2019年全国硕士研究生招生考试研究生高等代数A卷试题及参考答案

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2019年全国硕士研究生招生考试初试自命题试题
科目名称:高等代数(√A 卷□B 卷)科目代码:614
考试时间: 3 小时 满分 150 分
可使用的常用工具:□无 □计算器 □√直尺 □√圆规(请在使用工具前打√)
注意:所有答题内容必须写在答题纸上,写在试题或草稿纸上的一律无效;考完后试题随答题纸交回。

一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
1、设,A B 均是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( )。

(A )T
A 与T
B 相似 (B )1
A -与1
B -相似 (
C )T
A A +与T
B B +相似 (D )1A A --与1
B B --相似
2、设矩阵21111214A a a ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,集合
{}1,2Ω=,则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是 ( )。

(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω
3、二次型()123,,f x x x 在正交变换X PY = 下的标准形为222
1232+-y y y ,其中
123(,,)P e e e =,若132(,,)Q e e e =-,则()123,,f x x x 在变换X QY =下的标准形是( )。

(A) 222
12
32-+y y y
(B) 222
12
32+-y y y (C) 2221232--y y y
(D) 222
1232++y y y
4、所有4阶对称矩阵按矩阵的加法和数乘所组成的线性空间V 的维数是 ( )。

(A ) 4维 (B ) 16维 (C ) 8维 (D ) 10维
5、设1α,2α,3α均为3维向量,则对任意常数k ,l ,向量组1α+3αk ,2α+3
αl 线性无关是向量组1α,2α,3α线性无关的( )。

(A )必要非充分条件(B )充分非必要条件(C )充分必要条件(D )非充分非必要条件
6、设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列
得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为( )。

2019年全国硕士研究生招生考试初试自命题试题
科目名称:高等代数(√A 卷□B 卷)科目代码:614
答案
注意:所有答题内容必须写在答题纸上,写在试题或草稿纸上的一律无效;考完后试题随答题纸交回。

一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分) 1、C 2、D 3、A 4、D 5、A 6、D 7、B 8、A 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) 1、432234++++λλλλ 2、2. 3、2 4、0 5、 3 6、2 三、计算题(45分) 1、解:
(1)利用相似对角化。

由0E A λ-=,可得A 的特征值为1230,1,2λλλ==-=-,故0~12A ⎛⎫ ⎪
Λ=- ⎪ ⎪-⎝⎭. 当10λ=时,由(0)0E A x -=,取A 的属于特征值10λ=的特征向量为1322γ⎛⎫

= ⎪ ⎪⎝⎭;
当21λ=-时,由()0E A x --=,取A 的属于特征值21λ=-的特征向量为2110γ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭;
当32λ=-时,由(2)0E A x --=,取A 的属于特征值32λ=-的特征向量为3120γ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
.
(3分)
设123311(,,)212200P γγγ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,由1012P AP -⎛⎫ ⎪=Λ=- ⎪
⎪-⎝⎭
可得1
A P P -=Λ,99991A P P -=Λ, (4分)
100B ⇒99
1001221220--。

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