【教育学习文章】高一数学《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》教案
单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-高一数学课件(北师大版2019必修第二册)
你能看出它们具有哪些基本性质？
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
1，定义域：正弦函数、余弦函数的定义域均为.
2，最大(小)值、值域：
当自变量 ∈ 时， ≤ ≤ ， ≤ ≤ .
＝sin 90°－cos 0°＝1－1＝0.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：正余弦函数单调性问题
π
π
π
思考 3：设 a＝sin ，b＝sin ，c＝sin ，则 a，b，c 的大小关系是(
12
5
6
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
解：因为 y＝sin x 在 0, 上单调递增，
+ , +
, ∈ , + , ∈
在区间_____________________
___________________
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
探究二
思考：
通过常见特殊角的三角函数值，你还能总结出什么规律？
v sin
u cos
25π
15
(1)cos
＋sin − 4 ；(2)sin 810°－cos 360°.
3
25π
15
解：
（1）cos
＋sin −
＝cos 8 + ＋
4
3
3
π
π 1＋ 2
sin −4 + 4 ＝cos ＋sin ＝
.
3
4
05第一章 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
教学课题：单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质三维目标：1．知识与技能：能结合单位圆说出正、余弦函数的性质.2．过程与方法：培养学生利用单位圆分析、探究问题的能力.3．情感、态度与价值观：经历利用单位圆探究正、余弦函数性质的过程，感受研究函数性质的不同于利用函数图像的另一种思路与方法.教学重点：正弦函数、余弦函数的值域、最大（小）值和单调性，研究函数的思想方法.教学难点：研究函数性质的思想方法.教学课时：1课时教学过程：一．引入复习正、余弦函数的定义和三角函数线的概念.引入：在以前学习函数时，我们一般研究函数的哪些性质？（学生作答：定义域、值域、单调性等）今天，我们就利用单位圆来研究正弦函数和余弦函数的基本性质. （板书课题）二．新知师投影如下图像，引导学生跟随老师通过单位圆“旅行”，观察思考，总结正、余弦函数的基本性质，并填写如下表格（投影）.x y sin = x y cos = 定义域值域 =x 时取得最大值 ；=x 时取得最大值 ； 值域为 . =x 时取得最大值 ； =x 时取得最大值 ；值域为 .周期性单调性当∈x 时单调递增； 当∈x 时单调递减； 当∈x 时单调递增；当∈x 时单调递减； 例1 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合.⑴x y 31cos =；⑵x y 2sin 2-=.例2 求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=321sin πx y ，[]ππ2,2-∈x 的单调递增区间. 例3 解不等式：21sin -≤x . 例4 求下列函数的值域： ⑴3cos 2cos 22++=x x y ；⑵1cos 21cos 2+-=x x y . 三．小结让学生归纳总结正弦函数和余弦函数的性质.四．作业教材第19页练习第3、4题.。
高中数学新北师大版精品教案《5.2正弦函数的性质》
课堂教学设计
知 当)(22
Z k k x ∈+-=ππ时，1min -=y
（3）周期性：最小正周期是π2
教师引导 学生回答 加深对知识的
理解
（4）单调性
对于周期函数，只要我们把握了它在一个周期内的情况，那么就可以推广至整个定义域内的单调性如图：
教师：当角x 由2
π
-
增加到
2
π
时，x sin 的值是单调增加
的，由-1增加
到1，当角x 由
2π增加到23π时，x sin 的值是减少的，由1减少到-1 因此，正弦函数在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ
上是增加的，在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡23,2
ππ上是减少的 再添加周期
通过观察几何画板演示图，学生归纳总结 方便学生归纳；同时注意：具有相同单调性的
区间不能用并集符号
活动二：分小组实践交流，完成课堂
教师巡视，引小组交流，得出通过类比，加深
学生对正余弦
附件1 【课堂任务单一】单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质：
【课堂任务单二】
知识拓展：
1.求函数)2
1
lg(cos -=x y 的定义域
2.求函数R x x y ∈-=,2sin 3的最值，以及取得最值时的x 的取值范围 附件 2 小组实践。
高一数学正弦函数 余弦函数的图象与性质一 教案
高一数学正弦函数 余弦函数的图象与性质一教学目标：知识目标: 1.用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；3.正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系；能力目标: 1.了解如何利用正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图，会用这一方法画出与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间[0，2π]上的简图。
情感目标: 使学生进一步了解从特殊到一般，从一般到特殊的辨证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用。
教材分析:重点: 正弦函数、余弦函数的图象及画法。
难点: 1.利用正弦线画出函数y=sinx,x ∈[0,2π]的图象；2.用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线；关键点: 充分利用图形讲清正弦、余弦曲线的特性，认真梳理好讲解的顺序（包括推导步骤和图象、简图画法的安排），通过一定的训练使学生正确了解有关概念和图象性质。
教学方法: 启发式教学法。
教学设备: 多媒体、投影仪。
教与学过程设计: （一）引入课题三角函数的图象究竟是怎样的呢？它的定义域、值域、奇偶性、单调性又是如何的呢？今天，我们就一起来学习这部分内容。
（二）复习旧知1．电脑演示正弦线、余弦线的定义，同时说明：当角度变化时，对应的线段MP 的长度就是这个角度的正弦值。
2．电脑演示作出点（3sin,3ππ），为作正弦函数图象作铺垫。
（三）新课一、正弦函数的图象下面我们一起来画正弦函数的图象。
（边操作边讲解）说明：1、这里将单位圆12等分，如果分得越细，则图象越精确，就像描点法作函数图象，点描得越多，图象越精确；2、描点；3、作图。
提问：我们作出了正弦函数在区间[)π2,0上的图象，但正弦函数对任意角均有值，即定义域为？（实数集R ）如何作在其他区间上的函数图象呢？由终边相同的角的三角函数值相等知：在区间[)ππ4,2上其函数图象与在[)π2,0上是一样的，在[)0,2π-上也一样，在其他区间上也是一样。
【教案】正弦函数、余弦函数的性质教学设计(第2课时)必修第一册
课题：5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）一、教学内容：正弦函数、余弦函数的性质二、教学目标：（一）、了解周期函数、周期、最小正周期的含义达成上述目标的标志是：首先从观察正弦曲线入手，发现图象每隔２π个单位长度就会重复出现；再引导学生借助单位圆，从定义来说明，或从公式一入手进行分析，从函数解析式发现它的性质.在多角度的观察、描述与思考中，提升学生的直观想象和逻辑推理的素养.（二）、掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．达成上述目标的标志是：通过对正弦函数的图象的观察分析，对于表格认真填写后，可以领悟知识，注重数形结合思想的渗透，培养直观想象和归纳概括能力.（三）、会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．达成上述目标的标志是：通过例1 的分析，归纳方法.三、教学重点及难点（一）重点：y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．（二）难点：应用正、余弦函数的性质来求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．四、教学过程设计问题1：类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？师生活动:学生根据以往的函数性质会答我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征.