金属丝弹性模量的测定

光的衍射和干涉法测金属丝的弹性模量
作者：边辉
（青岛科技大学化学与分子工程学院应用化学104班）
摘要：测量金属丝的弹性模量分为静态法和动态法，应用最普遍的是利用光杠杆原理测量金属丝的细微变化，从而计算出杨氏弹性模量。

同样是拉伸法，我们对测量金属丝微小变化的方法和装置进行改进，分别利用光的衍射中单缝的改变和劈尖干涉中空气层的厚度来完成对细微变化的测量，通过测量单缝衍射中央明条纹和劈尖干涉中相邻明（暗）条纹的距离计算出金属丝长度的改变量，从而计算出杨氏弹性模量。

关键词：弹性模量；单缝衍射；劈尖干涉
引言：我们在用拉伸法测金属丝的弹性模量时，利用光杠杆测量金属丝在砝码带动下发生的细微变化，可以得到比较理想的实验结果。

但是，寻找变化的过程很麻烦，需要两个人密切合作，而且采用厘米刻度尺来测量，引入误差较大。

我们改进后的方案可以同时克服这两个弊端，使读数再精确一位。

改进前的方案
【实验原理】
（1）弹性模量
任何固体在外力作用下都要发生形变。

当外力撤除后物体能够完全恢复原状的形变称为弹性形变。

如果加在物体上的外力过大，以致外力撤除后物体不能完全恢复原状而留下剩余形变，称为范性形变。

设钢丝截面积为S，长为L，在外力F作用下拉伸长度ΔL。

根据胡克定律，在弹性限度
内，应力F
S
与应变
ΔL
L
成正比，即
F
S
=EΔL
L
(1-1)
式中，比例系数E就是材料的杨氏弹性模量，简称弹性模量，它表征材料本身的性质，E越大的材料要使它发生一定的应变所需的单位横截面上的力也就越大。

由式（1-1）可得
E=FL
SΔL = 4FL
πd2ΔL
（1-2）
式中，d为钢丝直径，在式(1-2)中，F、d、L都比较容易测量，而伸长量ΔL由于很小，很难由普通测量长度仪器测出，本实验利用光杠杆法来测量。

（2）光杠杆原理：
图2-2是弹性模量测量仪，左边是伸长仪，右边是镜尺组。

在金属丝下面是施加外力的砝码托盘，在平台上是一个放置一个有三足尖的反射镜（光杠杆），其后足尖位于夹持件上，而前足尖置于平台的沟槽里，当托盘里增加砝码时，就可以改变反射镜的倾角。

光杠杆如图2-1所示，光杠杆是一个三足（f1、f2、f3）支架，上面有可转动的平面镜，前两足与镜面平行，后足与圆柱夹头接触（圆柱夹头能随金属丝的伸缩而上下移动）。

如果在测量之前，将反射镜的镜面调成与望远镜垂直，即望远镜中能看到直尺的反射像。

当加砝码时，由于金属丝被拉长，夹持件下降，而导致光杠杆后足下降一段距离ΔL（即金属丝的伸长量），同时镜面转过微小角度θ，此时可以从望远镜中看到直尺的反射像，由几何关系可得
θ≈tanθ=ΔL
D
2θ≈tan2θ=ΔH
R
即
ΔL=ΔHD
2R
（2-1）
式中，R为镜尺间距离，D为光杠杆的杆长，将其带入式（1-2）中得出
E=8FLR
πd2DΔH
(2-2)
如果长度单位采用m，力的单位采用N，则E的单位为Pa。

图2-1光杠杆镜及测量原理
图2-2弹性模量测量仪
【实验仪器】
弹性模量测量仪、砝码、螺旋测微计和米尺等
【实验方法】
1 用水平仪把弹性模量测量仪调成铅直。

2 在金属丝下端挂上砝码盘使金属丝拉直。

3 将光杠杆放在小平台上（前足尖置于沟槽内，后足尖放在小圆柱上，但不能碰到金属丝），将望远镜调成大致与反射镜面中心等高。

4 调整望远镜的目镜，使能清楚看到十字叉丝并可转动镜筒使叉丝横平竖直。

5 旋转望远镜调焦手轮直至从望远镜中清楚看到标尺刻度为止。

为了调节方便可将眼睛位于望远镜上方，顺着望远镜方向观察，直到反射镜内出现标尺的像。

6 调节反射镜面的仰角，使其尽量铅直并记下标尺的读数，填入表2-1中。

7 每次增加一个砝码（1Kg），记下相应标尺的读数，再依次减一个砝码记下标尺的读数。

8 在金属丝的不同位置测量直径，记录相应的数据，计入表2-2中。

9 测量金属丝的长度L，镜尺间距离R，光杠杆长度D，其中D可以这样测量;在纸上压出三足尖的位置，用做垂线的方法量出长度。

L=______mm,R=_______mm,D=_______mm
【数据处理】
表2-1 弹性模量测量数据表
表2-2金属丝的直径
1 将直径测得值取算术平均值，并算出误差Δd。

