数形结合的数学思想,初一数学数形结合难题经典例题讲解及答案解析
七年级数学思维探究(1)数形结合话数轴(含答案)
七年级数学思维探究数与代数刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出的地位，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产．刘徽钻研学术严谨、求实，讲究“析理以辞，解体用图”，他善于启发，主张“告往而知来，举一隅而三隅反”． 1．数形结合话数轴 解读课标1．数形结合话数轴数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来．在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法． 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在： 1．利用数轴形象地表示有理数； 2．利用数轴直观地解释相反数；3．利用数轴解决与绝对值有关的问题； 4．利用数轴比较有理数的大小． 问题例1（1）已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是_________．（2）已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________． 试一试 对于（1），赋值或借助数轴比较大小；对于（2）确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系．例2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是（ ） A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点试一试从寻找d 与a 的另一关系式入手．例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断a 与b 的大小．试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较a 与b 的大小．例4 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第一步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．DCBA试一试 设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、…、100K 点所表示的数用x 的式子表示．例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边． （1）求A 、B 两点所对应的数．（2）数轴上点A 以每秒1个单位长度出发向左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．（3）已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P （O 为原点)，在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 分析与解 对于（3），设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用t 的式子表示． （1）A 、B 两点所对应的数分别为8-，20； （2）C 点对应的数为22-； （3）AM t =，202102tOP t +==+（为什么？），则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变． 生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成12；12变成1；等等）．那么在线段AB上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和．分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．解：原图B A 78348123814181BA对折后拉长后对折后拉长后故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=． 数学冲浪 知识技能广场1．数轴上有A 、B 两点，若点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，则点B 对应的数是______．2．电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若A 、B 站台分别位于2-，1-处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“_________站台”．3．已知点A 、B 、P 在数轴上，点B 表示的数为6，8AB =，5AP =，那么点P 表示的数是_______．4．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． （1）圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =________；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周123858()1434()1878()0(1)38418121878()1434()3858()0(1)34121120141434()1878,38,58()01,12()1401201,12()1878,38,58()1434()121M109-1-2上数字1所对应的位置，这个整数是________（用含n 的代数式表示）．5．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是（）A ．0a b +>B ．0ab >C ．0a b +<D ．0a b ->6．文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处，小明以书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在（ ）A ．文具店B ．玩具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东60-米 7．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”、“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则（ ）A ．910x <<B ．1011x <<C ．1112x <<D ．1213x <<8．在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）A ． 1998B ．1999C ．2000D ．20019．一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）． 10．已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和． 思维方法天地11．在数轴上，点A 、B 分别表示13-和15，则线段AB 的中点所表示的数是______． 12．在数轴上，表示数22a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点M 与表示数33a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点N 关于原点对称，则a 的值为_______． 13．数形相伴 （1）如图所示，点A 、B 所代表的数分别为1-，2，在数轴上画出与A 、B 两点的距离和为5的点（并标上字母）．1ba 210-1-2x-3.6A B 043215-3-2-1（2）若数轴上点A 、B 所代表的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可表示为AB a b =-，那么，当127x x ++-=时，x =________；当125x x ++->时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在________．14．点A 、B 分别是数3-、12-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为''A B ，且线段''A B 的中点对应的数是3，则点'A 对应的数是_______，点A 移动的距离是________．15．点1A 、2A 、3A 、…、n A （n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11AO =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，……，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为（ ）A ．2008，2009-B ．2008-，2009C ．1004，1005-D ．1004，1004- 16．如图：，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点17．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，式子a b a b b c ++++-化简结果为（ ）A ．23a b c +-B ．3b c -C ．b c +D ．c b -18．不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上对应点分别为A 、B 、C ，若a b b c a c -+-=-，那么点B （ ）A ．在A 、C 点右边B ．在A 、C 点左边 C ．在A 、C 点之间D ．以上均有可能19．在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少？20．已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表24-、10-、10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，甲的速度为4个单位／秒． （1）问多少秒后甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位？（2）若乙的速度为6个单位／秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ （3）在（1）、（2）的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． 应用探究乐园 21．操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13，再把所得数对应的DCBAcb a点向右平移1个单位，得到点P 的对应点'P ．点A ，B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段''A B ，其中，点A ，B 的对应点分别为'A ，'B ．