进而可证数列{1a n−1}是等差数列，结合等差数列的定义可得到1a n−1=113−1=−32，整理即可得到a n的表达式．（II ）先根据（I ）中的a n 的表达式表示出b n ，然后根据数列求和的裂项法求得答案．解：（I ）∵a n+1=1+a n 3−a n ∴a n+1−1=1+a n 3−a n −1=2a n−23−an故1a n+1−1=3−a n 2a n −2=1−a n 2a n −2+22a n −2=−12+1a n −1∴1a n+1−1−1a n −1=−12∴数列{1a n −1}是公差为−12的等差数列 而a 1=13，∴1a n −1=113−1=−32∴1a n −1=−32−12(n −1)=−n+22∴a n −1=−2n+2a n =1−2n+2 =nn+2（II ）由（I ）知a n =nn+2 ∴b n =2(n+2)2⋅nn+2=2n(n+2)=1n −1n+2故T n ＝b 1+b 2++b n =11−13+12−14++1n −1n+2=1+12−1n+1−1n+2=32−2n+3(n+1)(n+2)19．一个袋中装有黑球，白球和红球共n （n ∈N *）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n ＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ；（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？ 【分析】（1）根据题意设出黑球和白球的个数，列出关于概率的方程，解出两种球的个数，由题意知变量取值，根据对应的事件做出分布列，求出期望．（2）设袋中有黑球个数，设从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球为事件C ，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件摸两个球没有黑球，表示出概率，得到结果．解：（1）设袋中黑球的个数为x（个），记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则P(A)=x15=25．∴x＝6．设袋中白球的个数为y（个），记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则P(B)=1−C15−y2C152=47，∴y2﹣29y+120＝0，∴y＝5或y＝24（舍）．∴红球的个数为15﹣6﹣5＝4（个）．∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是ξ的数学期望Eξ=1121×0+44105×1+235×2=56105=815；（2）设袋中有黑球z个，则z=25n(n=5，10，15，）．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件求出则P(C)=1−C35n2C n2=1625+625×1n−1，当n＝5时，P（C）最大，最大值为710．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小【分析】（1）证明平面PAD 内的直线AD ，垂直平面PQB 内的两条相交直线BQ ，PQ ，即可证明平面PQB ⊥平面PAD ；（2）连AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，说明PA ∥平面MQB ，利用PA ∥MN ，根据三角形相似，即可得到结论；（3）建立空间直角坐标系，先求出平面MQB 的法向量，平面ABCD 的法向量，利用向量的夹角公式即可求解． 【解答】（1）证明：连BD ，∵四边形ABCD 菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为正三角形， ∵Q 为AD 中点，∴AD ⊥BQ∵PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴AD ⊥PQ又BQ ∩PQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PQB ，AD ⊂平面PAD ∴平面PQB ⊥平面PAD ；（2）当t =13时，使得PA ∥平面MQB ，连AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，连接MN ，则O 为BD 的中点， 又∵BQ 为△ABD 边AD 上中线，∴N 为正三角形ABD 的中心，令菱形ABCD 的边长为a ，则AN =√33a ，AC =√3a ．