十章函数项级数,幂级数

第十一章 函数项级数、幂级数§1. 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性：⑴ ()n f x =(,);x ∈-∞+∞ ⑵ ()sin,n x f x n= i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞⑶ (),1n nxf x nx =+ (0,1);x ∈ ⑷ 1(),1n f x nx=+i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞⑸ 2233(),1n n x f x n x=+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑹ (),1n nxf x n x=++ [0,1];x ∈⑺ (),1nn nx f x x=+ i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈ iii) [,),1;x a a ∈+∞>⑻ 2(),n nn f x x x =- [0,1];x ∈ ⑼ 1(),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈⑽ ()ln ,n x xf x n n =(0,1);x ∈ ⑾ 1()ln(1),nxn f x e n-=+ (,);x ∈-∞+∞⑿ 2()(),x n n f x e --=i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ . 2. 设()f x 定义于(,)a b ，令[()]()n nf x f x n=(1,2,)n =⋅⋅⋅. 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x . 3. 参数α取什么值时，(),nx n f x n xe α-= 1,2,3,n =⋅⋅⋅在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使1lim ()n n f x dx ->∞⎰可在积分号下取极限？4. 证明序列2()nx n f x nxe -=(1,2,)n =⋅⋅⋅在闭区间[0,1]上收敛，但1100lim ()lim ().n n n n f x dx f x dx ->∞->∞≠⎰⎰5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列，且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ；又[,]n x a b ∈(1,2,)n =⋅⋅⋅，满足0lim n n x x ->∞=，求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞=6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴0(1), [0,1];nn x xx ∞=-∈∑⑵ 1221(1), (,)(1)n nn x x x -∞=-∈-∞+∞+∑. 7. 设()n f x (1,2,)n =⋅⋅⋅在[,]a b 上有界，并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛，求证：()n f x 在[,]a b 上一致有界.8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x '，且1()[()()],n f x n f x f x n=+-求证：在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上，{()}n f x 一致收敛于()f x '. 9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积，定义函数序列1()()xn n af x f t dt +=⎰ (1,2,)n =⋅⋅⋅求证：{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于零.10. 设{()}n f x 在(,)a b 内一致收敛于()f x ，0(,)x a b ∈且lim (),n n x x f x a ->= (1,2,)n =⋅⋅⋅.证明：lim n n a ->∞和0lim ()x x f x ->存在且相等，即0lim lim ()lim lim ()n n n x x x x n f x f x ->∞->->->∞=.11. 讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴1(,);n x ∞=∈-∞+∞⑵421, (,);1n xx n x ∞=∈-∞+∞+∑ ⑶ 221(1)(1), [0,);n nx n e x n x -∞=--∈ +∞+∑ ⑷1sin , (2,);2nn nxx x ∞=∈-+∞+∑ ⑸521, (,);1n nxx n x ∞=∈-∞+∞+∑ ⑹211), ||2;2n n n x x x ∞-=+≤ ≤⑺21, [0,);nxn x ex ∞-=∈+∞∑⑻ 1ln , [0,1];!n n n x xx n ∞=∈∑ ⑼2, (,);n x ∞=∈-∞+∞∑ ⑽1, ||1;nn nx r x∞=≥>∑⑾1ln(1), [,), 1.nn nx x a a nx ∞=+∈+∞> ∑12. 讨论下列函数项级数的一致收敛性：⑴12cos(,);n n x π∞=∈-∞+∞ ⑵1[0,2];n x π∞=∈ ⑶ 1(1), (1,);nn x x n ∞=-∈-+∞+∑ ⑷ 1(1), (,);sin nn x n x∞=-∈-∞+∞+∑⑸112sin, (0,);3n n n x x∞=∈+∞∑ ⑹(1)21 ||;n n n x a -∞=≤⑺1 [1,0];nn x ∞=∈- ⑻ 211(1), [1,1].21n nn x x n +∞=-∈-+∑ 13. 