因式分解难题汇编及解析

14．若 a、b、c 为 ABC 三边，且满足 a2c2 b2c2 a4 b4 ，则 ABC 的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均有可能
【答案】D
【解析】
【分析】
把已知等式左边分解得到 a ba b c2 a2 b2 0 ， a b =0 或 c2 a2 b2 =0，即 a=b 或 c2 a2 b2 ，然后根据等腰三角形和直角三角形的判定方法
8．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．16x2 1
【答案】D 【解析】
B． x2 2x 1
C． a2 2ab 4b2
D． x2 x 1 4
【分析】
根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形
式，另一项是这两个数的积的 2 倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.
C、等式左边是单项式，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，故本选项正确．
故选 D．
【点睛】
本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于 0 的形式是 解题的关键.
5．已知 20102021 20102019 2010x 2009 2011，那么 x 的值为（ ）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021．
【答案】B
【解析】 【分析】
将 20102021 20102019 进行因式分解为 20102019 2009 2011，因为左右两边相等，故可
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，可以得到 b 与 a、c 的关系，从而可以判断 b 的正负和 b2﹣
ac 的正负情况．
【详解】
∵a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，
∴a+c＝﹣2b，
∴a﹣2b+c＝（a+c）﹣2b＝﹣4b＜0，
∴b＞0，
∴b2﹣ac＝
a
2
c
2
因式分解难题汇编及解析
一、选择题
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2=（x﹣y）2
B．a2+a+1=（a+1）2
C．xy﹣x=x（y﹣1）
D．2x+y=2（x+y）
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故此选项错误；
B、a2+a+1 无法因式分解，故此选项错误；
【点睛】
此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键.
9．若实数 x 满足 x2 2x 1 0 ，则 2x3 7x2 4x 2017 的值为( )
A． 2019
B． 2019
C． 2020
D． 2020
【答案】D
【解析】
【ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ析】
根据 x2 2x 1 0 推出 x2-2x=1，然后把-7x2 分解成-4x2-3x2，然后把所求代数式整理成用
【详解】
A. 16x2 1只有两项，不符合完全平方公式；
B. x2 2x 1其中 x2 、-1 不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
C. a2 2ab 4b2 ，其中 a2 与 4b2 不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
D. x2 x 1 符合完全平方公式定义， 4
故选：D.
个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．下列分解因式正确的是（ ） A．x2-x+2=x（x-1）+2 B．x2-x=x（x-1） 【答案】B
C．x-1=x（1- 1 ） x
D．（x-1）2=x2-2x+1
【解析】 【分析】 根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】 A、x2-x+2=x（x-1）+2，不是分解因式，故选项错误； B、x2-x=x（x-1），故选项正确；
x2-2x 表示的形式，然后代入数据计算求解即可．
【详解】
解：∵x2-2x-1=0，
∴x2-2x=1， 2x3-7x2+4x-2017 =2x3-4x2-3x2+4x-2017， =2x（x2-2x）-3x2+4x-2017，
=6x-3x2-2017， =-3（x2-2x）-2017
=-3-2017 =-2020 故选 D. 【点睛】 本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整 体代入思想的利用比较重要．
判断． 【详解】
因为 a、b、c 为 ABC 三边， a2c2 b2c2 a4 b4
所以 a ba b c2 a2 b2 0 所以 a b =0 或 c2 a2 b2 =0，即 a=b 或 c2 a2 b2
所以 ABC 的形状是等腰三角形、等腰三角形、等腰直角三角形
∴x=2019 故选：B． 【点睛】 本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解 题的关键．
6．将多项式 4x2+1 再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2 的形式，以下是四位学生所加 的项，其中错误的是（ ） A．2x B．﹣4x C．4x4 D．4x 【答案】A 【解析】 【分析】 分别将四个选项中的式子与多项式 4x2+1 结合，然后判断是否为完全平方式即可得答案. 【详解】 A、4x2+1+2x，不是完全平方式，不能利用完全平方公式进行因式分解，故符合题意； B、4x2+1-4x=(2x-1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； C、4x2+1+4x4=(2x2+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； D 、4x2+1+4x=(2x+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意， 故选 A. 【点睛】 本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解题的关键.