∴PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面MQB ＝MN ∴PA ∥MN ∴PM PC=AN AC =13即：PM =13PC ，t =13；（3）由PA ＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点，则PQ ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A （1，0，0），B （0，√3，0）），Q （0，0，0），P （0，0，√3）设平面MQB 的法向量为n →=(x ，y ，1)，可得{n →⋅QB →=0n →⋅MN →=0，而PA ∥MN ，∴{n →⋅QB →=0n →⋅PA →=0，∴y ＝0，x =√3∴n →=(√3，0，1)取平面ABCD 的法向量m →=(0，0，1)∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12∴二面角M ﹣BQ ﹣C 的大小为60°． 21．已知函数f （x ）=1−xax+lnx ． （Ⅰ）当a ＝1时，求f （x ）在[12，2]上最大值及最小值； （Ⅱ）当1＜x ＜2时，求证（x +1）lnx ＞2（x ﹣1）．【分析】（Ⅰ）求出f （x ），求f ′（x ），根据导数符号判断函数f （x ）在[12，2]上的极值情况，再求端点值，即可得到函数f （x ）的最值．（Ⅱ）为便于求导数，因为x +1＞0，所以要证明原不等式成立，只要证明lnx ＞2(x−1)x+1即可．构造函数F （x ）=lnx −2(x−1)x+1，求导数F ′（x ）判断函数F （x ）在（1，2）上的单调性，经判断得到F （x ）在（1，2）上单调递增，所以F （x ）＞F （1）＝0，这样即证出lnx ＞2(x−1)x+1，所以证出原不等式． 解：（Ⅰ）f （x ）=1x +lnx −1，f ′（x ）=−1x 2+1x =x−1x2； ∴x ∈[12，1)时，f ′（x ）＜0；x ∈（1，2]时，f ′（x ）＞0；f （1）＝0是函数f （x ）的极小值，即f （x ）的最小值；又f （12）＝1﹣ln 2，f （2）＝ln 2−12；∴f （x ）的最大值是1﹣ln 2；∴函数f （x ）在[12，2]上的最小值是0，最大值是1﹣ln 2；（Ⅱ）∵x +1＞0，∴要证明原不等式成立，只要证明lnx ＞2(x−1)x+1； 设F （x ）=lnx −2(x−1)x+1，则F ′（x ）=1x −2(x+1)−2(x−1)(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2＞0； ∴函数F （x ）在（1，2）上是增函数，∴F （x ）＞F （1）＝0；∴lnx ＞2(x−1)x+1； ∴原不等式成立．22．已知椭圆两焦点F 1、F 2在y 轴上，短轴长为2√2，离心率为√22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且PF 1→⋅PF 2→=1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点． （1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值．【分析】（1）设出椭圆的标准方程，根据题意可知b ，进而根据离心率和a ，b 和c 的关系求得a 和c ，则椭圆的方程可得．进而求得焦点的坐标，设出点P 的坐标，分别表示出PF1→和PF2→，进而根据PF 1→⋅PF 2→=1求得x 0和y 0的关系式，把点P 的坐标代入椭圆方程求和另一个关系式，联立方程求得x 0和y 0即P 的坐标．（2）根据（1）可知PF 1∥x 轴，设PB 的斜率为k ，根据点斜式表示出直线的方程，与椭圆的方程联立消去y ，设出B 的坐标，根据题意可求得x B 的表达式，同理求得x A 的表达式，进而可知x A ﹣x B 的表达式，根据直线方程求得y A ﹣y B ，进而根据斜率公式求得直线AB 的斜率，结果为定值． 解：（1）设椭圆的方程为y 2a 2+x 2b 2=1，由题意可得b =√2，c a=√22，即a =√2c ， ∵a 2﹣c 2＝2 ∴c =√2，a ＝2∴椭圆方程为y 22+x 24=1∴焦点坐标为（0，√2），（0，−√2），设p （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0） 则PF 1→=（﹣x 0，√2−y 0），PF 2→=（﹣x 0，−√2−y 0）， ∴PF 1→•PF 2→=x 02﹣（2﹣y 02）＝1 ∵点P 在曲线上，则y 024+x 022=1∴x 02=4−y 022， 从而4−y 022−（2﹣y 02）＝1，得y 0=√2，则点P 的坐标为（1，√2）（2）由（1）知PF 1∥x 轴，直线PA ，PB 斜率互为相反数，设PB 的斜率为k （k ＞0）， 则PB 的直线方程为y −√2=k （x ﹣1），由{y −√2=k(x −1)x 22+y 24=1得（2+k 2）x 2+2k （√2−k ）x +（√2−k 2）﹣4＝0 设B （x B ，y B ），则x B =2k(k−√2)2+k2−1=k 2−2√2k−22+k 2，同理可得x A =k 2+2√2k−22+k2，则x A −x B =4√2k 2+k2，y A ﹣y B ＝﹣k （x A ﹣1）﹣k （x B ﹣1）=8k 2+k2所以AB 的斜率k AB =y A −yB x A−x B=√2为定值．。