2 用逐差法求出ΔH及误差。

为减小误差，充分利用实验数据，将数据分为两组，H1、H2、H3、H4和H5、H6、H7、H8，然后对应相减再求平均。

ΔH=（H5−H1）+（H6−H2）+（H7−H3）+（H8−H4）
4
式中，ΔH为增重4千克的平均值。

3 将数据带入(2-2)，求出E的大小（暂不定位数）。

4 本实验中，用米尺测量L 和R 的误差限ΔL =ΔR ≈0.05cm ；用游标卡尺测量D 的误差
限ΔD
≈0.02mm ；用千分尺测量d 的误差限Δd ≈0.005cm ；标尺读数差的平均误差
Δ（Δn ）≈0.03cm 。

对各项分误差的估算可知，∆L L
、
∆R R
、和
∆D D
仅为千分之几；
2Δd d
和
Δ（Δn ）Δn
达到百分之几，所以，测量误差主要来源于标尺读数差和金属丝直径的测量。

根据ΔE/E≈
2Δd d +
Δ（Δn ）Δn
，求出E 的相对误差。

5 由ΔE=E×ΔE E
求绝对误差，定出ΔE 的位数。

6 依ΔE 的位数，定出E 的位数。

7 结果写成“E±ΔE （单位）”的形式。

改进后的方案
【实验原理】 （1）弹性模量
任何固体在外力作用下都要发生形变。

当外力撤除后物体能够完全恢复原状的形变称为弹性形变。

如果加在物体上的外力过大，以致外力撤除后物体不能完全恢复原状而留下剩余形变，称为范性形变。

设钢丝截面积为S ，长为L ，在外力F 作用下拉伸长度ΔL 。

根据胡克定律，在弹性限度内，应力 F
S 与应变
ΔL L
成正比，即
F S
=E
ΔL L
(1-1)
式中，比例系数E 就是材料的杨氏弹性模量，简称弹性模量，它表征材料本身的性质，E 越大的材料要使它发生一定的应变所需的单位横截面上的力也就越大。

由式（1-1）可得
E=
FL S ΔL
=
4FL
πd 2ΔL
（1-2）
式中，d 为钢丝直径，在式(1-2)中，F 、d 、L 都比较容易测量，而伸长量ΔL 由于很小，很难由普通测量长度仪器测出，本实验利用单缝衍射和劈尖干涉法来测量。

（2）单缝衍射原理
改进后的实验装置是在伸长仪下端托盘上固定一个切片，在底座上也固定一个切片，两个切片组成一个单缝，宽度为b，两个切片前面是一个可发射恒定波长光的光源，后方放置一个带有刻度的接收屏。

当托盘里加减砝码时，金属丝长度发生微小改变，从而改变单缝的宽度。

波长恒定的光照射单缝时，光会发生衍射，随着单缝宽度的改变，接收屏上将显示不同宽度的中央明条纹，根据中央明条纹宽度即可直接计算出单缝的宽度，进而计算出金属丝长度的改变量。

图2-1 单缝衍射的原理图
由图中几何关系可求出单缝的宽度。

通常衍射角θ很小，sinθ≈θ，则条纹在屏上距中心Ο的距离x可写为
x＝θf
第一级暗条纹距中心Ο的距离
x1=θf=λf
b
所以中间条纹的宽度
l0=2x1=2λf
b
则单缝的宽度
b=2λf
l0
图2-2 单缝衍射中明条纹的变化则金属丝长度的改变量
ΔL=|b1-b2|=2λf|1
l1-1
l2
|=2λf|l2−l1|
l1l2
(2-1)
将（2-1）代入（1-2）得
E=4FL
πd2ΔL =2FLl1l2
πλd2|l2−l1|
(2-2)
图2-3改进后的实验装置
(3)劈尖干涉原理
将两块光滑平整的玻璃板平放在一起，中间不留空隙。

下玻璃板固定，上玻璃板通过细线和轻质定滑轮与托盘相连，当托盘内加减砝码时，托盘的移动带动上玻璃板上下移动，从而上下两玻璃板和中间空气组成一个劈尖，金属丝长度在加减砝码时发生的改变量ΔL即为上玻璃板被拉起的高度D的改变量Δd。

当有波长为λ的光从上面垂直照射时，光会发生干涉，从而形成明暗相间的条纹，在显微镜下测量这些明暗条纹之间的距离，就可以计算出劈尖的高度，也就可以计算出金属丝长度的改变量ΔL。

