马氏链案例
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—马氏链的应用-随机过程论文
随机过程论文——马氏链的应用学院：东凌经济管理学院班级：金融0902班姓名:一、文献综述马氏链在日常生活诸多领域中有着广泛的应用0我引用了五篇文献，分别是刘家军的马氏链在无赔款优待模型中的应用；廖捷、陈功的叠加马尔科夫链模型在高原年降水量预测中的应用；郭小溪的借助于马尔柯夫链的无后效性性质，预测2000~ 2005年6年的8项支出量；吴加荣、谢明铎、何穗的一类马氏链的数据仿真与应用；肖定文、黄崇起的用马尔柯夫过程预测股市短期或中长期走势。
刘家军在2009年介绍了马氏链在无赔款优待模型中的应用，利用mat lab7. 0计算在未来几年中索赔事件发生的强度分布与被保险人所处折扣等级的分布以及两者的极限分布，并依此计算纯保费。
降水量的预测是气象学中一项重要的研究工作。
由于气象系统的复杂性、多样性，使得降水过程具有不确定性、较难精确预测的特点。
廖捷、陈功2010年引入了叠加马尔科夫链模型，以位于川西高原的小金站1961-2010年的全年降水量资料为例，探讨了叠加马尔科夫链模型在高原年降水量预测中的应用。
廖捷、陈功利用均值-均方差分级法对年降水量进行分级，并由此将小金站各年的全年降水量划分为5 个状态。
根据各年降水量的状态，可统计得到不同步长的概率转移矩阵。
在进行降水量的叠加预测时，主要考虑利用步长为1~4的概率转移矩阵进行计算。
首先利用1961〜2000长度为40年的降水量序列预测了2001年的降水量，之后去掉1961年降水量值，加入2001年实际观测降水量值，保持序列长度不变，预测2002年的降水量。
以此类推，利用叠加马尔科夫链模型预测了小金站200N2010共十年的降水量，并与该站实际观测降水量进行了对比。
2006年郭小溪利用长春市居民1998、1999连续两年的收、支数量变化，借助于马尔柯夫链的无后效性性质，建立居民消费性支出结构的概率转移矩阵，进而预测出自2000年至2005年6年的8项支出值；进一步分析居民消费性支出变化的基本规律和受控因素，并与经济发展条件一起探讨发展经济的人文环境影响作用。
马氏过程-1028
随机过程 {Xn : n ≥ 0} 构成马氏链，如果它满足如下两个条件
• Xn = fn (Xn−1 , ξn ), 其中 fn 是给定函数, {ξn : n ≥ 0} 为独立随机
变量序列
• X0 与 {ξn : n ≥ 1} 相互独立，或 X0 为某个确定值
特别地，如果 {ξn : n ≥ 1} 独立同分布， fn (x, t) 与 n 无关，那么这是 时齐马氏链, 而且一步转移概率为 pij = P {f (i, ξ1 ) = j } 思考：简单随机游动是否构成 Markov Chain? 如果带反射壁和吸收态 呢？
2014 年《随机过程》 马氏过程
时齐 Markov Chain 的概率分布
时齐 Markov Chain {Xn : n ≥ 0} 的概率分布:
• π 0 : 初始分布 • P : 一步转移矩阵
[P (Xn = i)]i = π 0 P n π 0 的维度是什么? 上式右侧 π 0 和 P n 的次序可以交换吗?
. . ..
马氏链 (Markov Chain)
. 胡鹏
2014 年秋季学期
华中科技大学管理学院
. .
2014 年《随机过程》
马氏过程
Markov Chain(马氏链)
本讲介绍马氏过程/马氏链的相关知识
1 . .
基本概念，初始分布与转移概率，C-K 方程 状态分类及性质，平稳分布和极限分布 马氏过程的应用
P {Xn+1 = j |Xn = i, Xn−1 = in−1 , · · · , X0 = i0 } = P {Xn+1 = j |Xn = i} 上述等式称为马氏性或无后效性
2014 年《随机过程》
马氏过程
• Xn = fn (Xn−1 , ξn ), 其中 fn 是给定函数, {ξn : n ≥ 0} 为独立随机
变量序列
• X0 与 {ξn : n ≥ 1} 相互独立，或 X0 为某个确定值
特别地，如果 {ξn : n ≥ 1} 独立同分布， fn (x, t) 与 n 无关，那么这是 时齐马氏链, 而且一步转移概率为 pij = P {f (i, ξ1 ) = j } 思考：简单随机游动是否构成 Markov Chain? 如果带反射壁和吸收态 呢？
2014 年《随机过程》 马氏过程
时齐 Markov Chain 的概率分布
时齐 Markov Chain {Xn : n ≥ 0} 的概率分布:
• π 0 : 初始分布 • P : 一步转移矩阵
[P (Xn = i)]i = π 0 P n π 0 的维度是什么? 上式右侧 π 0 和 P n 的次序可以交换吗?
. . ..
马氏链 (Markov Chain)
. 胡鹏
2014 年秋季学期
华中科技大学管理学院
. .
2014 年《随机过程》
马氏过程
Markov Chain(马氏链)
本讲介绍马氏过程/马氏链的相关知识
1 . .
