专题7 全称量词命题与存在量词命题-培优对点题组专题突破(解析版)
第07讲 全称量词命题与存在量词命题(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第07讲全称量词命题与存在量词命题知识点一全称量词命题与存在量词命题1．全称量词与全称量词命题全称量词“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式∀x∈M，p(x) 2．存在量词与存在量词命题存在量词“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词符号∃存在量词命题含有存在量词的命题形式∃x∈M，p(x)知识点二全称量词命题和存在量词命题的否定p¬p结论全称量词命题：∀x∈M，p(x)∃x∈M，¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题：∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题知识点三存在(全称)量词命题真假的应用1．直接判定命题的真假命题判定为真判定为假存在量词命题找到一个特例严格证明全称量词命题严格证明找到一个反例2．利用命题p和¬p的对立关系(真假性相反)判定．考点一：全称量词命题与存在量词命题的判断例1判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(5)方程3x－2y＝10有整数解．【解析】(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．(2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．(5)可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题．【总结】判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路[注意]全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．变式(多选)下列语句是存在量词命题的是()A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数D．存在x∈R，2x＋1是奇数【解析】ABD因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．考点二：全称量词命题、存在量词命题的真假判断例2判断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2＞0.【解析】(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2＞0”是假命题．变式(多选)下列结论中正确的是()A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题【解析】CD当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B错误，C、D正确．故选C、D.考点三：全称量词命题与存在量词命题的否定例3(1)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是()A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2【答案】(1)C(2)D【解析】(1)利用存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的否定为对于任意的实数x，都有x≤1.故选C.(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．故选D.【总结】变式设x ∈Z ，集合A 为偶数集，命题“∀x ∈Z ，2x ∈A ”的否定为()A ．∀x ∈Z ，2x ∉AB ．∀x ∉Z ，2x ∈AC ．∃x ∈Z ，2x ∈AD ．∃x ∈Z ，2x ∉A【答案】D【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，即∃x ∈Z ，2x ∉A .故选D.考点四：存在(全称)量词命题真假的应用例4已知命题p ：∀x ∈R ，2x ≠－x 2＋m ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2x －m －1＝0，若命题p 为假命题，命题q 为真命题，求实数m 的取值范围．【解析】因为命题p 为假命题，所以命题p 的否定为真命题，即命题“∃x ∈R ，2x ＝－x 2＋m ”为真命题．则－x 2－2x ＋m ＝0有实根．所以Δ＝4＋4m ≥0，所以m ≥－1.若命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2x －m －1＝0为真命题，则方程x 2＋2x －m －1＝0有实根，所以Δ＝4＋4(m ＋1)≥0，所以m ≥－2.所以m ≥－1且m ≥－2，所以m 的取值范围为[－1，＋∞).【总结】变式已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0”为假命题，则实数a 的取值范围是________________．【答案】(－∞，1]【解析】题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x ∈R ，ax 2＋2x ＋1＝0”为真命题，即关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有实数根．所以a ＝0≠0，－4a ≥0，即a ＝0或a ≤1且a ≠0，所以a ≤1.1．下列结论正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x ∈R ，x 2＋2<0”是全称量词命题；③命题“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋4≤0”的否定为“∀x ∈R ，x 2＋4x ＋4＞0”．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；②命题“∀x ∈R ，x 2＋2<0”是全称量词命题，故②正确；③命题“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋4≤0”的否定为“∀x ∈R ，x 2＋4x ＋4＞0”，故③正确．故选C.2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x＞2【答案】B 【解析】A 是全称量词命题；B 为存在量词命题，当x ＝0时，x 2＝0成立，所以B 正确；因为3＋(－3)＝0，所以C 为假命题；对于任何一个负数x ，都有1x<0，所以D 错误．故选B.3．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋12≤0”的否定为()A ．∀x ∉R ，x 2－2x ＋12≤0B ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋12＞0C ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋12＞0D ．∃x 0∉R ，x 20－2x 0＋12＞0【答案】C【解析】因为命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋12≤0”是全称量词命题，所以其否定为“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋12＞0”．故选C.4．(多选)下列命题是真命题的是()A.∀x ∈Z ，x 2的个位数字不等于3B ．∀x ∈{y |y 是无理数}，x 3是无理数C ．∃x ∈N,x 2＋1∈ND ．∃x ∈Z ，x 2＋1是4的倍数【答案】AC【解析】对于A 选项，∀x ∈Z ，其个位数为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，平方后个位数字为0，1，4，5，6，9，不能为3，故正确；对于B 选项，令y ＝32，则y 3＝3＝2是有理数，故错误；对于C 选项，令x ＝0，则x 2＋1＝1∈N ，故正确；对于D 选项，当x 是奇数时，不妨设x ＝2k ＋1，k ∈Z ，则x 2＋1＝4k 2＋4k ＋2＝42142k k ⎛⎫++⎪⎝⎭，由于k ∈Z ，故k 2＋k ＋12∉Z ，故x 2＋1＝4k 2＋4k ＋2＝42142k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭不是4的倍数，当x 是偶数时，x 2＋1是奇数，不是4的倍数，故错误．故选A 、C.5．命题“∃x ∈(－1，2)，2x 2＋a ＝0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－8，0]【解析】若命题“∃x ∈(－1，2)，2x 2＋a ＝0”是真命题，则2x 2＋a ＝0在x ∈(－1，2)有解，所以a ＝－2x 2在x ∈(－1，2)有解，因为x ∈(－1，2)，所以－2x 2∈(－8，0]，所以a ∈(－8，0].6．设非空集合P ，Q 满足P ⊆Q ，则表述正确的是()A ．∀x ∈Q ，有x ∈PB ．∀x ∈P ，有x ∈QC ．∃x Q ，使得x ∈PD ．∃x ∈P ，使得x Q【答案】B【解析】因为P ⊆Q ，则由子集的定义知集合P 中的任何一个元素都在Q 中，所以选B ．7．下列存在量词命题中，是假命题的是()A ．∃x ∈Z ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，使x 能同时被2和3整除C ．有的三角形没有外接圆D ．某些四边形不存在外接圆【答案】C【解析】A 中，x ＝－1或x ＝3满足题意，是真命题；B 中，x ＝6满足题意，是真命题；C 中，所有的三角形都有外接圆，是假命题；D 中，只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C ．8．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B ．9．能够说明“存在两个不相等的正数a ，b ，使得a －b ＝ab ”是真命题的一组有序数对(a ，b )为________．答案不唯一)【解析】存在两个不相等的正数a ，b ，如a ＝12，b ＝13，使得a －b ＝ab 是真命题．10．若命题“∃x ∈R ，x 2－4x ＋a ＝0”为假命题，则实数a 的取值范围为________．【答案】{a |a >4}【解析】∵命题∃x ∈R ，x 2－4x ＋a ＝0为假命题，∴方程x 2－4x ＋a ＝0无实数根．则Δ＝(－4)2－4a <0，解得a >4．1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A ．∃x >1，x 2－2x －3＝0B ．若2x 为偶数，则x ∈NC ．所有菱形的四条边都相等D ．π是无理数【答案】C【解析】对于A ，是存在量词命题，故A 不正确；对于B ，是假命题，故B 不正确；对于C ，是全称量词命题，也是真命题，故C 正确；对于D ，是真命题，但不是全称量词命题，故D 不正确．故选C.2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A ．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B ．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C ．所有四边形的四个顶点共圆D ．所有四边形的四个顶点都不共圆【答案】A【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”．故选A.3．a ≥5是命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】∀x ∈[1，2]，有x 2∈[1，4]，则由a ≥5，可得∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0成立；反之，∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0成立，可得a ≥4.∴a ≥5是命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的充分不必要条件．故选A.4．设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则()A ．∀x ∈Q ，有x ∈PB ．∀x ∉Q ，有x ∉PC ．