从前面图像的研究中，我们已经看到，三角函数具有“周而复始”的变化规律，这就是三角函数最重要的性质：周期性.问题2：观察单位圆上点的纵坐标这种“周而复始”的变化规律，猜想正弦函数的周期是多少？用代数方法如何解释你的猜想？师生活动:首先，学生可以根据图象说岀正弦函数的周期２π，４π，６π….教师适当启发，引导学生进一步说出－２π，－４π，－６π…，直至2kπ，k∈Z，即正弦函数的周期有无穷多个.然后学生利用公式一从代数的角度解释猜想的正确性.最后，教师给出周期函数的定义，并让学生回答正弦函数是否为周期函数，若是，则指出其周期.追问1：sin(−2π3+π3)=sin(−2π3)，sin(π3+π3)=sin(π3)，sin(4π3+π3)=sin(4π3)，…那么π3是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？为什么？这种情况与说2kπ（k∈Z）是正弦函数的周期有什么不同？（不是，比如sin(π6+π3)≠sin(π6)，根据公式一可知，对于正弦函数定义域内的每一个自变量，当自变量的值每增加2kπ（k∈Z）个单位时，函数值都重复岀现.）追问2：在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数？师生活动:教师启发学生观察正弦函数图象获得的正数：2 π.即为正弦函数的最小正周期.教师指出，在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期.设计意图：直观理解正弦函数的周期性，了解最小正周期.问题3：请你阅读课本，回答下列问题：什么叫周期函数？什么叫周期？什么叫最小正周期？如果一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是什么？图象特征是什么？师生活动:周期性的知识梳理一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数（periodicfunction）．非零常数T叫做这个函数的周期（period）．周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上∀k∈Z，且k≠０，常数2kπ都是它的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期（minimalpositiveperiod）．一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是f(x+T)=f(x)，图象特征是周而复始变化．追问1：知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？师生活动：明确周期函数的定义，并让学生回答正弦、余弦函数是否为周期函数，如果是，分别指出它们的周期和最小正周期.对于追问,学生先独立完成，之后进行展示交流，在此基础上教师进行梳理总结.结论：根据上述定义，我们知正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．设计意图：了解一般周期函数及相关概念，为下面的研究作铺垫.追问2：例1你能求出下列三角函数的周期吗？（1）y＝3sin x，x∈R；（2）y＝cos 2x，x∈R；（3）y=2sin(12x−π6)，x∈R;师生活动：依据定义解析(1)因为3sin(x+2π)=3s in x，所以由周期函数的定义知，y=3sin x的最小正周期为2π.(2)因为cos2(x+π)=cos(2x+2π)=cos2x，所以由周期函数的定义知，y=cos2x 的最小正周期为π.(3)因为1sin (4)sin 2sin 262626x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以由周期函数的定义知，2sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为4π.设计意图：周期函数概念的认识.追问3：观察上面的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？师生活动：深刻理解题中所给的函数及有关量，分析知识间的联系性.总结规律：求函数最小正周期的常用方法： (1)定义法，即利用周期函数的定义求解．(2)公式法，对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)的函数，T ＝2π|ω|.(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可． 设计意图：会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期． 问题4：对于一般的函数，我们通常要研究哪些性质？观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格.正弦函数余弦函数定义域值域图象周期奇偶性对称轴对称中心单调递增区间单调递减区间最大值点最小值点象、数形结合，完成上述表格；之后互相交流讨论，进行修改完善，并进行展示交流.注意，在此环节，只是利用图象得出结论，下一环节才从代数的角度分析.在完成表格时，因为三角函数的周期性和图象的丰富的对称性，学生在猜想并写出单调区间、最值点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑.对此，在学生展示交流过程中，教师可以通过如下追问促进学生的思考，帮助他们理解，并借助信息技术，引导学生进行直观想象.追问1：如何理解点(π，0)也是正弦函数y＝sin x(x∈R)的对称中心？如何理解直线x＝π2是正弦函数y＝sin x(x∈R)的对称轴？追问2：逐一列举正弦函数y＝sin x(x∈R)的单调递增区间，它们与区间［-π2，π2］之间有怎样的关系？师生活动：结合函数的图像，逐项完成，发现规律，总结知识点. 设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序；培养学生运用类比、对比的方法研究对象的意识和能力.问题5：阅读课本5.4.2节“2.奇偶性” “3.单调性” “4.最大值与最小值”的内容，回答下列问题：1.如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？2.分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题.设计意图：引导学生重视教科书的阅读，在直观感知的基础上系统、规范地认识函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性.追问：例题分析例2.判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=2x ；(2) f(x)=sin (34x +3π2)；(3) f(x)=sin |x|；(4) f(x)=1cos x -cos 1x -例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x 的集合，并求出最大值、最小值 ． （1）y =cosx +1，x ∈R ； （2）y =−3sin2x ，x ∈R ．例4.不通过求值，指出下列各式的大小： (1) sin(−π18) ，sin(−π10)；(2) cos (−23π5)，cos (−17π4)．例5.求函数y =sin(12x +π3)，x ∈［ －２π ，２π］的单调递增区间.师生活动：学生结合知识点进行分析和解决问题. 设计意图：强化巩固知识点.五、课堂小结：1.正、余弦函数性质的研究方法：借助图象特征；2.正、余弦函数性质：周期性是最特别和最重要的，只要认识一个周期上函数的性质，那么整个定义域上函数的性质就完全清楚了，借助表格完成知识点探究. 六、目标检测设计 课前阅读课本201-205页，填写。
北师大版高中数学必修第二册《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》说课稿
北师大版高中数学必修第二册《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》说课稿一、教材背景简介本说课稿以北师大版高中数学必修第二册《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》为教材内容。
该教材是高中数学必修课程的一部分，属于数学知识的基础性内容。
本册内容主要介绍了单位圆的概念以及正弦函数和余弦函数的基本性质。
学习本册内容对于理解三角函数的概念和性质，以及后续高中数学的学习具有重要意义。
二、教学目标1.掌握单位圆的定义和相关术语；2.理解正弦函数和余弦函数的定义，并能够用单位圆解释其性质；3.熟练运用正弦函数和余弦函数的基本性质，包括周期性、奇偶性和函数值的范围等；4.能够应用正弦函数和余弦函数解决实际问题；5.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
三、教学重点和难点教学重点：1.单位圆的定义和相关术语2.正弦函数和余弦函数的基本性质教学难点：理解和运用正弦函数和余弦函数的性质四、教学内容及教学方法1. 单位圆的定义和相关术语（30分钟）1.1 单位圆的定义单位圆是以原点为中心，半径为1的圆，其方程为x^2 +y^2 = 1。