设每一项()n x ϕ都是[,]a b 上的单调函数，如果()nx ϕ∑在[,]a b 的端点为绝对收敛，那么这级数在[,]a b 上一致收敛.14. 证明级数1211(1)n n n x∞-=-+∑关于x 在(,)-∞+∞上为一致收敛，但对任何x 并非绝对收敛；而级数221(1)nn x x ∞=+∑虽在(,)x ∈-∞+∞上绝对收敛，但并不一致收敛. 15. 若1()nn u x ∞=∑的一般项|()|(), ,nnu x c x x X ≤∈并且1()nn c x ∞=∑在X 上一致收敛，证明1()n n u x ∞=∑在X 上也一致收敛且绝对收敛.§2. 幂级数1． 求下列各幂级数的收敛域.⑴ 1(2);!nn x n ∞=∑ ⑵11ln(1);1n n n x n ∞+=++∑ ⑶11;nnn n x n ∞=⎡⎤+⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑ ⑷ 21;2nn n x ∞=∑⑸ 13(1);nnn n x n ∞=⎡⎤+-⎣⎦∑⑹ 13(2)(1);n nn n x n ∞=+-+∑ ⑺1(2)!!;(21)!!nn n x n ∞=+∑ ⑻ 2111;n n n x n -∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑⑼1;n nn ∞=⑽ 1;57nnnn x ∞=+∑ ⑾ 21(!);(2)!nn n x n ∞=∑ ⑿1111;2n n x n ∞=⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭∑⒀1;nn nx ∞=∑⒁ 211(2);(21)!n n x n -∞=--∑ ⒂21 (0<<1);n n n a x a ∞= ∑ ⒃ 1.np n x n∞=∑2． 设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为R ，nn n b x∞=∑的收敛半径为Q ，讨论下列级数的收敛半径： ⑴21nn n a x∞=∑；⑵1()n nn n ab x ∞=+∑；⑶1nn n n a b x∞=∑.3． 设︱10nk k k a x=∑︱≤M 1(0,1,0)n x = ... ; > ，求证：当0＜x ＜1x 时，有 ⑴n nn a x∞=∑收敛；⑵nn n a xM ∞= ≤ ∑.4. 设0()nn n f x a x ∞==∑当︱x ︱＜r 时收敛，那么当11n n n a r n ∞+=+∑收敛时有 10()1rn n n a f x dx r n ∞+==+∑⎰，不论nn n a x∞=∑当x r = 时是否收敛.5. 利用上题证明12011(1)1n n x dx x n∞=-= - ∑⎰. 6. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和：⑴ 1nn x n ∞=∑;⑵1nn nx∞=∑;⑶1(1)nn n n x∞=+∑;⑷ 121(1)(21)n nn x n n -∞=--∑; ⑸ 211!2nnn n x n ∞=+∑; ⑹ 31(1)(1)!n nn n x n ∞=-+∑; ⑺ 4141n n x n -∞=+∑;⑻10(21)n n n x ∞+=-∑;⑼211n n n x∞-=∑;⑽ 2211(21)!n n n x n ∞+=+∑. 7. 求下列级数的和： ⑴1212nn n ∞=-∑; ⑵11(21)n n n ∞=+∑. 8. 证明：⑴ 40(4)!n n x n ∞=∑满足方程(4)y y =；⑵ 20(!)n n x n ∞=∑满足方程'''0xy y y +-=.9. 设()f x 是幂级数nn n a x∞=∑在(,)R R -上的和函数，若()f x 为奇函数，则级数中仅出现奇次幂的项；若()f x 为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项.10. 设21()1(1)nn x f x n n n ∞==+∑.⑴ 求证：()f x 在[1,1]-连续，'()f x 在(1,1)-内连续； ⑵ 求证：()f x 在点1x =-可导； ⑶ 求证：1lim '()x f x -→ = +∞ ； ⑷ 求证：()f x 在点1x =不可导.11. 利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为麦克劳林级数，并说明收敛区间. ⑴1,0a a x≠-; ⑵21;(1)x + ⑶31;(1)x +⑷ 2cos x ; ⑸ 3sin x ; ⑹⑺ (1)xx e -+; ⑻1(n x⑼21;132x x -+ ⑽ arcsin x ;⑾ 21(1);n x x ++ ⑿arctan x x -⒀ 0sin ;xtdt t⎰⒁20cos .xt dt ⎰12. 利用幂级数相乘求下列函数的麦克劳林展开式： ⑴1(1);1n x x++⑵ 2(arctan )x ; ⑶ 21(1).n x -13. 将下列函数在指定点0x 展开为泰勒级数：⑴01,();x b a a x=≠- ⑵ 0211,1;22n x x x=-++ ⑶ 0ln ,2x x =;⑷ 0, 1.xe x =14. 试将()ln f x x = 展开成11x x -+的幂级数. 15. 展开1()x d e dx x -为x 的幂级数，并推出11.(1)!n nn ∞==+∑ 16. 设函数()f x 在区间(,)a b 内的各阶导数一致有界，即存在M ＞0，对一切(,)x a b ∈，有()|()|,1,2,n fx M n ≤ = ...,证明：对(,)a b 内任意点x 与0x ，有()000()()().!n n n f x f x x x n ∞==-∑。