∃x ∉Q ，使得x ∈PD ．∃x ∈P ，使得x ∉Q【答案】B【解析】∵P ∩Q ＝P ，∴P ⊆Q ，如图，∴A 、C 、D 错误，B 正确．故选B.5．下列命题中是存在量词命题且为假命题的是()A ．∃x ∈R ，－x 2＋x －14≥0B ．所有的正方形都是矩形C ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．∃x ∈R ，使x 3＋1＝0【答案】C【解析】A ，命题为存在量词命题，当x ＝12时，－x 2＋x －14＝0，故为真命题；B ，命题为全称量词命题，不是存在量词命题；C ，命题为存在量词命题，∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，故为假命题；D ，命题为存在量词命题，当x ＝－1时，x 3＋1＝0，故为真命题．故选C.6．(多选)已知命题p ：有理数的算术平方根是无理数．则下列结论中正确的是()A ．命题p 是真命题B ．命题p 的否定是真命题C ．命题p 是全称量词命题D ．命题p 是存在量词命题【答案】BC【解析】命题p 可改写为“任意有理数的算术平方根是无理数”，该命题是全称量词命题且是假命题，如：有理数4的算术平方根是2，不是无理数．命题p 的否定为“有些有理数的算术平方根不是无理数”，该命题是真命题．故选B 、C.7．(多选)下列命题是真命题的是()A ．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0－1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x －1＞0”B ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0C ．“x 2－x ＝0”是“x ＝1”的必要不充分条件D ．如果a ＜b ＜0，那么1a 2＜1b 2【答案】BCD【解析】对于A ，命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x －1＜0”的否定是“∃x ∈R ，均有x 2＋x －1≥0”，A 错误；对于B ，∀x ∈R ，y ＝x 2＋x ＋1＋34＞0，B 正确；对于C，x2－x＝x(x－1)＝0，“x2－x＝0”不一定能得到“x＝1”，充分性不成立，而“x＝1”成立，则“x2－x＝0”成立，必要性成立，C正确；对于D，如果a＜b＜0，则a2＞b2，所以1a2＜1b2，D正确．故选B、C、D.8．命题“∀x∈R，1x－2<0”的否定是________________．【解析】∃x∈R，1x－2>0或x－2＝09．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x，使x2＋2<0;③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．【答案】①③④【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2<0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.10．命题“∃x∈[1，3]，x2－2x－a≥0”为真命题的充要条件是________．【答案】a≤3【解析】原命题可写为“∃x∈[1，3]，a≤x2－2x”，当1≤x≤3时，x2－2x随x增大而增大，所以x＝3时，x2－2x取最大值为3，所以a≤3.11．判断下列命题的真假．(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；(3)存在一个实数x，使得方程x2＋x＋8＝0成立；(4)∃x∈R，x2－3x＋2＝0；(5)∀x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2.【解析】(1)是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为2，就不能用正有理数表示．(2)是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形．(3)是假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数根．(4)是真命题，x＝2或x＝1，都能使x2－3x＋2＝0成立．(5)是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，所以对整数也成立．12．(多选)下列命题错误的是()A．∀x∈{－1，1}，2x＋1>0B．∃x∈Q，x2＝3C．∀x∈R，x2－1>0D．∃x∈N，|x|≤0【解析】ABC对于A，x＝－1时，不合题意，错误；对于B ，x ＝±3，错误；对于C ，比如x ＝0时，－1<0，错误；D 选项正确．13．以下四个命题中，真命题的个数是()①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a ，b ，使得a ＋b ＝ab ；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①原命题的逆命题为若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，而a ＝2，b ＝－2满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故①是假命题；②当a ＝b ＝2时，a ＋b ＝ab ，故②是真命题；③“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题．故选C.14．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，求m 范围．你认为，两位同学题中m 范围________(填“一致”“不一致”中的一种).【答案】一致【解析】∵命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”．而命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，则其否定“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”为真命题．∴两位同学题中m 范围是一致的．15．已知命题“∃x ∈R ，使4x 2＋x ＋14(a －2)≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________.【答案】a ＞94【解析】∵命题“∃x ∈R ，使4x 2＋x ＋14(a －2)≤0”是假命题，∴命题“∀x ∈R ，使4x 2＋x ＋14(a －2)＞0”是真命题，即判别式Δ＝12－4×4×14(a －2)＜0，即a ＞94.16．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤4}，集合B ＝{x |2－a ≤x ≤1＋2a }，其中a ∈R.若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求a 的取值范围．【解析】因为∀x ∈A ，x ∈B 是真命题，所以A ⊆B,－a ≤1＋2a ，－a ≤0，＋2a ≥4，解得a ≥2.17．已知命题p ：任意x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p 与q 都是真命题，求实数a 的取值范围．【解析】由命题p 为真，可得不等式x 2－a ≥0在x ∈[1，2]上恒成立，所以a ≤(x 2)min ，x ∈[1，2]，所以a ≤1.若命题q 为真，则方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有解，所以判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≥1或a≤－2.又因为p，q ≤1，≥1或a≤－2，所以a≤－2或a＝1，所以实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．18．已知a，b，c为△ABC的三边长，集合A＝{x|x2＋2ax＋b2＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2cx－b2＝0，x∈R}．(1)若a＝b＝c＝4，求A∪B；(2)求A∩B≠∅的充要条件．【解析】(1)由a＝b＝c＝4，得A＝{－4}，B＝{－4－42－4＋42}，从而A∪B＝{－4－42，－4，－4＋42}．(2)当A∩B≠∅时，A≠∅，B≠∅，且存在x0∈R，使得x0∈A，x0∈B.于是ΔA＝4a2－4b2≥0，ΔB＝4c2－4b2＞0，又a，b，c为ΔABC的三边长，得a≥b.从而A∩B≠∅≥b，①20＋2ax0＋b2＝0，②20＋2cx0－b2＝0.③②＋③，并注意到x0≠0，得x0＝－(a＋c).④将④代入③，得a2＝b2＋c2.⑤即由②③消去x0得到⑤.而⑤满足①，因此A∩B≠∅的充要条件是a2＝b2＋c2.。
高三数学全称量词与存在性量词试题答案及解析
高三数学全称量词与存在性量词试题答案及解析1.已知命题,；命题,,则下列命题中为真命题的是:（）A．B．C．D．【答案】B【解析】P是假命题，q是真命题，所以选B.2.已知命题，命题，则( )A．命题是假命题B．命题是真命题C．命题是真命题D．命题是假命题【答案】C【解析】在直角坐标系中作出y=x-2与图像可得命题P是真命题,命题q是错误的(x=0),所以命题是真命题是真命题,故选C.【考点】全称命题特称命题逻辑连接词3.已知命题:，则是____________________．【答案】【解析】因为命题:的否定为“”，所以是【考点】存在性命题的否定4.命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是.【答案】任意x∈R都有x2+2x+5≠0【解析】特称(存在性)命题的否定是全称命题.5.下列命题正确的个数是（）（1）命题“”的否定是“”；（2）函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；（3）在上恒成立在上恒成立（4）“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”。
A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】命题“”的否定是“”为真命题；如果函数=的最小正周期为，那么由得；由得=，其最小正周期为，所以，（2）是真命题；（3）是假命题，正确的方法是由，可将化为，所以原命题等价于的最小值；（4）是假命题.因为，有可能与的夹角是.故选B.【考点】全称命题与存在性命题，充要条件.6.已知命题：，则是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意得特称命题的否定改为全称命题.即.故选A.命题的否定的是对结论的否定.含所有特称量词与全称量词的要互换.【考点】1.命题的否定.2.特称命题改为全称命题.7.下列命题中的假命题是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】选项A，根据指数函数的值域可知正确；选项B，当时，，所以B项错误；选项C，当时，，所以C项正确；选项D，正切函数的值域是R，所以D项正确.【考点】1、指数函数的性质；2、对数函数的性质；3、正切函数的性质；4、二次函数的性质；5、全称命题与特称命题的真假判定.8.已知，命题，则（）A．是假命题;B．是假命题;C．是真命题;D．是真命题【答案】D【解析】恒成立，所以在是减函数，所以，故是真命题，由全称命题的否定知，，选D.【考点】全称命题的否定、不等式恒成立.9.给出下列命题，其中正确命题的个数为（）①在区间上，函数，，，中有三个是增函数；②命题．则，使；③若函数是偶函数，则的图象关于直线对称；④已知函数则方程有个实数根．A．B．C．D．【解析】在区间上，函数和是增函数，故①错误；由全称命题的否定知②正确；由于函数是偶函数，从而它的图像关于轴对称，而的图象是由的图象右移一个单位长度得到，所以的图象关于直线对称，故③正确；对于④，当时，由得，；当时，由得，，故④正确．综上可得②③④三个正确．【考点】1．函数的单调性、对称性；2．常用逻辑用语；3．函数与方程．10.命题：“”的否定是________．【答案】，且．【解析】根据特称命题的否定为全称命题可得“，且”．【考点】常用逻辑用语（特称命题的否定）．11.已知命题：[0,l],，命题若命题“”是真命题，则实数的取值范围是．【答案】．【解析】由已知命题“”是真命题，都是真命题．由是真命题可得．是真命题，则有实数解，．综上．【考点】常用逻辑用语．12.命题“存在，使得”的否定是 .【答案】“，使得” ．【解析】存在命题的否定是先把命题的存在量词改为全称量词，然后把后面的条件否定．【考点】存在命题的否定．13.（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉BC．￢p：∃x∉A，2x∈BD．￢p：∃x∈A，2x∉B【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则￢p：∃x∈A，2x∉B．14.是的A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据题意，由于，因此条件可以推出结论，反之，不成立，因此说条件是结论成立的充分而不必要条件，选B.【考点】充分条件的判定点评：解决的关键是理解结论表示的角集合，然后结合集合的思想来确定结论，属于基础题。