a2 a 2 (a 2)(a 1) ，
结果中不含有因式 a 1 的是选项 D；
故选：D． 【点睛】 本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
13．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( ) A．x2﹣16+6x=(x+4)(x﹣4)+6x B．10x2﹣5x=5x(2x﹣1) C．a2﹣b2﹣c2=(a﹣b)(a+b)﹣c2 D．a(m+n)=am+an 【答案】B 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义逐个进行判断即可. 【详解】 解：A、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解； B、把多项式 10x2﹣5x 变形为 5x 与 2x﹣1 的积，是因式分解； C、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解； D、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解； 故选：B． 【点睛】 本题主要考察了因式分解的定义，理解因式分解的定义是解题的关键.
【答案】C 【解析】 【分析】 根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分 析即可． 【详解】 A 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意. B 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意. C 选项：等式右边是乘积的形式，故是因式分解，符合题意. D 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意. 故选：C. 【点睛】 考查了因式分解的意义，关键是掌握因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的 形式）．
10．若△ABC 三边分别是 a、b、c，且满足（b﹣c）（a2＋b2）＝bc2﹣c3 ， 则△ABC 是
（）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
试题解析：∵（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3，
∴（b﹣c）（a2+b2）﹣c2（b﹣c）=0，
∴（b﹣c）（a2+b2﹣c2）=0，
ac
a2
2ac c2 2
＝
a2
2ac c2 4
a
2
c
2
0，
即 b＞0，b2﹣ac≥0，
故选：C．
【点睛】
此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出 b 和 b2-ac
的正负情况．
16．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．ab+ac+d＝a（b+c）+d
∴b﹣c=0，a2+b2﹣c2=0，
∴b=c 或 a2+b2=c2，
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
故选 D．
11．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ）
A． x2 x 2 x x 1 2
B． a ba b a2 b2
C． x2 4 x 2 x 2
D． a b2 a2 b2 2ab
12．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式 a 1 的是（ ）
A． a2 1
B． a2 2a 1
C． a2 a
【答案】D
【解析】
【分析】
先把各个多项式分解因式，即可得出结果．
【详解】
D． a2 a 2
解： a2 1 (a 1)(a 1) ，
a2 2a 1=a 12
a2 a a(a 1) ，
C、xy﹣x=x（y﹣1），故此选项正确；
D、2x+y 无法因式分解，故此选项错误．
故选 C．
【点睛】
本题考查因式分解．
2．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2x（x+3）＝2x2+6x
B．24xy2＝3x•8y2
C．x2+2xy+y2+1＝（x+y）2+1
D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
以求出 x 得值． 【详解】
解： 20102021 20102019 =20102019 20102 20102019
=20102019 20102 1
20102019 2010 1 2010 1
20102019 2009 2011 ∴ 20102019 2009 2011 2010x 2009 2011
)
A．等腰三角形 C．等腰直角三角形 【答案】D 【解析】
B．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【分析】
把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为整理成多项式的乘积等于 0 的形式， 求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】
解：∵a3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2， ∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0， （a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0， a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0， （a-b）（a2+b2-c2）=0， 所以 a-b=0 或 a2+b2-c2=0． 所以 a=b 或 a2+b2=c2． 故选：D. 【点睛】
【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选 D．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一
C、x-1=x（1- 1 ），不是分解因式，故选项错误； x
D、（x-1）2=x2-2x+1，不是分解因式，故选项错误． 故选：B． 【点睛】 本题考查了因式分解，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解 因式．掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
4．设 a，b，c 是 ABC 的三条边，且 a3 b3 a2b ab2 ac2 bc2 ，则这个三角形是 (
故选：D 【点睛】 本题考查因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利 用因式分解简化计算问题．
15．已知三个实数 a，b，c 满足 a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，则（ ）
A．b＞0，b2﹣ac≤0
B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0
D．b＜0，b2﹣ac≥0
7．把代数式 2x2﹣18 分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（x2﹣9）
B．2（x﹣3）2
C．2（x+3）（x﹣3）
D．2（x+9）（x﹣9）
【答案】C
【解析】
试题分析：首先提取公因式 2，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3）． 故选 C． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．6ab＝2a⋅3b
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【详解】
A、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
B、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；