运筹学5(动态规划)

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2）、 状态 ( state) 各阶段开始时的出发点称作状态。 描述各阶段状态的变量，称作状态变量，用sk 表示。
在例７.1 中，第一阶段的状态为 A ，第二阶段的状态为城市 B1，B2 所以状态变量 S1 的集合 S1={A},S2 的集合是 S2={B1,B2,B3}, 和 B3。 依次有 S3={C1,C2,C3}, S4={D1,D2} 。
为了求出例７.1的最短路线,一个简单的方法是,可以求出 所有从A到E的可能走法的路长并加以比较。不难知道,从A到 E共有18条不同的路线,每条路线有四个阶段,要做3次加法,要 求出最短路线需做54次加法运算和17次比较运算,这叫做穷举 法。 当问题的段数很多,各段的状态也很多时,这种方法的计算 量会大大增加,甚至使得寻优成为不可能。
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3）、 决策（Decision )
当各阶段的状态确定以后，就可以做出不同的决定或选择，从而确 定下一阶段的状态，这种决定就是决策，表示决策的变量称为决策变量。 常用 X k （ s k ）表示第 K 阶段当状态为 s k 时的决策变量，
在例７.1中第二阶段如决定从B1出发，即S2=B1，可选择走C1或C2，
第七章 动态规划
７.1 动态规划问题和基本概念 ７.2 动态规划的基本原理 ７.3 动态规划的应用
引言
动态规划与多阶段决策：
多阶段决策是指这样一类特殊的活动过程, 它们可以按时间顺序分 解成若干相互联系的阶段, 每个阶段都要作出决策, 全部过程的决策是 一个决策序列, 所以多阶段决策问题又称为序贯决策问题。
其中， Tk 表示从状态 s k 出发经过 xk 向下一阶段的转移 (Transfer) ，换 言之，即 s k +1 是从状态 s k 出发经过决策 xk 转移的结果。 由于上式表示了由 K 段到第 K+1 段的状态转移规律，所以就称为状态 转移方程。在例 ７.1中, 状态转移方程即 s k +1 ＝ x k 。
例中，路线图(共18条路线,3×3×2×1=18)
枚举法：
例中，路线图(共18条路线,3×3×2×1=18)
为解决这个最短路径问题，首先给出几个定义。
1）、阶段 (stage) 将所给问题的过程，按时间或空间特征分解成若干相互联系的段落， 以便按次序求解就形成了阶段 , 阶段变量常用字母 K 来表示。如例 ７.1 有四个阶段， K 就等于 。第一阶段共有 3 条路线即 (A,B1), (A,B2) 和(A,B3), 第二阶段有 9 条路线，第 3 阶段有 6 条路线 , 第 4 阶段有 2 条 路线。
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S1
S2
S3
S4
d (C3 , D1 ) + f 4 ( D1 ) 1+ 4 =min =5 f 3 （ C 3 ）＝min d (C3 , D2 ) + f 4 ( D2 ) 3+3
d (C1 , D1 ) + f 4 ( D1 ) 3+ 4 =min =7 f 3 （ C1 ）＝min d(C1 , D2 ) + f 4 ( D2 ) 5+3
（ C1 ）= D1
这说明 , 由 c1 到 E 的最短距离为 7, 其路径为以 C1 → D1 →E,相应的决策 为x
* 3
1 S1 S2
多阶段决策的目标是要达到整个活动过程的总体效果最优 , 所以多 阶段决策又叫做过程最优化。 所谓动态规划， 就是解决多阶段决策和过程最优化问题的一
种规划方法。
７.1
动态规划问题和基本概念
例７.1 最短路问题 设A地的某一企业要把一批货物由A地运到E城销售, 其间 要经过八个城市,各城市间的交通路线及距离如下图所示, 问应 选择什么路线才能使总的距离最短?
状态变量S4可取两种状态D1, D2,它们到E点的距离 分别为4和3,这也就是由D1和D2到终点E 的最短距离， 即 f4(D1)=4, f4(D2)=3.
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S1
S2
S3
S4
第二步 ,K=3 状态变量 S3 可取 3 个值即 C1,C2 和 C3。
为方便应用，规定用d(sk，sk+1)表示由状态sk出发，到达下一阶段sk+1时的 两点距离。
在例７.1中，目标函数就是距离。如在第2阶段，状 态为B2时，f2 (B2)则表示从B2到E的最短距离。本问题 的总目标是求f 1(A), 即从A到E的最短距离。
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6）、 状态转移方程 在动态规划中，本阶段的状态往往是上阶段决策的结果。所以如果给 定了第 K 阶段的状态 s k 和该阶段的决策 x k ( s k ) ，则第 K+1 段的状态 s k +1 由于 K 阶段决策的完成也就完全确定了 , 它们之间的关系可用如下公式表示： s k +1 ＝ Tk （ s k ， x k ）
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下面应用动态规划方法求解例７.1。运用逆序递 推方法求解,即由最后一段到第一段逐步求出各点到 终点的最短路线,最后求出A点到E点的最短路线。 运用逆序递推方法的好处是可以始终盯住目标,不 致脱离最终目标。 例７.1是一个四阶段决策问题,一般可分为四步：
●逆序法求解最短路问题
第一步,从K=4开始
2 S3
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S4
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d (C 2 , D1 ) + f 4 ( D1 ) 6+4 =min =5 f 3 （ C2 ）＝min d (C 2 , D2 ) + f 4 ( D2 ) 2+3 即从 C2 到 E 的最短距离为 5, 其路径为 C2 → D2 →E,相应的决策为
* x3 （ C 2 ） = D2
C3 ，如果我们选择，从C2走，则此时的决策变量可表示x2(B1)=C2。
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4）、策略（ Policy）
在各阶段决策确定以后，整个问题的决策序列就构成了一个策略, 用P1n(s1)表示。 如对于例７.1总共可有18个策略，但最优策略只有一个。
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2Biblioteka Baidu
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5）、目标函数
用于衡量所选定策略优劣的数量指标称作目标函数。 一个n阶段的决策过程，从1到n 叫作问题的原过程。 目标函数的最优值称为最优目标函数，最优目标函 数记为fk(sk)，它表示从第K阶段的状态Sk出发采用的最优 , 策略。 当K=1时, f1(s1 )就是从初始状态S1到全过程结束的整体 最优目标函数。