基本概念，初始分布与转移概率，C-K 方程 状态分类及性质，平稳分布和极限分布 马氏过程的应用
P {Xn+1 = j |Xn = i, Xn−1 = in−1 , · · · , X0 = i0 } = P {Xn+1 = j |Xn = i} 上述等式称为马氏性或无后效性
2014 年《随机过程》
马氏过程
马氏链简介
显然，cij 0
n
n
cij (ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ), (i 1,2,, n)
j 1
j 1
n
n
cij (ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ), (i 1,2,, n)
j 1
j 1
n
用随机变量 X n 表示第 n 个月的经营状况
Xn 1 Xn 2
表示销路好； 表示销路坏；
n 0,1,2
X n 称为这个经营系统的状态。
用ai n表示第 n 月处于状态 i 的概率， i 1,2,
即
ai n PXn i ai n 称为状态概率。
pij 表示已知这月处于状态 i ，下月处于状态 j 的概率，i, j 1,2, 即
每次传播消息的失真率为 p, 0 p 1,
即 ai 将消息传给 ai1, 时，传错的概率为 p
这样经过长时间传播第n个人得知消息时，消息 的真实程度如何？
第n个人知道消息可能是真，也可能是假， 有两种状态，记为
Xn 1 Xn 2
表示消息假； 表示消息真；
n 0,1,2
用ai n表示第 n 个人处于状态 i 的概率， i 1,2,
n01 2 3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
1 0.5 0.45 0.445 0.4445 ？
0 0.5 0.55 0.555 0.5555 ？
a1(n)
5 10
5 102
a2 (n)
4 9
5 10n
5 10
1 (
1 10n1
数学建模：马氏链及其应用
解 设 X n (n 1,,97) 为第n 个时段的计算机状态，可以认为它是一个时齐 马氏链，状态空间E {0,1} ，编写如下 Matlab 程序：
a1=‘1110010011111110011110111111001111111110001101101’; a2=‘111011011010111101110111101111110011011111100111’; a=[a1,a2]; f00=length(findstr(‘00’,a)) f01=length(findstr(‘01’,a)) format rat fid=fopen(‘data1.txt’,’r’); a=[ ]; while (~feof(fid))
的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收状态北吸收之前的平均转
移次数。
定理7 设 B FR (bij ) ，其中F 为吸收链的基矩阵，R 为(4)式中的 子阵，则 bij 表示从非吸收状态 i 出发，被吸收状态 j 吸收的概率。
3 马尔可夫链的应用
• 应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是 根据某些变量现在的情况及其变动趋势，预测它在未来某特 定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依据。
可以到达某个吸收状态，那么这个马氏链被称为吸收链。
具有个吸收状态，个非吸收状态的吸收链，它的转移矩阵的标准形式为
P
Ir R
o
S
（4）
其中I r 为 r阶单位阵，O为 r s零阵， R为 s 矩r 阵， S为 s 矩s 阵。从(4)得
Pn
Ir Q
o
S
n
（5）
（5）式中的子阵 S n表示以任何非吸收状态作为初始状态，经过 n步转移后， 处于S 个非吸收状态的概率。
a1=‘1110010011111110011110111111001111111110001101101’; a2=‘111011011010111101110111101111110011011111100111’; a=[a1,a2]; f00=length(findstr(‘00’,a)) f01=length(findstr(‘01’,a)) format rat fid=fopen(‘data1.txt’,’r’); a=[ ]; while (~feof(fid))
的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收状态北吸收之前的平均转
移次数。
定理7 设 B FR (bij ) ，其中F 为吸收链的基矩阵，R 为(4)式中的 子阵，则 bij 表示从非吸收状态 i 出发，被吸收状态 j 吸收的概率。
3 马尔可夫链的应用
• 应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是 根据某些变量现在的情况及其变动趋势，预测它在未来某特 定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依据。
可以到达某个吸收状态，那么这个马氏链被称为吸收链。
具有个吸收状态，个非吸收状态的吸收链，它的转移矩阵的标准形式为
P
Ir R
o
S
（4）
其中I r 为 r阶单位阵，O为 r s零阵， R为 s 矩r 阵， S为 s 矩s 阵。从(4)得
Pn
Ir Q
o
S
n
（5）
（5）式中的子阵 S n表示以任何非吸收状态作为初始状态，经过 n步转移后， 处于S 个非吸收状态的概率。
马尔可夫链的定义及例子
3、转移概率
定义 i, j S, 称 P Xn1 j Xn i
的一步转移概率。
pij n 为n时刻
若i, j S, pij n pij ，即pij与n无关，称转移概率
具有平稳性.此时称{Xn,n≥0}为齐次（或时齐的）马尔 可夫链。记P=(pij)，称P为{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.
0
j!
j 0,1, i
pi0公式略有不同，它是服务台由有i个顾客转为空闲的
概率，即第n个顾客来到时刻到第n+1个顾客来到时刻之
间系统服务完的顾客数≥i+1。
pi0 P X n1 0 X n i P(Yn i 1) P(Yn k) k i1
et (t)k dG t ,
0 P{Yn
j Tn1 x}dG x
( x) j exdG x, j 0,1, 2,
0 j!
