第2章波导的耦合概要

第2章 波导的耦合
77. 波导的耦合有哪些类型？各有些什么实际应用？
波导的耦合有多种类型，如棱镜耦合、端面耦合、偏折耦合、定向耦合、弯曲耦合、波纹界面耦合等等。

波导的耦合有许多实际应用，如利用棱镜耦合可以测量波导的折射率分布，利用端面耦合可以实现波导的互连，利用偏折耦合可以用来改变光的传输方向，利用定向耦合可以实现直波导间的光功率相互交换，依此可以制作波导定向耦合器、光调制器和光开关，利用弯曲耦合可以使微环波导中的光产生谐振，依此可以制作微环滤波器和波分复用器，利用波纹界面耦合可以制作波纹波导滤波器、布拉格光栅、分布反馈激光器、布拉格反射激光器等等。

78. 一般形式的耦合模方程可以写成如下形式
()()()[]z t z z A s s βω+-j exp d d ()()()[]z t z
z A s s βω--+j exp d d
()()()⎰⎰∞
∞
*
∂∂-
=-r y x y x E t P t s y
y d d ,,'4j 2
2
ω 式中()
s A +、()
s A -分别为沿+z 方向传输的正向行波和沿-z 方向传输的反向行波的振幅，试对上述方程加以说明。

式中上角标带有符号(-)的项表示沿-z 方向传输的反向行波，而带有符号(+)的项则表示沿+z 方向传输的正向行波。

式中右边的项可视为引起正向行波
()[]z t z A s s βω-+j exp )()(和反向行波()[]z t z A s s βω+-j exp )()(的激励源。

79. 什么是波导的定向耦合？有些什么有用的功能？
当相互平行的波导相互邻近时，波导中的模式在传输过程中要发生相互耦合，其结果使模式在传输过程中在波导间产生功率交换，这种现象称为波导的定向耦合。

波导的定向耦合在薄膜器件中可以实现多种有用的功能，包括功率分配、调制、开关、频率选择和偏振选择等等。

80. 双波导定向耦合器的耦合模方程可以写成如下形式
()()()()[]z z A K z A M z
z A 21212111j exp j j d d ββ---=
()()()()[]z z A K z A M z
z A 12121222j exp j j d d ββ---= 式中A 1(z )、A 2(z )分别为在波导1和波导2中沿z 方向传输的正向行波的振幅，M 1、M 2
称为自耦系数，K 12、K 21称为耦合系数。

试对上述方程加以说明。

可以看出，波导2中的正向波A 2(z )可以影响波导1中的正向波A 1(z )，反过来波导1中的正向波A 1(z )又可以影响波导2中的正向波A 2(z )，这种同向波之间的耦合称为同向耦合。

81. 双波导定向耦合器的耦合模方程还可写成下述形式
()()()z z A K z
z A δ2j exp j d d 201210--= (1) ()()()z z A K z
z A δ2j exp j d d 102120-= (2) 式中A 10(z )、A 20(z )分别为在波导1和波导2中沿z 方向传输的正向行波的振幅，δ为常数。

试由总功率流密度守恒条件
22
1020()()A z A z C += （C 为常数） (3)
求出两个耦合系数K 12和K 21之间的关系。

式(3)对z 求导数并利用式(1)、(2)，可得
()()()
()()()()[]()()[]
z A z A z z A z A z z A z z A z z A z A z 202010102
10210220210d d d d d d d d d d **+=+=+
()()()()()()()()z z A z A z z A z A z z A z A z z A z A d d d d d d d d 2020
202010101010**
*
*+++= ()()()()()()z z A z A K z z A z A K δδ2j exp j 2j exp j 201012*20
1012--=*
* ()()()()()()z z A z A K z z A z A K δδ2j exp j 2j exp j 2010212010
21***--+ ()()()()()
()()()z z A z A K K z z A z A K K δδ2j exp j 2j exp j 20102112*20102112----=*
** ()()()()[]
02j exp Im 2j *
20
102112=-=*z z A z A K K δ
因()()()02j exp *20
10≠z z A z A δ，即有02112=-*
K K ，进而得到两个耦合系数K 12、K 21之间的关系为*
=1221K K 。

82. 双波导定向耦合器的耦合模方程还可写成下述形式
()()
()0d d 211222
2=++z R K K z
z R δ ()()
()0d d 21122
2
2=++z S K K z z S δ
其解的矩阵形式为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**001111j j S R U V V U S R (1) 式中R 0、S 0分别为波导1和波导2的输入光振幅，R (z )、S (z )分别为波导1和波导2中z 点处的光振幅，()1U z 、()1V z 为
()(
)
[]
()
(
)
[]
z K K K K z K K z U 2
121
1222
121
122
2
121
1221sin j
cos ++++=δδ
δ
δ (2)
()(
)
()
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=
z K K K K K z V 2
1211222121
12212
1sin δδ (3)
当不考虑损耗时，试证明双波导定向耦合器中的传输功率守恒。