1.2 相关术语•圆心：坐标原点O•弧：圆上的一段弧线•弦：连接圆上两点的线段•弧度：弧所对的圆心角的度量单位教学方法：讲解结合示意图，帮助学生理解单位圆的定义和相关术语。
通过引导学生观察单位圆的性质，让学生发现并总结定义和相关术语。
2. 正弦函数和余弦函数的定义（30分钟）2.1 正弦函数在单位圆上，对于任意一个角θ，以角θ的顺时针旋转为正方向，与终边相交得到点P(x, y)。
则点P的纵坐标y称为角θ的正弦值，记作sinθ。
2.2 余弦函数在单位圆上，对于任意一个角θ，以角θ的顺时针旋转为正方向，与终边相交得到点P(x, y)。
则点P的横坐标x称为角θ的余弦值，记作cosθ。
教学方法：结合实际例子，以清晰明了的语言解释正弦函数和余弦函数的定义。
通过引导学生观察单位圆上各个角的正弦和余弦值，让学生直观感受到正弦函数和余弦函数的定义。
北师大版高中数学必修四1.4.3单位圆与正、余弦函数的基本性质教案
课题：单位圆与正、余弦函数的基本性质班级：高一姓名_ 组别：数学精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义》示范教学方案北师大新课标
4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义1．理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．2．掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系．3．通过学习任意角的正弦、余弦的定义，培养数学抽象素养、直观想象等素养．教学重点：任意角的正弦函数、余弦函数的定义．教学难点：任意角的正弦函数、余弦函数定义的理解．PPT课件．一、探索新知1．任意角的正弦、余弦函数的定义水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产．相传，水车在汉灵帝时由毕岚造出雏形，三国时经孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，至今已有1 700余年历史．如果将水车边缘看成一个圆．问题1如何确定水车边缘上的点呢？师生活动：教师引导，学生思考．设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义（板书）．问题2 在初中我们是如何定义锐角 的正弦函数和余弦函数的？师生活动：学生阅读教材第13页，一、锐角的正弦函数和余弦函数部分，然后思考．设计意图：回顾初中学过的锐角三角函数定义，为任意角的三角函数定义的引入作铺垫．追问1若把直角三角形放在如下图所示的单位圆中，正弦函数值和余弦函数值又如何表示？师生活动：学生思考，举手回答．追问2如果改变点P 在终边上的位置，这两个比值会改变吗？师生活动：教师引导学生思考．设计意图：使学生明确对于锐角来说，点P 的纵坐标v 定义为角α的正弦函数，点P 的横坐标u 定义为角α的余弦函数．以及角α的正弦函数值、余弦函数值与α的终边上P 点的位置无关．追问3当α为任意角时，设(,)P u v ，则角α的正弦函数和余弦函数如何表示？★资源名称： 【数学探究】三角函数的概念★使用说明：本资源为“三角函数的概念”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．M 'P '师生活动：学生阅读教材第13页，回答上述问题．设计意图：提升学生归纳概括的能力，强化对正弦函数、余弦函数概念的理解记忆． 追问4若任意角α终边上除原点外的一点为(,)Q x y ，则角α的正弦函数值、余弦函数值如何计算？追问5请你说说正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号？ 师生活动：学生思考，举手回答，教师补充．设计意图：理解正弦函数与余弦函数的定义，明确正弦函数值与余弦函数值在各象限的符号．教师讲解：设角α终边上除原点外的一点(,)Q x y ，则sin ,cos y xr rαα==，其中22r x y =+．追问5对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？ 师生活动：学生思考，举手回答，教师补充． 设计意图：进一步理解正弦函数、余弦函数的概念． 预设答案：问题1 可以建立直角坐标系确定水车边缘上的点． 问题2 如图．在直角OPM ∆中，sin ,cos a bc cαα==． 追问1sin ,cos v u αα==． 追问2因为OMPOM P ''∆∆，所以sin MP M P OP OP α''=='，cos OM OM OP OP α'=='，所以角α的正弦函数值、余弦函数值与α的终边上P 点的位置无关．追问3sin ,cos v u αα==． 追问4根据三角形相似，可得2222sin x y x y αα==++．追问5由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义．练习：P 15练习1，2，3 1．31,22． 2．10310,1010--． 3．(1)正；(2)负；(3)负；(4)正．追问5二、初步应用例1在单位圆中，=4πα-．(1)画出角α；(2)求角α正弦函数值、余弦函数值．师生活动：学生先独立完成，再与教材答案对照．追问：设角α的始边、终边与单位圆的交点分别为A ，P ，P 关于y 轴的对称点为Q ，如何求AOQ ∠的正弦函数值、余弦函数值．师生活动：学生独立完成，教师点评：利用定义求α的三角函数值，其关键是求出角的终边与单位圆的交点P 的坐标(u ，v )，由三角函数的定义得sin α＝v ，cos α＝u ．设计意图：让学生熟悉在单位圆中定义三角函数的方法． 例2(1)判断sin 2·cos 3sin 4·cos 6的符号；(2)若sin α>0，cos α<0，判断角α所在象限．师生活动：学生先思考，做出判断，教师板书解题过程．设计意图：考查学生对正弦函数、余弦函数定义、在各象限符号的掌握情况． 预设答案例1参考教材第14页的解析． 例1追问∵点P 与点Q 关于y 轴对称， ∴点Q 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．AQ根据正弦函数、余弦函数的定义可知sin ∠AOQ ＝． cos ∠AOQ ＝－12．例2(1)∵2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，3∈⎝⎛⎭⎫π2，π，4∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，6∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π． ∴sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0，∴sin 2·cos 3sin 4·cos 6>0．(2)∵sin α>0，∴α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上． ∵cos α<0，∴α的终边在第二、三象限或x 轴的负半轴上． 故当sin α>0且cos α<0时，α在第二象限． 【板书设计】四、归纳小结，布置作业问题5：通过本节课的学习，你知道正弦函数和余弦函数的定义吗？ 师生活动：学生自主总结，展示交流．老师适当补充． （1）利用单位圆是如何定义正弦函数和余弦函数的？（2）已知角α的终边上的一点，如何求角α的正弦函数值和余弦函数值？ （3）你认为正余弦函数值符号的确定，主要是根据什么？预设答案：（1）点P 的纵坐标v 定义为角α的正弦函数，记作v ＝sin_α，横坐标u 定义为角α的余弦函数，记作u ＝cos_α；（2）利用sin ,cos y xr rαα==求解；（3）正、余弦函数符号的确定主要是根据正弦、余弦函数的定义．设计意图：通过梳理本节课的内容，提升数学抽象的素养．布置作业：教科书P 14练习4，5，6，7，P 25习题A 组1，3，7，8B 组的4，5 四、目标检测设计1．点A (x ，y )是－300°角终边与单位圆的交点，则yx的值为( )A ．3B ．－3C ．33 D ．－33设计意图：检查正（余）函数的定义的应用．2．已知角α的终边上一点P (1，－2)，则sin α＋cos α等于( ) A ．－1 B ．55 C ．－55D ．－ 5 设计意图：检查正（余）函数的定义的应用．3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝____．设计意图：检查正（余）函数的定义的应用． 4．已知角α的终边经过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin α，cos α的值；(2)求α的终边与单位圆交点Q 的坐标． 设计意图：检查正（余）函数的定义的应用． 参考答案：1．A x ＝cos(－300°)＝cos(－360°＋60°)＝cos60°＝12．y ＝sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)＝sin60°＝32，∴yx＝3． 2．C ∵x ＝1，y ＝－2，∴r ＝5，∴sin α＝y r ＝－255，cos α＝x r ＝55．∴sin α＋cos α＝－255＋55＝－55．3．根据题意sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，y 42＋y 2＝－255．又∵y <0，∴y ＝－8(符合题意)，y ＝8(舍去)．综上知y ＝－8． 4．【解析】(1)r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |． 当a >0时，r ＝5a ，角α在第二象限． ∴sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45．当a <0时，r ＝－5a ，角α在第四象限，∴sin α＝－35，cos α＝45．(2)由正弦、余弦函数的定义知，α的终边与单位圆交点的坐标为Q (cos α，sin α)． ∴当a >0时，Q (－45，35)，当a <0时，Q (45，－35)．。