因此， {Xn，n≥1}是马尔可夫链。其转移概率为
P0 j P( X n1 j X n 0) P(Yn j X n 0)
P(Yn
P( X n1 in1 X n in )
所以{Xn,n≥0}是马尔可夫链，且
pij P( X n1 j X n i) P( f i,Yn1 j) P( f i,Y1 j)
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
一步转移概率矩阵
0.5009
0.0458 0.2559 0.1388 0.2134
0.0466 0.0988 0.36584 0.14264
离散时间马氏链例题
离散时间马氏链例题离散时间马氏链（离散时间马尔科夫链）是一种随机过程，其中每个状态的未来转变仅依赖于其当前状态，而不依赖于过去的状态或转变。
以下是离散时间马氏链的一个简单例题：天气预报问题假设明天的天气仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。
如果今天下雨，那么明天下雨的概率为0.7；如果今天不下雨，那么明天下雨的概率为0.4。
我们要求出今天下雨并且四天后仍然下雨的概率（假设α=0.7，β=0.4）。
解：定义状态：我们可以定义两个状态，状态0表示不下雨，状态1表示下雨。
建立转移概率矩阵：根据题目描述，我们可以得到以下的转移概率矩阵P：P = [0.6 0.4; 0.3 0.7]其中，P(i, j)表示从状态i转移到状态j的概率。
3. 应用马氏链的性质：我们知道马氏链的性质是未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
因此，我们可以使用转移概率矩阵来计算四天后仍然下雨的概率。
我们从今天下雨（状态1）开始，想要知道四天后仍然下雨的概率。
我们可以通过连续应用转移概率矩阵来计算这个概率：今天下雨并且四天后仍然下雨的概率= P(1, 1)^4但是这是错误的，因为我们不能直接取四次方。
正确的做法是，考虑所有可能的路径，即在这四天中，天气可能如何变化。
例如，它可能一直保持下雨，或者可能在中间某天下雨然后再次下雨等等。
我们需要考虑所有这些可能性。
但是，对于较大的n值，直接计算所有路径是不切实际的。
我们可以使用一种称为“稳态概率”的概念来简化计算。
稳态概率是指，当时间趋于无穷大时，马氏链处于某个特定状态的概率。
在这个例子中，我们可以计算出稳态概率，然后用它来估计四天后下雨的概率。
然而在这个特定的例子中，由于转移概率矩阵不是对称的，因此没有简单的公式可以直接计算出n步转移概率。
我们需要使用矩阵的n次幂来计算这个概率。
但是注意，我们不能简单地取P(1,1)的四次幂，因为那将假设每天都独立地下雨，而实际上每天的天气都依赖于前一天的天气。
《马氏链简介》课件
4 周期性
某些状态可以周期性地访问其他状态。
马氏链的状态和状态转移概率
状态
• 什么是状态？在轮盘赌中，可能的状态是数 字1到36。
• 状态也可以是有限和无限的符号序列、音符 或语言。
• 状态空间是状态转移概率？它是从当前状态到下 一个状态的概率。
• 状态转移概率通常用转移矩阵表示，转移矩 阵包含所有状态间的概率。
• 状态转移概率也可以是连续随机变量的概率 密度函数。
马氏链的平稳分布和收敛性
平稳分布 收敛速度 应用实例
当时间趋于无穷大时，马氏链的状态分布会收敛 到平稳分布。
收敛速度取决于马氏链的特性，包括连通性、可 逆性和状态转移概率。
平稳分布可用于模拟MC的渐近行为，预测马氏链 未来的状态。
马氏链的定义和概念
定义
什么是马氏链？它是一个随机过程，其下一个 状态只有当前状态有关。
转移概率
什么是转移概率？它是从一个状态到另一个状 态的概率。
状态空间
什么是状态空间？它是指所有可能状态的集合。
时间齐次性和无后效性
什么是时间齐次性和无后效性？简单来说，它 们是指转移概率不会随着时间而改变，未来的 状态只依赖于当前状态，而不依赖于先前状态。
马氏性假设
转移概率不会随着时间而改变， 未来的状态只依赖于当前状态， 而不依赖于先前状态。
马氏链的基本公式和性质
1 转移矩阵和状态向量
2 平稳分布
这些代数结构是描述马氏链基本特性的核心。
平稳分布是指当时间趋于无限大时，状态的 分布不再改变。
3 不可约性和遍历性
一些状态可以从其他状态到达，而一些状态 则不能。
马氏链简介
你听说过马氏链吗？无论你是在研究投资组合、社交网络还是天气预测，都 可以使用它来分析模式的发展。本课件将带你了解马氏链的定义、应用和基 本公式。
第9章马尔可夫预测方法讲述案例
（1） 保留策略
指尽力保留公司原有顾客的各种经营方针与对策，譬 如采用提供优质服务或对连续两期购货的顾客实行折 价优惠等方法。
假设甲公司采用保留策略后，减少了其原有顾客向乙、丙 两公司的流失，使保留率从原来的63.16％提高到80％，同 时向乙、丙两公司的转移概率分别为9%和11%，此时程序 中第（2）步的一步转移概率矩阵变为：
第9章 马尔可夫预测方法
9.1 马尔可夫链基本理论 9.2 案例分析
9.2.1市场占有率预测 9.2.2 股票价格走势预测 9.2.3 加权马氏链法预测证券指数走势 9.2.4 期望利润预测
9.1 马尔可夫链基本理论
9.1.1马尔可夫链基本概念 （1）马尔可夫链
设随机过程{ X (t) ,t T }，
（2） 争取策略
指从竞争者拥有的顾客中争取顾客的各种经营方针 与对策。如：通过广告等方法。
设甲公司采用争取策略后，能从上一期内向另外两 家公司购货的顾客中分别争取20％与15％，此时程 序中第（2）步的一步转移概率矩阵又变为：
0.6316 0.1579 0.2105
P
0.2
0.5759 0.2241
( j) 1 的唯一解
j0
注1