2020届山东省烟台市高三4月模拟考试(一模)数学试题
绝密★启用前2020届山东省烟台市高三4月模拟考试（一模）数 学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟．2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答 题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}ln(1)M x y x ==+，{}e x N y y ==，则M N =IA .(1,0)-B .(1,+)-∞C .(0,+)∞D .R 2.已知复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位），则z =A .1i +B .1i -C .12i +D .12i - 3.设x ∈R ，则“|2|1x -<”是“2230x x +->”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.数列{}n F ：121F F ==，()122n n n F F F n --=+>，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项和为A .33B .34C .49D .505.设ABCD 为平行四边形，||4AB =u u u r ，||6AD =u u u r ，3BAD π∠=．若点,M N 满足BM MC =uuu r uuu r ，2AN ND =uuu r uuu r，则NM AM =uuur uuu r gA .23B .17C .15D .96.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小 木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下 后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落 过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为A .332B .1564 C .532D .5167.设P 为直线3440x y -+=上的动点，,PA PB 为圆22:(2)1C x y -+=的两条切线，,A B 为切点，则四边形APBC 面积的最小值为A.3B.23C.5D.258.已知函数e e ()e e x xx xf x ---=+，实数,m n 满足不等式(2)(2)0f m n f n -+->，则下列不等关系成立的是A.1m n +>B.1m n +<C.1m n ->-D.1m n -<- 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东日照2020届高三4月模拟考试(一模)数学试题及其答案
B．他们健身后，体重在区间 90,110 内的人数减少了 2 个
C．他们健身后，体重在区间 110,120 内的肥胖者体重都有减轻 D．他们健身后，这 20 位肥胖者的体重的中位数位于区间 90,100
10．为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只
山东日照 2020 届高三 4 月模拟考试 数学试题
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔 迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 卷上答题无效．
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求的，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．为了解运动健身减肥效果，某健身房调查了 20 名肥胖 者，测量了他们的体重（单位：千克）健身之前他们 的体重情况如三维饼图（1）所示，经过半年的健身后， 他们的体重情况三维饼图（2）所示，对比健身前后， 关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是
公共点，则 a 的取值范围
A． , 3 3,
B． 3,3
C． , 3 3,
D． 3, 3
5．当 a 1 时，在同一坐标系中，函数 y ax 与 y loga x 的图象是
6．已知定义在 R 上的函数 f (x) x 2|x| ， a f
log3
5
，b
f
log3
【4月百所名校数学三模】山东省2020年普通高中学业水平等级考试(模拟卷)数学试卷及答案解析
正数, 的取值范围为
5,$"#!(
-,$"##(
6,)!#8=%
7,$"#2<$(
二多项选择题本题共#小题每小题+分共$"分!在每小题给出的选项中有多项符合题目
要求!全部选对的得+分部分选对的得.分有选错的得"分!