如图所示，若点A 表示的数是3-，则点'A 表示的数是_______；若点'B 表示的数是2，则点B 表示的数是________；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点'E 与点E 重合，则点E 表示的数是__________．22．一动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动，已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数（如44x =，55x =，64x =），求2011x 所对应的数．B'A -1-2-3-412341．数形结合话数轴 问题解决例1 （1）b a a b <-<<- （2）4或2或2-或4- 例2 B 由图知7d a -=，又210d a -=，得3a =-．例3 当点B 在原点的右边时，0b a <<，则a b >；当点A 在原点的左边时，0b a <<，则a b <；当点A 、B 分别在原点的右、左两侧时，0b a <<，这时无法比较a 与b 的大小关系；当点A 正好在原点位置时，0b a <=，则b a >；当点B 正好在原点位置时，0b a =<，则a b >．例4 30.06- 设0K 点表示的有理数为x ，则1K 、2K 、…、100K 点所表示的有理数分别为1x -，12x -+，123x -+-，…，123499100x -+-+-+，由题意得12349910019.94x -+-+-+=． 数学冲浪1．5-或1 2．113- 3．3或7-4．（1）2；（2）31n + 5．A 6．A 7．C 8．C 9．12349910050-+-++-=-，落点处与O 点距离为50个单位长． 10．12 11．115-AB 中点所表示的数是11123515⎛⎫-+÷=- ⎪⎝⎭12．6-13．（1）如图所示，点C 、D 两点即为所求． （2）3x =-或4；点C 的左边或点D 的右边．14．74；194 AB 长为()15322⎛⎫---= ⎪⎝⎭，'A 对应数为1573224-⨯=，点A 移动的距离为()719344--=． 15．C 16．C 17．C 18．C19． 24与40 20．（1）设x 秒后甲到A 、B 、C 距离和为40 ()102414---= ()101020--=．①当甲在A 、B 之间时 ()()41441442040x x x +-+-+=，得2x =． ②当甲在B 、C 之间时 ()()44142041440x x x +-+-+=，得5x =，即2秒或5秒后． （2）设x 秒后相遇()()461024x +=-- 1034x = 3.4x =．24 3.4410.4-+⨯=-，即在10.4-处相遇．（3）①设甲向C 走2秒后掉头返回x 秒与乙相遇 2442410266x x -+⨯-=+-⨯-，解得7x =． ∴()102661062106944x x -⨯-=-+=-⨯=-．D C B A 4321-1-2-3②设甲向C走5秒后掉头返回y秒与乙相遇2445410566y y-+⨯-=-⨯-，解得8y=-．∴不合题意，舍去．即甲、乙能在44-所表示的点处相遇．21．0；3；32．设E点表示的数为x，则'E点表示的数为113x+，由113x x=+得32x=．22．因201182513=⨯+，22513505⨯+=，故2011x所对应的数为505．。
数形结合思想在初中数学中的解题应用
数形结合思想在初中数学中的解题应用初中数学是学生转变学习方式的重要阶段，其中数形结合思想在解题过程中发挥着重要的作用。
数形结合思想是指通过几何形状和图形来解决数学问题，它能够帮助学生更好地理解抽象的数学概念，提高解题的效率和准确性。
本文将探讨数形结合思想在初中数学中的具体应用。
一、面积与周长的关系数形结合思想常常被用来解决与面积和周长相关的问题。
例如，给定一个矩形的周长为24厘米，问它的面积最大是多少？通过数形结合思想，我们可以设矩形的长为x厘米，宽为（24-x）/2厘米，然后利用矩形的面积公式（长乘以宽）求解。
这个例子清晰地展示了数形结合思想在解决面积和周长问题时的运用。
二、图形的相似性质数形结合思想还可以帮助我们研究图形的相似性质。
例如，两个三角形的高相等，我们能否得出它们的底的比例相等？通过数形结合思想，我们可以构建出两个相似的三角形，然后根据相似三角形的性质得出结论。
这个例子展示了数形结合思想在研究图形相似性质时的应用。
三、立体图形的体积计算除了平面图形，数形结合思想也可用于解决立体图形的体积计算问题。
例如，给定一个长方体的体积为216立方厘米，问其边长是多少？通过数形结合思想，我们可以设长方体的边长为x厘米，然后利用长方体的体积公式（长乘以宽乘以高）求解。
这个例子展示了数形结合思想在立体图形体积计算中的运用。
四、数据的统计分析数形结合思想还可用于数据的统计分析。
例如，在一组数据中，标准差较大是否意味着数据的波动性较大？通过数形结合思想，我们可以构建出一个以数据点为顶点的折线图，然后根据折线图的形状和曲线的趋势进行统计分析。
这个例子展示了数形结合思想在数据的分析和解读中的应用。
总结起来，数形结合思想在初中数学中具有广泛的应用。
它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题的效率和准确性。
通过数形结合思想，学生可以在解决面积与周长的关系、图形的相似性质、立体图形的体积计算以及数据的统计分析等方面取得更好的成绩。
巧用数形结合思想解答初中数学题
数学篇数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”的方法使复杂的问题简单化，抽象的数学问题直观化，从而达到优化解题途径、简化解题过程的目的.下面简单介绍数形结合思想在解题中的具体应用方法.一、运用数形结合思想解答数与式问题数与式是实践生活中抽象出来的数量关系.数形结合思想在解答数与式问题中的应用主要表现在数轴与实数的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.借助实数在数轴上的位置关系可以求解各类问题，比如去绝对值、比较大小、开根号等，从而把隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，达到快速有效解题的目的.例1实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图1所示，化简|a +b |-|c -b |的结果是（）.A.a +cB.-a -2b+cC.a +2b-cD.-a -c 0a cb 图1解：根据数轴知a 、c 都在原点0的左边，故而a <0且c <0，但c 离原点的距离比a 离原点的距离远，所以|a |<|c |，进而c <a <0；同理，b 在原点0的右侧，故而b >0.从数轴上可以看出b 点离原点0的距离比c 点还远，故而|b |>|c |.综合以上分析可知，c <a <0<-c <b .此时可以借助于数轴进一步明确a 、b 、c 三点及其相反数在数轴上的位置如图2所示，即-b <c <a <0<-a <-c <b .0a c b-a -c -b 图2据此数轴可以去绝对值如下：因为a <0,b >0且|b |>|a |，所以a +b >0，故|a +b |=a +b ，因为c -b =c +(-b )，c <0且-b <0，所以c -b <0，故而有|c -b |=b -c ，所以|a +b |-|c -b |=(b+a )-(b-c)=b+a -b+c=a +c.故选A 项.评注：对于选择题，我们可以借助数形结合思想给部分代数式或字母赋值，快速得到答案.对于解答题，我们可以多次利用数形结合的方法“正过来、逆过去”实现问题的简化，从而解题.二、运用数形结合思想解答方程与不等式问题解答方程与不等式问题需要较强的计算能力.当用代数方法求解比较繁杂时，可以利用数形结合思想将方程或不等式转化为几何问题，比如转化为交点问题、最大（小）值问题.利用几何图形的特征和直观性解题，可以使解题更便捷.例2方程组{y =2x -1,y =-x -1,的解是______.解：方程组的解一定都适合每一个方程，那么借助于数形结合思想来观察，方程组的解一定在每一条直线上，所以方程组的解一定是两直线的交点，即交点的坐标.将方程的图象在坐标系中表示出来，如图3所示，由图可知两条直线相较于点（0，-1），所以方程组的解就是{x =0，y =-1.例3若不等式组{3x +a <0，2x +7>4x -1，的解集为x <0，则a 的取值范围为（）.A.a >0B.a =0C.a >4D.a =4解：解不等式2x +7>4x -1得解集为x <4①.巧用数形结合思想解答初中数学题甘肃省张掖市山丹育才中学韩永年图3学思导引30数学篇化简不等式3x +a <0得x <-a 3②,借助数轴画出①的解集如图4：图4由题目条件知不等式组的解集为x <0，故不等式组的解集可以进一步细化，如图5所示：图5可以确定阴影部分的区域就是不等式3x +a <0的解集，所以x <-a 3与x <0是等价的.从而有-a 3=0，即a =0.所以选择B 项.评注：无论是方程（组）还是不等式（组），都可以借助数轴或直角坐标系实现数和形的转化.三、运用数形结合思想解答函数问题平面直角坐标系把有序实数对(x ,y )与点一一对应起来，使数与形有了统一.一个函数也就因此可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析函数的一些性质和特点.运用数形结合思想解答函数问题就要充分挖掘图象中的各种信息以及信息之间的内在联系，利用获取的信息解题.例4某班“数学兴趣小组”对函数y =x 2-2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x y ……-33-5254-2m -1-1001-120525433……直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出函数的两点性质.（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有个交点，所以对应的方程x 2-2|x |=0有个实数根；②方程x 2-2|x |=2有个实数根；③关于x 的方程x 2-2|x |=a 有4个实数根时，a 的取值范围是．图6图7解：（1）根据函数的对称性可得m =0，故答案为：0；（2）如图7所示；（3）由函数图象知：①函数y =x 2-2|x |的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x 轴有3个交点，所以对应的方程x 2-2|x |=0有3个实数根；②如图7，∵y =x 2-2|x |的图象与直线y =2有2个交点，∴x 2-2|x |=2有2个实数根；③由函数图象知：∵关于x 的方程x 2-2|x |=a 有4个实数根，∴a 的取值范围是-1＜a ＜0，故答案为：3，3，2，-1＜a ＜0．评注：本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质.正确的识别图象并根据题意画出图形，利用数形结合思想解题是关键．“数形结合”有两个方面，即“以形助数”或“以数解形”.我们不可以偏废其一，要灵活掌握数形之间互化的方法.既要学会让图说学思导引。
七年级上册数形结合思想的应用
运用数学思想方法来解题――数形结合思想一、数形结合思想(一)、利用数轴（规定了原点、单位长度、正方向的直线）这一图形来解有关“有理数”的题目。