定理表明不论从链中哪一状态i出发，都能以正概率经 有限次转移到达链中预先指定的其它任一状态。
注2 定理给出了求平稳分布 ( j)的方法。
3．马尔可夫链预测基本步骤
（1）划分状态区间，确定状态空间I =[1, 2，…，N]；
（2）按步骤（1）所划分状态区间，确定资料序列中各时段指 标值所对应的状态；
设有限马氏链{ X n , n 0 }的状态空间为 I={0,1,2,…,s}
如果存在正整数n0 ，使对一切i, j I 都有pi(jn0 ) 0 ，
指尽力保留公司原有顾客的各种经营方针与对策，譬 如采用提供优质服务或对连续两期购货的顾客实行折 价优惠等方法。
假设甲公司采用保留策略后，减少了其原有顾客向乙、丙 两公司的流失，使保留率从原来的63.16％提高到80％，同 时向乙、丙两公司的转移概率分别为9%和11%，此时程序 中第（2）步的一步转移概率矩阵变为：
第9章 马尔可夫预测方法
9.1 马尔可夫链基本理论 9.2 案例分析
9.2.1市场占有率预测 9.2.2 股票价格走势预测 9.2.3 加权马氏链法预测证券指数走势 9.2.4 期望利润预测
9.1 马尔可夫链基本理论
9.1.1马尔可夫链基本概念 （1）马尔可夫链
设随机过程{ X (t) ,t T }，
（2） 争取策略
指从竞争者拥有的顾客中争取顾客的各种经营方针 与对策。如：通过广告等方法。
设甲公司采用争取策略后，能从上一期内向另外两 家公司购货的顾客中分别争取20％与15％，此时程 序中第（2）步的一步转移概率矩阵又变为：
0.6316 0.1579 0.2105
P
0.2
0.5759 0.2241
( j) 1 的唯一解
j0
注1
定理表明不论从链中哪一状态i出发，都能以正概率经 有限次转移到达链中预先指定的其它任一状态。
注2 定理给出了求平稳分布 ( j)的方法。
3．马尔可夫链预测基本步骤
（1）划分状态区间，确定状态空间I =[1, 2，…，N]；
（2）按步骤（1）所划分状态区间，确定资料序列中各时段指 标值所对应的状态；
设有限马氏链{ X n , n 0 }的状态空间为 I={0,1,2,…,s}
如果存在正整数n0 ，使对一切i, j I 都有pi(jn0 ) 0 ，
第十八讲马氏链
1
2
3
4
5
• 解：因为第n个时刻所处的位置只取决于前一个时 刻的位置，所以，Xn是马氏链。而且一步转移概率 矩阵为 1 2 3 4 5 1 1 0 0 0 0 2 p 0 q 0 0 P= 3 0 p 0 q 0 4 0 0 p 0 q 0 0 0 0 1 5
只取决于t1时刻的分布和多步转移概率
总结
• 对于齐次马氏链，只要知道初始分布和多 步转移概率矩阵，所有的分布就完全清楚 了。
作业P333
1、3、4、
= (0.61,0.39)
马氏链的n维分布
对于任意n个时刻，t1 < t 2 < ... < t n , 任意n个状态ai1 , ai2 ,...ain
P{ X t1 = ai1 , X t2 = ai2 ,..., X tn = ain }
= P{ X t1 = ai1 } ⋅ P{ X t2 = at2 | X t1 = ai1 } ⋅ P{ X t3 = ai3 | X t1 = ai1 , X t2 = ai2 } ...P{ X tn = ain | X t1 = at1 ,...X tn−1 = ain−1 }(乘积公式)
1
2
3
4
5
例2、(Random walk)带吸收壁的随机游动 一随机点Q在直线点集{1,2,3,4,5}作随机游动， 且仅在1秒,2秒,…,等时刻发生游动。若Q位于 2、3、4位置时，下一时刻左移一格的概率为 p,右移一格的概率为q=1-p；当Q位于1或5， 则下一时刻停留在原地. 设{Xn}表示n时刻Q的位置，试说明它是齐次 马氏链并求一步转移概率矩阵。
P{ X (0) = 3, X (1) = 2, X (2) = 1}
《马氏链及其应用》课件
马氏链的性质
总结词
马氏链具有无记忆性、强马尔可夫性和转移概率性等性质。
详细描述
马氏链的一个重要性质是无记忆性，即下一个状态与过去状 态无关，只与当前状态有关。此外，马氏链还具有强马尔可 夫性和转移概率性等性质，这些性质使得马氏链在描述随机 现象时具有独特的优势。
马氏链的分类
要点一
总结词
马氏链可以分为离散时间和连续时间的马氏链，以及有向 和无向的马氏链。
机器学习算法
马氏链在强化学习中用于 估计策略值函数和近似最 优策略，提高机器学习的 效率和准确性。
图像处理
通过马氏链模拟图像的随 机过程，实现图像的降噪 、增强和修复等处理。
数据压缩
利用马氏链对数据进行编 码和压缩，降低存储和传 输成本，提高数据处理的 效率。
在其他领域的应用
物理学中的随机过程模拟
在生态领域的应用
种群动态模拟
01
马氏链用于模拟物种数量的变化过程，研究种群的增长规律和
生态平衡机制。
生态系统稳定性分析
02
通过马氏链分析生态系统中的反馈机制和稳定性条件，评估生
态系统受到干扰后的恢复能力。
生物多样性保护
03
利用马氏链预测物种的灭绝风险和保护策略，为生物多样性保
护提供科学依据。
在计算机科学领域的应用
马氏链面临的挑战和问题
理论体系的完善
马氏链理论体系仍需不 断完善和发展，以适应 不断涌现的新问题和挑 战。
应用领域的拓展
尽管马氏链在某些领域 已经取得广泛应用，但 仍需拓展更多应用领域 ，解决实际问题。
计算效率的提高
随着数据规模的增大， 如何提高马氏链的计算 效率成为亟待解决的问 题。
THANKS
[学习笔记]马氏链模型
![[学习笔记]马氏链模型](https://img.taocdn.com/s3/m/772cbde79f3143323968011ca300a6c30c22f13e.png)