高考数学专项： 全称量词与存在量词(讲义)解析版
1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ，x p 读作：对任意x 属于M ，有 x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y 是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x 是无理数，3x 2 是有理数，所以{|x y y 是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ，假命题；（2）,1x x R x ，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x .易得当0x 时20x ,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ，11 x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ，总有||0x ，因而||11x .所以全称量词命题“x R ，||11x ”是真命题.（3是无理数，但22 是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x ,不等式两边同时乘以负数x 有20x .故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ，x p 读法：存在M 中的元素x ，使得 x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n 是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e 等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n 是4的倍数,则因为21n 能被4整除,故21n 为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N ,则221442n k k ,故21n 除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n 是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据 2223122x x x ，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于 22231220x x x ，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x R ；（2）N x ，14 x （3）3,1x x Z ；（4）2,3x x Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x R ，都有20x ，因而有2220x ，即220x ．因此命题“2,20x x R ”是真命题．（2）由于0 N ，当0x 时，41x 不成立．因此命题“4,1x x N ”是假命题．（3）由于1 Z ，当1x 时，能使31x 成立．因此命题“3,1x x Z ”是真命题．（4）由于使23x 成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x R ；（2）2,x x x R ；（3）2,80x x Q ；（4）2,20x x R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；解：（1）因为2x 时，2x x 成立，所以“2,x x x R ”是真命题．（2）因为0x 时，2x x 不成立，所以“2,x x x R ”是假命题．（3）因为使280x 成立的数只有x 与x ，但它们都不是有理数，所以“2,80x x Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ，则220x ，即对任意实数，都有220x 成立，所以“2,20x x R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ，x p 否定为：M x ，x p （2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ，x p 否定为：M x ，x p 考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ”的否定是（）A ．01xB ．01xC ．01xD ．01x 【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；解：命题1x ，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x 故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x 20x x ”的否定是（）A ．0(0,1),x 2000x xB ．0(0,1),x 2000x x C ．0(0,1),x 2000x x D ．0(0,1),x 2000x x 【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】∵“全称命题”的否定一定是“特称命题”，命题“(0,1),x 20x x ”的否定是0(0,1),x 2000x x ，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ，20010x x ”的否定是（）A ．R x ，210x x B ．R x ，210x x C ．R x ，210x x D ．R x ，210x x 【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ，20010x x ”的否定是“R x ，210x x ”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ，则P 为（）A ．N,2100n n B ．N,21000n n C ．N,21000n n D ．N,21000n n 【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n 的否定P 为N,2100n n 故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题 2000:3,3,210p x x x ，则命题p 的否定为（）A ． 23,3,210x x x B ． 2,33,,210x x x C ． 2,33,,210x x x D ． 20003,3,210x x x 【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p 为存在性命题（特称命题），其否定为： 23,3,210x x x .故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ， p x ，其否定为 ,x M p x .存在性命题的一般形式是x M ， p x ，其否定为 ,x M p x .变式6-3写出下列各题中的p ：（1）:,10p x Z x ；（2）:,20p x Q x ；（3）2:,10p x R x ；（4）2:,10p x R x .【答案】（1）:,10p x Z x ；（2）:,20p x Q x ；（3）2:,10p x R x ；（4）2:,10p x R x .【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。
2.3全称量词命题与存在量词命题(解析版)
§2.3 全称量词命题与存在量词命题 题型一：全称命题的否定及其真假判断1．已知命题p ：∃n ∃N ，n 2>3，则﹁p 为（ ）A ．∃n ∃N ，n 2≤3B ．∃x ∃N ，n 2≤3C ．∃n ∃N ，n 2>3D ．∃n ∃N ，n 2＝3【答案】A【点拨】根据特称命题的否定形式，即可判断选项.【详解】根据特称命题的否定形式，可知:p x N ⌝∀∈，23n ≤.故选：A2．命题“x ∃∈R ，12y <≤”的否定形式是（ ）A ．x ∀∈R ，12y <≤B ．x ∃∈R ，1y <或2y >C ．x ∀∈R ，1y ≤或2y >D ．x ∃∈R ，1y ≤或2y >【答案】C【点拨】根据特称命题的否定直接求解即可.【详解】命题“x ∃∈R ，12y <≤”的否定形式是x ∀∈R ，1y ≤或2y >.故选：C.3．命题“∃实数x ，使1x >”的否定是（ ）A ．∀实数x ，都有1x >B ．∃实数x ，使1x <C ．∀实数x ，都有1x ≤D ．∃实数x ，使1x ≤【答案】C【点拨】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案．【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃实数x ，使1x >”的否定是“∀实数x ，都有1x ≤”.故选：C ．4．命题“0x ∃>，2230x x -+<”的否定是（ ）A ．0x ∃≤，2230x x -+<B ．0x ∀≤，2230x x -+<C ．0x ∃>，2230x x -+≥D ．0x ∀>，2230x x -+≥一维练基础【答案】D【点拨】将特称命题否定为全称命题即可.【详解】命题“0x ∃>，2230x x -+<”的否定是“0x ∀>，2230x x -+≥”，故选：D5．命题:p x Z ∃∈，0x <，则p ⌝是（ ）A ．x Z ∀∈，0x ≤B ．x Z ∀∈，0x ≥C ．x Z ∃∈，0x ≤D ．x Z ∃∈，0x ≥【答案】B【点拨】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；【详解】解：命题:p x Z ∃∈，0x <，为特称量词命题，其否定为x Z ∀∈，0x ≥；故选：B题型二：特称命题的否定及其真假判断1．命题“0x ∀>，220x +≥”的否定是（ ）A ．0x ∃>，220x +<B ．0x ∀>，220x +<C ．0x ∃≤，220x +<D ．0x ∀≤，220x +<【答案】A【点拨】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】0x ∀>，220x +≥的否定是0x ∃>，220x +<．故选：A ．2．命题“x ∀∈R ，210x -<”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，210x -B ．x ∃∈R ，210x -C ．x ∃∈R ，210x -D ．x ∀∈R ，210x -<【答案】B【点拨】全称量词命题的否定，是把全称量词改成存在量词，并把后面的结论否定.【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得，命题“x ∀∈R ，210x -<”的否定是“x ∃∈R ，210x -”. 故选：B.3．命题p ：(0,),310x x ∀∈+∞+<则命题p 的否定为（ ）A ．(0,),310x x ∀∈+∞+>B ．(0,),310x x ∃∈+∞+>C ．(0,),310x x ∀∉+∞+≥D ．(0,),310x x ∃∈+∞+≥【答案】D【点拨】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.【详解】解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p 的否定为(0,),310x x ∃∈+∞+≥.故选：D.4．命题“20,10x x x ∀>-->”的否定是（ ）A ．20,10x x x ∃>--≤B ．20,10x x x ∀>--≤C ．20,10x x x ∃≤--≤D ．20,10x x x ∀≤--≤【答案】A【点拨】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】由题意，命题“20,10x x x ∀>-->”是全称量词命题，根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定是“2“0,10x x x ∃>--≤”.