式(1)两端同时取复共轭再进行转置后再与其本身左乘，并利用式(2)、(3)，可得
()()2
202
2
S R z S z R +=+ 上式说明，在非损耗情况下，两条波导在各点处的传输功率之和保持为常数，等于两条波导初始端的总输入功率，不随传输距离而改变，体现了功率守恒。

83. 什么是不完全耦合或非理想耦合？什么是完全耦合或理想耦合？
如果波导1的输入功率不能全部耦合到波导2中去，这种情况称为不完全耦合，或称非理想耦合。

如果波导1的输入功率能够全部耦合到波导2中去，这种情况称为完全耦合，或称理想耦合。

84. 给出耦合长度的表达式，并给出实现双波导间理想耦合的条件。

耦合长度的表达式为
K
L 20π
=
双波导间实现理想耦合的条件是：要求两条波导的形状、尺寸和折射率分布完全相同，并把波导长度严格做成耦合长度的奇数倍，此时可在波导2中获得最大的功率输出，等于波导1的输入功率，此时波导1的输出功率为零，即在z = 0处从波导1输入的光功率全部在z = L 处从波导2输出，从而实现了波导间的理想耦合。

85. 理想耦合时双波导定向耦合器中波导1、波导2的传输功率()z P 1、()z P 2随波导长度z 的变化曲线如图所示，试阐述双波导中功率分配的情况。

1
2
3
4
5
0.00.2
0.40.60.8
1.0
P 2
P 1
P 1 /R 2
0, P 2 /R 2
z /L 0
(85题图) 理想耦合时波导1、波导2的传输功率P 1(z )、P 2(z )随波导长度z 的变化曲线，L 0 = π/ (2K )
图中可见，适当选择波导长度，可以得到所要求的功率分配。

例如，当取波导长度
L 等于耦合长度L 0的奇数倍时，即0)12(L m L +=，此时()01=L P ，()2
02R L P =；当取波导长度L 等于耦合长度L 0的偶数倍时，即02mL L =，此时()201R L P =，()02=L P ；当取波导
长度L 等于耦合长度L 0的12m +倍时，即012L m L ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，此时()()2
0122R P L P L ==。

86. 考虑波导损耗，理想耦合时双波导定向耦合器中波导1、波导2的传输功率()z P 1、
()z P 2随波导长度z 的变化曲线如图所示，试对其变化规律加以讨论。

1
2
3
4
5
0.00.2
0.40.60.8
1.0P 2
P 1
P 1 /R 2
0, P 2 /R 2
z /L 0
(86题图) 损耗情况下理想耦合时波导1、波导2的传输功率P 1(z )、P 2(z )随波导长度z 的变化曲线，L 0 = π/ (2K )
图中可见，损耗的存在使波导中光功率的包络线以指数形式衰减，耦合效率降低。

衰减的快慢程度取决于损耗的大小，损耗越大，衰减就越快，耦合效率就越小，因此波导的损耗应越小越好。

87. 双平板波导定向耦合器TE 0基模的耦合系数K 和耦合长度L 0随波导间距d 的变化曲线如图所示，试阐述其变化规律。

01234
10
-1
10
10
1
10
2
2a =2.0μm
d /μm 3.0
2.5K /m m
-1
01234
10
-2
10
-1
10
10
1
2a =2.0μm
3.0
2.5d /μm
L 0 /m m
(a) K ~d (b) L 0~d
(87题图) TE 0基模的耦合系数K 和耦合长度L 0随波导间距d 的变化曲线
图中可见，波导间距d 或芯厚度2a 越小，则耦合长度L 0越小，耦合系数K 越大，因而耦合作用越强。

若取芯厚度2a = 2.5 μm ，波导间距d = 3.0 μm ，此时耦合系数
≈K 1.45 mm -1，耦合长度≈0L 1.08 mm 。

88. 双矩形波导定向耦合器00E y
主模的耦合系数K 和耦合长度L 0随波导间距d 的变化曲
线如图所示，试阐述其变化规律。

01234
10
-1
10
10
1
10
2
a =
b =2.0μm
d /μm
3.0
2.5K /m m
-1
01234
10
-2
10
-1
10
10
1
a =
b =2.0μm
3.02.5
d /μm
L 0 /m m
(a) K ~d (b) L 0~d
(88题图) 00E y
主模的耦合系数K 和耦合长度L 0随波导间距d 的变化曲线
图中可见，与双平板波导定向耦合器相类似，波导间距d 或芯厚度b 越小，则耦合长度L 0越小，耦合系数K 越大，因而耦合作用越强。