[学习笔记]马⽒链模型引例：（带有反射壁的随机徘徊）如果在原点右边距离原点⼀个单位及距原点 s(s > 1)个单位处各⽴⼀个弹性壁。
⼀个质点在数轴右半部从距原点两个单位处开始随机徘徊。
每次分别以概率 p(0 < p < 1) 和 q(q = 1− p) 向右和向左移动⼀个单位；若在+1 处，则以概率 p 反射到 2，以概率q 停在原处；在 s 处，则以概率 q 反射到 s −1，以概率 p 停在原处。
由该例⼦可以看出，我们所做的，是根据质点的移动⽅向和⽅向对应的概率，对质点的运动⽅向进⾏预测。
在这背景下，球移动的⽅向与概率只与当前的点有关，与它历史运动轨迹⽆关。
因此，这种现象可以⽤⼀句话来概括：某⼀系统在已知现在情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有关，⽽与过去的历史⽆直接关系。
描述这类随机现象的数学模型称为马⽒模型。
概念以及定理：时齐性：它的含义是：系统由状态i 到状态j 的转移概率只依赖于时间间隔的长短，与起始的时刻⽆关。
在此马⽒链假定都是时齐的，因此省略“时齐”⼆字。
n可以理解成起点的位置n=1，2… m表⽰从n开始的时间间隔，i与j分别表⽰n点的状态与n+m点的状态。
由式⼦可以看出，概率与n⽆关，只与起点状态，终点状态，以及两点之间的距离有关。
转移概率矩阵： m 步转移概率 p (m) ij 为元素的矩阵 为马尔可夫链的m 步转移矩阵。
当m = 1时，记 P(1) = P 称为马尔可夫链的⼀步转移矩阵，或简称转移矩阵。
（下⾯是⼀个转移矩阵）并且由上⾯的图可以看出⼀些性质：(1)上次购买的A对应下次购买的A、B、C的概率，每⼀个都在范⽂[0,1]，⽽且总和是1.(2)当步数为0时，若前后状态相同，概率为1。
状态不同概率为0。
吸收链：如果马⽒链⾄少含有⼀个吸收状态，并且从每⼀个⾮吸收状态出发，都可以到达某个吸收状态，那么这个马⽒链被称为吸收链。
如图，当状态到4的时候就会停留到4，状态4也就被称为吸收状态。
马尔可夫链模型课件
M/G/1排队系统中字母M代表顾客来到时间间隔服从 指数分布， G代表服务时间的分布， 数字1代表只有一个 服务员。
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不 具马尔可夫性。因为，若我们知道在t时刻系统中的顾客 数，那么为了预测将来的状态，我们不用关心从最近的一 位顾客来到后已过去了多长时间（因为来到过程是无记忆 的），但和服务中的顾客服务了多长时间有关（因为服务 时间分布不具无记忆性）。
销，2代表滞销。以X n 表示第n个季度的味精销售状态，
则 X n 可取1或2的值。若未来的味精市场状态只与现在的 市场状态有关，与以前的市场状态无关，则味精的市场销
售状态 {X n , n 1} 构成一个马尔可夫链。
设
P( X n1 j X n i) pij
p11 0.5 p12 0.5
马氏链模型
描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型
• 系统在每个时期所处的状态是随机的 • 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 • 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率
已知现在，将来与过去无关（无后效性）
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
例如：在某数字通信系统中传递0，1两种信
解：一步转移概率为：
Pi,i1 Pi,i1
p q
1
p
Pi,
j
0
(j i-1,i+1)
........................
...q
0
p
0
0...
P ...0 q 0 p 0...
...0
0
q
0
p...
........................
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不 具马尔可夫性。因为，若我们知道在t时刻系统中的顾客 数，那么为了预测将来的状态，我们不用关心从最近的一 位顾客来到后已过去了多长时间（因为来到过程是无记忆 的），但和服务中的顾客服务了多长时间有关（因为服务 时间分布不具无记忆性）。
销，2代表滞销。以X n 表示第n个季度的味精销售状态，
则 X n 可取1或2的值。若未来的味精市场状态只与现在的 市场状态有关，与以前的市场状态无关，则味精的市场销
售状态 {X n , n 1} 构成一个马尔可夫链。
设
P( X n1 j X n i) pij
p11 0.5 p12 0.5
马氏链模型
描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型
• 系统在每个时期所处的状态是随机的 • 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 • 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率
已知现在，将来与过去无关（无后效性）
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
例如：在某数字通信系统中传递0，1两种信
解：一步转移概率为：
Pi,i1 Pi,i1
p q
1
p
Pi,
j
0
(j i-1,i+1)
........................
...q
0
p
0
0...
P ...0 q 0 p 0...
...0
0
q
0
p...
........................