(1)绝对值： 从图形上可明显看出：2-，就是线段ＯＡ的长度２，即22=-3就是线段ＯＢ的长度，即33= 例题：1、数轴上与O 的距离等于2个单位的点表示的数是 （ ）A. 0和2B. －1和2C. －1和3D. －2和22、绝对值等于8的数是 （ ）A . 8 B. -8 C. 8或 -8 D. 不能确定方法：通过在草稿纸上画出简单的数轴图形，就知道应有两个数。
(2)相反数：如上图，两个数互为相反数，在数轴上表现为与原点距离相等（其中只有0的相反数是它本身）。
在数本身的特点上，体现为只有符号不同。
1、-5的相反数是 ，2-的相反数是2、一个数在数轴上表示的点距原点2.8个单位长度，且在原点的左边，则这个数的相反数是_____，绝对值是_____．方法：简单画出数轴。
(3)有理数的分类及大小比较：如上图，在数轴上可以看出：①原点0右边的都是正数，0左边的都是负数，而0是分界点。
这样数可分为：正数，0，负数三类。
数轴上右边的数大于左边的数。
②在数轴上一般标记出来的是整数，而分数（小数）一般没标记出来。
有理数第二分类方法：整数、分数。
大小比较：还是数轴上右边的数大于左边的数。
比较 32- 43-，－ _____－ ， |－2．5| _____－ 的大小 方法：画出数轴，观察数轴上负数在原点左边分布特点。
(4)有理数加减法运算：1、线段的加减作图法：如图： ①作一条线段，使它与AB+CDA 213221A B相等。
方法：如图，在直线上顺次连续作出线段AB 、CD ，线段AD=AB+CD②作一条线段，使它与AB-CD 相等。
方法：如上图，在直线上作出线段AB ，在AB 的内部作出AD=CD ，则DB=AB-CD 。
2、有理数的加减：根据数形结合的思想，实质就是在数轴上进行的线段的加试着利用以上数轴图，解释有理数加法（加上一个正数，从该数右边继续画一条线段，若加上一个负数，从这个数左边画一条线段，得到结果）试解释：2+3=_____ －2+3=____ 4+(－6)=____ －2+(－3)=____ 并因此归纳出加法法则：______________________________________________________________________________________________练习：1、用“＜ ”、“＞”或“＝”连接：（1）－2 ＋6 ； （2） 0 －1.8 ； （3）23-_____ 45- 2、如图所示，点M 表示的数是（ ）A. 2.5B. -15.C. -25.D. 1.53、在一条东西向的跑道上，小亮先向东走了8米，记作“＋8米”，又向西走了10米，此时他的位置可记作（ ）。
七年级数学思维探究(一)数形结合话数轴(含答案).doc
数与代数刘徽(生于公元250年左右)，是中国数学史上伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出的地位，他的杰作《九章算术注》和《海胡算经》是我国最宝贵的数学遗产.刘徽钻研学术严谨、求实，讲究“析理以辞，解体用图”，他善于启发，主张“告往而知来，举一隅而三隅反”.1.数形结合话数轴解读课标1.数形结合话数轴数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起來.在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法.运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：1.利用数轴形象地表示有理数；2.利用数轴直观地解释相反数；3.利用数轴解决与绝对值有关的问题；4.利用数轴比较有理数的大小.问题例1 (1)己知b为有理数，且a>0, , a + b<0 f将四个数b、-Q、-b按由小到大的顺序排列是_________ .(2)已知数轴上有A、B两点,A、B之I'可的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么点B对应的数是.试一试对于(1),赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定4、3两点在数轴上的位置，充分考虑A、B两点的多种位置关系.例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、〃，且〃-2° = 10,那么数轴的原点应是()A. A点B. B点C. C点D. D点-A 13 c IT试一试从寻找d与0的另一关系式入手.例3已知两数0、b,如果。
比b大，试判断问与问的大小.试一试因b符号未定，故。
比b大有多种情形，借助数轴可直观全面比较问与问的大小.例4电子跳蚤落在数轴上的某点K。
，第一步从K。
向左跳1个单位到龟，第一步由人向右跳2个单位到心，第三步由心向左跳3个单位到心，第四步由心向右跳4个单位到心，……,按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点心。
数形结合思想例题分析演示教学
数形结合思想例题分析数形结合思想例题分析一、构造几何图形解决代数与三角问题： 1、证明恒等式：例1 已知x 、y 、z 、r 均为正数，且222,x y z +=2z x = 求证：.rz xy =分析：由222,x y z +=自然联想到勾股定理。
由2.z x ⋅=可以联想到射影定理。
从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。
对照图形，由直角三角形面积的两种算法，结论的正确性一目了然。
证明：（略）小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2、证明不等式：例2 已知：0＜a ＜1，0＜b ＜1. 求证+++≥证明：如图，作边长为1的正方形ABCD ，在AB 上取点E ，使AE=a ；在AD 上取点G ，使AG=b ，过E 、G 分别作EF//AD 交CD 于F ；作GH//AB 交BC 于H 。
设EF 与GH 交于点O ，连接AO 、BO 、CO 、DO 、AC 、BD.由题设及作图知△AOG 、△BOE 、△COF 、△DOG 均为直角三角形，因此BACxyzr22OA a b =+22(1)OB a b =-+22(1)(1)OC a b =-+-22(1)OD a b =+-且 2ACBD ==由于 ,.OA OC AC OB OD BD +≥+≥ 所以：22222222(1)(1)(1)(1)2 2.a b a b a b a b ++-+++-+-+-≥当且仅当12a b ==时，等号成立。
小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。
3、求参数的值或参数的取值范围：例3 若方程2210ax x -+= （a ＞0）的两根满足：1x ＜1，1＜2x ＜3，求a的取值范围。
解析：画出与方程对应的二次函数221y ax x =-+ （a ＞0）的草图：0123xy0123y由图可知：当x =1时，y ＜0； 当x =3时，y ＞0.即 21211a ⨯-⨯+＜0 ； 23231a ⨯-⨯+＞0.解得：59＜a ＜1.例4 若关于x 的不等式2021x mx ≤++≤ 的解集仅有一个元素，求m 的值。
专题复习数形结合(含答案)
专题复习三数形结合I、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离＂．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．II、典型例题剖析例1.某公司推销一种产品，设X(件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，图3—3—1巳表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求Y1与Y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？Y<兀）Y1 Y2-。
2。
」600500400300200100解：(1) y1=20x,y2=10x+300. 图3-3-1(2) Y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，Y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择Yi的付费方案；否则，选择Y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的．例2.某农场种植一种蔬菜，销售员平根据往年的销售t每于克销售价（元）情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测 5情况如图3—3—2,图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：(1)请提供四条信息；(2)不必求函数的解析．解：(1) 2月份每千克销售价是3.5元；7对月份每千克销售价是0.5元；(3) 1月到7月的销售价逐月下降；(4) 7月到12月的销售价逐月上升；4321o I 1 2 3 4 5 6 7 s 9 10 11 12月份图3-3-2(5) 2月与7月的销售差价是每千克3元；(6) 7月份销售价最低，1月份销售价最高；(7) 6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月，2月与12月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．例3.某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3—3—3所示的条形统计图：个单位：人2000(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；(2)请根据条形统计图中的数据补全如图3—3—4所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻，并说明这两福统计图各有什么特点？图3-3-3(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。
初一数形结合的典型例题
初一数形结合的典型例题
例题1，一个正方形的边长为5cm，求它的周长和面积。
解答，正方形的周长等于四条边的长度之和，即周长 = 5cm +
5cm + 5cm + 5cm = 20cm。
正方形的面积等于边长的平方，即面积
= 5cm × 5cm = 25cm²。
例题2，一个长方形的长为12m，宽为8m，求它的周长和面积。
解答，长方形的周长等于两倍的长加两倍的宽，即周长= 2 × 12m + 2 × 8m = 40m。
长方形的面积等于长乘以宽，即面积 = 12m × 8m = 96m²。
例题3，一个圆的半径为3cm，求它的周长和面积（取π ≈
3.14）。
解答，圆的周长等于2πr，其中r为半径，即周长= 2 ×
3.14 × 3cm ≈ 18.84cm。
圆的面积等于πr²，即面积 = 3.14
× 3cm × 3cm ≈ 28.26cm²。
例题4，一个三角形的底边长为6cm，高为4cm，求它的面积。
解答，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = 6cm × 4cm ÷ 2 = 12cm²。
这些例题涵盖了常见的数形结合题型，通过计算周长和面积，能够帮助我们理解几何形状的特征和计算方法。
