二次函数必背知识点(精辟)

二次函数必背知识点_ _冲刺中考
2
1. 定义：一般地，如果y ax bx c（a,b,c是常数，a 0），那么y叫做x的二次函数
2
2. 二次函数y ax的性质
（1）抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.
（2）函数y ax2的图像与a的符号关系.
①当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点;
②当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点
（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2（a 0）.
3•二次函数y ax bxc
的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线
2
4.二次函数y ax bx c用配方法可化成：y
b , 4a
c b2
2a，4a
a相等，抛物线的开口大小、形状相同
②平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.
方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同2
a x h k的形式，其中
5•二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① 2 2
y ax ；② y ax k :③
2 2 2
y a x h :④ y a x h k :⑤ y ax bx c.
6•抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点
①a的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下;
7.顶点决定抛物线的位置•几个不同的二次函数, 如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1 ）公式法：y ax2bx c
2
b
2a
4ac b2
4a
2
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为
y a x h k 的形式，得到
顶点为（h , k ）,对称轴是直线x h .
（3 ）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连
线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失
2
9•抛物线y ax bx c 中，a,b,c 的作用
2
（1） a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax 中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置 •由于抛物线y ax 2 bx c 的对称轴是直线
x
—，故：①b 0时，对称轴为y 轴；②一0 （即a 、b 同号）时，对称轴
2a a
b
在y 轴左侧；③一 0 （即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧•
a
2
（3） c 的大小决定抛物线 y ax bx c 与y 轴交点的位置•
2
当x 0时，y c ，二抛物线y ax bx c 与y 轴有且只有一个交点（0, c ）: ①c 0 ,抛物线经过原点；②c 0,与y 轴交于正半轴；③ c 0 ,与y 轴交于负半
顶点是（ ―,
4ac b
），对称轴是直线x
2a 4a
b 2a
以上三点中，当结论和条件互换时, 仍成立.如抛物线的对称轴在
K
y 轴右侧，则一 a
0.
11. 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：y ax2 bx c•已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：y ax h? k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式
（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x i、X2，通常选用交点式：
y ax x1x x2.
12. 直线与抛物线的交点
2
（1）y轴与抛物线y ax bx c得交点为（0, c）.
2
（2）与y轴平行的直线x h与抛物线y ax bx c有且只有一个交点
2
（h, ah bh c）.
（3 ）抛物线与x轴的交点
二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元
2
二次方程ax bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一
元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点0 抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）0 抛物线与x轴相切；
③没有交点0 抛物线与x轴相离.
（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐
标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是ax 2 bx c k 的两个实数根•
（5）—次函数 y kx n k 0的图像I 与二次函数 y ax bx c a 0的图像G
y kx n
的交点，由方程组厂
2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解
y ax bx c
时 I 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时 I 与G 只有一个交点；③方程组
无解时 I 与G 没有交点.
2
A X i,0，
B X 2,0，由于X i 、X 2是方程ax bx c 0的两个根，故
b
c x 1 x 2 ,x 1 x 2 a
a
考点一、二次函数的概念和图像
（3~8分）
1、二次函数的概念
2
一般地，如果y ax bx c （a, b, c 是常数，a 0），那么y 叫做x 的二次函数。

2
y ax bx c （a, b,c 是常数，a 0）叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于 X ——对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

a
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法 五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点
M ，并用虚线
（6 ）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线
2 （
y ax bx c 与x 轴两交点为
AB
x i
x 2
X i X 2 2
x 1 x 2 2
4x 1x 2
4c
b 2 4ac
忖
画出对称轴
2
（2 ）求抛物线y ax bx c 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点
A,B 及抛物线与y 轴的交点C ,再找
到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到 二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与
y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出 一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

考点二、 二次函数的解析式
（10~16分）
二次函数的解析式有三种形式：
（1） 一般式： y
2
ax bx c(a,b,c 是 常数,
a 0)
（2） 顶点式： y a(x h)2 k （a, h,k 是常
数，
a 0)
（3） 当抛物线 y
2
ax bx c 与x 轴有交点时， 即对应二次好方程
2
ax bx c 0
有实根
X i 和X 2存在时， 根据二次三项式的分解因式 ax
2
bx c a(x
X i )(x X 2），二
次
2
函数y ax bx c 可转化为两根式 y a （x xj （x x 2）。

如果没有交点，则不能这样
表示。

（10分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数
考点三、二次函数的最值 在顶点处取得最大值（或最小值），即当x
広时，y 最值
4ac b 2 4a
如果自变量的取值范围是
X i X X 2，那么，首先要看
b 2a
是否在自变量取值范围
X i x X 2内，若在此范围内，则当
x=
2a 时，y 最值
4ac b 2 4a
若不在此范围内,
则需要考虑函数在X i x X2范围内的增减性，如果在此范围内，y随X的增大而增大，则
当x X2时，y最大ax；bx2c，当x X!时, y最小2
aX[bx! c ；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x x时，y最大2
ax i bx i c，当x x2时，
y最小2ax?bx2c。