【教学设计】《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》(北师大)
《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》教材通过单位圆研究了正弦函数的基本性质，包括定义域、最值、周期、单调性，分析得出结论。
之后通过类比，引导学生研究余弦函数的对应性质。
在此过程中，让学生体会数形结合的好处，进而锻炼学生作图、识图的能力，以便更熟练地掌握三角函数的性质。
【知识与能力目标】了解正、余弦函数的基本性质。
【过程与方法目标】借助单位圆推导正、余弦函数的基本性质。
【情感态度价值观目标】通过本节课的学习，使学生能够看图说性质：识图、知图、说图。
【教学重点】了解正、余弦函数的基本性质。
【教学难点】借助单位圆推导正、余弦函数的基本性质。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、复习导入部分终边相同角的三角函数值的关系 ：sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z )cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )二、探究新知：阅读教材P 18～P 19“思考交流”以上部分，完成下列问题。
从单位圆看出正弦函数y ＝sin x 有以下性质(1)定义域是R ；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]；(3)它是周期函数，其周期是2π；(4)在[0,2π]上的单调性为：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是单调递减；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是单调递增。
同样，从单位圆也可看出余弦函数y ＝cos x 的性质。
(1)定义域是R ；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]；(3)它是周期函数，其周期是2π；(4)在[0,2π]上的单调性为：在 上是单调递减；在上是单调递增。
三、例题解析求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x 的值。
(1)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π； (1)y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3。
【精彩点拨】 画出单位圆，借助图形求解。
【自主解答】 (1)由图①可知，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的。
学高中数学三角函数单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式教师用书教案北师大版必修
４.３单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质４.４单位圆的对称性与诱导公式学习目标核心素养１．了解正弦函数、余弦函数的基本性质．２．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．（难点）３．掌握诱导公式及其应用．（重点）１．通过借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式，提升逻辑推理素养．２．通过诱导公式的应用，提升数学运算素养．１．正弦函数、余弦函数的基本性质从单位圆看出正弦函数y＝sin x有以下性质（１）定义域是R；（２）最大值是１，最小值是—１，值域是[—１，１]；（３）它是周期函数，其周期是２kπ（k∈Z）；（４）在[0，２π]上的单调性为：在错误!上是单调递增；在错误!上是单调递减；在错误!上是单调递增．同样，从单位圆也可看出余弦函数y＝cos x的性质．思考１：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？[提示] 设任意角x的终边与单位圆交于点P（cos x，sin x），当自变量x变化时，点P的横坐标是cos x，|cos x|≤１，纵坐标是sin x，|sin x|≤１，所以正弦函数、余弦函数的最大值为１，最小值为—１．２．诱导公式的推导（１）诱导公式（—α，π±α）的推导１在直角坐标系中α与—α角的终边关于x轴对称；α与π＋α的终边关于原点对称；α与π—α的终边关于y轴对称．２公式sin （—α）＝—sin α，cos （—α）＝cos α；sin （π＋α）＝—sin α，cos （π＋α）＝—cos α；sin （π—α）＝sin α，cos （π—α）＝—cos α．（２）诱导公式错误!的推导１错误!—α的终边与α的终边关于直线y＝x对称．２公式sin 错误!＝cos α，cos 错误!＝sin α用—α代替α并用前面公式sin 错误!＝cos α，cos 错误!＝—sin α思考２：设α为任意角，则２kπ＋α，π＋α，—α，２kπ—α，π—α的终边与α的终边有怎样的对应关系？[提示] 它们的对应关系如表：相关角终边之间的对应关系２kπ＋α与α终边相同π＋α与α关于原点对称—α与α关于x轴对称２π—α与α关于x轴对称π—α与α关于y轴对称１．当α∈R时，下列各式恒成立的是（）Ａ．sin 错误!＝—cos αＢ．sin （π—α）＝—sin αＣ．cos （２１0°＋α）＝cos （３0°＋α）Ｄ．cos （—α—β）＝cos （α＋β）D[由诱导公式知D正确．]２．cos ３00°＋sin ４５0°的值是（）Ａ．—１＋错误!Ｂ．错误!Ｃ．—１—错误!Ｄ．错误!D[原式＝cos （３60°—60°）＋sin （３60°＋90°）＝cos （—60°）＋sin 90°＝cos 60°＋１＝错误!.]３．cos 错误!的值是（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!C．错误!Ｄ．—错误!D[cos 错误!＝cos 错误!＝—cos 错误!＝—错误!.]４．y＝sin x，x∈错误!的单调增区间为________，单调减区间为________．错误!错误![在单位圆中，当x由—π到错误!时，sin x由0减小到—１，再由—１增大到错误!.所以它的单调增区间为错误!，单调减区间为错误!.]正弦、余弦函数的性质【例１】求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值．（１）y＝sin x，x∈错误!；（２）y＝cos x，x∈错误!.[解] （１）由图１可知，y＝sin x在错误!上是增加的，在错误!上是减少的．且当x＝错误!时，y ＝sin x取最大值１，当x＝—错误!时，y＝sin x取最小值—错误!.１（２）由图２可知，y＝cos x在[—π，0]上是增加的，在错误!上是减少的．且当x＝—π时取最小值—１，当x＝0时，取最大值１．２利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角x的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P（cos x，sin x）；第三步：研究P点横坐标及纵坐标随x的变化而变化的规律；第四步：得出结论．１．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值．（１）y＝—sin x，x∈错误!；（２）y＝cos x，x∈[—π，π].[解] （１）y＝—sin x，x∈错误!的单调递减区间为错误!，单调递增区间为错误!.当x＝错误!时，y min＝—１；当x＝π时，y max＝0，故函数y＝—sin x，x∈错误!的值域为错误!.（２）y＝cos x，x∈[—π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[—π，0].当x＝0时，y max＝１；当x＝—π或π时，y min＝—１，故函数y＝cos x，x∈[—π，π]的值域为[—１，１].给角求值【例２】求下列三角函数式的值：（１）sin ４9５°·cos （—67５°）；（２）sin 错误!＋cos 错误!.[解] （１）sin ４9５°·cos （—67５°）＝sin （１３５°＋３60°）·cos 67５°＝sin １３５°·cos ３１５°＝sin （１80°—４５°）·cos （３60°—４５°）＝sin ４５°·cos ４５°＝错误!×错误!＝错误!.