故选：A.5．命题“0x ∀≠，222x x +≥”的否定是（ ） A ．0x ∀≠，222x x +<B ．0x ∃=，222x x +≥ C ．0x ∃≠，222x x +<D ．0x ∃=，222x x+< 【答案】C【点拨】全称命题的否定是特称命题，按规则否定即可【详解】命题“0x ∀≠，222x x +≥”的否定是： 0x ∃≠，222x x+<， 故选：C1．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）A ．矩形的两条对角线垂直B ．对任意a ，b ∈R ，都有a 2 + b 2 ≥ 2（a ﹣b ﹣1）C ．∃x ∈R ， |x | + x = 0D ．至少有一个x ∈Z ，使得x 2 ≤ 2成立二维练能力【答案】B【点拨】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可.【详解】A 选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A 错误. C,D 选项是特称量词命题，故错误.B 选项是全称量词命题，用反证法证明，因为()()2222222110a b a b a b +-++=-++≥所以对,a b ∀∈R ,()2221a b a b +--≥,故B 正确. 故选:B.2．下列选项中，可以作为a b >的必要不充分条件的是（ ）A ．0x ∃≤，a x b +>B ．0x ∃<，a x bC ．0x ∀≥，a b x >-D ．0x ∀≥，a b x -≥【答案】D【点拨】根据充要条件和必要条件的概念，直接判定即可.【详解】A ，B ，C 选项均等价于a b >，D 选项等价于a b ≥，而a b ≥是a b >的必要不充分条件. 故选:D.3．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（ ）．A ．实数都大于0B ．有些菱形是正方形C ．三角形内角和为180°D ．有小于1的自然数【答案】C【点拨】B 、D 不是全称命题，A 、C 是全称命题而A 显然错误.【详解】实数都大于0，是全称命题，但不是真命题，所以A.选项错误；有些菱形是正方形，不是全称命题，所以B 选项错误；三角形内角和为180°，是真命题，也是全称命题，所以C 选项正确；有小于1的自然数，是真命题，但不是全称命题，所以D 选项错误.故选：C.4．下列四个命题中的真命题为（ ）A ．0x Z ∃∈，0143x <<B ．0x Z ∃∈，0410+=xC ．∃x ∃R ，210x -=D ．∃x ∃R ，2220x x -+≥【答案】D【点拨】根据全称命题和特称命题的定义进行推理即可．【详解】若1＜04x ＜3，得14＜0x 34＜，则0Z x ∉，故A 错误， 由0410+=x 得0x 14=-，则0Z x ∉，故B 错误， 由210x -=得1x =±，故C 错误，()2222110-+=-+≥x x x 恒成立，故D 正确，故选：D ．5．已知集合{}|0A x x a =≤≤，集合{}22|34B x m x m =+≤≤+，如果命题“m ∃∈R ，A B ⋂≠∅”为假命题，则实数a 的取值范围为______.【答案】(),3-∞【点拨】先由题意得到“m ∀∈R ，A B =∅”为真命题，讨论0a <和0a ≥两种情况，即可求出结果.【详解】命题“m ∃∈R ，A B ⋂≠∅”为假命题，则其否定“m ∀∈R ，A B =∅”为真命题.当0a <时，集合A =∅，符合A B =∅.当0a ≥时，因为230m +>，所以由m ∀∈R ，A B =∅，得23a m <+对于任意m ∈R 恒成立，又233m +≥，所以03a ≤<.综上，实数a 的取值范围为(),3-∞.故答案为：(),3-∞.6．已知命题“x ∀∈R ，220x x m -+>”为假命题，则实数m 的取值范围为______．【答案】1m【点拨】根据命题的否定与原命题真假性相反，即可得到x ∃∈R ，220x x m -+≤为真命题，则0∆≥，从而求出参数的取值范围；【详解】解：因为命题“x ∀∈R ，220x x m -+>”为假命题，所以命题“x ∃∈R ，220x x m -+≤”为真命题，所以()2240m ∆=--≥，解得1m ；故答案为：1m7．若命题2:R,21p x x x ∃∈-≥-，则p 的否定为_____________．【答案】2R,21x x x ∀∈-<-【点拨】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法直接写出p 的否定作答.【详解】命题2:R,21p x x x ∃∈-≥-，则命题p 是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以p 的否定是：2R,21x x x ∀∈-<-.故答案为：2R,21x x x ∀∈-<-8．已知命题2:,20p x R x x a ∀∈++≥恒成立；2:,10q x R x ax ∃∈-+<，若p ，q ⌝均为真，则实数a 的取值范围__________．【答案】[]1,2【点拨】根据题意得到命题p 为真命题，q 为假命题，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】根据题意，命题p ，q ⌝均为真命题，可得命题p 为真命题，q 为假命题，由命题2:,20p x R x x a ∀∈++≥恒成立，可得21240a ∆=-≤，解得1a ≥；又由命题2:,10q x R x ax ∃∈-+<为假命题，可得22()40a ∆=--≤，解得22a -≤≤，所以12a ≤≤，即实数a 的取值范围为[]1,2.故答案为：[]1,2.9．写出下列命题的否定．(1)有些四边形的四个顶点在同一个圆上；(2)x ∀∈Q ，211123x x -+∈Q ； (3)所有能被3整除的数都是奇数；(4)1∃<a ，12a a+=； (5)不论m 取何实数，方程20x x m +-=必有实数根．【答案】(1)所有四边形的四个顶点不在同一个圆上(2)x ∃∈Q ，211123x x -+∉Q (3)有些能被3整除的数不是奇数(4)1a ∀<，12a a+≠ (5)存在实数m ，使得20x x m +-=没有实数根【点拨】首先分析命题是全称命题还是特称命题，再根据全称命题和特称命题的否定形式，即可求解.【详解】（1）此命题是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即“所有四边形的四个顶点不在同一个圆上”；（2）此命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题，即“x ∃∈Q ，211123x x -+∉Q ”； （3）此命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题，即“有些能被3整除的数不是奇数”；（4）此命题是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即“1a ∀<，12a a+≠”； （5）此命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题，即“存在实数m ，使得20x x m +-=没有实数根”. 10．判断下列命题的真假：(1)Z x ∃∈，22x =；(2)R x ∃∈，22x =；(3)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；(4)平面上任意两条直线必有交点．【答案】(1)假命题；(2)真命题；(3)真命题；(4)假命题【点拨】解方程，即可判断（1）（2），根据垂直平分线的性质判断（3），根据平面内两直线的位置关系判断（4）；【详解】（1）解：若22x =，解得2x =±，因为2±不是整数，故命题“Z x ∃∈，22x =”为假命题； （2）解：若22x =，解得2x =±，因为2R ±∈，故命题“R x ∃∈，22x =”为真命题；（3）解：根据垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；故命题：“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；”为真命题；（4）解：平面上两条直线的位置关系有相交与平行，当两直线平行时，两直线没有交点，故命题“平面上任意两条直线必有交点．”为假命题；1．命题“[]1,2x ∀∈，230x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．3a ≤D ．4a ≤【答案】A【点拨】根据不等式恒成立求出命题为真命题时a 的范围，再选择其真子集即可求解.【详解】若“[]21,2,30x x a ∀∈-≥为真命题，得23a x ≤对于[]1,2x ∈恒成立，只需()2min 33a x ≤=，三维练素养所以2a ≤是命题“[]21,2,30x x a ∀∈-≥为真命题的一个充分不必要条件，故选：A.2．下列说法错误的是（ ）A ．命题“x ∃∈R ，210x x ++<”，则p ⌝：“x ∀∈R ，210x x ++≥”B ．已知a ，b ∈R ，“1a >且1b >”是“1ab >”的充分而不必要条件C ．“1x =”是“2320x x -+=”的充要条件D ．若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件【答案】C【点拨】根据充分条件，必要条件，全称与特称命题的否定依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，命题p ：“x ∃∈R ，210x x ++<”，则，p ⌝：“x ∀∈R ，210x x ++≥”满足命题的否定形式，所以A 正确；对于B 选项，已知a ，b ∈R ，“1a >且1b >”能够推出“1ab >，“1ab >”不能推出“1a >且1b >”，所以B 正确；对于C 选项，1x =时，2320x x -+=成立，反之，2320x x -+=时，1x =或2x =，所以C 不正确；对于D 选项，若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件，满足充分与必要条件的定义，所以D 正确．故选：C ．3．给出下面四个命题：∃x R ∀∈，11x +≥；∃x R ∀∈，0x x +≥；∃x R ∃∈，2x 的个位数字等于3；∃x R ∃∈，210x x -+=.其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【点拨】∃根据不等式性质和全称命题定义判断；∃根据不等式性质和称命题定义判断；∃用例举法判断；∃用一元二次方程根的判断式判断.【详解】对于∃，因为0x ≥，所以x R ∀∈，11x +≥，所以∃对；对于∃，当0x ≥时，20x x x +=≥，当0x <时，00x x +=≥，所以x R ∀∈，0x x +≥成立，所以∃对；对于∃，设10x a b =+，{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9b ∈，()22210102x a ab b =++，2x 的个位数字等于2b 的个位数字， 所以2x 的个位数字都不等于3，所以∃错；对于∃，因数()2141130∆=--⨯⨯=-<，所以方程210x x -+=无实数解，所以∃错.故选：B. 4．下列四个命题中，假命题是（ ）A ．1,2x R x x∀∈+≥B ．2,5x R x x ∃∈-> C ．,|1|0x R x ∃∈+<D ．,|1|0x R x ∀∈+>【答案】ACD【点拨】取0x <，可判断A ；取3x =，可判断B ；根据绝对值的定义，可判断C ；取1x =-，可判断D【详解】对于A 中，当0x <时，10x x+<不成立，所以命题“1,2x R x x ∀∈+≥”是假命题； 对于B 中，取3x =时，265x x -=>，所以命题“2,5x R x x ∃∈->”为真命题；对于C 中，根据绝对值的定义，可得10x +≥恒成立，所以命题“,10x R x ∃∈+<”是假命题；对于D 中，当1x =-时，10x +=，所以命题“,10x R x ∀∈+>”为假命题.故选：ACD5．下列命题中，真命题的是（ ）A ．0a b +=的充要条件是1a b=- B ．1a >，1b >是1ab >的充分条件C ．命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“R x ∀∈都有210x x ++≥”D ．“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件【答案】BCD【点拨】根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断．