考点四、二次函数的性质(6~14分)1、二次函数的性质
二次函数
y ax2 bx c(a,b,c 是常数，a 0)
a>0 a<0
图像
性质(1 )抛物线开口向上，并向上无限延伸；
b
(2 )对称轴是x= —，顶点坐标是(
2a
b
2a，
(1 )抛物线开口向下，并向下无限延伸;
(2)对称轴是x=—，顶点坐标是(—，
2a 2a
函数
2、二次函数y ax2 bx c（a,b,c是常数，a 0）中，a、b、c的含义：a表示开
口方向：a>0时，抛物线开口向上，,, a<0时，抛物线开口向下
K
b与对称轴有关：对称轴为x= 一
2a
c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的b2 4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

>0时，图像与x轴有两个交点;
当=0时，图像与x轴有一个交点;
当<0时，图像与x轴没有交点。

补充:
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时, 可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
i t y
如图：点A坐标为（x i，y i ）点B坐标为（X2，y2）
2、 函数平移规律(中考试题中，只占 3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很 大帮助，
可以大大节省做题的时间)
3、 直线斜率：
v 2 yi b 为直线在y 轴上的截距
k tan --
x 2 x 1
1，一般 一般直线方程 ax+by+c=O
由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式
常用，记牢
3
，点斜
知道一点与斜率y y 1 k(x x 1)
4，斜截
斜截式方程，简称斜截式：y = kx + b (k 工0)
5，截距 由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距
则AB 间的距离，即线段
AB 的长度为.x 1
2
X 2
2
y i y 2
2，两点
x y
式方程，简称截距式：1
记牢可大幅提高运算速度
5、设两条直线分别为，11: y bi I2: y k?x b2
若11 // 12，则有l i //12 k i k2 且b i b2 o
若l1 l2k1 k21
6、点P (x o, y o)到直线y=kx+b(即：kx-y+b=O) 的距离：
|kx o y o b |kx o y o b
d
<k2 ( 1)2J k2 1
对于点P( x o, y o)到直线滴一般式方程ax+by+c=0 滴距离有
常用记牢
7,二次函数图像与性质口诀
二次函数抛物线，图象对称是关键；
开口、顶点和交点，它们确定图象限；
开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0 ,牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。

若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

次方程零换y，二次函数便出现。

全体实数定义域，图像叫做抛物线。

抛物线有对称轴，两边单调正相反。

A定开口及大小，线轴交点叫顶点。

顶点非高即最低。

上低下高很显眼。

如果要画抛物线，平移也可去描点，
提取配方定顶点，两条途径再挑选。

列表描点后连线，平移规律记心间。

左加右减括号内，号外上加下要减。

二次方程零换y，就得到二次函
数。

图像叫做抛物线，定义域全体实数。

A定开口及大小，开口向上是正数。

绝对值大开口小，开口向下A负数。

抛物线有对称轴，增减特性可看
图。

线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。

如果要画抛物线，描点平移两条路。

提取配方定顶点，平移描点皆成图。

列表描点后连线，三点大致定全图。

若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小随基础。

二次函数的基本形式
2
y ax的性质：
1.二次函数基本形式:
结论：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而
a 0向上0, 0y轴
减小；x 0时，y有最小值0.
x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增
a 0向下0, 0y轴
大；x 0时，y有最大值0.
2
2. y ax c的性质:
总结：
2
3. y a x h 的性质:
结论：左加右减。

同左上加，异右下减
a 的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a 0
向上
h ，0
X=h
x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随
x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值0 •
a 0
向下 h ，0
X=h
x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随
x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值0 •
2
4. y a x h k 的性质:
a
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
a 0向上h，k X=h
x h时，y随x的增大而增大；x h时，y随
x的增大而减小；x h时，y有最小值k .
a 0向下h，k X=h
x h时，y随x的增大而减小；x h时，y随
x的增大而增大；x h时，y有最大值k .
二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
2
⑴将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k，确定其顶点坐标h , k ；
⑵ 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下:
2. 平移规律
在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”
概括成八个字“同左上加，异右下减”.
、二次函数y a x h 彳k 与y ax 2 bx c 的比较
2 2
请将y 2x 4x 5利用配方的形式配成顶点式。