状态转移模型
来研究此生态系统问题，其转移概率列表于下：
相应的转移矩阵 为：
0.4 0.4 0 0.2
M 0.1 0.3 0.60Biblioteka 0.7 0 0.2 0.1
0
0
0
1
且Sj+1=SjM
首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有 （1）
（I , j=01,…P,ign） 1 n
马氏链模型的性质完全由其转移矩 阵决定，故研究马氏链的数学工
§4.3 马氏链模型
随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘，人们越来越注重 遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，已引起人们 广泛的注意。无论是人，还是动、植物都会将本身的特征 遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形 成自己的基因对，由基因又确定了后代所表现的特征。本 节将利用数学的 马氏链方法来建立相应的遗传模型等，并 讨论几个简单而又有趣的实例。 马氏链（马尔柯夫链）研究的是一类重要的随机过程，研 究对象的状 态s(t)是不确定的，它可能 取K种 状态 si(i=1,…,k)之一，有时甚至可取无穷多种状态。在建模时， 时间变量也被离散化，我们希望通过建立两个相邻时刻研 究对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律， 故马氏链研究的也是一类状态转移问题。
x(n)
an
bn
cn
（注：这里M为转移矩阵的位置）
由（4.5）式递推，得
x(n) Mx (n1) M 2 x(n2) M n x(0) (4.6)
（4.6）式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。
为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩 阵P和对角
库D，使
M=PDP-1
因而有
p31 p32 p33
例4.7 研究某一草原生态系统i中+1物时段质状磷态的循环，考 虑系这状土统四态壤之种转中 外 状移S含 四 态1概土磷磷 种 。率壤、 状 以含牧态年草，为0S含分时.14 磷别间、参以牛数S0S羊，.214 ，体一S内年2含 内，S0磷 如S3 3和 果和流 土S4失 壤表0S.于 中42示 的外吃归i时磷的掉还态段状以概而土0率 转 壤.SS4为 换 ；32羊牧的磷磷到 牛体草0概.牛 羊含含2率；羊体被牧体中牧00草内的..71草中，磷生的0长.以含1吸的00磷0..3概收7以的率，概0随水.率6牧土00的..因26草流概粪枯失率便死于被排腐系0牛0.泄1败统羊 而场还而归转土 移S壤 到4流统， 系失外又 统系以外自。0我身们0.可1的以比0建率立因一屠个宰0马后尔投柯放夫市1链
相应的转移矩阵 为：
0.4 0.4 0 0.2
M 0.1 0.3 0.60Biblioteka 0.7 0 0.2 0.1
0
0
0
1
且Sj+1=SjM
首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有 （1）
（I , j=01,…P,ign） 1 n
马氏链模型的性质完全由其转移矩 阵决定，故研究马氏链的数学工
§4.3 马氏链模型
随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘，人们越来越注重 遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，已引起人们 广泛的注意。无论是人，还是动、植物都会将本身的特征 遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形 成自己的基因对，由基因又确定了后代所表现的特征。本 节将利用数学的 马氏链方法来建立相应的遗传模型等，并 讨论几个简单而又有趣的实例。 马氏链（马尔柯夫链）研究的是一类重要的随机过程，研 究对象的状 态s(t)是不确定的，它可能 取K种 状态 si(i=1,…,k)之一，有时甚至可取无穷多种状态。在建模时， 时间变量也被离散化，我们希望通过建立两个相邻时刻研 究对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律， 故马氏链研究的也是一类状态转移问题。
x(n)
an
bn
cn
（注：这里M为转移矩阵的位置）
由（4.5）式递推，得
x(n) Mx (n1) M 2 x(n2) M n x(0) (4.6)
（4.6）式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。
为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩 阵P和对角
库D，使
M=PDP-1
因而有
p31 p32 p33
例4.7 研究某一草原生态系统i中+1物时段质状磷态的循环，考 虑系这状土统四态壤之种转中 外 状移S含 四 态1概土磷磷 种 。率壤、 状 以含牧态年草，为0S含分时.14 磷别间、参以牛数S0S羊，.214 ，体一S内年2含 内，S0磷 如S3 3和 果和流 土S4失 壤表0S.于 中42示 的外吃归i时磷的掉还态段状以概而土0率 转 壤.SS4为 换 ；32羊牧的磷磷到 牛体草0概.牛 羊含含2率；羊体被牧体中牧00草内的..71草中，磷生的0长.以含1吸的00磷0..3概收7以的率，概0随水.率6牧土00的..因26草流概粪枯失率便死于被排腐系0牛0.泄1败统羊 而场还而归转土 移S壤 到4流统， 系失外又 统系以外自。0我身们0.可1的以比0建率立因一屠个宰0马后尔投柯放夫市1链
(完整word版)马尔可夫链的概念及转移概率(word文档良心出品)
2). ������1 ∪ ������2 ∪ ⋯ ∪ ������������ = ������，且有P(������������) > 0, i = 1,2, ⋯ , n，则 P(A) = ∑������������=1 P(������������)P(������|������������)
������{������������+1 = ������������+1|������0 = ������0, ������1 = ������1, … , ������������ = ������������}
= ������{������������+1 = ������������+1|������������ = ������������}
要到从箱子中再抽出一球后才放回箱中，每抽出一球作为一次取样试验。 现引进随机变量序列为{X(n), n = 1,2, ⋯ },每次取样试验的所有可能结果只
可见，马尔科夫链的统计特性完全由条件概率
������{������������+1 = ������������+1|������������ = ������������} 所决定。如何确定这个条件概率，是马尔科夫链理论和应用中的重要问题之一。
现举一例说明上述概念： 例 4.1.1 箱中装有 c 个白球和 d 个黑球，每次从箱子中任取一球，抽出的球
(4.1.1)
则称{������������, n ∈ T}为马尔科夫链，简称马氏链。
式(4.1.1)即为马氏链，他表明在状态������(0) = ������0, ������(1) = ������1, … ������(n) = ������������已知的
马氏链平稳分布应用案例的教学设计
马氏链平稳分布应用案例的教学设计
刘秀芹;李娜;张志刚
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2022(38)2
【摘要】马氏链的平稳分布在实际中应用非常广泛,本文介绍了它的一个经典应用案例——市场占有率预测问题的教学设计.本设计从实际生活中的问题引入,以问题为导向,引发同学们的好奇心,从提出问题、分析问题、介绍解决问题的基本原理和方法、再拓展问题,从形象的描述引出抽象的概念,讲解过程中适当融入思政元素,让随机过程教学起到“润物无声”教书育人的效果.