【详解】0a b 时，0a b +=，但a b无意义，A 错； 1,1a b >>时一定有1ab >，而当2,3a b =-=-时，61ab =>，但1,1a b <<，充分性正确，B 正确； 由存在命题的否定是全称命题，命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“R x ∀∈都有210x x ++≥”，C 正确；22(1)(2)0x x x x +-=-+>，2x <-或1x >，因此D 正确．故选：BCD ．6．下列语句是假命题的是______（填序号）．∃所有的实数x 都能使2360x x -+>成立；∃存在一个实数0x ，使200360x x -+<成立； ∃存在一个实数0x ，使200360x x -+=． 【答案】∃∃【点拨】由二次方程2360x x -+=的判别式可得二次函数的性质，进而可判断∃∃∃是否正确，可得正确答案.【详解】因为在2360x x -+=中，()2346150=--⨯=-<∆，所以2360x x -+=无解，2360x x -+>恒成立．所以所有的实数x 都能使2360x x -+>成立；∃是真命题，不存在实数0x ，使200360x x -+<成立，∃是假命题， 不存在实数0x ，使200360x x -+=，∃是假命题，所以∃∃是假命题．故答案为：∃∃.7．命题“对2,210x R ax x ∀∈++≥”为真命题，则实数a 的最小值是_______.【答案】1【点拨】分两种情况讨论a ，根据不等式恒成立，结合抛物线的图象，列不等式求解即可.【详解】当0a =时，210x +≥不恒成立，为假命题，不符合题意；当0a ≠时，要使x R ∀∈，2210ax x ++≥为真命题，则需201440a a a >⎧⇒≤⎨∆=-≤⎩， 综上可得实数a 的最小值是1.故答案为：18．已知命题:p {|620}x x x ∃∈≤≤，2x a < ，命题:q 2R,20x x x a ∀∈+->.(1)若命题p 和命题q ⌝有且只有一个为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 和命题q 至少有一个为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[1,3]-;(2)(,1)(3,)-∞-⋃+∞.【点拨】(1)先分别解出当命题p 、q 均为真时，实数a 的范围,再分p 真q ⌝为假和p 假q ⌝为真两种情况分别求解后取并集即可；(2)运用补集思想，结合(1)中p 假q 假的结论，即可求得结论.【详解】（1）解：当命题p 为真时有：26a >，解得3a >;当命题q 为真时有：440a ∆=+<，解得：1a <-，又命题p 和命题q ⌝有且只有一个为假命题，当p 真时，q ⌝为假，即p 真q 真，所以31a a >⎧⎨<-⎩，无解； 当p 假时，q ⌝为真，即p 假q 假，所以31a a ≤⎧⎨≥-⎩，解得13a -≤≤. 综上所述，实数a 的取值范围为：[1,3]-;（2）解：由(1)可知当p 假q 假时，13a -≤≤.所以当命题p 和命题q 至少有一个为真命题时，实数a 的取值范围为：(,1)(3,)-∞-⋃+∞。
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题 学案(含答案)
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题学案（含答案）2.32.3全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题22..3.13.1全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题学习目标1.理解全称量词.全称量词命题的定义.2.理解存在量词.存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假知识点全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有.任意.每一个存在.有的.有一个符号命题含有全称量词的命题称为全称量词命题含有存在量词的命题称为存在量词命题一般形式xM，pxxM，px思考1全称量词命题中的“x，M与px”表达的含义分别是什么答案元素x可以表示实数.方程.函数.不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围px表示集合M的所有元素满足的性质如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“xN，x0”思考2“一元二次方程ax22x10有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题请改写成相应命题的形式答案是存在量词命题，可改写为“存在xR，使ax22x10”1“三角形内角和是180”是全称量词命题2“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题3“xR，x211”是真命题4存在量词命题“xR，x21,3x40成立；2对所有实数a，b，方程axb0恰有一个解；3有些整数既能被2整除，又能被3整除；4某个四边形不是平行四边形解1全称量词命题，表示为xx|x1,3x40.2全称量词命题，表示为a，bR，方程axb0恰有一解3存在量词命题，表示为xZ，x既能被2整除，又能被3整除4存在量词命题，表示为xy|y是四边形，x不是平行四边形反思感悟判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题跟踪训练1判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题1凸多边形的外角和等于360；2矩形的对角线不相等；3若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；4有些实数a，b能使|ab||a||b|；5方程3x2y10有整数解解1可以改为所有的凸多边形的外角和等于360，故为全称量词命题2可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题3若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题4含存在量词“有些”，故为存在量词命题5可改写为存在一对整数x，y，使3x2y10成立故为存在量词命题二.全称量词命题与存在量词命题的真假的判断例2判断下列命题的真假1xZ，x30.解1因为1Z，且1311，所以“xZ，x30”是假命题反思感悟判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言1要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使px成立即可，否则命题为假2要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，px都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使px不成立即可跟踪训练2试判断下列命题的真假1xR，x212；2直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；3存在一对整数x，y，使得2x4y6.解1取x0，则x2112，所以“xR，x212”是假命题2与x 轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题3取x3，y0，则2x4y6，故为真命题三.依据含量词命题的真假求参数的取值范围例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B，若命题p“xB，xA”是真命题，求m 的取值范围解由于命题p“xB，xA”是真命题，所以BA，B，所以m12m1，m12，2m15，解得2m3.延伸探究1把本例中命题p改为“xA，xB”，求m的取值范围解p为真，则AB，因为B，所以m2.所以2m15，m2或22m15，m2，解得2m4.2把本例中的命题p改为“xA，xB”，是否存在实数m，使命题p是真命题若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由解由于命题p“xA，xB”是真命题，所以AB，B，所以m12m1，m12，2m15，解得m，所以不存在实数m，使命题p是真命题反思感悟依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法1首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意2其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式组求参数的取值范围跟踪训练3若命题“xR，x24xa0”为真命题，求实数a的取值范围解命题“xR，x24xa0”为真命题，方程x24xa0存在实数根，则424a0，解得a4.1多选下列命题是全称量词命题的是A任意一个自然数都是正整数B有的菱形是正方形C梯形有两边平行DxR，x210答案AC 解析选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题，选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题2下列命题中是存在量词命题的是A任何一个实数乘以0都等于0B任意一个负数都比零小C每一个正方形都是矩形D一定存在没有最大值的二次函数答案D解析D选项是存在量词命题3下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是A每个二次函数的图象都开口向上B存在一条直线与已知直线不平行C对任意实数a，b，若ab0，则abD 存在一个实数x，使等式x22x10成立答案C解析B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数yax2bxca0的图象开口向下，也应排除，故应选C.4命题pxR，x22x50是________填“全称量词命题”或“存在量词命题”，它是________命题填“真”或“假”答案存在量词命题假解析命题p是存在量词命题，因为方程x22x50的判别式22450解析一次函数ykx2的图象过点0,2，若恒过第三象限，则k0.1知识清单1全称量词命题.存在量词命题的概念2含量词的命题的真假判断3依据含量词的命题的真假求参数的取值范围2常见误区有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体.全部”，存在量词命题强调“个别.部分”。
高三数学全称量词与存在性量词试题答案及解析
高三数学全称量词与存在性量词试题答案及解析1.已知命题，则为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，以及否命题的特征，可知选D【考点】全称命题的否定.2.已知命题，那么是A．B．C．D．【答案】B【解析】命题的否定，就是把命题的结论否定，条件不变，但条件中的存在量词必须作相应的改变，因此是．选B．【考点】命题的否定．3.已知命题，命题，则( )A．命题是假命题B．命题是真命题C．命题是真命题D．命题是假命题【答案】C【解析】在直角坐标系中作出y=x-2与图像可得命题P是真命题,命题q是错误的(x=0),所以命题是真命题是真命题,故选C.【考点】全称命题特称命题逻辑连接词4.把命题“”的否定写在横线上__________．【答案】【解析】命题“”的否定为“”．【考点】命题的否定．5.下列命题中,真命题是()A．∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数【答案】A【解析】∵当m=0时,f(x)=x 2(x ∈R),∴f(x)是偶函数. 又∵当m=1时,f(x)=x 2+x(x ∈R),∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.C 、D 错.当x≠0,x ∈R 时,f(-x)=x 2-mx≠-(x 2+mx)=-f(x),∴B 不成立.故选A.6. 已知a>0,函数f(x)=ax 2+bx+c,若x 0满足关于x 的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R,f(x)≤f(x 0)B ．∃x ∈R,f(x)≥f(x 0)C ．∀x ∈R,f(x)≤f(x 0)D ．∀x ∈R,f(x)≥f(x 0)【答案】C【解析】∵a>0,∴二次函数图象开口向上,对称轴为x=-,∴∀x ∈R,f(x)≥f(x 0),故C 为假命题.故选C.7. 已知命题p:∀x ∈R,x>sinx,则p 的否定形式为( ) A ．∃x ∈R,x<sinx B ．∃x ∈R,x≤sinx C ．∀x ∈R,x≤sinx D ．∀x ∈R,x<sinx【答案】B【解析】命题中“”与“”相对,则p: x ∈R,x≤sinx.8. 