2020全国卷三高考文数试卷【含答案】

，直线
BP
的方程为
y
1 yQ
(x
5)
|
，所以
BP
|
yP
1 yQ2 ，
| BQ | 1 yQ2 ，
因为| BP || BQ | ，所以 yP 1，将 yP 1代入 C 的方程，解得 xP 3 或 3 .
由直线 BP 的方程得 yQ 2 或 8.
所以点 P,Q 的坐标分别为 P1(3,1), Q1(6, 2); P2 (3,1), Q2 (6,8) .
A．60
B．63
C．66
D．69
sin sin（）1π =
sin（） π =
5．已知
3 ，则
6
1 A． 2
3 B． 3
2 C． 3
2 D． 2
6．在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若 AC BC=1 ，则点 C 的轨迹为
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
7．设 O 为坐标原点，直线 x=2 与抛物线 C： y2 2 px p 0 交于 D，E 两点，若 OD⊥OE，则 C 的焦点
当k>0时，令 f (x) 0 ，得 x
3k
x (,
3 ．当
3k 3
)
时，
f
(x)
0
；当
x
(
3k ,
3
3k )
3 时，
f (x) 0 ；当 x (
3k 3
, )
时，
f
(x)
0
．故
f
(x)
在
(,
3k ) ( 3，
3k , )
3
单调递增，在
( 3k , 3k ) 3 3 单调递减．
（2）由（1）知，当 k 0 时， f (x) 在 (， ) 单调递增， f (x) 不可能有三个零点．
x 2 t t2，
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
y
2
t﹢t
2
(t 为参数且 t≠1)，C 与坐标轴交于 A，B 两
点.
（1）求 |AB| ；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程. 23．[选修 4-5：不等式选讲] (10 分)
设 a，b，c ∈ R， a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用 max{a，b，c}表示 a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ 3 4 ．
答案
选择题答案 一、选择题 1．B 5．B 9．C 非选择题答案 二、填空题
2．D 6．A 10．A
3．C 7．B 11．C
4．C 8．B 12．D
13．7
14． 3
15．1
三、解答题
17．解：（1）设{an} 的公比为 q ，则 an a1qn1 .由已知得
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则 称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握 认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．已知集合 A 1，2 ，3 5，7，11，， B x | 3 x 15，则 A∩B 中元素的个数为
A．2
B．3
C．4
D．5
2．若 z(1 i) 1 i ，则 z=
面积为 2 26
2.
5 综上，△APQ 的面积为 2 .
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]
解：（1）因为 t≠1，由 2 t t2 0 得 t 2 ，所以 C 与 y 轴的交点为（0，12）；
由 2 3t t2 0 得 t=2，所以 C 与 x 轴的交点为 (4, 0) ．
故 |AB | 4 10 ．
于是 AE ∥FC1 ．所以 A, E, F,C1 四点共面，即点 C1 在平面 AEF 内．
20．解：（1） f (x) 3x2 k ． 当k=0时， f (x) x3 ，故 f (x) 在 (， ) 单调递增； 当k<0时， f (x) 3x2 k 0 ，故 f (x) 在 (， ) 单调递增．
解得 m 1（舍去）， m 6 .
18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率的估计值如下表：
空气质量等级
1
2
3
4
概率的估计值
0.43
0.27
0.21
0.09
（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 1 (100 20 300 35 500 45) 350 ．
（1）当 AB BC 时， EF AC ；
（2）点 C1 在平面 AEF 内． 20．（12 分）
已知函数 f (x) x3 kx k 2 ．
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若 f (x) 有三个零点，求 k 的取值范围．
21．（12 分）
x2 C:
y2
1(0 m 5)
15
已知椭圆 25 m2
y2 b2
1
(a>0,b>0)的一条渐近线为
y=
2 x，则 C 的离心率为_________．
f (x) ex
f (1) e
15．设函数
x a ．若
4 ，则 a=_________．
16．已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考
A．a<c<b
B．a<b<c
C．6+2 3 C．b<c<a
D．4+2 3 D．c<a<b
2 11．在△ABC 中，cosC= 3 ，AC=4，BC=3，则 tanB=
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
1 12．已知函数 f(x)=sinx+ sin x ，则
A．f(x)的最小值为 2
B．f(x)的图像关于 y 轴对称
k 4
(0，4 )
27 ．因此k的取值范围为 27 ．
25 m2 15
m2 25
21．解：（1）由题设可得 5
4 ，得 16 ，
x2 y2 1 25 25
所以 C 的方程为
16 .
