线性方程组的解的判定

例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
-
x2 x2
x3 x3
-
x4 0 3x4 1
.
x1 - x2 - 2x3 3x4 -1 2
解 对增广矩阵B进行初等变换
1 - 1 - 1 1 0 1 - 1 - 1 1 0 B 1 -1 1 - 3 1 ~ 0 0 2 - 4 1
1 - 1 - 2 3 - 1 2 0 0 - 1 2 - 1 2
x2 a2 a3 a4 x5 x3 a3 a4 x5
x4 a4 x5
x5为任意实数 .
定理3 矩阵方程AX B有解的充要条件是
R( A) R( AMB) 证：设 Ams X sn Bmn , 对X、B按列分块，得
X ( X1, X 2 ,L X n ), B (b1,b2 ,L bn ), 则AX B等价于A( X1, X2,L Xn ) (b1,b2,L bn )
定义：方程组的含有参数的任一解，称为线性 方程组的通解．
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解；
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
二、线性方程组的解法
例1 求解齐次线性方程组
x1 2 x1
2x2 x3 x2 - 2x3
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
1 - 1 0 0 0 a1
0 1 - 1 0 0 a2
B 0
0
1
-1
0
a3
0 0 0 1 - 1 a4
- 1 0 0 0 1 a5
1 - 1 0 0 0 0 1 -1 0 0
a1 a2
RA RB
~
0
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩， 讨论线性方程组 Ax b 的解．
定理1 n 元齐次线性方程组 Amn X 0 有非零解
的充分必要条件是系数矩阵的秩 R A n.
证 必要性. 设方程组 Ax 0 有非零解，
设RA n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而
x1
2c1
5 3
c2 ,
x2
-2c1
-
4 3
c2 ,
x3 c1,
x4 c2,
5
x1 x2 x3 x4
c1
2 -2 1 0
c2
3 -4
3 0
1
.
例２ 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
2 -
x2 x2
3x3 5x3
-
x4 3 x4
1,
Dn所对应的 n个方程只有零解 根据克拉默定理 ,
这与原方程组有非零解相矛盾，
R( A) n 不能成立． 即 RA n. 充分性. 设 RA r n,
则 A 的行阶梯形矩阵只含 r 个非零行， 从而知其有 n - r 个自由未知量 . 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解.
1 4
1
r1
- 2r2
0
0 1
-2 2
-5 3 4
r2
(-3)
0Βιβλιοθήκη Baidu
0
0
3 0
3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
x1 x2
2 2
x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
0, 0,
由此即得
x1 x2
2
x3
5 3
x4
,
-2
x3
-
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
设 RA RB rr n,
则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行，
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,
其余n - r个作为自由未知量,
并令 n - r个自由未知量全取0，
即可得方程组的一个解．
证毕
小结 RA RB n Ax b有唯一解
RA RB n Ax b有无穷多解.
定理2 n 元非齐次线性方程组 Amn X b 有解 的充分必要条件是系数矩阵 A的秩等于增广矩
阵 B A,b 的秩.
证 必要性．设方程组 AX b 有解, 显然R( A) R( AMb) R(B), 对B实施初等列变换可得( AMO),
因此 RA RB.
充分性. 设 RA RB,
2,
2x1 x2 2x3 - 2x4 3.
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 B 3
-2 -1
3 5
-1 -3
1 2
r2 - 2r1 1
r3
-
r1
0
-2 5
3 -4
-1 0
1 - 1
2 1 2 - 2 3 r3 - r2 0 50 -04 0 12
显然，R( A) 2, R(B) 3, 故方程组无解．
0
0 0
1 -1 0 0 1 -1
a3
a4
5
ai 0
i 1
5
0 0 0 0 0 ai
i1
5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 - x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
-
x3 x4
a2 a3
由此得通解：
x4 - x5 a4
x1 a1 a2 a3 a4 x5
x4 0 - 2x4
0
.
x1 - x2 - 4 x3 - 3 x4 0
解 对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 A 2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 - 2 - 3
r2 r3
-
2r1 r1
1 0 0
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
r3 - r2
1 0
2 1
2 2
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2
x2 x3 x4
x2
1 0
0
x4
0 2 1
102 .
0
其中x2 , x4任意.
x1 - x2 a1
例４
证明方
程组
x2 x3
-
x3 x4
a2 a3
x4
-
x5
a4
x5 - x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
1 - 1 0 - 1 1 2 ~ 0 0 1 - 2 1 2.
0 0 0 0 0
由于RA RB 2, 故方程组有解，且有
x1 x2 x4 1 2
x1 x3
x2 x4 1 2x4 1 2
2
x2 x3
x2 0 x4 0x2 2x4
1
2
x4 0 x2 x4
即( AX1, AX2 ,L AXn ) (b1,b2 ,L bn ) 所以等价于AXi bi ,i 1,2,L n. () : 若R( A) R( AMB), ( AMB) ( A,b1,b2,L bn ), 又R( A) R( AMbi ) R( AMB), R( A) R( AMbi ) 由定理2知，存在X i ,使得AX i bi 故存在X ,使得AX B