请将 y ax 2 bx c 配成
2
y a x h k 。

总结：
2 2
从解析式上看，yaxh k 与yax bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配
2 2 2
b 4a
c b
b , 4a
c b
万可以得到刖者，即yax
，其中h , k
2a
4a 2a 4a
四、二次函数y ax 2 bx c 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax 2 bx c 化为顶点式y a(x h)2 k ，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图
•一般我们
选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0 , c 、以及0 , c 关于对称轴对称的点 2h , c 、 与x 轴的交点 為,0 , X 2, 0 (若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点) .
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
x 轴的交点，与y 轴的交点.
平移|k|个单位
y=ax 2
A y=ax 2+k
y=a(x_h)2
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位
y=a(x h)2+k
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(*0)】 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k 个单位
向上(k>0)【或下(k<0) 平移|k 个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y ax bx c （ a ， b ， c 为常数，a 0）；
2.顶点式：y a （x h ）2 k （ a ， h ， k 为常数，a 0）；
3.两根式：y a （x xj （x X 2） （ a 0， x,， x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写
成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交 点式表示•二次函数解析式的这三种形式可以互化
五、二次函数y ax 2 bx c 的性质
1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为
恳，顶点坐标为
b 4a
c b 2 2a ' 4a
时, 2•当a 有最大值
一时，y 随x 的增大而减小; 2a
—时，y 随x 的增大而增大；当x 2a
b_ 2a
2
y 有最小值专
0时，抛物线开口向下，对称轴为
y 随x 的增大而增大；当
4ac b 2 4a
诗，顶点坐标为
b 4a
c b 2 2a ' 4a
石时，y 随x 的增大而减小；当x W 时，y
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然a 0 •
⑴ 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑵ 当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.
⑴在a 0的前提下，
当b 0时，—0,即抛物线的对称轴在y轴左侧；ab同号同左上加
2a
当b 0时，一0,即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
当b 0时，—0 ,即抛物线对称轴在y轴的右侧.a,b异号异右下减
2a
⑵在a
0的前提
下，
结论刚好与上述相反，即
当b0时，b
2a
0 ,即抛物线的对称轴在
y轴右
侧；
a,b异号异右下减
当b0时，
_b
_
2a
0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b0时，b
2a
0 ,即抛物线对称轴在y轴的左侧.
ab同号同左
上
上加
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.
实用文案
总结： 同左上加异右下减 3.常数项c
总结起来，c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.
总之，只要a ,b , c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便. 一般来说，有如下几种情
况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式
二、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1•关于x 轴对称
y ax 2 bx c 关于x 轴对称后，得到的解析式是
y ax 2 bx c ；
2 2
y a x h k 关于x 轴对称后，得到的解析式是 y a x h k ；
2.关于y 轴对称
y ax 2 bx c 关于y 轴对称后，得到的解析式是 y ax 2 bx c ；
⑴当C 0时，抛物线与 y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵当c 0时，抛物线与
y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与
y 轴交点的纵坐标为0 ; ⑶当c 0时，抛物线与
y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负.
y a x 2
h k关于y轴对称后，得到的解析式是y a x 2 h k ;
3.关于原点对称
y 2 ax bx c关于原点对称后，得到的解析式是2
y ax bx c;
y a x 2
h
k关于原点对称
后，
得到的解析式是y a x h2k ;
4.关于顶点对称
y 2 ax bx c关于顶点对称后，得到的解析式是2
y ax bx
b2 c
2a
22
y a x h k关于顶点对称得到的解析式是y a x h k .
5. 关于点m, n对称
2 2
y a x h k关于点m, n对称后，得到的解析式是y a x h 2m 2n k
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适
的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确
定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.
二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
2 2
一元二次方程ax bx c 0是二次函数y ax bx c当函数值y 0时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数：
①当 b 4ac 0时，图象与x轴交于两点, 0 , B x? , 0 （x, x?）,其中的x, , x?
2
是一元二次方程ax bx c 0 a 0的两根•这两点间的距离
AB X2 x i
、b2 4ac a .
②当0时，图象与x轴只有一个交点;
③ 当 0时，图象与x 轴没有交点.
1'当a 0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有 y 0 ； 2'当a 0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有 y 0 .
2. 抛物线y ax 2 bx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为 (0 , c)；
3. 二次函数常用解题方法总结：
求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程;
求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; 根据图象的位置判断二次函数
y ax 2 bx c 中a , b , c 的符号，或由二次函数中a ,
b ,
c 的符号判断图象的位置，要数形结 ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，
二次三项式ax 2 bx c(a 0)本身就是所含
合;
二次函数的图象关于对称轴对称，可利用 这一性质，求和已知一点对称的点坐标，
抛物线与x 轴 有两个交点
二次三项式的值可 正、可零、可负
—元二次方程有两个不相等实根、'\
人
L
* - »
抛物线与x 轴 只
有一个交 占 八、、
二次三项式的值为
非负
一兀二次方程有两个相等的实数根
-
抛物线与x 轴 无交点
二次三项式的值恒
为正
一元二次方程无实数根.
y=3x 2
y=3(x+4) 2
y=3(x-2) 2
或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标
字母之间的内在联系：图像参考：
y=-2(x-3) 2。