当然，在实际应用中，还有更多复杂的数形结合问题需要解决，但这些例题可以作为初步的练习和基础知识的巩固。
希望这些例题能对你有所帮助。
专题02 数形结合思想(解析版)
专题02 数形结合思想思想方法诠释数形结合思想：是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维.【典例讲解】要点一利用数形结合思想研究函数的零点、方程的根、图象的交点问题[解析](1)函数f(x)＝ln x－x－a的零点，即关于x的方程ln x－x－a＝0的实根，将方程ln x－x－a＝0化为方程ln x＝x＋a，令y1＝ln x，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝ln x相切时有a＝－1，如图所示，若关于x的方程ln x－x－a＝0有两个不同的实根，则实数a的取值范围是(－∞，－1)．故选B.(2)方程1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解等价于函数y ＝1x ＋2与y ＝a |x |的图象有三个不同的交点．在同一直角坐标系中作出函数y ＝1x ＋2与y ＝a |x |的图象，如图所示，由图易知，a >0.当－2<x <0时，设函数y ＝a |x |＝－ax 的图象与函数f (x )＝1x ＋2的图象相切于点(x 0，y 0)，因为f ′(x 0)＝－1(x 0＋2)2，则有⎩⎨⎧y 0＝－ax 0，y 0＝1x 0＋2，1(x 0＋2)2＝a ，解得a ＝1，所以实数a 的取值范围为(1，＋∞)，故选C.[答案] (1)B (2)C利用数形结合求方程解、函数零点问题的2个注意点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．【训练】1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．[解析]作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.[答案](3，＋∞)【训练】2．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．[解析]如图所示，由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1,0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．[答案][－1,1]要点二 利用数形结合思想解决最值问题[解析] (1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，平移直线y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选择A.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6，故选B. [答案] (1)A (2)B利用数形结合思想解决最值问题的3点思路(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解． (2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解．(3)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．【训练】3．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( )A ．－1B ．－52＋17 C.13 D ．－75[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r ＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，表示可行域内的点与点P (－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k＝0(舍去)，所以z min ＝1－125＝－75.故选D.[答案] D【训练】4．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．[解析] 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部， 如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)， 代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的抛物线上的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12，故填⎝⎛⎭⎫－2，12.[答案] ⎝⎛⎭⎫－2，12 要点三 利用数形结合思想解决不等式、参数问题[解析] (1)曲线方程可转化为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的下半圆，如图，依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时，圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 的距离等于2，∴|2－3＋b |2＝2，解得b ＝1＋22或b ＝1－22，因为是下半圆，所以b ＝1－22；当直线过(0,3)时，可得b ＝3，所以1－22≤b ≤3.故选C.(2)对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|. 因为f (x )的草图如图所示，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13 x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.[答案] (1)C ⎝⎛⎦⎤－∞，34∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞利用数形结合思想解不等式或求参数范围问题的技巧求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．【训练】5．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．[－1,0)C ．(－2,0)D ．[－2,0)[解析] 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．[答案] A【训练】6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≤0，sinπx ，x >0，若f (x )－ax ≥－1，则实数a 的取值范围是________．[解析] 依题意得f (x )≥ax －1.在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝f (x )与y ＝ax －1(该直线过定点(0，－1)、斜率为a )的图象，如图所示．设直线y ＝ax －1与曲线y ＝x 2－4x (x ≤0)相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0－4，x 0≤0，x 20－4x 0＝ax 0－1，解得x 0＝－1，a ＝－6.结合图形可知，实数a 的取值范围是[－6,0]． [答案] [－6,0] 【思想方法总结】运用数形结合思想分析解决问题的三原则 1．等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．2．双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．3．简单性原则找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．【强化训练】 一、选择题1．方程sinπx ＝x4的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 在同一平面直角坐标系中画出y 1＝sinπx 和y 2＝x 4的图象，如右图：观察图象可知y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，再加上原点，共7个交点，所以方程sinπx ＝x4有7个解，故选C.[答案] C2．若实数x ，y 满足等式x 2＋y 2＝1，那么yx －2的最大值为( )A.12B.33C.32D. 3[解析] 设k ＝y x －2，如图所示，k PB ＝tan ∠OPB ＝122－12＝33，k P A ＝－tan ∠OP A ＝－33， 且k P A ≤k ≤k PB ，∴k max ＝33，故选B. [答案] B3．若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．k ＝±2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1)[解析] 令y 1＝x ＋k ，y 2＝1－x 2，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)． 作出图象如图：而y 1＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1，故选D.[答案] D4．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)[解析] 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝⎛⎭⎫12，1，故选B.[答案] B5．若方程x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则ba的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－2，－12 D ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ [解析] 由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一个根大于1.设f (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b >0，2a ＋b ＋3<0.作出可行域如图中阴影部分所示．ba 可以看作可行域内的点(a ，b )与原点O (0,0)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a ＋b ＋1＝0可解得A (－2,1)，过点A 、O 作l 1，过点O 作平行于直线2a ＋b ＋3＝0的直线l 2，易知kl 2<b a <kl 1，又kl 1＝－12，kl 2＝－2，∴－2<b a <－12.故选C.[答案] C6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1][解析] 设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →| ＝(x －1)2＋(y ＋3)2.