【总页数】6页(P98-103)
【作者】刘秀芹;李娜;张志刚
【作者单位】北京科技大学数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O177.5
【相关文献】
1.吸收的随机单调马氏链的拟平稳分布
2.马氏链平稳分布存在与唯一性的简洁证明与计算
3.连续时间马氏链中拟平稳分布和不变分布之间的关系
4.平稳遍历马氏链部分和序列最小值分布的渐近估计及其应用
5.剖析马氏链平稳分布的讲解——谈《应用随机过程》教学
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数学模型4-1马氏模型
马氏链的遍历极限(II)
若马氏链{ξn: n≥ 0}的状态空间S为有限 集(不妨设S={1,2,L, N}),且转移矩阵 矩阵的每个元素为正,则它存在唯一不 变概率分布π=(π1,π2,L, πN), 满足如下 (指数)遍历性
4
马氏链的遍历极限(III)
令Ti(ω)是(ξ1(ω),L,ξn(ω))首次出现状态 i 的时间.那么μi=E(Ti(ω) | ξ0(ω)=i)就是 一个平均返回(状态i)时间.有结论如下
也就是说随机过程下一时间的发展只和包括当 前时间在内的最近的k个时间的状态有关 而和 这k个时间之前的历史没有关系, (其中k=0, 1, 2, L) ,我们把这样的随机过程叫做k-阶马氏 链.
关于名称的一点说明
参考书中,看到马氏链(过程)的时候要根据上下 文进行判断.有的时候是指普遍的马氏链(包括 高阶,一阶,零阶),有时候特指一阶马氏链. 在大多数情况下,如不特别说明,通常是特指 一阶时齐的马氏链. 如果将一个 k-阶马氏链的相邻 k 个时间的状态 合为一个新的状态: yn=(xn,xn-1,L,xn-k+1) ,则 {yn} 是一个 1-阶马氏链.程
3
时齐马氏链性质 (I)
时齐马氏链由转移概率矩阵和初分布完 全确定,设转移概率矩阵为P=(pij),初 始分布: ,则
时齐马氏链性质 (II)
若记μi(n)=P(ξn=i), μ(n)=(μi(n): i∈ S),即 所谓绝对概率,则:
马氏链的不变分布
记之为pi,j(n,n+k) 矩阵P(n,n+k)=( pi,j(n,n+k) )称为从n出 发的k步转移概率矩阵
高阶马氏过程
若一个随机过程满足:
零(1)阶马氏过程
马氏链模型简介与案列分析
…… …… …… ……
9
健康与疾病模型
状态概率a(n)如下表
n a1(n)
0 0
1 0.7 0.3
2 0.77 0.23
3 0.777 0.223
… … …
∞ 7/9a2ຫໍສະໝຸດ n)12/910
健康与疾病模型
综上，状态概率a(n)如下表
设投保时
n
a1(n) a2(n) a1(n) a2(n)
0
1 0 0 1
…… …… …… ……
7
健康与疾病模型
状态概率a(n)如下表
n a1(n) a2(n)
0 1 0
1 0.8 0.2
2
0.78 0.22
3
0.778 0.222
…
… …
∞ 7/9 2/9
8
健康与疾病模型
② 设投保时疾病，即a1(0)=0，a2(0)=1由马氏链的基本方程
a1 (1) a1 (0) p11 a2 (0) p21 0 0.8 1 0.7 0.7 a2 (1) a1 (0) p12 a2 (0) p22 0 0.2 1 0.3 0.3 a1 (2) a1 (1) p11 a2 (1) p21 0.7 0.8 0.3 0.7 0.77 a2 (2) a1 (1) p12 a2 (1) p22 0.7 0.2 0.3 0.3 0.23
Xn+1只取决于 Xn 和 pij, 与 Xn-1, …无关 状态转移具有无后效性
14
状态概率 ai (n) P( X n i ), i 1,2; n 0,1,
转移概率 pij P( X n1 j X n i ), i , j 1,2; n 0,1,
9
健康与疾病模型
状态概率a(n)如下表
n a1(n)
0 0
1 0.7 0.3
2 0.77 0.23
3 0.777 0.223
… … …
∞ 7/9a2ຫໍສະໝຸດ n)12/910
健康与疾病模型
综上，状态概率a(n)如下表
设投保时
n
a1(n) a2(n) a1(n) a2(n)
0
1 0 0 1
…… …… …… ……
7
健康与疾病模型
状态概率a(n)如下表
n a1(n) a2(n)
0 1 0
1 0.8 0.2
2
0.78 0.22
3
0.778 0.222
…
… …
∞ 7/9 2/9
8
健康与疾病模型
② 设投保时疾病，即a1(0)=0，a2(0)=1由马氏链的基本方程
a1 (1) a1 (0) p11 a2 (0) p21 0 0.8 1 0.7 0.7 a2 (1) a1 (0) p12 a2 (0) p22 0 0.2 1 0.3 0.3 a1 (2) a1 (1) p11 a2 (1) p21 0.7 0.8 0.3 0.7 0.77 a2 (2) a1 (1) p12 a2 (1) p22 0.7 0.2 0.3 0.3 0.23
Xn+1只取决于 Xn 和 pij, 与 Xn-1, …无关 状态转移具有无后效性
14
状态概率 ai (n) P( X n i ), i 1,2; n 0,1,
转移概率 pij P( X n1 j X n i ), i , j 1,2; n 0,1,
马氏链及其应用
1 t 1 1 t p11 2 t p21 n t pn1 2 t 1 1 t p12 2 t p22 n t pn 2 ⑼ . t 1 t p t p t p 1 1n 2 2n n nn n
三种状态的转移概率
平行于⑴式，有
n1 1 n 1 p11 n 2 p21 n 3 p31 ,
n1 2 n 1 p12 n 2 p22 n 3 p32 , ⑷
n1 3 n 1 p31 n 2 p32 n 3 p33 ,
马尔科夫连原理及其建模实例
马氏链及其应用
