点,直线,圆 椭圆 双曲线 抛物线之间关系的类比总结

点(,)A a b 圆 222x y r += 直线2:l ax by r +=三者的关系
在y 轴上任一点Q ，做圆A ：22(2)1x y -+=的两条切线，切点分别为B ，C ，
求线段BC 中点的轨迹方程。

点0,0()A x y 椭 圆221(0)a b a b +=>> 直线00221a b
++三者的关系
点0,0()A x y 双曲线221(0,0)a b a b -=>> 直线00221a b
-+三者的关系
点0,0()A x y 抛物线22(0)y px p => 直线00:()l y y p x x =+三者的关系
（2008．山东）如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .
（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，
AB =
（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线2
2(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证明：由题意设
22
12
12120(,),(,),,(,2).
22x x A x B x x x M x p p p
-＜
由2
2x py =得22x y p =，则,x
y p
'=
所以12,.MA MB x x k k p p
=
=
因此直线MA 的方程为1
02(),x y p x x p +=
- 直线MB 的方程为2
02().x y p x x p
+=
-
所以211102(),2x x
p x x p p
+=-
①
222202().2x x
p x x p p
+=- ②
由①、②得
2
12
120,2x x x x x +=+- 因此 2
12
02
x x x +=，即0122.x x x =+
所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得：
22
11440,x x p --=
22
22440,x x p --=
所以 x 1、x 2是方程22
440x x p --=的两根，
因此2
12124,4,x x x x p +==-
又22
210122122,2AB
x x x x x p p k x x p p
-
+===-
所以2.AB k p
=
由弦长公式得
AB ==
又AB = 所以p =1或p =2，
因此所求抛物线方程为2
2x y =或2
4.x y =
（Ⅲ）解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),
则CD 的中点坐标为123123
(
,),22
x x x y y y Q ++++
设直线AB 的方程为0
11(),x y y x x p
-=
-
由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212
(,)22
x x y y ++也在直线AB 上，
代入得0
33.x y x p
=
若D （x 3,y 3）在抛物线上，则2
330322,x py x x ==
因此 x 3=0或x 3=2x 0.
即D (0，0)或20
02(2,).x D x p
（1）当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意.
（2）当00x ≠，对于D (0，0)，此时22
12
22
22
12
12000
2(2,),,224CD
x x x x x x p
C x k p
x px +++==
又0
,AB x k p
=
AB ⊥CD ， 所以2222
012122
01,44AB CD
x x x x x k k p px p
++===- 即222
124,x x p +=-矛盾.
对于2002(2,),x D x p 因为2212
0(2,),2x x C x p
+此时直线CD 平行于y 轴， 又0
0,AB x k p
=
≠ 所以 直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意.
（2006年全国卷II ）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →
（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明FM →·AB →
为定值；
（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值． 解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →
， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)， ⎩⎨⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ②
将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝1
4x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③
解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1
λ
，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，
抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝1
2
x ．
所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝1
2x 2(x －x 2)＋y 2， 即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －1
4
x 22．
解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 2
2
，－1)． ……4分
所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14
x 12)＝0
所以FM →·AB →为定值，其值为0． ……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝1
2
|AB ||FM |．
|FM |＝
(x 1＋x 22
)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋1
2x 1x 2
＋4 ＝y 1＋y 2＋1
2×(－4)＋4
＝λ＋1λ＋2＝λ＋1
λ
．
因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以
|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1
λ
)2．
于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1
λ)3，
由λ＋1
λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．。