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离(如图)，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1，故选D.[答案] D 二、填空题7．已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．[解析] 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)． [答案] (－1,0)∪(0,1)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．[解析] 画出函数f (x )的图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，由图象易知k ∈⎝⎛⎭⎫34，1.[答案] ⎝⎛⎭⎫34，19．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．[解析] 由题意可得⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图所示．作出直线a 1＋3d ＝0，经平移可知当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内点A (1,1)时，截距最大，此时a 4取最大值4.[答案] 4 三、解答题10．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实数α、β.(1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．[解] (1)原方程可化为sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝－a2， 作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈(0,2π))的图象． 由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎨⎧－1<－a2<1，－a 2≠32，即－2<a <－3或－3<a <2.(2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π6，所以α＋β2＝7π6，所以α＋β＝7π3.当－2<a <－3，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫32，1时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象有两交点A 、B ， 由对称性知，α＋β2＝π6，所以α＋β＝π3，综上所述，α＋β＝π3或7π3.11．已知圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，求PE →·PF →的最小值．[解] 由题意，可知圆心M 的坐标为(2＋5cos θ，5sin θ)，由此可知圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25， 如图，经分析可知，只有当P 在线段MC 上时，才能够使PE →·PF →最小，此时PC ＝4，又Rt △PEC 中，EC ＝2，则PE ＝23，∠EPC ＝30°，∴PF ＝PE ＝23，∠EPF ＝2∠EPC ＝2×30°＝60°，故(PE →·PF →)min ＝(23)2×cos60°＝6.12.右面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是2，从外到内，第n 个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为S n (n ∈N *)．(1)证明：S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)； (2)证明：S 1＋S 2＋…＋S n <8－2π.[证明] (1)设第n (n ∈N *)个正方形的边长为a n ，则其内切圆半径为a n 2，第n ＋1个正方形的边长为22a n ，其内切圆半径为24a n ，所以S n ＝a 2n －π⎝⎛⎭⎫a n 22＝a 2n ⎝⎛⎭⎫1－π4 (n ∈N *)， S n ＋1＝⎝⎛⎭⎫22a n 2－π⎝⎛⎭⎫24a n 2＝a 2n ⎝⎛⎭⎫12－π8＝12S n (n ∈N *)．所以S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S 1＝22×⎝⎛⎭⎫1－π4＝4－π，S 2＝2－π2，…，S n ＝(4－π)⎝⎛⎭⎫12n －1，所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(4－π)×⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＝(4－π)×1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝(8－2π)⎝⎛⎭⎫1－12n <8－2π.。
数学总复习之数学思想《数形结合》
数学总复习之数学思想《数形结合思想》一、要点：数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
题型一数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式解集的问题中的应用【例题1】已知函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时， f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是 ；A ．5B ．7C ．9D ．10题型二 数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用【例题2】若关于x 的方程x x m 245-+=||有四个不相等的实根，求m 的取值范围．题型三 数形结合思想在向量中的应用【例题3】设,a b 是非零向量，且2a =，22a b +=，则a b b ++的最大值是 ．题型三 数形结合思想在求最值中的应用【例题4】设{}2()min 24,1,53f x x x x =++-，则max ()f x = ．二、课后作业1. 方程lg sin x x =的实根的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 函数y a x y x a ==+||与的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()1，+∞B. ()-11，C. (][)-∞-+∞，，11D. ()()-∞-+∞，，11 3. 设命题甲：03<<x ，命题乙：||x -<14，则甲是乙成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 不充分也不必要条件4．设函数,021(),0x x f x x x -≤⎧-=⎨>⎩，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是 ( )A.(-1,1)B.(-1，+∞)C.(-∞，-2)∪(0，+∞)D.(-∞，-1)∪(1，+∞)5．已知集合A={}{}|23,|14x x B x x x -≤≤=<->或,则集合A B =_________.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为___________.7．设全集U ＝{x |0＜x ≤10，x ∈N*}，若A ∩B ＝{3}，A ∩ðU B ＝{1，5，7}，ðU A ∩ðU B ＝{9}，求A ，B ．8．已知实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积；(2)b －2a －1的取值范围；(3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．。
方法技巧专题32 数形结合(解析版)
方法技巧专题32 数形结合 解析篇【一】函数图象数形结合法1.例题【例1】设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为2π的偶函数，)(x f '是)(x f 的导函数．当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，0)(2>'-x f x ）（π.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．8【解析】∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴当x ∈[－3π，3π]时，0≤f (x )≤1. ∵当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎫x －π2f ′(x )>0，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )为单调减函数； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，f (x )为单调增函数， ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f (x )的草图如图，由图知y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C.【例2】在R 上定义的函数()f x 是偶函数,且()(2)f x f x =-,若()f x 在区间[12]，上是减函数,则()f xＡ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数 【解析】 f （x ）= f （－x ）= f （2－x ），故f （x ）的草图如图：由图可知，B 正确。