1.一个简单的例子 我们知道，人寿保险公司最为关心的是投保人的健康
与疾病以及相应的风险。通过下面的例子我们来看保险 公司是如何处理这类问题的。
问题的提出 设t
1,2,3,
表示年龄的时段，假定在一年中，今
年健康而明年患病的概率是0.2, 而今年患病明年转为健
0时系统的状态概率向量，又称为
例
在前两例中，初始向量与概率转移矩阵分别为
0 0.8,0.2 ,
0.8 0.2 P , 0.7 0.3
0.8 0.18 0.02 0 0.75,0.25,0 , P 0.65 0.25 0.1 . 0 0 1
n 1 1 0.8 0.78 0.778 0.7778 n 2 0 0.2 0.22 0.222 0.2222
若投保人在开始时处于疾病状态，即0 1 0, 0 2 1. 则有
n
0
1
2
3
4
马尔科夫链例题整理
1 6 1 6 1 6 4 6 0 0
1 6 1 6 1 6 1 6 5 6 1
1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 0
例1
甲、乙两人进行比赛，设每局比赛中甲胜的概率 是p，乙胜的概率是q，和局的概率是 r ， （ p q r 1 ）。设每局比赛后，胜者记“+1” 分，负者记“—1”分，和局不记分。当两人中有 一人获得2分结束比赛。以 X n 表示比赛至第n 局时甲获得的分数。 （1）写出状态空间； （2）求 P(2) ； （3）问在甲获得1分的情况下，再赛二局可 以结束比赛的概率是多少？
q c 1 ( ) p
首页
例3 排队问题 顾客到服务台排队等候服务，在每一个服务周期中只 要服务台前有顾客在等待，就要对排在前面的一位提 供服务，若服务台前无顾客时就不能实施服务。
设在第 n 个服务周期中到达的顾客数为一随机变量 Yn
且诸Yn 独立同分布：
P Yn k ) pk ， k 0,1, 2, L ， （
P(Yn 0) p0
首页
所以转移矩阵为
p0 p 0 P 0 1 0 L
0 0 0 p 1
首页
（2）二步转移概率矩阵
P
(2)
P
2
1 q rp q2 0 0
0 r 2 pq 2rq q 0
2
0 2 pr r 2 2 pq 2qr 0
0 p2 2 pr r pq 0
2
0 0 p2 p rp 1
首页
（3）
在P
(2)
中 p (2) 45 是在甲得 1 分的情况下经二步转移至得 2 分
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状态与状态转移 状态Xn=
1, 第n年健康 2, 第n年疾病
Xn+1只取决于Xn和Pij, 与Xn-1,...无关
状态转移具 有无后效性
状态与状态转移
设投保 时健康
设投保 时疾病
健康与疾病
例2. 健康与疾病状态同上,Xn=1~健康, Xn=2~疾 病,死亡为第3种状态,记Xn=3
状态与状态转移
马氏链的基本方程
基本方程
马氏链的两个重要类型收链 的转移概率阵标准形式
R有非零元素
3.2 钢琴销售的存贮策略
背景与问题
钢琴销售量很小,商店的库存量不大以免积压资金. 钢琴销售量很小,商店的库存量不大以免积压资金. 一家商店根据经验估计, 一家商店根据经验估计,平均每周的钢琴需求为一架 存贮策略:每周末检查库存量,仅当库存量为零时, 存贮策略:每周末检查库存量,仅当库存量为零时,才 订购3架供下周销售;否则,不订购. 订购 架供下周销售;否则,不订购. 架供下周销售 估计在这种策略下失去销售的机会的可能性有多大, 估计在这种策略下失去销售的机会的可能性有多大,以 及每周的平均销售量是多少. 及每周的平均销售量是多少.
问题分析
顾客的到来相互独立,需求量近似服从泊松分布, 顾客的到来相互独立,需求量近似服从泊松分布,其参 数由需求均值为每周一架确定,由此计算需求概率. 数由需求均值为每周一架确定,由此计算需求概率.
动态过程中每周销售量不同,失去销售机会( 动态过程中每周销售量不同,失去销售机会(需求超 过库存) 过库存)的概率不同 可按稳态情况(时间充分长以后) 可按稳态情况(时间充分长以后)计算失去销售机会的 概率和每周的平均销售量
模型假设 钢琴每周需求量服从泊松分布,均值为每周1架 钢琴每周需求量服从泊松分布,均值为每周 架
在稳态情况下, 在稳态情况下,计算该存贮策略失去销售机会 的概率,和每周的平均销售量. 的概率,和每周的平均销售量.
�
第三部分 马氏链模型案例
3.1 健康与疾病 3.2 钢琴销售的存储策略 3.3 基因遗传 3.4 等级结构
马氏链模型 描述一类重要的随机动态系统(过程)的模型. 描述一类重要的随机动态系统(过程)的模型. 随机动态系统 系统在每个时期所处的状态时随机的 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 下时期状态值取决于本时期状态和转移概率 已知现在,将来与过去无关(无后效性) 已知现在,将来与过去无关(无后效性) 马氏链( 马氏链(Markov Chain) ) ——时间,状态均为离散的随机转移过程 时间, 时间
3.1 健康与疾病
通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质, 通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质, 人的健康状态随着时间的推移会随机的发生转变 保险公司要对投保人未来的健康状态做出估计, 保险公司要对投保人未来的健康状态做出估计,以制 定保险金和理赔金的数额 例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态,设对特定 人的健康状况分为健康和疾病两种状态, 年龄段的人,今年健康, 年龄段的人,今年健康,明年保持健康状态的概率为 0.8,而今年患病,明年转为健康状态的概率为 , ,而今年患病,明年转为健康状态的概率为0.7, 若某人投保时健康,问10年后他仍处于健康状态的概率