大学物理之质点运动学质点动力学

四. 圆周运动的角量描述、角量与线量的关系
1. 角位置与角位移 θ θ (t) 角位置（运动学方程)
当 t
yQ
P
O
x
为质点圆周运动的角位移
2. 角速度
d k
质点作圆周运动的角速度定义为
o d Q
ω
lim
t 0
t
k
d
dt
k
P (描述质点转动快慢和方向的物理量)
3. 角加速度
角加速度 角速度对时间的一阶导数
x r cos t, y r sin t
y
y
r
• P (x, y) s
• O
ωt x
•O'
x
位矢表示为
r
xi
yj
r
costi
r
sin
tj
三. 位移、速度、加速度
1）位移 ( 位移就是位置矢量的增量 )
pp r(t t) r(t) r
•P s
r(t) r •P’
位移矢量反映了物体运动中位置 ( 距离 O • r(t t) 与方位 ) 的变化。注意位移和路程的区别
β
y
O 参考物
位矢的大小为：
x
r x2 y2 z2
x
y
位矢的方向用方向余弦表示，则有：
cos
rx, cos
ry, cos
z r
3. 自然坐标法 已知质点相对参考系的运动轨迹时，常用自然法。
s f (t)
4. 运动学方程(函数)
•
参考物 O
r
r(t)
x(t)i
y(t) j
z(t)k
r
Q
•
L
r(t)
r(t t)
• O 参考物
2.
加速度 第一项：d2
dt
a dv d (dsτ)
dt dt dt
s
2
τ
叫切向加速度
aτ
d2 dt
2sτ
ds dτ dt dt
P τ (t)
大小为
d2s dt 2
dv dt
方向为
τ
意义：反映速度大小变化的快慢
•
L
n(t) O
θ n(t
Q
•
τ (t t)
s ds
t0 t t0 t dt
例 s 5 4t t 2 v ds 4 2t dt
3）加速度 ( 描述物体运动状态的物理量 ) v(t)
1. 平均加速度
a v v(t t) v(t)
t
t
A •
r(t)
2. 瞬时加速度
O•
a
lim v(t
t 0
t) t
v(t
)
dv dt
d2r dt 2
质点运动学和质点动力学回顾
1. 质点运动学 2. 牛顿运动定律 3. 功和能 4. 冲量和动量
第一章 质点运动学
一. 质点运动学的基本概念
质点：有质量的“几何点”。 突出了质量和位置。
质点系: 若干质点的集合。 参照物：为了描述物体运动而选作参考的物体或物体系。
参考系：参照物 + 坐标系 + 时钟 (1) 运动学中参考系可任选。
cosα vvx , cosβ vvy , cosγ vvz
3. 加速度
a
dv dt
dv x dt
i
dv y dt
j
dv z dt
k
d2 dt
x
2
i
d2 y dt 2
j
d2z dt 2
k
a
axi
ay
j
az
k
大小为
a
ax2 ay2 az2
(dv x
)2
dv (
y
)2
v(t t)
• B
r(t t)
v(t) v v(t t)
质点运动学中的二类问题
1. 第一类问题 2. 第二类问题
已知运动学方程，求 v , a 已知加速度和初始条件，求 v , r
直角坐标系中位移、速度和加速度的表示
1. 位移 时间 t 内质点的位移为
r
xi
yj
zk
( x2
x1)i
z
P
(2) 参照物选定后，坐标系可任选。
y
(3) 常用坐标系：
O 参照物
x
直角坐标系 球坐标系 柱坐标系 自然坐标系
二. 确定质点位置的常用方法
z 1. 直角坐标法 P(x, y, z) 2. 位矢法
P(x, y, z)
质点某时刻的位置P (x,y,z) 由位矢
r表示。
r z
r
xi
yj
zk
(2) t =2s 时的v ，a
(3) 轨迹方程
解 (1) 由运动方程得
r1
2i
j
r2
4i
2
j
r
r2

j
2i
3
j
(2)
v
dr
2i 2t
j
dt
a
dd2tr2
dv dt
2
j
当 t =2s 时
v 2
2
i
4
j
a 2
2
j
(3) x 2t y 2 t2 轨迹方程为 y 2 x2 / 4
t)
第二项： ds dτ dt dt
大小为 v 2
ρ
方叫向法为向加n速dd度τt an n
意义：反映速度方向变化的快慢
τ (t)
θ
τ
τ (t t)
加速度
a
an
n
aτ
τ
v2 ρ
n
dv dt
τ
d2 dt
2sτ
(
ds dt
)2
1 ρ
n
例
已知一质点运动方程
r
2t
i
(2
t
2
)
j
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移
(
y2
y1)
j
(z2
z1)k
2. 速度
(1) 平均速度
v
r
x
i
y
j
z
k
t t t t
(2)
瞬时速度
v
d r dt
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
v
xi
v
y
j
v
zk
速度的大小为 v
v
2 x
v
2 y
v
2 z
(dx)2 (dy)2 (dz)2 dt dt dt
速度的方向用方向余弦表示为
2）速度 ( 描述物体运动状态的物理量 )
1. 平均速度
v Δ r r(t t) r(t)
t
t
2. 瞬时速度
（注意方向与大小）
v lim r(t t) r(t) dr
t 0
t
dt （注意速度与速率的区别）
3. 速率（速度的大小叫速率）
平均速率
v s t
瞬时速率
v v lim
r lim
(dv z
)2
dt
dt
dt
方向用方向余弦表示为
cosα aax
cos β
ay a
cosγ aaz
自然坐标系中平面曲线运动 速度和加速度的表示
1. 速度 v lim r lim (rs) t0 t t0 s t ( lim rτ) ds dsτ vτ t0 s dt dt
v
s
P
•
•
O1
s
t : t t :
dω dt
d dt
d
dt
k
d2
dt 2
k
角加速度的方向与 dω的方向相同
4. 角量与线量的关系
(1).
位移与角位移的矢量关系式
s
s
P•
直角坐标下 x x(t) y y(t) z z(t)
自然坐标下 s f (t)
意义: 已知运动学方程，可求质点运动轨迹、速度和加速度
例 一质点作匀速圆周运动，半径为 r ，角速度为 。
求 用直角坐标、位矢表示的质点运动学方程。
解 以圆心O 为原点。建立直角坐标 系Oxy ，O 点为起始时刻，设t 时 刻质点位于P（x , y），用直角坐 标表示的质点运动学方程为