2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解之和为( ) A ．－7 B ．－6 C ．－3 D ．－1答案 A【解析】因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设7个解中x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A.【练习2】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x ＞0)，若方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)答案 C【解析】函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x ＞0)的图象如图所示，当a<1时，函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．【二】几何意义数形结合法—线性规划问题1.例题【例1】如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx 的最大值为( )A.12B.33C.32D.3【解析】方程(x －2)2＋y 2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径为r ＝3(如图)，而yx ＝y －0x －0则表示圆M 上的点A (x ，y )与坐标原点O (0，0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A 在以M (2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值． 由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线OA 与圆M 相切时，OA 的斜率最大， 此时OM ＝2，AM ＝3，OA ⊥AM ，则OA ＝OM 2－AM 2＝1，tan ∠AOM ＝AMOA ＝3，故yx 的最大值为3，故选D. 答案 D【例2】已知实数x ，y 满足不等式组2435y x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z=y ﹣mx 取得最大值时有唯一的最优解（1，3），则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣1 B ．0＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．m≥1【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，由z=y -mx ,得y=mx+z ,即直线的截距最大，z 也最大 当m=0,此时y=z ,不滴足条件；当m>0,直线y=mx+z 的斜率k=m>0,要使目标函数最大时有唯一的最优解（1，3）， 则直线y=mx+z 的斜率m>1当m<0,目标函数y=mx+z 的斜率k=m<0,不滿足題意. 综上，m>1.故选：C.:2.【练习1】设点P (x ，y )满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+110103y x y x y x ，则y x －x y的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－32，32C.⎣⎡⎦⎤－32，1 D ．[－1,1] 答案 B【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝y x ，f (t )＝t －1t ，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －xy的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，32.【练习2】若函数f （x ）=x 2+ax+2b 在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，则31a b a +--的取值范围是 A ．（14，1） B ．（34，32） C ．（14，54） D ．（54，2） 【答案】D【解析】∵函数f （x ）=x 2+ax+2b 在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，∴(0)20(1)120(2)4220f b f a b f a b =>⎧⎪=++<⎨⎪=++>⎩，求得012020b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩， 它所表示的区域为△ABC 内的部分，【三】圆锥曲线数形结合法1.例题【例1】已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)【解析】点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x 得x 0＝14，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1，故选A. 1.圆锥曲线数形结合法：是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点： ①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等；②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解；③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．2.破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种： ①通过数形结合建立相应的关系式；②通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．答案 A【例2】设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D.5 答案 D【解析】如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点， 所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a .又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝4a .在Rt △F 1PF 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2，即e ＝ca ＝ 5.2.巩固提升综合练习【练习1】已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－2，12 【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12.【练习2】如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为y ＝﹣1，圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2， ∴|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ， ∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3，∵1＜y B ＜3，∴三角形ABF 的周长的取值范围是（4，6）．【四】数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用1.例题【例1】函数f (x )＝2x －1x 的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B【解析】在同一平面直角坐标系下，作出函数y 1＝2x 和y 2＝1x 的图象，如图所示.函数f (x )＝2x －1x 的零点个数等价于2x ＝1x 的根的个数， 等价于函数y 1＝2x 和y 2＝1x 图象的交点个数. 由图可知只有一个交点，所以有一个零点.故选B. 【例2】方程lgx = sinx 的实根的个数为 （ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】画出y = lgx 和y = sinx 在同一坐标系中的图象，如图所示，两函数图象有3个交点，选C.2.巩固提升综合练习【练习1】若关于x 的方程||x x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎫14，＋∞由图可得0<1k <4， 解得k >14.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 【练习2】已知函数f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎭⎫14，1e【解析】画出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，要使直线y ＝ax 与函数f (x )有两个交点，当y ＝ax 与y＝x 4＋1平行时，显然有两个交点，此时a＝14.当a >14时，只需求出当直线y ＝ax 和曲线y ＝ln x 相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个，故结合图象知，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，1e .【五】数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用1.例题【例1】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0) 答案 D④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0). 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D. 【例2】若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12解析 作出y 1＝|x －2a |和y 2＝12x ＋a －1的简图，如图所示.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤2－2a ，a －1<0，故a ≤12.2.【练习1】设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________.答案 [2－1，＋∞)【解析】集合A 是圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞).【练习2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax ，x ≥1，2ax －1，x <1，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a的取值范围为________. 答案 [0，＋∞)解析 根据题意知f (x )是一个分段函数，当x ≥1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为x ＝a ；当x <1时，是一个一次函数.当a >1时，如图(1)所示，符合题意；当0≤a ≤1时，如图(2)所示，符合题意；当a <0时，如图(3)所示，此时函数在R 上单调递减，不满足题意.综上所述，可得a ≥0.【六】数形结合思想在圆与直线问题中的应用1.例题【例1】已知实数x、y满足x2＋y2=3（0y≥），求（1）13ymx+=+，（2）b=2x+y的取值范围。
初中数学思想方法篇——数形结合
解题思想之数形结合一、注解：数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。
在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。
数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。
二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】如图，在所给数轴上表示出实数—3，—1，2-的点，并把这组数从小到大用“＜”连接。