以下正确命题的个数为（ ） ①命题“存在，”的否定是：“不存在，”；②函数的零点在区间内；③ 函数的图象的切线的斜率的最大值是；④线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】命题“存在，”的否定是：“，”，所以①是假命题；由函数零点存在定理知②是真命题；由得，，所以③是真命题；线性回归直线恒过样本中心，但不一定经过样本点，所以 是假命题④；综上知正确命题的个数为2，故选D.【考点】全称命题与存在性命题，函数的零点存在定理，回归直线方程，导数的几何意义，基本不等式.9. 由命题“”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是 ． 【答案】【解析】根据题意可得：是真命题，则，即，故． 【考点】1.命题的真假;2.三个二次的关系10. 已知命题： （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】全称命题：“”的否定为“”，否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，所以“”的否定是“”.故选C.【考点】全称命题的否定.11.已知命题p：∀x，>0，则（）A．非p：∃x，B．非p：∀x，C．非p：∃x，D．非p：∀x，【答案】C【解析】“”的否定是“”，否定命题即否定条件也否定结论，故命题p：∀x，>0，的否命题是“∃x，”，选C.【考点】全称量词、命题及其关系.12.为假命题,则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】为假命题，即对，设，则是二次函数，其图像是开口向上的抛物线，因为，所以图像与轴无交点.即，所以,解得，故的取值范围为.【考点】对含一个量词的命题进行否定、一元二次不等式13.已知命题：，，那么是( )A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】含有一个存在量词的特称命题的否定是全称命题，所以.【考点】全称、特称命题及其否定形式.14.已知命题：使成立．则为（）A．均成立B．均成立C．使成立D．使成立【答案】D【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即．【考点】全称命题.15.命题：“”，则（）A．是假命题；：B．是假命题；：C．是真命题；：D．是真命题；：【答案】B【解析】命题是假命题，当时不成立，全称命题的否定是特称命题，需将任意改存在，并对满足的条件否定的否定是，所以命题P的否定是：【考点】全称命题与特称命题点评：全称命题的否定是，特称命题的否定是16.已知命题，使，则（）A．，使B．，使C．，使D．，使【答案】D【解析】对于特称命题的否定是全称命题，可知那么命题，使，将存在改为任意，结论改为否定，可知为，使，故选D.【考点】命题的否定点评：本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题17.已知p：函数有两个零点，．若为真，为假，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：∵为真，为假，∴p,q是一个真命题，一个假命题，由p：函数f（x）=x2+mx+1有两个零点，得△=m2-4＞0，解得m＞2或m＜-2．由q：，，得△=16（m-2）2-16<0，解得1<m<3，∴实数m的取值范围为,故选B．【考点】命题的真值点评：解决的关键是利用函数的零点的概念来分析得到，以及全称命题的理解和运用，属于基础题。
高考数学专项： 全称量词与存在量词(习题作业)解析版
1.5全称量词与存在量词一、单选题1．命题“R x ，0x x ．”的否定是（）A ．R x ，0x xB ．R x ，0x xC ．R x ，0x xD ．R x ，0x x 【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.【详解】因为存在量词命题的否定是全称存在量词命题，所以命题“R x ，0x x ．”的否定是“R x ，0x x ”.故选：B2．命题“0x ，2560x x ”的否定为（）A ．0x ，2560x x B ．0x ，2560x x C ．00x ，200560x x D ．00x ，200560x x 【答案】C【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可.【详解】根据全称命题的否定可得，命题“0x ，2560x x ”的否定为“00x ，200560x x ”.故选：C3．命题“ 21,3,320x x x ”的否定为（）A ． 20001,3,320x x x B ． 21,3,320x x x C ． 21,3,320x x x D ． 20001,3,320x x x 【答案】A【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为 20001,3,320x x x .故选：A4．命题“ 0,a ，sin a a ”的否定形式是（）A ． 0,a ，sin a aB ． 0,a ，sin a aC ． ,0a ，sin a aD ． ,0a ，sin a a【答案】A【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.【详解】特称命题的否定是全称命题，命题“ 0,a ，sin a a ”的否定形式是 0,a ，sin a a .故选：A.5．命题 :15p x x x ，245x x ，则命题p 的否定是（）A ． 15x x x ，245x xB ． 15x x x ，245x xC ． 15x x x ，245x xD ． 15x x x ，245x x 【答案】B【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】解：因为命题 15x x x ，245x x 是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即 15x x x ，245x x ，故选：B6．已知命题2:0,0p x x x ，则p 为（）A ．20,0x x xB ．20,0 x x xC ．20,0 x x xD ．20,0x x x 【答案】C【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题2:0,0p x x x ，则p 为20,0 x x x .故选：C7．若命题“x R ，都有2410mx x ”为假命题，则实数m 的取值范围为（）A ．40mB ．0mC ．4mD ．40m 【答案】C【分析】根据全称命题的否命题为真，即方程有解的条件求实数m 的范围即可．【详解】解：由题意得R x ，使得2410mx x ，当0m ，14x符合题意；当0m ，只要1640m 即可，解得4m ，综上：4m ．故选：C ．8．已知2:R,40p x x x a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ． 0,4B ． ,4C ． ,0D ．4, 【答案】B【分析】根据特称命题为真命题转化为方程有实数根，结合一元二次方程有实数解的条件即可求解.【详解】因为2:R,40p x x x a 是真命题，所以方程240x x a 有实数根，所以2440a ，解得4a ，故实数a 的取值范围为 ,4 .故选：B.9．已知命题“200014(2)04R,x x a x”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ． ,0B ． 0,4C ． 4,D ．0,4【答案】D【分析】根据题意可知该命题的否定是真命题，再根据一元二次不等式恒成立即可求解.【详解】由题意可知，命题“200014(2)04R,x x a x ”是假命题则该命题的否定“214(2)0R,4x x a x >”是真命题，所以2(2)40a <，解得04a ；故选：D.10．已知命题“存在{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是假命题，则实数m 的取值范围是（）A ． 3,6B ． ,36,C ． 3,6D ．,36, 【答案】D【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和否命题真假的关系即可求解.【详解】由已知命题“存在{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是假命题，等价于“任意的{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是真命题，又因为12x ，所以336x ，要使3x m ，则需3m 或6m .所以实数m 的取值范围为 ,36, .故选：D.11．命题“2R,10x x ax ”为假命题的一个必要不充分条件是（）A ．[2,2]aB ．(2,1)aC ．[2,3]aD ．(2,3)a 【答案】C【分析】先将命题“R x ，210x ax ”为假命题转化“x R ，210x ax ”为真命题，求出其充要条件，再利用数集间的包含关系进行求解.【详解】命题“R x ，210x ax ”为假命题，即命题“x R ，210x ax ”为真命题，则 2Δ=40a ，解得22a ，对于A ：[2,2]a 是命题“2R,+1<0x x ax ”为假命题的充要条件，即选项A 错误；对于B ：(2,1) 是[2,2] 的真子集，所以(2,1)a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个充分不必要条件，故选项B 错误；对于C ：[2,2] 是[2,3] 的真子集，所以[2,3]a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个必要不充分条件，故选项C 正确；对于D ：(2,3) 与[2,2] 无包含关系，所以(2,3)a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个既不充分也不必要条件，故选项D 错误.故选：C.12．若 :1,5p x ，240ax x 是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．925aB ．116aC ．5aD ．5a 【答案】C【分析】利用参变量分离法可得出241a x x ，当1,5x 时，求出241x x的取值范围，即可得出实数a 的取值范围.【详解】对任意的 1,5x ，240ax x ，则241a x x，因为 1,5x ，则1115x，则2419,525x x ，5a .故选：C.二、多选题13．下列说法正确的是（）A ．22,2 B ．“R x ，210x x ”的否定是“R x ，210x x ”C ．“212x ”是“1x ”的充分不必要条件D ．“a b ”是“22ac bc ”的必要不充分条件【答案】ACD【分析】根据元素和集合的关系判断A ；根据全称量词命题的否定可判断B ；根据充分条件以及必要条件的判断可判断C ，D.【详解】对于A ， 2,2的元素是 2,2，故 22,2 ，正确；对于B ，“R x ，210x x ”为全称量词命题，它的否定是“R x ，210x x ”，B 错误；对于C ，由212x ，可得312212,22x x ，则1x 成立，当1x 时，比如取2x ，推不出212x 成立，故“212x ”是“1x ”的充分不必要条件，C 正确；对于D ，当a b 时，若0c =，则22ac bc 不成立，当22ac bc 成立时，则0c ，则20c ，故a b ，故“a b ”是“22ac bc ”的必要不充分条件，D 正确，故选：ACD14．下列命题中，是真命题的有（）A ．命题“1x ”是“2320x x ”的充分不必要条件B ．命题2:R,10p x x x ，则2:R,10p x x xC ．命题“1x ”是“210x -¹”的充分不必要条件D ．“2x ”是“2320x x ”的充分不必要条件【答案】ABD【分析】根据判断充分不必要条件的逻辑关系分别判断A ，C ，D ；根据全称命题的否定形式可判断B.【详解】对于A ，当1x 时，2320x x 成立，反之，当2320x x 时，解得1x 或2x ，不一定是1x ，故“1x ”是“2320x x ”的充分不必要条件，A 正确；对于B ，命题2:R,10p x x x 为全称命题，其否定为特称命题，即2:R,10p x x x ，B 正确；对于C ，1x 推不出210x -¹，因为1x 时，210x -=，当210x -¹时，一定有1x 且1x ，故命题“1x ”是“210x -¹”的必要不充分条件，C 错误；对于D ，解2320x x 可得1x 或2x ，故2x 时，一定有2320x x 成立，当2320x x 时，也可能是1x ，不一定是2x ，故“2x ”是“2320x x ”的充分不必要条件，D 正确，故选：ABD15．下列说法正确的是（）A ．