图3-1 劈尖干涉
由于金属丝的改变量很小，所以劈尖的角度θ很小，若相邻两明（暗）条纹的距离为b，玻璃的长度为l，空气的折射率为n，则有
θ≈D
l ，θ≈
λn
2b
玻璃板升起的高度
D= lλn
2b =λl
2nb
（3-1）
其中λn为光在空气中的波长。

金属丝的变化量
Δd=D2-D1=|λl
2nb2−λl
2nb1
|=λl
2n
|b1−b2
b1b2
|
将（3-1）代入（1-2）得
E=4FL
πd2ΔL =8nbFL
πλld2
=
8nb2b1FL
πλld2 |b1−b2|
（3-2）
图3-2 劈尖干涉实验装置
【实验仪器】
弹性模量测试仪、砝码、螺旋测微计、米尺、读数显微镜、光滑玻璃板、光源等
【实验方法】
一、单缝衍射法
1 用水平仪把弹性模量测量仪调成铅直，安装并固定两个切片，使组成单缝。

2 在金属丝下端挂上砝码盘使金属丝拉直。

3 打开光源，垂直照向单缝，观察中央明条纹，读取其宽度大小并计入表2-1
4 每次增加一个砝码（1Kg），记下相应中央明条纹的宽度，再依次减一个砝码记下中央明条纹的宽度。

5 在金属丝的不同位置测量直径，记录相应的数据，计入表2-2中。

二、劈尖干涉法
1 用水平仪把弹性模量测量仪调成铅直。

2 在金属丝下端挂上砝码盘使金属丝拉直。

3 在玻璃板中插入一段细丝，调节显微镜的目镜、物镜、物距、反射镜的角度及光源高度，使干涉条纹清晰无视差。

4 用一根细线通过定滑轮将托盘和上玻璃板相连，下端玻璃板固定，使组成劈尖。

5 调节显微镜及劈尖方位，旋转读数显微镜鼓轮，使叉丝走向与条纹垂直。

6每次增加一个砝码（1Kg），测出10条条纹的宽度并记入表3-1中，用逐差法计算出干涉条纹间距的变化量，再依次减一个砝码进行上述操作
7在金属丝的不同位置测量直径，同时测量玻璃板长度，记录相应的数据
【数据处理】 一、单缝衍射法
表2-1 弹性模量数据记录表
表2-2金属丝的直径
1 将直径测得值取算术平均值，并算出误差Δd 。

2将数据带入(2-2)，求出E 的大小（暂不定位数）。

3 本实验中，用米尺测量L 的误差限ΔL ≈0.05cm ；用游标卡尺测量l 的误差限ΔD ≈0.02mm ；用千分尺测量d 的误差限Δd ≈0.005cm 。

对各项分误差的估算可知，ΔL L
、
ΔD D
仅为千分之几；
2Δd d
达到百分之几，所以，测量误差主要来源于金属丝直径的测量。

根据
ΔE
E
≈
2Δd d
，求出E 的相对误差。

4 由ΔE=E×
ΔE E
求绝对误差，定出ΔE 的位数。

5 依ΔE 的位数，定出E 的位数。

6 结果写成“E±ΔE （单位）”的形式。

二、劈尖干涉法
表3-1测量干涉条纹的间距
表3-2金属丝的直径
表3-3 测量玻璃板的长度
1 将直径测得值和玻璃板长度测量值分别取算术平均值，并算出误差Δd 和Δl 。

2求出干涉条纹的间距b ，并计算出其所对应的劈尖高度D ，用逐差法计算出金属丝的改变量Δd 。

3 将数据带入(2-2)，求出E 的大小（暂不定位数）。

4 本实验中，用米尺测量L 的误差限ΔL
≈0.05cm ；用千分尺测量d 的误差限
Δd ≈0.005cm ；对各项分误差的估算可知，
ΔL L 仅为千分之几；
2Δd d
达到百分之几，所以，
测量误差主要来源于金属丝直径的测量。

根据ΔE
E
≈
2Δd d
，求出E 的相对误差。

5 由ΔE=E×
ΔE E
求绝对误差，定出ΔE 的位数。

6 依ΔE的位数，定出E的位数。

7 结果写成“E±ΔE（单位）”的形式。

参考文献：
1 东南大学，马文蔚.物理学下册.北京.高等教育出版社.1999.
2 葛松华，唐亚明.大学物理基础实验.北京.化学工业出版社.2008.
3 刘爱红，刘岚岚，赵红娥.大学物理能力训练与知识拓展.北京.科学出版社.2004
4 李平舟，陈秀华，吴兴林.大学物理实验.西安.西安电子科技大学出版社.2002.
5 梁铨延.物理光学.北京.电子工业出版社.2008。