【例2】已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（）A —b＞—aB —b＞aC —a ＞bD b＞a2.在不等式中的运用【例3】不等式组2030xx-⎧⎨-≥⎩的正整数解的个数为（）A 1个B 2个C 3个D 4个【例4】关于x的不等式组521xx a-≥-⎧⎨-⎩无解，则a的取值范围是。
3.在方程（组）中的运用【例5】利用图像法解方程组24212x yx y-=⎧⎨+=⎩4.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。
已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。
给出三个判断：（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。
则以上判断正确的是（）A （1）B （2）C （2）（3）D （1）（2）（3）【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a＜0,（2）b＞0（3）c＜0（4）b2-4ac＞0中，正确的判断是（）A （1）（2）（3）（4）B （4）C（1）（2）（3）D（1）（4）5.在统计与概率中的运用【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市2001—2004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。
浙教版-数学-七年级上册-典例解析：数形结合解实数问题
典例解析：数形结合解实数问题数形结合思想是一种重要的解题思想方法，它可以使较繁杂或难解的题目由繁变简，化难为易，出奇制胜，下面举例说明用数形结合思想解实数中的问题。
例1 实数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，那么化简|a+b|+2)(a b -的结果是（ ）A 、2bB 、2aC 、-2a D 、-2b分析：由图1可观察出b ＞0，a ＜0，a+b ＜0，b-a ＞0然后可化简。
解：观察图1实数a 、b 在数轴上的位置可判定b ＞0，a ＜0，a+b ＜0，b-a ＞0，然后化简|a+b|+2)(a b -=-（a+b ）+b-a=-2a ，故选C 。
点评：借用数轴判断出某些字母（数）的大小，然后化简是实数化简经常用的一种方法。
例2 如图2，数轴上表示1、2的对应点为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是（ ）A 、2-1B 、1-2C 、2-2D 、2-2分析：通过A 、B 两点所表示的数求出C 点坐标。
解：我们知道实数和数轴上的点一一对应，由图2知，|OA|=1，|OB|=2，从而|AB|=|OB|-|OA|=2-1又点B 、点C 关于点A 对称，∴|AC|=|AB|=2-1这时|OC|=|OA|-|AC|=1-（2-1）=2-2图1 C A B 图2即点C 所表示的点为2-2，故选C 。
点评：本题借用数轴和点的对称性求出C 点坐标。
例3 某种零件的合格品规格为（φ04.003.050+-）mm ，其中有一个不合格零件与合格品的要求相差0.02mm ，这个不合格零件的直径其最大的可能值与最小的可能值的差是 mm 。
分析：本题已知中不合格品的取值范围不明确，若构作数轴图3，选用原点O 表示直径为50mm 的合格品，A 、B 分别表示合格品波动的上、下限，则C 、D 分别表示不合格品波动的上、下限，易得答案。
解：依题意作数轴如图3，选用原点O 表示直径为50mm 的合格品，A 、B 分别表示合格品波动的上、下限，则C 、D 分别表示不合格品波动的上、下限，则|CD|=|0.06-（-0.05）=0.11（mm ）。
(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档
数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
专题48 中考数学数形结合思想(解析版)
专题48 中考数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。
实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。
（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。
利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。
（3）在函数中的应用。
借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。
（4）在几何中的应用。
对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。
3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【答案】B【分析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，根据tan22.5°=ACCD 计算即可．【解析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，∴tan22.5°=AC CD =11+√2=√2−1 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B．C．D．【答案】C【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2【例题2】（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【答案】4【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】见解析。
数形结合的思想—2024年中考数学思想方法专项突破(全国通用)(解析版)
数形结合的思想目录数形结合的思想 (1)一、数形结合在解一元二次不等式中的应用 (1)二、数形结合在求最值中的应用 (6)三、方程中数形结合的应用 (10)四、三角函数中数形结合的应用 (12)五、数形结合在函数中的应用 (13)数形结合思想的运用贯穿于整个初中数学阶段的学习 , 而数形结合思想又可以细分为“以形助数”“以数解形”和“数形互化”三个方面 , 本专题从这三个方面入手 , 结合精选例题深入剖析分析数形结合思想在初中数学教学中的运用.一、数形结合在解一元二次不等式中的应用做题思路：一元二次不等式往往可以转化为二次函数的图象来解决，首先把一元二次不等式化为一般形式20ax bx c ++>，然后令2y ax bx c =++，作出二次函数2y ax bx c =++的图象，求出图象与坐标轴的交点，然后观察图象即可得出一元二次不等式20ax bx c ++>的解集. 1.阅读理解：自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：250x x −>．解：设250x x −=，解得10x =，25x =，则抛物线25y x x =−与x 轴的交点坐标为(0,0)和(5,0)，画出二次函数25y x x =−的大致图象（如图所示），由图象可知：当0x <或5x >时函数图象位于x 轴上方，此时0y >，即250x x −>，所以，一元二次不等式250x x −>的解集为0x <或5x >．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透的数学思想有 ．（2250x x −…的解集为 ． （3）用类似的方法解一元二次不等式：2340x x −−+>．【思路分析】（1）根据题意容易得出结论；（2）观察图象即可写出一元二次不等式250x x −…的解集；（3）先设函数解析式，根据a 的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x 轴相交的两点，大致画出画出抛物线，根据0y >确定一元二次不等式2340x x −−+>的解集即可．【详细解答】解：（1）根据解题过程中，渗透了转化思想和数形结合思想． 故答案为：转化思想和数形结合．（2）由图象可知：当05x ……时函数图象位于x 轴及其下方，此时0y …，即250x x −…， ∴一元二次不等式250x x −…的解集为：05x ……．故答案为：05x ……．（3）设2340x x −−+>，解得：14x =−，21x =，∴抛物线234y x x =−−−与x 轴的交点坐标为(4,0)−和(1,0)．如图：画出二次函数234y x x =−−−的图象，由图象可知：当41x −<<时，函数图象位于x 轴上方，此时0y >，即2340x x −−+>， ∴一元二次不等式2340x x −−+>的解集为：41x −<<．2.请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：2230x x −−<． 解：设2230x x −−=，解得：11x =−，23x =，则抛物线223y x x =−−与x 轴的交点坐标为(1,0)−和(3,0)． 画出二次函数223y x x =−−的大致图象（如图所示）． 由图象可知：当13x −<<时函数图象位于x 轴下方， 此时0y <，即2230x x −−<．所以一元二次不等式2230−−<的解集为：13x x−<<．x通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和（只填序号）．①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．（2）用类似的方法解一元二次不等式：220−+>．x x（3）某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数(1)(||3)=−−−的图象和性质进行了y x x探究，探究过程如下，请补充完整：①自变量x的取值范围是；x与y的几组对应值如表，其中m=；②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整；③结合函数图象，解决下列问题：解不等式：3(1)(||3)0……．−−−−x x【思路分析】（1）依据解答过程体现的数学思想方法解答即可； （2）利用题干中的方法，画出函数的图象，观察图象解答即可； （3）①依据函数的解析式填表计算即可； ②利用描点法解答即可； ③观察图象解答即可．【详细解答】解：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合思想， 故答案为：①；③；（2）解一元二次不等式：220x x −+>． 设220x x −+=，解得：10x =，22x =，则抛物线22y x x =−+与x 轴的交点坐标为(0,0)和(2,0)． 画出二次函数22y x x =−+的大致图象（如图所示），由图象可知：当02x <<时函数图象位于x 轴上方，此时0y >，即220x x −+>． 所以一元二次不等式220x x −+>的解集为：02x <<；（3）①自变量x 的取值范围是：任意实数；x 与y 的几组对应值如表，其中4m =−． 故答案为：任意实数，4−； ②如图，③由图象可知：当32x −−……或01x ……或34x ……时函数图象位于3−与0之间，此时30y −……，即3(1)(||3)0x x −−−−……．