命题2000:,220R p x x x ，则命题p 的否定是2R,220x x x B ．全称命题“2R,2x x x ”是真命题.C ．命题“2000,10R x x x ”是假命题D ．集合 28120A x x x .集合260C x ax x ，若A C C ，则a 的取值范围是124a【答案】AC【分析】A 选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；B 选项，举出反例；C 选项，由根的判别式得到210x x 恒成立，C 错误；D 选项，根据交集结果得到C A ，分C 和C 两种情况，分类讨论，得到a 的取值范围.【详解】A 选项，命题p 的否定是2,220 R x x x ，A 正确；B 选项，当2x 时，22x x ，故B 错误；C 选项，对于21y x x ，2Δ(1)41130 ，故对任意的x ，210x x ，C 正确；D 选项，因为A C C ，所以C A ，又 2,6A ，当C 时，若6C ，则36660a ，解得0a ，此时 6C ，满足C A ，若2C Î，则4260a ，解得1a ，此时 3,2C ，不满足C A ，当C 时，Δ12400a a ，解得124a ，综上，a 的取值范围为0a 或124a ，D 错误.故选：AC16．下列命题为真命题的是（）A ．若2:,2n p n N n ，则2:,2n p n N n ；B ．若0,0a b c d ，则a b d c；C ．使不等式110x成立的一个充分不必要条件是1x 或1x D ．若,,(1,2)i i i a b c i 是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ”是“不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集相等”的充分不必要条件【答案】BC【分析】A 选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论；B 选项：由不等式的同向可乘性可以判断；C 选项：通过检验就可以判断；D 选项：通过分析不等式以及充分不必要条件就可以判断.【详解】A 选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论，所以命题p :n N ,22n n .则p :N n ,22n n ，A 是假命题；B 选项：0,0c d a b ∵，0,0c d ac bd 0cd ∵又，,ac bd a b cd cd d c即，a b d c，B 是真命题；C 选项：若1x 或1x ，则110x 成立，故满足充分性；当110x时，1x 或0x ，不满足必要性，C 是真命题；D 选项：设1112220a b c m m a b c ，则121212,,a ma b mb c mc 所以不等式21110a x b x c 等价于22220m a x b x c .若0m ，此时 22220m a x b x c 等价于22220a x b x c ，此时两者解集相等；若0m ，此时22220m a x b x c 等价于22220a x b x c ，此时两者解集不相等；若不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集为 ，则两个不等式的系数没有关系.所以“111222a b c a b c ”是“不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集相等”的既不充分也不必要条件，D 是假命题.故选：BC.【点睛】关键点睛：解决本题，一是理解命题，二是要怎么样处理充分性以及必要性，三是要推理正确.17．下列命题是真命题的是（）A ．x R ，x xB ．x R ，x xC ．x R ，2350x xD ．x R ，2350x x 【答案】ABD【分析】利用绝对值的性质可判断A 选项的正误；取0x ，可判断B 选项的正误；取0x ，可判断C 选项的正误；取5x ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A ：当0x 时，x x ；当0x 时，0x x x ；综上所述：x R ，x x ，故A 正确；对于B ：当0x 时，满足x x ，故B 正确；对于C ：当0x 时，23550x x ，故C 错误；对于D ：当5x 时，23550x x ，故D 正确；故选：ABD ．18．已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ð，则下列关系一定正确的是（）A ．x U ，x A 且xB B ．x A ，x BC ．x U ，x A 或x BD ．x U ，x A 且x B【答案】AB【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.【详解】全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ð，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，x U ，x A 且x B ，A 正确；因A B ，必有x A ，x B ，B 正确；若AU B ð，则()()U U A B 痧，此时x U ，[()()]U U x A B 痧，即x A 且x B ，C 不正确；因A B ，则不存在x U 满足x A 且x B ，D 不正确.故选：AB19．下列条件中，为“关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立”的充分不必要条件的有（）A ．04mB ．02mC ．14mD ．16m 【答案】BC【分析】对m 讨论：0m ；0m ，Δ0 ；0m ，结合二次函数的图象，解不等式可得m 的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.【详解】因为关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立，当0m 时，原不等式即为10 恒成立；当0m 时，不等式210mx mx 对R x 恒成立，可得Δ0 ，即240m m ，解得：04m .当0m 时，21y mx mx 的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m 的取值范围为： 0,4.所以“关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立”的充分不必要条件的有02m 或14m .故选：BC.20．下列说法正确的是（）A ．“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a 不成立”B ．“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a 成立”C ．命题“ 12x x x ，x 为真命题的一个充分不必要条件是7aD ．已知a ，b R ，则“a b ”是 成立的充要条件【答案】BC【分析】对四个选项一一验证：对于A 、B ：利用存在命题的否定直接判断；对于C ：先求出4a ，即可判断；对于D ：由0,0a b .故D 错误即可判断.【详解】对于A 、B ：因为“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a成立”，所以A 错误，B 正确；对于C ：命题“ 12x x x ，x 为真命题，则4a ，所以7a 是一个充分不必要条件.故C 正确；对于D ：当0,0a b .故D 错误.故选：BC三、填空题21．请把命题“勾股定理”写成含有量词的命题：_____________.【答案】对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方【分析】根据勾股定理的内容，结合任意性的定义进行求解即可.【详解】在任意的直角三角形中，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方，故答案为：对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方22．命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是_______．【答案】所有的正整数，它的算术平方根不是正整数【分析】根据特称命题的否定即可得.【详解】解：命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是：“所有的正整数，它的算术平方根不是正整数”.故答案为：所有的正整数，它的算术平方根不是正整数.23．“所有的自然数都大于零”的否定是_______．【答案】存在一个自然数小于或等于零【分析】根据全称命题的否定形式为对应的特称命题进行改写.【详解】替换量词并否定结论，“所有的自然数都大于零”的否定是“存在一个自然数小于或等于零”．故答案为：存在一个自然数小于或等于零24．将“方程210x 无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________．【答案】2R ,10x x 【分析】根据全称量词命题的形式改写即可．【详解】由已知，“方程210x 无实根”是全称量词命题，故可改写为：2R ,10x x ，故答案为：2R ,10x x ．25．命题“x R ，20x x ”的否定是______．【答案】R x ，20x x 【分析】由全称量词命题的否定形式即可得答案.【详解】命题“x R ，20x x ”的否定是“R x ，20x x ”.故答案为：R x ，20x x 四、解答题26．已知命题22:,20p x x x a R ，命题p 为真命题时实数a 的取值集合为A ．(1)求集合A ；(2)设集合 231B am a m ∣，若A 是B 的真子集，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 11A aa ∣；(2)01m ．【分析】(1)命题为真命题，即方程2220x x a 有根，则2Δ440a ，解出即可.(2)因为A 是B 的真子集，列不等式组解出即可.【详解】（1）由命题p 为真命题，得2Δ440a ，得11a11A a a ∣（2）A ∵是B 的真子集．23111231m m m m，解得01m ．27．写出下列命题的否定，并判断它们的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)三个连续整数的乘积能被6整除;(3)三角形不都是中心对称图形;(4)至少有一个整数2,1n n 是4的倍数.【答案】(1)所有实数都不是无限不循环小数，假命题(2)存在三个连续整数的乘积不能被6整除，假命题(3)任意一个三角形都是中心对称图形，假命题(4)任意整数2,1n n 不是4的倍数，真命题【分析】根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，以及命题的形式直接写出命题的否定，并判断真假即可.【详解】（1）命题的否定为：“所有实数都不是无限不循环小数”，是无限不循环小数，所以其为假命题；（2）命题的否定为：“存在三个连续整数的乘积不能被6整除”，因为三个连续整数中必有一个能被2整除，一个能被3整除，则三个连续整数的乘积一定能被6整除，所以其为假命题；（3）命题的否定为：“任意一个三角形都是中心对称图形”，因为等边三角形不是中心对称图形，所以其为假命题；（4）命题的否定为：“任意整数2,1n n 不是4的倍数”，当2,Z n k k 时，22141n k 不是4的倍数；当21,Z n k k 时，2214()2n k k 不是4的倍数，所以其为真命题.28．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)R x ，使43x x ；(3)R x ，有12x x .【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)答案见解析.【分析】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定,对(1)可根据正方形与菱形的关系判断真假;对(2)举例说明43x x 不成立;对(3)举例说明12x x 成立.【详解】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：R x ，有43x x ．因为当2x 时，42352 ，所以“R x ，有43x x ”是假命题．（3）命题的否定：R x ，使12x x ．因为当2x 时，121322x ，所以“R x ，使12x x ”是真命题．29．写出下列命题的否定，并判断真假.(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形.【答案】(1)命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.