（２）sin 错误!＋cos 错误!＝—sin 错误!＋cos 错误!＝—sin 错误!＋cos 错误!＝—sin 错误!＋cos 错误!＝—sin 错误!—cos 错误!＝sin 错误!—cos 错误!＝错误!—错误!＝0．利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值．２．求下列三角函数值．（１）sin 错误!·cos错误!；（２）sin 错误!.[解] （１）sin 错误!·cos 错误!＝sin 错误!·cos 错误!＝—sin 错误!·cos 错误!＝—错误!·错误!＝—错误!.（２）sin 错误!＝sin 错误!＝sin 错误!＝sin 错误!＝错误!.三角函数式的化简（１）错误!；（２）错误!.[解] （１）原式＝错误!＝错误!＝cos α.（２）原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—１．三角函数的化简，尽量化为２kπ±α的形式，否则：（１）形如kπ±α时，应对k进行奇数和偶数两种情形讨论；（２）形如错误!π±α时，应分k＝３n，k＝３n＋１，k＝３n＋２（n∈Z）三种情形讨论．３．化简下列各式．（１）错误!；（２）错误!.[解] （１）原式＝错误!＝错误!＝１．（２）原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—错误!.给值求值问题[探究问题]１．有条件的三角函数求值问题的基本思路是什么？[提示] 对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．２．当已知条件给出的是复合角时应如何解决问题？[提示] 当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系．【例４】（１）已知sin （π＋α）＝错误!，且α是第四象限角，则cos （α—２π）的值是（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!C．—错误!Ｄ．错误!（２）已知cos 错误!＝错误!，求cos 错误!—sin２错误!的值．[思路探究] （１）直接利用诱导公式求解，注意角α所在的象限．（２）利用复合角之间的关系及诱导公式求解．（１）B[因为sin（π＋α）＝错误!，且sin （π＋α）＝—sin α，所以sin α＝—错误!，又因为α是第四象限角，所以cos （α—２π）＝cos α＝错误!＝错误!＝错误!.]（２）解：因为cos 错误!＝cos 错误!＝—cos 错误!＝—错误!，sin２错误!＝sin２错误!＝１—cos２错误!＝１—错误!错误!＝错误!，所以cos错误!—sin２错误!＝—错误!—错误!＝—错误!.１．（变条件，变结论）将例（２）中的“—”改为“＋”，“＋”改为“—”，其他不变，应如何解答？[解] 由题意知cos错误!＝错误!，求cos 错误!＋sin２错误!的值．因为cos错误!＝cos 错误!＝—cos 错误!＝—错误!，sin２错误!＝１—cos２错误!＝１—错误!错误!＝错误!，所以cos错误!＋sin２错误!＝—错误!＋错误!＝错误!.２．（变结论）例（２）中的条件不变，求cos错误!—sin２错误!的值．[解] cos错误!—sin２错误!＝cos错误!—sin２错误!＝—cos错误!—sin２错误!＝—错误!—错误!＝—错误!.解决条件求值问题的策略（１）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．（２）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．１．诱导公式的选择方法：先将—α化为正角，再用２kπ＋α（k∈Z）把角化为[0，２π]内的角，再用π±α，错误!＋α，２π—α化为锐角的三角函数，还可继续用错误!—α化为错误!内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．２．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形．１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）y＝sin x在[—π，π]上是增加的．（）（２）y＝cos x在[0，π]上是递减的．（）（３）sin （２π—α）＝sin α. （）（４）诱导公式中的角α只能是锐角．（）[答案] （１）×（２）√（３）×（４）×２．已知sin （θ＋π）＜0，cos （θ—π）＞0，则θ所在象限是（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限B[由sin （θ＋π）＝—sin θ＜0⇒sin θ＞0，cos （θ—π）＝—cos θ＞0⇒cos θ＜0，由错误!可知θ是第二象限角．]３．已知cos （π＋α）＝—错误!，则sin 错误!＝________．错误![cos （π＋α）＝—cos α＝—错误!，∴cos α＝错误!.又sin 错误!＝cos α＝错误!.]４．计算：cos 错误!·sin错误!.[解] 原式＝cos 错误!·sin 错误!＝cos 错误!·sin 错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!.。
高中一年级上学期数学《 正弦、余弦函数的性质第1课时》教学设计
5.4.2 正弦、余弦函数的性质（第1课时）一.教学内容正弦、余弦函数的周期性。
二.教学目标1.理解周期函数，周期函数的周期，最小正周期的定义；2.会求型如R+ϕ∈=ω),sin(的周期。
ωcos(=),,y+xxRAϕy∈Axx三.教学重点与难点重点：正弦、余弦函数的周期性；依照定义求函数周期；难点：周期函数概念的理解。
四.教学过程设计环节一：复习回顾，引入新知老师以问题串的形式引导学生明确函数性质的研究内容，以及研究函数性质的一般方法。
教师：我们已经学习哪些基本初等函数?学生：一次函数，二次函数，反比例函数，幂函数，指数函数，对数函数，正弦函数，余弦函数等.教师追问∶学习以上函数，研究函数性质的研究思路是什么？学生∶绘制函数图像—观察图像、发现性质—证明性质.设计意图：通过本环节，让学生建立完整的函数知识体系，形成研究函数的一般方法.潜移默化中，培养学生利用图形描述、分析数学问题的习惯，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.发展几何直观能力，增强运用图形思考问题的意识，提升数形结合的能力.落实直观想象数学核心素养。
环节二：探究正弦函数、余弦函数的周期性问题1 观察正弦函数图像，思考正弦函数有哪些独特的变化规律.引导学生从不同的角度观察正弦曲线，直观感知一个完整周期的图像特征，并发现它的周而复始变化。
用间隔为π2的若干竖直直线（直线过对称中心），将正弦曲线进行分割，每两条直线之间的部分都是一样的.对探究过程进行梳理，如下表∶学生在老师的引导下观察正弦曲线，积极思考，多角度认识理解一个周期内的图像特征，经历从整体到局部，从形到数的转化，并能用比较准确的数学语言进行表述.在生活中寻找周期的例子。
老师小结：数学上，用“周期性”这个概念来定量刻画这种“周而复始”的变化规律. 设计意图：通过图像加深对正弦曲线一个完整周期内的不同的图像的认识，为今后学习函数R x x A y ∈ϕ+ω=),sin(的性质打下坚实的基础。
《正弦函数、余弦函数的性质(第二课时)》示范课教学设计【高中数学】
《正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）》教学设计经历利用函数图象研究函数性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质．教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性、最值等性质．教学难点：正弦函数、余弦函数单调区间的求法．PPT课件．（一）新知探究问题1：对于一般的函数，我们一般要研究其哪些性质？观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格．预设的师生活动：教师布置该任务后，学生通过观察图象，进行直观想象，完成上述表格，之后互相交流讨论，进行修改完善，并进行展示交流．注意，在此环节，只是利用图象得出结论，下一环节才从代数的角度分析．在完成表格时，因为三角函数的周期性和图象的丰富的对称性，学生在猜想并写出单调区间、最值点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑．对此，在学生展示交流过程中，教师可以通过如下追问促进学生的思考，帮助他们理解，并借助信息技术，引导学生进行直观想象．追问1：如何理解点（π，0）也是正弦函数y＝sin x的对称中心？如何理解直线x＝π2是正弦函数y＝sin x的对称轴？追问2：逐一列举正弦函数y＝sin x的单调递增区间，它们与区间[－π2，π2]之间有怎样的关系？预设答案：设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序．培养学生运用类比、对比的方法，并根据图象进行合理猜想，直观感知研究对象的意识和能力．问题2：教科书分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？ 