（2）设
P(xP ,
yP ), Q(6,
yQ )
，根据对称性可设
yQ
0
，由题意知
yP
0
，
由已知可得
B(5, 0)
坐标为
1 A．（ 4 ，0）
1 B．（ 2 ，0）
C．（1，0）
D．（2，0）
8．点 (0，1) 到直线 y k x 1距离的最大值为
A．1
B． 2
C． 3
9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
D．2
A．6+4 2
B．4+4 2
2 10．设 a=log32，b=log53，c= 3 ，则
A．1–i
B．1+i
C．–i
D．i
3．设一组样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01，则数据 10x1，10x2，…，10xn 的方差为
A．0.01
B．0.1
C．1
D．10
4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺 K
炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： I (t)=1 e0.23(t53) ，其中 K 为最大确诊病例 数．当 I( t* )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t* 约为（ln19≈3）
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
K2
n(ad bc)2
附：
(a b)(c d )(a c)(b d ) ，
P(K2≥k)
0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828
19．（12 分）
如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E ， F 分别在棱 DD1 ， BB1 上，且 2DE ED1 ， BF 2FB1 ．证明：
绝密★启用前
2020 全国卷三高考文数试卷
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
18．（12 分）
某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据 得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气质量等级
[0,200]
(200,400]
(400,600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6Biblioteka Baidu
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；
100 （3）根据所给数据，可得 2 2 列联表：
人次≤400
人次>400
空气质量好
33
37
空气质量不好
22
8
根据列联表得 K 2 100 (33 8 22 37)2 5.820 ． 55 45 70 30
由于 5.820 3.841，故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
（2）由（1）可知，直线
AB
的直角坐标方程为
x 4
y 12
1
，将
x
cos，y
sin
代入，
得直线 AB 的极坐标方程 3cos sin 12 0 ．
23．[选修 4—5：不等式选讲] 解：（1）由题设可知，a，b，c 均不为零，所以 ab bc ca 1 [(a b c)2 (a2 b2 c2 )] 2 1 (a2 b2 c2 ) 2 0. （2）不妨设 max{a，b，c}=a，因为 abc 1, a (b c) ，所以 a>0，b<0，c<0.由 bc (b c)2 ，可得 4 abc a3 ，故 a 3 4 ，所以 max{a,b, c} 3 4 . 4
生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）
设等比数列{an}满足 a1 a2 4 ， a3 a1 8 ． （1）求{an}的通项公式； （2）记 Sn 为数列{log3an}的前 n 项和．若 Sm Sm1 Sm3 ，求 m．
x= 当k>0时，
3k 3 为 f (x) 的极大值点， x=
3k 3 为 f (x) 的极小值点．
k 1 此时，
3k 3
3k 3
k
1
且
f
(k
1)
0，
f
(k
1)
0，
f (
3k ) 0
3．
根据 f (x) 的单调性，当且仅当 f (
3k 3
)
0
k2
，即
2k 3k 9
0
时，
f
(x) 有三个零点，解得
2 16． 3
a1 a1q2
a1q 4 a1 8
，
解得 a1 1, q 3 .
所以{an} 的通项公式为 an =3n1 .
（2）由（1）知 log3an n 1.
故
Sn
n(n 1) .
2
由 Sm Sm1 Sm3 得 m(m 1) (m 1)m (m 3)(m 2) ，即 m2 5m 6 0 .
C．f(x)的图像关于直线 x 对称
x D．f(x)的图像关于直线 2 对称
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
x y 0, 2x y 0， 13．若 x，y 满足约束条件 x 1, ,则 z=3x+2y 的最大值为_________．
14．设双曲线
C:
x2 a2
的离心率为 4 ， A ， B 分别为 C 的左、右顶点．
（1）求 C 的方程；
（2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x 6 上，且 | BP || BQ | ， BP BQ ，求 △APQ 的面积．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] (10 分)
因为
D1E
2 3
DD1
，
AG
2 3
AA1
，
DD1
∥ AA1 ，所以 ED1
∥ AG ，于是四边形 ED1GA 为平行四边形，
故 AE ∥GD1 ．
因为
B1F
1 3
BB1 ，
A1G
1 3
AA1 ，
BB1
∥ AA1 ，所以 FG
∥ A1B1 ， FG
∥ C1D1 ，四边形 FGD1C1 为平行
四边形，故 GD1 ∥FC1 ．
| P1Q1 |
10
，直线
P1Q1
的方程为
y
1 3
x
，点
A(5,
0)
到直线
P1Q1
的距离为
10 2 ，故 △AP1Q1 的面
1 10 10 5
积为 2 2
2.
| P2Q2 |
130
，直线
P2Q2
的方程为
y
7 9
x
10 3
，点
A
到直线
P2Q2
的距离为
130 26 ，故△AP2Q2 的
1 130 130 5
19．解：（1）如图，连结 BD ， B1D1 ．因为 AB BC ，所以四边形 ABCD 为正方形，故 AC BD ．
又因为 BB1 平面 ABCD ，于是 AC BB1 ．所以 AC 平面 BB1D1D ． 由于 EF 平面 BB1D1D ，所以 EF AC ．
（2）如图，在棱 AA1 上取点 G ，使得 AG 2GA1 ，连结 GD1 ， FC1 ， FG ，