>!刘女士的网店经营坚果类食品#$"!>年各月份的收入*支出$单位+百元%情况的统计如图所
符合题目要求的,
!!!!已!知!集!合!"!0!##!*!$!$#!$!1!!$!0!#!#*!.!$!#$!23!4!$.+!!则!"!%!$0
5!##*$$#$234$.+
-!##*.$#$234$.+
6!##*.$#$1
7!##234$.+$#$1
$!设复数% 满足#%#0%8$%&8!% 在复平面内对应的点的坐标为#&则
*'!(!)!-! 的棱的交点#则下列说法正确的是 5!4/*(. -!三棱锥(!*("$ 的体积为1 6!直线 "$ 与平面'!(!(' 的夹角是#+A
) & *
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!$!已知函数ƻ1#函数+$#%在区间$#!##$%上具有
;!如图#正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上#且
'(*)-#若正方体的六个面所在的平面与直线).#./ 相交
的平面个数分别记为 0#1#则下列结论正确的是
山东省2020年普通高中学业水平等级考试(模拟)数学试题
山东省2020年普通高中学业水平等级考试（模拟）数学试题第Ⅰ卷（共60分）一．选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。
1-8小题只有一个选项．．．．．．符合题意，9 -12为多选题）1．设集合，，则A∩B=( )．A.{0,1,2,3}B. {1,2,3}C. [1,3]D. [0,3]2.已知，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要比充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3.函数，若，，，则（）A. B. C. D.4.已知P为等边三角形ABC所在平面内的一个动点，满足，若，则（）A. B. 3 C. 6 D. 与有关的数值5.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。
如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。
”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。
例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，。
根据这些信息，可得sin234°＝A. B. C. D.6.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且,若,则展开式中常数项( )A. 32B. 24C. 4D. 87.在棱长为1的正四面体A-BCD中, E是BD上一点, ,过E作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积的最小值为（）A. B. C. D.8.若定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集是( )A.(3，＋∞)B. (－∞，3)C. (－3，＋∞)D. (－∞，－3)以下为多选题：9. 已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设为数列前n项和，则当时，n的取值可以是下面选项中的（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知函数，则关于x的方程的实根个数可能为（）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个11. 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F 为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是（）A. 点到平面的距离B. 直线与平面所成的角C. 三棱锥的体积D. △的面积12.函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，，为A，B两点间距离，定义为曲线在点A与点B之间的“曲率”，其中正确命题为：A.存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；B.函数图像上两点A与B的横坐标分别为1,2，则“曲率”；C.函数图像上任意两点A、B之间的“曲率”；D.设，是曲线上不同两点，且，若恒成立，则实数t的取值范围是(－∞,1).二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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山东省2020年普通高中学业水平等级考试4月（模拟）
数学试题
一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2
{|2},A x x B =∈<=Z {x|2x >1} ,则A∩B= A. {1}
B. {1,2}
C. {0,1}
D.{-1,0,1}
2.已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,-1),(0,1),则1
2
z
z 的共轭复数为 A.1+i
B.-1+i
C.-1-i
D.1-i
3.若a ∈R ,则"|a|>1"是“3
1a >” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a ,b ,c ,其中
a 与
b 是相反向量,且a +
c =b ,a -c =(3,-3),则a ·b =
.2A
.2B -
C.2
D. -2
5.已知0.5
5ln ,log 2,x y z e π-===，则 A. x>y>z
B.x>z>y
C.z>y>x
D.z>x>y
6.已知函数
2
1()21,[1,42
f x x x x =
-+∈],当x=a 时f(x)取得最大值b,则函数||()x b g x a +=的大致图象为
7. （九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积及为粟几何?" ,意思是"有粟若干，堆积在平地上,它底圆周长为12丈,高为1丈,问它的体积和粟各为多少?”如图主人意欲卖掉该堆粟已知圆周率约为3,-斛粟的体积约为2700立方寸(单位换算:1立方丈
610=立方寸),一斛粟米卖270钱,一两银子1000钱，则主人卖后可得银子
A.200两
B.240两
C.360两
D.400两
8. 点M 为抛物线
214y x =
上任意一点,点N 为圆223
204
x y y +-+=上任意一点,若函数f(x)log (2)2(1)a x a =++>的图象恒过定点P,则|MP|+|MN|的最小值为
5
.2
A
11.
4
B C.3
13.