预设的师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题． 预设答案：正弦、余弦函数选择的区间分别为[−π2，3π2]、[−π，π]，这两个区间距离原点最近，我们相对更熟悉一点．设计意图：引导学生阅读教科书，重视教科书，在直观感知的基础上系统、规范地认知函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性．例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．（1）y ＝cos x +1，x ∈R ； （2）y ＝－3sin 2x ，x ∈R ．追问：如何转化为你熟悉的函数求解？师生活动：学生先独立完成，之后就解题思路和结果进行展示交流，教师及时予以明确换元法及其重要作用．预设答案：解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．（1）使函数y ＝cos x +1，x ∈R 取得最大值的x 的集合 ，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝；使函数y ＝cos x +1，x ∈R 取得最小值的x 的集合 ，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π+π，k ∈Z ｝；函数y ＝cos x +1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．（2）令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使y ＝sin z ，z ∈R 取得最小值的z 的集合｛z ｜z ＝－2π＋2k π，k ∈Z ｝． 由2x ＝z ＝－2π＋2k π，得x ＝－4π＋k π．所以，y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝－4π＋k π，k ∈Z ｝． 同理，使函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是｛x ｜x ＝4π＋k π，k ∈Z ｝． 函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3．设计意图：巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用． 例2 不通过求值，比较下列各数的大小：（1）sin （－18π）与sin （－10π）； （2）cos （－5π23）与cos （－4π17）． 追问：比较大小的依据是什么？预设的师生活动：学生独立完成，教师进行指导．本例中，对于（1），可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解．预设答案：解：（1）因为－2π＜－18π＜－10π＜0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－2π，0]上单调递增，所以sin （－18π）＜sin （－10π）．（2）cos （－5π23）=cos 5π23=cos 5π3，cos （－4π17）=cos 4π17=cos 4π， 且余弦函数在区间［0，π］上单调递减， 所以cos4π＞cos 5π3，即cos （－4π17）＞cos （－5π23）．你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试． 设计意图：初步应用函数的单调性解决比较大小的问题． 例3 求函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π21x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．追问：如何转化为熟悉的函数求解？师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解． 预设答案：通过换元转化为熟悉的函数单调性问题，然后求解． 令z ＝3π21+x ，x ∈[－2π，2π]，则z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，．因为y ＝sin z ，z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，的单调递增区间是z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2π2π，，且由2π-≤3π21+x ≤2π得3π5-≤x ≤3π，所以，函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π21x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3π3π5，．变式：求函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 213π，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．预设的师生活动：学生独立完成．对于变式问题，会有一部分学生出错，教师要引导学生将正确和错误解答进行对比分析．预设答案：令z ＝sinx 213π-，x ∈[－2π，2π]，则z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，．因为y ＝sin z ，z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，的单调递减区间是z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2ππ32，或⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π42π，，且由3π2-≤x 213π-≤2π-或2π≤x 213π-≤3π4得3π5≤x ≤2π或－2π≤x ≤3π，所以，函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 213π，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23π5，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3ππ2，． 设计意图：类比例3求解，进一步熟练换元转化的思想方法．通过变换自变量系数的符号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．（二）归纳小结问题3：教师引导学生回顾本单元的学习内容，回答下面的问题：（1）正弦函数、余弦函数的图象是什么形状？它们具有什么性质？请结合一个具体的函数谈一谈．（2）对于正弦函数，我们是如何绘制出它的图象的？又是如何研究它的性质的？余弦函数呢？（3）通过本节课的学习，你对正弦函数、余弦函数有了哪些新的认识？对于如何研究一个函数又有了哪些新的体会？设计意图：通过小结，复习巩固本单元所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数的理解．通过对本单元研究过程的总结，体会研究正弦函数、余弦函数性质的方法，进一步体会研究函数的一般思路和方法．（三）拓展研究问题4：三角函数的定义是利用单位圆给出的，你能利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质吗？请将你的研究方案和研究报告写下来．设计意图：让学生换一个角度认识正弦函数、余弦函数的性质，提升其理解的深刻性．同时开放学生的思维，通过探索发现提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力．（四）布置作业 教科书习题．。
1.4.2单位圆与任意角的正弦函数余弦函数和正切函数的基本性质教案-高一上学期数学北师大版