所以不等式3(1)(||3)0x x −−−−……的解集为：32x −−……或01x ……或34x ……．3.已知关于x 的方程 x 2 - 2kx +3k - 2 = 0,求当方程有两个实数根时,k 的取值范围 .思路解析：代入k 并 根 据 求 根 公 式 得 出Δ= 4k 2 - 12k +8, 由于公式Δ含有未知数k ,得到一个关于Δ和k 的二次函数 ,其中k 为自变量 ,Δ 为因变量 ,画出 “函数 ”Δ=4k 2 - 12k+8的图象就可以 判断出 “函 数 ”的 正 负 了 . 要 想 画 出 “函 数 ”大 致 图 象 ,需要 先 判 断 出 函 数 开口 , 再 判 断 函 数 是 否 有 零 点 ,这时就要使用以数解形的思想: 函数Δ的零点实质就是在 解 Δ= 0的根 , 使 用 因 式 分 解 法 将 4k 2 -12k+8= 0这个方程化为 4(k 2-3k+2)= 0,进一 步因式分 解 得 到 :4(k - 1)(k - 2)= 0, , 就 可以解出方程有两个根分别为1和2,再回到函数上 , 可以得到函数的两个零点的坐标分别为(1,0) , (2,0)就 可以画出函数Δ=4k 2 - 12k+8的大致图象 :通过图象 ,学生就能很容易地看出Δ的正负随k 改变的情况.二、数形结合在求最值中的应用解题思路：在求此类函数y可以看做点（x ，0）到（0,4）和（2,1）的距离和最小.典例精析1．已知正实数x ，求y 【思路分析】根据轴对称的性质和勾股定理即可得到结论．【详细解答】解：由y =， 故可理解为(,0)M x 到(0,4)A 和(2,1)B 的距离和的最小值． 作A 关于轴的对称点(0,4)A '−，连接A B '，与x 轴交点即为M ， 则(,0)M x 到(0,4)A 和(2,1)B 的距离的最小值A B ='， 过B 作BD y ⊥轴于D ，在Rt △A DB '中，A B '==y ∴=．2．【问题情境】如图1，已知点A ，B 在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使得AP BP +的值最小．小军的思路是：如图2，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点P 即为所求．【启发应用】请参考小军同学的思路，探究并解答下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设AA '与直线l 的交点为点C ，过点B 作BD l ⊥，垂足为点D ．若1CP =，2PD =，1AC =，求出此时AP BP +的最小值；（2）如图3，若1AC =，2BD =，6CD =，则此时AP BP +的最小值为 ；（3）的最小值．【思路分析】（1）根据等腰三角形的判定证得ACP ∆和BDP ∆为等腰直角三角形，利用勾股定理求得PA 和PB ，从而求得PA PB +；（2）作//A E l '，交BD 的延长线于E ，根据已知条件求得BE 、A E '，然后根据勾股定理即可求得A B '，从而求得AP BP +的值；（3）设53AC m =−，1PC =，可得PA ，设85BD m =−，3PD =，可得PB ，结合（2）即可求解．【详细解答】解：（1）AA l '⊥，1AC =，1PC =，AC CP ∴=，90ACP ∠=︒， 45CAP CPA ∴∠=∠=︒，PA ∴=，点A 关于直线l 的对称点为A '，PA PA ∴'== 45CPA CPA ∴∠'=∠=︒，BD l ⊥，45BPD CPA ∠=∠'=︒，904545PBD BPD ∴∠=︒−︒=︒=∠，2BD PD ∴==，PB ∴==AP PB ∴++（2）作//A E l '，交BD 的延长线于E ，如图3，则四边形A EDC '是矩形，6A E DC ∴'==，1DE A C AC ='==，2BD =，3BD AC BD DE ∴+=+=，即3BE =，在Rt △A BE '中，A B '=，AP BP A P BP A B ∴+='+='=故答案为：（3）如图3，设53AC m =−，1PC =，则PA =设85BD m =−，3PD =，则PB =， 53DE AC m ==−，5BE BD DE ∴=+=，4A E CD PC PD '==+=，PA PB A B ∴+='=∴22+=3．探究：如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB BD ⊥，ED BD ⊥，连接AC 、EC ，已知5AB =，1DE =，8BD =，设CD x =．（1）用含x 的代数式表示AC CE +的值．（2）请问点C 满足什么条件时，AC CE +的值最小？（3）根据（2的最小值．（4x 是任意实数）的最大值．【思路分析】（1）由于ABC ∆和CDE ∆都是直角三角形，故AC ，CE 可由勾股定理求得； （2）若点C 不在AE 的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，AC CE AE +>，故当A 、C 、E 三点共线时，AC CE +的值最小；（3）由（1）（2）的结果可作12BD =，过点B 作AB BD ⊥，过点D 作ED BD ⊥，使2AB =，3ED =，连接AE 交BD 于点C ，则AE 的最小值，然后构造矩形AFDB ，Rt AFE ∆，利用矩形和直角三角形的性质可求得AE 的值； （4）过点A 作AB OA ⊥，使3AB =，2OC =，连接BC 交x 轴负半轴于点D ，则BC 的长的最大值，然后构造矩形AOCE ，Rt BCE ∆，利用矩形和直角三角形的性质可求得BC 的值．【详细解答】解：（1）AC CE + （2）当A 、C 、E 三点共线时，AC CE +的值最小；（3）如图1，作12BD =，过点B AB BD ⊥，过点D 作ED BD ⊥，使2AB =，3ED =， 连接AE 交BD 于点C ，设BC x =，则AE 的最小值． 过点A 作//AF BD 交ED 的延长线于点F ，得矩形ABDF ， 则2AB DF ==，12AF BD ==，325EF ED DF =+=+=，所以13AE ===，13．的最小值为13；（4）如图2，作4OA =，过点A 作AB OA ⊥，使3AB =，2OC =，连接BC 交x 轴负半轴于点D ，设D 的坐标为(,0)x ，则BC 的最大值，过点C 作CE AB ⊥，则2AE OC ==，4CE OA ==，1BE ∴=．在Rt CBE ∆中，根据勾股定理，得BC ==x三、方程中数形结合的应用1.关于x 的方程2230x kx k ++=的两个相异实根均大于1−且小于3，那么k 的取值范围是()A ．10k −<<B ．0k <C ．3k >或0k <D ．1k >−【思路分析】把一元二次方程解的问题转化为抛物线与x 轴的交点问题，则利用题意得抛物线223y x kx k =++与x 轴的两个交点到在(1,0)−和(3,0)之间，利用二次函数图象得到1x =−时，0y >和当3x =时，0y >，接着由△0>确定抛物线与x 轴有2个交点，然后解关于k 的不等式组确定k 的范围．【详细解答】解：关于x 的方程2230x kx k ++=的两个相异实根均大于1−且小于3， ∴抛物线223y x kx k =++与x 轴的两个交点都到在(1,0)−和(3,0)之间，∴△24430k k =−⨯>，解得0k <或3k >，1x =−时，0y >，1230k k ∴−+>，解得1k >−；当3x =时，0y >，9630k k ∴++>，解得1k >−，k ∴的范围为10k −<<．故选：A ．2.已知方程2240x ax a ++−=有两个不同的实数根，方程220x ax k ++=也有两个不同的实数根，且其两根介于方程2240x ax a ++−=的两根之间，求k 的取值范围．【思路分析】由方程2240x ax a ++−=恒有相异两实根，则△0>，而△22211544(4)4(4)4[()]24a a a a a =−−=−+=−+，得a 为任意实数，由方程220x ax k ++=也有相异两实根，△2440a k '=−>，即2k a <；并且它的两根介于上面方程的两根之间，可利用二次函数的图象继续求k 的范围．【详细解答】解：方程2240x ax a ++−=有两个不同的实数根∴△0>，而△22144(4)4()15152a a a =−−=−+…． 又方程220x ax k ++=也有两个不同的实数根∴△2440a k '=−>，即2k a <对于二次函数2124y x ax a =++−和222y x ax k =++，它们的对称轴相同，且与x 轴都有两个不同的交点2y 与x 轴的两个交点都在1y 与x 轴的两个交点之间2y ∴与y 轴的交点在1y 与y 轴的交点上方，如图，4k a ∴>−，k ∴的取值范围是：24a k a −<<．四、三角函数中数形结合的应用1.已知11tan,tan23αβ==，求证45αβ+=︒思路分析根据正切函数的定义将图7 翻转形成图8,即可求出.图7 图8证明如图8,连接 BC,可知AD=EC,BD=BE,∠D=∠BEC,所以△ABD≌△CBE,所以AB=BC,∠ABD=∠CBE,从而∠ABC是直角，所以△ABC是等腰直角三角形，所以α+β=45°.五、数形结合在函数中的应用1．求函数y=3x ²+6x +9的图象的基本性质.图 1解：将函数y =3x ²+6x +9变式为y=3(x +1)²+6,如图1所示，对称轴是x =-1.增减性：当x >-1时 ，y 随x 的增大而增大，当x <-1时，y 随x 的增大而减小.最值：当x =-1时，y m =6,顶点坐标为(-1,6)2.如图，抛物线223y x x =−−+与x 轴交于(1,0)A ，(3,0)B −两点，与y 轴交于点C ．点P 为抛物线第二象限上一动点，连接PB ，PC ，BC ，求PBC ∆面积的最大值．【思路分析】根据抛物线223y x x =−−+先求出点C 坐标，再用待定系数法求出直线BC 解析式，设P 的横坐标是(30)x x −<<，则P 的坐标是2(,23)x x x −−+，过点P 作y 轴的平行线交BC 于M ，则(,3)M x x +，然后根据三角形的面积公式求出2221133327||(3)3(3)()222228PBC B C S PM x x x x x x x ∆=⋅−=−−⨯=−+=−++，再根据函数的性质求最值．【详细解答】方法一：解：令0x =，则3y =，(0,3)C ∴，设直线BC 的解析式为3(0)y kx k =+≠，把点B 坐标代入3y kx =+得330k −+=，解得1k =，∴直线BC 的解析式为3y x =+，设P 的横坐标是(30)x x −<<，则P 的坐标是2(,23)x x x −−+， 过点P 作y 轴的平行线交BC 于M ，则(,3)M x x +，2223(3)3PM x x x x x ∴=−−+−+=−−，2221133327||(3)3(3)()222228PBC B C S PM x x x x x x x ∆∴=⋅−=−−⨯=−+=−++， 302−<， ∴当32x =−时，PBC S ∆有最大值，最大值是278， PBC ∴∆面积的最大值为278； 方法二：如图6，设P 的坐标是2(,23)x x x −−+且(30)x −<<，连接OP . 2221113(23)3()332223389279()222823327()2722832PBC OBP OCP OBC PBC S SS S x x x x x x S ∆∆=++=⨯−−++⨯−−⨯⨯==−+++−=−++==−最值当时，大图 6。