4
D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分。
9.下列结论正确的是 A.若tanα=2,则3
cos 25
α
=
B.若sin cos 1αβ+=,则2
21sin cos 2
αβ+≥
C.00,sin x x ∃∈∈Z Z ”的否定是“∀x ∈Z ,sinx ∉Z "
D.将函数y= |cos2x|的图象向左平移
π
4
个单位长度，所得图象关于原点对称 10.某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中2019年的录取人数被遮挡了.他又查询到近十年全国高考录取率的散点图,结合图表中的信息判定下列说法正确的是
A.全国高考报名人数逐年增加
B.2018年全国高考录取率最高
C.2019年高考录取人数约820万
D.2019年山东高考报名人数在全国的占比最小
11.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若3,3b c ==A+3C=π,则下列结论正确的是
3
.cos 3
A C =
B.2sin 3
B =
C.a=3
.2ABC D S =V 12.如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C 、D 的动点，将△ADE 沿AE 翻折成△SAE ，在翻折过程中，下列说法正确的是
A.存在点E 和某一翻折位置，使得SB ⊥SE
B.存在点E 和某一翻折位置，使得AE//平面SBC
C.存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°
D.存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S-AB-C 的大小为60° 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13.三名旅游爱好者商定在疫情结束后前往武汉、宜昌、黄冈3个城市旅游如果三人均等可能的前往上述3个城市之一,那么他们恰好选择同一个城市的概率是____
14.若21)n
x
展开式中的各项系数的和为1024, 则常数项为____
15.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程为,y =左、右焦点分别为1,F 2,F 点A 在
双曲线上,且212,AF F F ⊥，则该双曲线的离心率为_____，12sin AF F ∠=_____. (本题第一空2分,第二空3分.)
16. 已知函数32232,0
(),0.x x x x f x x e x ⎧-++≥=⎨-<⎩
，若方程f(x)+a=0有两个不相等的实根，则实数a 取值范围是
_____.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10分)
记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知2
0,234.n n n n a a a S <-=- (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若1,n n a b =求满足122311
7
n n b b b b b b ++++<
L 的正整数n 的最大值.
18. (12分) 已知函数
()sin()(0,0)2
f x x m π
ωϕωϕ=++>-
<<满足下列4个条件中的3个,4个条件依次是:
3,2ω=①
②周期T=π ,
③过点(0,0)
④
3().32
f π= (1)写出所满足的3个条件的序号_______(不需要说明理由) ,并求f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的图象与直线y= 1相邻两个交点间的最短距离
19.(12分)
如图,斜三棱柱111ABC A B C -中,△ABC 是边长为2的正三角形,O 为BC 的中点,12A O F ⊥面ABC,点M 在AO 上,AM=2MO,N 为1OC 与1B C 的交点,且1BB 与平面ABC 所成的角为
.4
π
(1)求证:MN//平面11;ACC A (2)求二面角111A O C B --的正弦值
20. (12分)
动点P 在椭圆C 22
22:1(0)x y a b a b
+=>>上,过点P 作x 轴的垂线，垂足为A,点B 满足AB =u u u r 3.AP u u u r 已知点
B 的轨迹是过点Q(0,3)的圆.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设直线l 与椭圆C 交于M,N 两点(M,N 在x 轴的同侧)12,,F F 为椭圆的左、右焦点,若12//,F M F N 求四边形12F F NM 面积的最大值.
21. (12分)
2020年新冠肺炎疫情爆发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措,坚决遏制疫情蔓延势头努力把疫情影响降到最低,为全世界抗击新冠肺炎疫情做出了贡献.为普及防治新冠肺炎的相关知识,某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动,现从大批参与者中随机抽取200名幸运者他们的得分(满分100分)
数据统计结果如下图:
（1）若此次知识竞答得分X 整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ.σ分别为这200名幸运者得分的平均值和标准差（同组数据用该区间中点值代替），求μ，σ的值（μ，σ的值四舍五人取整数），并计算P （37<X<79）；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于μ的获得1次抽奖机会，得分不低于μ的获得2次抽奖机会，假定每次抽奖中抽到18元红包的概率为
2
,3
抽到36元红包的概率为
1
.3
已知高三某同学是这次活动中的幸运者,记Y 为该同学在抽奖中获得红包的总金额,求Y 的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额.
参考数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545;P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.
22. (12分) 已知函数
2
1()ln ,(),,2
f x a x
g x x bx b a b ==
++∈R . (1)设F(x)=xf(x),求F(x)在[a,2a]上的最大值;
(2)设G(x)=f(x)+g(x),若G(x)的极大值恒小于0,求证:4
.2
e a b +≤。