若取芯宽度与芯厚度a = b =2.5 μm ，波导间距d = 3.0 μm ，此时耦合系数≈K 1.20 mm -1，耦合长度≈0L 1.31 mm 。

89. 波导弯曲耦合的类型如图所示，试加以说明。

z
S
(a)
(b)
z
z
(c) (d)
(89题图) 波导弯曲耦合的示意图
如图所示，波导的弯曲耦合分两种情况，一种是一条直波导与一条弯曲波导间的耦合，另一种是两条弯曲波导间的耦合，直波导与弯曲波导间的耦合可以看成是两条弯曲波导间耦合的一种特殊情况。

两条波导的耦合情况依据二者的相对位置可分为四种情况：弯曲波导与弯曲波导(简称弯-弯)之间、直波导与弯曲波导(简称直-弯)之间的侧向耦合(图a 、b)及竖直耦合(图c 、d)。

侧向耦合时，两条波导处于同一平面内，二者之间存在一宽度为d 的中心耦合间距；竖直耦合时，一条波导在另一条波导之上，二者之间存在一厚度为d 的耦合层。

90. 两条波导弯曲耦合时，波导中各点处的传输功率可由下述矩阵公式给出
()()R z S z ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()
()()
()()
()()
()()cos d jsin
d jsin d cos d z z
L L
z z L L K z z
K z z R L S L K z z
K z z ----⎛⎫
-
⎪-⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝
⎭ ⎪-⎝
⎭
⎰⎰⎰⎰ 式中，()n R L R -=-、()n S L S --=为两条波导初始端的输入光振幅，()z K 为z 点处两条波导间的弯曲耦合系数。

当不考虑损耗时，试证明两条波导弯曲耦合器时传输功率守恒。

上式两端取转置共轭后再左乘上式，可得
()()()()2
2
2
2
L S L R z S z R -+-=+
上式说明，在非损耗情况下两条波导在各点处的传输功率之和保持为常数，等于两条波导初始端的总输入功率，不随传输距离而改变，体现了功率守恒。

91. 给出振幅耦合比率κ和振幅透射比率t 的表达式。

振幅耦合比率κ和振幅透射比率t 可分别表示为
()⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎰-L L
z z K d sin κ ()⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎰-L
L
z z K t d cos
式中L 为圆弧波导的半长，()K z 为z 点处两条弯曲波导间的耦合系数。

92. 给出两条波导弯曲耦合时的振幅耦合方程。

过两条波导弯曲圆弧的圆心和耦合点做截面S ，并令在此截面两边模式的输入/输出振幅分别为1a 、1b 及2a 、2b ，则两条波导弯曲耦合时的振幅耦合方程可表示为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121j j a a t t b b κ
κ 或为
211j a ta b κ-= 212j ta a b +-=κ
93. 直波导与圆弧波导间侧向耦合时弯曲耦合系数K (z )随坐标z 的变化曲线如图所示，试阐述其变化规律。

-10-50510
10
-10
10
-810-610-4
10
-2
100102
37.5
R =12.5μm
25.0
z /μm
K /m m
-1
-10-50510
10
-10
10
-8
10-6
10-4
10
-2
100
10
2
0.75
d =0.25μm
0.5z /μm
K /m m
-1
(a) d = 0.25 μm (b) R = 12.5 μm (93题图) 弯曲耦合系数K (z )随坐标z 的变化曲线
图中可见，弯曲耦合系数K (z ) 随｜z ｜的增大而减小，这是由于｜z ｜增大时，两条波导间距l 随之增大，耦合作用变弱，因而使弯曲耦合系数K (z )减小。

弯曲耦合系数K (z )随圆弧半径R 的增大而增大，这是由于圆弧半径R 增大时，两条波导间距l 随之减小，耦合作用变强，因而使弯曲耦合系数K (z )增大。

弯曲耦合系数K (z )随两波导间的中心间距d 的增大而减小，这是由于中心间距d 增大时，耦合作用变弱，因而使弯曲耦合系数K (z )减小。

94. 直波导与圆弧波导间侧向耦合时振幅耦合比率κ随两条波导间的中心间距d 的变化曲线如图所示，试阐述其变化规律。

0.00.5 1.0 1.5 2.0
10
-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
500100
d /μm
κ
R =10μm
(94题图) 振幅耦合比率κ随两条波导间的中心间距d 的变化曲线
图中可见，振幅耦合比率κ随两条波导中心间距d 的增大而减小，这是由于两条波导中心间距d 增大时，两条波导间的耦合作用变弱，因而使振幅耦合比率κ减小。

振幅耦合比率κ随圆弧半径R 的增大而增大，这是由于圆弧半径R 增大时，两条波导各点的间距l 随之减小，两条波导相互靠近的程度增大，耦合作用变强，因而使振幅耦合比率κ增大。