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数基本性质一、教学目标1、利用单位圆判断任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质；2、利用单位圆判断定区间内正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性；3、利用单位圆求解正弦函数、余弦函数和正切函数在定区间内的最值；二、教学重难点重点：正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质难点：定区间内正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性与最值问题三、教学设计1、情景导入如图，设任意角α的终边与单位圆交于P(u,v)，回答下列问题：（1）写出任意角α的正弦函数，余弦函数和正切函数的解析式？对应的定义域是什么？（2）根据单位圆的性质，当自变量角α发生变化时，其终边与单位圆的交点P(u,v)的横坐标u与纵坐标v有怎样的变化？你能得出正弦函数、余弦函数和正切函数的最大值最小值吗？（3）与角α终边相同的角怎样表示？根据正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，你能发现终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值和正切函数值有怎样的关系吗？（4）根据（3）的结论，你能判断出正弦函数、余弦函数和正切函数时周期函数吗？最小正周期分别是多少？（设计意图：带领学生在单位圆中分析相关的性质和取值，方便总结）2、新知概念2、1正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质定义域：正弦函数余弦函数的定义域均为：实数集R+kπ,k∈Z}（结合轴线角的集合表示去与正切定义处理）正切函数的定义域：{α|α≠π2最值和值域：根据单位圆中的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义得到+2kπ,k∈Z时，正弦函数v=sinα取得最大值，最大值为1（终边相同的角）（1）当α=π2+2kπ,k∈Z时，正弦函数v=sinα取得最小值，最小值为−1（终边相同的角）当α=−π2正弦函数v=sinα的值域为[−1,1]（2）当α=2kπ,k∈Z时，余弦函数u=cosα取得最大值，最大值为1（终边相同的角）当α=π+2kπ,k∈Z时，正弦函数u=cosα取得最小值，最小值为−1（终边相同的角）余弦函数u =cosα的值域为[−1,1]（3）正切函数：根据其定义可以发现其没有最大值和最小值，值域为(−∞,+∞)周期性：正弦函数和余弦函数主要从终边相同的角去处理，正切函数结合定义处理（1）终边相同的角正弦函数值相等：sin (α+2kπ)=sinα，正弦函数的最小正周期为2π （2）终边相同的角余弦函数值相等：cos (α+2kπ)=cosα，余弦函数的最小正周期为2π （3）正切函数值相等的情况：tan (α+kπ)=tanα，正切函数的最小正周期为π（从关于原点对称的角度考虑） 单调性：正弦函数和余弦函数的单调性结合角的终边余单位圆交点的坐标来观察，正切函数的单调性从定义来观察，一个比值关系。
《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》教学设计
《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》教学设计一、本节内容分析本节内容包含正弦函数、余弦函数的基本性质.通过本节的学习,使学生根据三角函数的有关知识求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析学生熟悉的函数是实数到实数的对应,这里给出的函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应,学生在理解上可能会有一定的困难.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备【任务专题设计】1.正弦函数、余弦函数值的性质【教学目标设计】1.根据定义理解正弦、余弦函数在各个象限及坐标轴上的符号,求一些特殊角的三角函数值.【教学策略设计】1.理解三角函数的定义,教学时,利用多媒体工具,可以很容易地建立起角的终边和单位圆的交点坐标的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来,引导学生考虑当角的终边与坐标轴重合时怎么处理;引导学生通过自已的思维活动得出教材中“探究”栏目里问题的结论.2.在处理教材上的例题时,建议先让学生独立完成,然后教师指出其中出现的问题,再进行点评、总结、提升,另外,整个教学过程要向学生渗透分类讨论的意识.【教学方法建议】探究教学法,演示教学法,还有________________________________________________【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________2.其他材料:________________________________________________________________四、教学活动设计教学精讲探究1 正弦函数、余弦函数值的符号师:学习了正弦函数、余弦函数的定义,接下来研究它们的一些性质,即自变量的取值范围各是什么?各象限角的正弦函数、余弦函数值的符号如何?【先学后教】先通过问题引导学生从定义出发、学习,利用直角坐标平面内点的坐标的特征得出定义域、函数值的符号等结论.【情境设置】探究正弦函数、余弦函数的符号根据任意角的正弦函数、余弦函数定义,先将正弦,余弦,正切函数在弧度制下的定义域填入表格,再将这两种函数的值在各象限的符号填入图中的括号.【教师提示:利用坐标平面内点的坐标的特征得出定义域、函数值的符号等结论,注意正切函数定义域的特殊性,学生思考,讨论,填表】师:通过填表,你能总结出各三角函数在各象限的符号有什么规律吗?【学生思考,讨论,回答问题】生:在第一象限各正弦函数、余弦函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第四象限只有余弦值为正.师:还可以根据角的终边所在象限判断其终边上任意一点(x,y)的坐标符号,结合定义可确定弦函数、余弦函数值的符号.【要点知识】正弦函数、余弦函数值符号【概括理解能力】根据正弦函数、余弦函数的定义,通过填表探究函数值的符号,总结正弦函数、余弦函数在各象限内的符号规律,培养学生的概括理解能力.探究2 诱导公式(一)师:接下来看一道例题.【典型例题】根据三角函数的函数值符号解决问题例1求证:角θ为第三象限角的充要条件是sin0, tan0.θθ<⎧⎨>⎩①②师:本题中,谁是条件,谁是结论?生:“①②式”是条件,“角θ为第三象限角”是结论.师:回忆一下,如何证明这类问题?生:既要证充分性,又要证必要性.师:你能尝试进行证明吗?生:先证充分性,即如果①②式都成立,那么θ为第三象限角.因为①式sin0θ<成立,所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的负半轴重合;又因为②式tan0θ>成立,所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限.于是角θ为第三角限角.师:根据三角函数的定义可知,只要知道角α终边上任意一点的坐标,就可以求得角α的三角函数值,那么角不同是不是对应的三角函数值不相等?生:不是.师:什么情况下角不同,三角函数值会相等?生:终边相同的时候.师:由三角函数的定义可知,终边相同的角的同一三角函数的值相等.你能用数学式子来表示吗?【推测解释能力】学生在教师的引导启发下,回忆思考证明的方法,利用各象限角的三角函数值的符号进行充要条件的证明,培养学生推测解释能力,从而提升学生的逻辑推理素养.【学生思考、尝试回答问题,教师展示结果】【归纳总结】诱导公式一师:由诱导公式一可知三角函数值有“周而复始”的变化规律,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现.那么诱导公式一有什么作用?生:在运算中起到化简的作用,即利用诱导公式一,可以把任意角的三角函数值,转化为求0~2π(或0°~360°)角的三角函数值.【少教精教】在具体的问题情境中,启发学生寻找共同规律,自主思考总结可以表示这一规律的数学表达式,最终师生一起得出诱导公式(一),并且在思考的过程中,总结得到诱导公式的作用,从而达到少教精教的目的.师:我们已经知道利用诱导公式一可以确定三角函数的符号,那具体怎么计算呢? 看下面例题 【典型例题】利用诱导公式一确定三角函数的符号例2 确定下列三角函数值的符号,然后用计算工具验证:(1)cos250︒;(2)sin ;4π⎛⎫- ⎪⎝⎭.【教师提示:利用诱导公式一把所给的角化为0~2π(或0~360︒︒)终边相同的角,再确定三角函数值的符号,学生思考并解答】生:(1)∵250︒是第三象限角,∴cos2500︒<. (2)∵4π-是第四象限角,∴sin 04π⎛⎫-< ⎪⎝⎭. 【分析计算能力】通过例2利用诱导公式,把所求三角函数进行转化成特殊三角函数,从而求值,并注意分析其中的符号正负,充分提升学生的分析计算能力.【学生独立完成后用计算工具验证】师:下面看利用诱导公式一求三角函数值的例题.【典型例题】利用诱导公式一求三角函数值例3 求下列三角函数值:(1)sin148010︒'(精确到0.001);(2)9cos4π; 【教师提示:可以先利用诱导公式一对角进行转化,再由特殊角的三角函数值或计算器求值,也可以直接利用计算工具求三角函数的值.用计算工具求值时要注意设置角的适当的度量制,学生思考并解答.】生:(1)()sin148010sin 40104360sin 40100.645︒'=︒'+⨯︒=︒'≈.(2)9coscos 2cos 4442ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭. 【以学定教】教师通过例3让学生自主练习,计算具体角度的三角函数值,在求值的过程中,也巩固了诱导公式的应用,以学生的理解与掌握为中心,体现了以学定教的教学策略.师: 接下来我们通过几道题巩固练习一下. 【巩固练习】三角函数的性质1.填表:2.(口答)设α是三角形的一个内角,在sin ,cos ,αα中,哪些有可能取负值? 【学生独立计算,并回答问题】 生:12.当α为钝角时,cosα取负值.【整体学习】学完本节,利用巩固练习进行知识的复习整理和巩固,在做题过程中加深对三角函数概念的理解与相关做题方法的掌握.【分析计算能力】学生独立计算课堂巩固练习,在计算过程中体会知识的生成和应用,在应用过程中锻炼了分析计算能力.