(2)命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题(3)命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题(4)命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.【分析】根据全称命题和特称命题的否定定义求解即可.【详解】（1）命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.（2）命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题.（3）命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题.（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.30．已知全集U R ，集合{|13}A x x ，集合{|21}B x m x m ．(1)若A B B I ，求实数m 的范围；(2)若1x A ，2x B ，使得12x x ，求实数m 的范围．【答案】(1)1(,)3(2)(,2)【分析】（1）可先求出A B B ∩，即B A 时m 的范围，即可求解；（2）先得到A B ，再列出不等式，即可求解【详解】（1）若A B B ∩，则B A ，当B 时，则21m m ³-，13m ，当B 时，则212113m m m m，则m 不存在，综上，13m ，A B B ∩，实数m 的范围为1(,)3 ．（2）1x A ∵，2x B ，使得12x x ，A B ，且A ，则2113m m ，2m ，实数m 的范围为(,2) ．31．已知集合 25A x x ， 121B x m x m ，且B .(1)若命题p ：“x B ，x A ”是真命题，求m 的取值范围；(2)若命题q ：“x A ，x B ”是真命题，求m 的取值范围．【答案】(1)2,3(2)2,4【分析】（1）根据命题p 为真命题，得到,B A B ，从而得到不等式组，求出m 的取值范围；（2）根据命题q 为真命题，得到A B ，从而得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】（1）命题p ：“x B ，x A ”是真命题，故,B A B ，所以12112215m m m m，解得23m ，故m 的取值范围是 2,3.（2）由于命题q 为真命题，则A B ，因为B ，所以121m m ，所以2m ,当2m 时，一定有13m ，要想满足A B ，则要满足15m ，解得4m ，故A B 时，24m ，故m 的取值范围为 2,4.32．已知命题:q “x 满足22x ，使220x x a ”，(1)命题:p “ 2R,140x x a x ”，若命题,p q 中至少一个为真，求实数a 的范围.(2)命题:21p a x a ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的范围.【答案】(1) 3a a 或 1a ；(2)1,2【分析】（1）先求出命题,p q 为真和假时a 的取值范围，由此可得命题,p q 都为假命题时a 的取值范围，进而即可求解；（2）记 1,8,2,1A B a a ，由题意可得BA ，由集合的包含关系，分类讨论即可求解；【详解】（1）命题:q “x 满足22x ，使220x x a ”，为真命题时，22a x x ，令 22,22f x x x x ，则 18f x ，所以18a ，所以命题q 为假时，则1a 或8a ，命题:p “ 2R,140x x a x ”，为真命题时，21440a ，解得3a 或5a ，所以命题q 为假时，则35a ，又因为命题,p q 都为假命题时，3518a a a或，即31a ，所以命题,p q 中至少一个为真时，实数a 的范围是 3a a 或 1a ；（2）由（1）可知：命题q 为真命题时，18a ，记1,8,2,1A B a a 因为p 是q 的充分不必要条件，所以B A ，当B 即21a a ，也即1a 时，满足条件；当B 时，212118a a a a ，解得112a ；综上可知：实数a 的范围是1,233．已知命题:p x R ，2210ax x +-=为假命题．(1)求实数a 的取值集合A ；(2)设集合 64242B x m x m ，若“x A ”是“x B ”的必要不充分条件，求m 的取值范围．【答案】(1)1A a a (2)3m 或m 1【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即Δ0 求解即可；（2）根据题意先求得B A ，再分情况求得m 的范围即可．【详解】（1）解：命题p 的否命题为R x ，2210ax x 为真，0a 且Δ440a ，解得1a ．∴ 1A a a ．（2）解：由64242m x m 解得32m x m <<，若“x A ”是“x B ”的必要不充分条件，则B A ，∴当B 时，即32m m ，解得m 1 ；当1m 时，21m ，解得3m ，综上：3m 或m 1 ．34．已知命题p ：“x R ，使不等式220x x m 成立”是假命题．(1)求实数m 的取值集合A ；(2)若:44q m a 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1),1 (2),5 【分析】（1）把特称命题转化为全称命题，即可根据一元二次不等式恒成立问题得出答案；（2）利用充分条件和必要条件的关系以及不等式的解法求出结果.【详解】（1）命题p ：“x R ，使不等式220x x m 成立”是假命题，则“x R ，使不等式220x x m 恒成立”是真命题，故440m ，解得1m ，故 ,1m ，即 ,1A .（2）由于命题：:44q m a ，整理得：44a m a ，由小问1得p ：1m ，由于q 是p 的充分不必要条件，所以41a ，解得5a ，故实数a 的取值范围为 ,5 .35．已知命题：“0x R ，使得2002430x mx m ”为真命题．(1)求实数m 的取值的集合A ；(2)设不等式()(3)0x a x a 的解集为B ，若x A 是x B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 1A m m 或 3m ；(2)(,2][3,) ．【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可；（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.【详解】（1）命题“0x R ，使得2002430x mx m ”为真命题，所以2(2)4(43)0m m ，即2430m m ，解之得1m £或3m ，所以实数m 的取值的集合 1A m m 或 3m ；；（2）不等式()(3)0x a x a 的解集为 3B x a x a ，因为x A 是x B 的必要不充分条件，所以B A ，则3a 或31a ，所以3a 或2a ，故实数a 的取值范围为(,2][3,) ．。
全称量词与存在量词(有答案)
姓 名 年级 性 别 学 校 学 科教师上课日期上课时间课题9.1 全称量词与存在量词知识点一、全称量词与全称命题1．短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做______________，并用符号“_______”表示． 2．含有_____________的命题叫做全称命题，用符号表示为：“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，记为________________.知识点二、存在量词与特称命题1．短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做____________，用符号“_______”表示．2．含有_______________的命题，叫做特称命题，用符号表示：“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立，记为：________________”.知识点三、含有一个量词的命题的否定类型一 全称命题和特称命题的概念及真假判断例1 、指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使1x 0－1＝0；(3)对任意向量a ，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＞1.【自主解答】 (1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称命题．因为|0|＝0，∴|a |＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是特称命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题． 变式：判断下列命题的真假：(1)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0；(2)∀x ∈(0，π2)，cos x ＜1；(3)∃x 0∈Z ，使3x 0＋4＝0；(4)至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3. 【解】 (1)∵当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0，∴原命题是假命题． (2)由y ＝cos x 在(0，π2)的单调性．∴∀x ∈(0，π2)，cos x ＜1为真命题．(3)由于3x ＋4＝5成立时，x ＝13∉Z ，因而不存在x ∈Z ，使3x ＋4＝5.所以特称命题“∃x 0∈Z ，使3x 0＋4＝5”是假命题．(4)由于取a ＝1，b ＝1，c ＝1时，a 2＋b 2＋c 2≤3是成立的，所以特称命题“至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3”是真命题.类型二 含有一个量词的命题的否定例2、写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q: 存在一个实数x 0使得x 20＋x 0＋1≤0；【错因分析】错解中只否定了命题的结论，忘记了转换量词．【正解】命题的否定：∃x0∈R，若y＞0，则x20＋y≤0.。
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专题7 全称量词命题与存在量词命题 题组1 含全称量词的命题的否定 1．命题“0x R ∃∈，00
12x x +≥”的否定形式是（ ）. A ．x R ∀∈，12x x
+
> B ．x R ∃∈，12x x +
< C ．x R ∃∈，12x x +> D ．x R ∀∈，12x x +< 【答案】D 【解析】命题的否定为:∃改为∀,≥改为<,故否定形式为x R ∀∈，12x x
+
<,故选D. 2.命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ）
A.存在x 0∈R ，使得＜0
B.对任意x ∈R ，都有x 2＜0
C.存在x 0∈R ，使得≥0
D.不存在x ∈R ，使得x 2＜0
【答案】A 【解析】由含有全称量词的命题的否定形式可知，该命题的否定为：存在x 0∈R ，使得＜0.
3.命题：“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是（ ）
A.对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根
B.对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有负实根
C.存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有负实根
D.存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根
【答案】D
【解析】任意对应存在，有正实根的否定是无正实根．故命题：“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是“存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根”．
4.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是（ ）
A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2
B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2
C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2。