师:通过这节课你学到了什么知识?【课堂小结】三角函数的性质【设计意图】通过对三角函数性质的学习,利用了先学后教、少教精教、以学定教的教学策略和整体学习的学习策略,培养了学生概括理解能力、分析计算能力、推测解释能力,提升了学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.教学评价通过本节课的学习,学生理解三角函数的概念,能根据三角函数的定义确定三角函数的符号,并会运用它们进行简单三角函数式的化简、证明和求值运算.应用所学知识,完成下题:已知:11|sin|sinαα=-,且lg(cos)α有意义.(1)试判断角α所在的象限.(2)若角α的终边上一点是3,5M m ⎛⎫⎪⎝⎭,且||1OM =(O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值.解析:(1)要判断角α所在的象限,先确定角α的三角函数值的符号.由1|sin |α=1sin α-,可知sin 0α<,由lg(cos )α有定义,cos 0α>,所以,角α在第四象限.(2)利用勾股定理可得关于m 的方程,进而解方程、利用定义计算即可.由||1OM =得22315m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得45m =±.又角α在第四象限,由正弦函数的定义可知445sin ||15y m r OM α-====-. 【设计意图】围绕本节知识点——三角函数的概念、三角函数的性质引导学生整理知识,体会知识的生成、发展、完善的过程,锻炼学生观察记忆、说明论证、概括理解、推测解释、分析计算,简单问题解决等学科能力,从而达到数学运算、数学抽象、逻辑推理的核心素养目标要求.教学反思本节内容分主要是对三角函数这一部分知识的理解与认识,三角函数是一类最典型的周期函数,是解决实际问题的重要工具,同样也是学习数学、物理和天文等其他学科的重要基础.在本节的教学中,应注意强调以周期变化现象为背景,构建从抽象研究对象即定义三角函数概念到后续课程研究同角三角函数的基本关系再到实际应用的过程,借助单位圆,理解正弦、余弦、正切函数的概念,注重通过实例提升学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算核心素养,【以学定教】综合三角函数的概念、性质分析问题、解决问题. 【以学论教】根据学生实际学习情况和课堂效果,总结得出教学过程中应结合实例多角度引发学生的思考,引导学生利用单位圆理解三角函数的概念.。
第一章§442单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质教学设计高中数学新(2022学年)
【基础铺垫】
1．正弦函数、余弦函数的定义域是R.
2．当x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，正弦函数y ＝sin x 取得最大值1；当x ＝2k π-π2
(k ∈Z)时，正弦函数y ＝sin x 取得最小值-1．
当x ＝2k π(k ∈Z)时，余弦函数y ＝cos x 取得最大值1；当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z)
时，余弦函数y ＝cos x 取得最小值-1
3．正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 是周期函数，它们的周期都是
2k π(k ∈Z)，最小正周期为2π.
4．正弦函数在区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)上是增函数，在区间⎣
⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)上是减函数． 5．正弦函数、余弦函数值的符号
【例1】求函数v=cosα在区间211[]
36ππ，上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α的值.
【解】画出图，可知：
当6=
11απ时，函数v=cosα取得最大值，最大值为
113cos =62π 当3=
2απ时，函数v=cosα取得最小值，最小值为2cos =13-π.
【例2】
（1）α是第二象限角，判断sin αcos α的正负；
（2）若sin αcos α＜0，判断α是第几象限角．
解（1）∵α是第二象限角，
∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin αcos α＜0.
（2）由sin αcos α＜0知有两种可能：
⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＞0，cos α<0或⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＜0，cos α＞0. 故α是第二象限角或第四象限角．
【课堂小结】。
1.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件-高一下学期数学北师版必修第二册
典例剖析
正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质
例1 借助单位圆，讨论函数v＝sin α在给定区间上的单调性.
解：(1)函数v＝sin α在区间 ( , ] 上单调递增；
(2) 函数v＝sin α在区间[
在区间 [
4
2
,
3
,
6 2
]上单调递减.
6 3
]上单调递增，
典例剖析
= 90 + 0 − 0
=1
典例剖析
题型3 设
正余弦函数单调性问题
，
，
，则下列关系正确的是（ B ）
A．
B．
【答案】B
【分析】根据
的范围，分别求得
【详解】∵
∴
，
，∴
C．
；
D．
的范围，即可比较大小.
典例剖析
正余弦函数值的符号
题型4 如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在象限
2 2
2 2
由正弦函数的周期性可知，
π
π
对任意的k ∈ Z，正弦函数在区间 2kπ − , 2kπ + 上单调递增，
π
, 2kπ
2
3π
2
2
2
在区间 2kπ +
+
上单调递减.
余弦函数的单调性：
余弦函数在区间 0, π 上单调递减，在区间 −π, 0 上单调递增.
由余弦函数的周期性可知，
对任意的k ∈ Z，余弦函数在区间 2kπ, 2k + 1 π 上单调递减，
余弦函数的最小正周期为2.
正弦函数 = sinα和余弦函数 = cosα均是周期函数，
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高一数学《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》教案
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m 【学习目标】
、能根据单位圆中正、余弦函数的定义结合单位圆说出它们的基本性质；
2、能利用正、余弦函数的基本性质解决相关问题；
【学习重点】
正、余弦函数的基本性质
【学习难点】
正余弦函数基本性质的应用
【思想方法】
能从图形观察、分析得出结论，体会数形结合的思想方法
【知识链接】
、
三角函数在单位圆中的定义
2、
正余弦函数的周期性
【学习过程】
一、
预习自学，把握基础
阅读课本第18～19页“练习”以上部分的内容，紧抓角x变化时终边与单位圆的交点的横纵坐标的变化规律尝试填写下表：
正弦函数y=sinx
余弦函数y=cosx
定义域
值域
最大值
当x=
时，
y有最大值
．
当x=
时，
y有最大值
．
最小值
当x=
时，
ymin
．
当x=
时，
ymin
．
周期性
都是周期函数，周期为
，最小正周期为
.
单调性
在区间
递增；
在区间
递减；
在区间
递增；
在区间
递减；
二、知识应用，合作探究
例1、.求下列函数的定义域：
（1）y=406【导学案】4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
（2）y=406【导学案】4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质．
例2、求函数406【导学案】4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质的单调区间.
例3.求函数y=3cosx,x∈[-406【导学案】4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质,406【导学案】4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质]的最大值和最小值，并写出取得最值时自变量x的值.
三、学习体会
、知识方法:
2、我的疑惑：
四、达标检测
A1.写出y=1-sinx的定义域
B2.写出函数406【导学案】4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质的单调递增区间
c3.求函数406【导学案】4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质的值域
【课外强化】
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