高数试卷A2013～2014(答案)
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济南大学2013~2014学年第一学期
课程考试试卷评分标准（含参考答案）
课程名称：高等数学A （一）
一、填空题
(1) e 1．(2) dx x x x )(sec )21(22++. (3) )6,1(-. (4) 2π
．(5) 1．
二、选择题
(1) A ．(2) A . (3) B . (4) C ．(5) D ． 三、计算下列极限、导数 (1) 解：)
13)(2()
13)(13(lim 213lim
2121
x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6
2
)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-
=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x
(2) 解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 2
22
x x x
x x x x --=-→
→ππππ 8
12sin lim 41sin 12cos lim 412
2
-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ
(3) 解：两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y ，
所以：y
y ln 21
+='
3
222)ln 2(1
)ln 2(y y y y y dx y d +-
=+'-= 四、计算下列积分（每小题8分，共32分）
(1) 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(21
)2()2sin(21)2sin(2222
(2) 解：令t x sin =，2
||π
≤t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1
C t t t C t t dt t ++=++=+=⎰cos sin 2
1
22sin 412)2cos 1(21 C x x x +-+=
212
1
arcsin 21 (3) 解：⎰
⎰+-=1
02
1010
1]arctan [arctan dx x x
x x xdx 2ln 2
14)]1ln(21[4102-=+-=
ππ
x (4) 解：令x t =，则2
t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=1
1
2dt te dx e t x
22][221
101
=-==⎰⎰dt e te tde t t t
五、综合题（每小题10分，共20分）
(1) 解：2
3124
t
te dx dy t
+=，令0=dx dy ，得0=t ，代入得：1=x 。 当1
dy 。 函数)(x y y =的极大值为0)1(=y 。
(2) 解：(Ⅰ)设A 点的横坐标为0x 。由于x
e y ='，所以00
x x e x e =，即10=x ，
A 点的坐标为),1(e ，OA 的直线方程为ex y =。
(Ⅱ) 2
6)(210222π
ππ-=-=⎰e dx x e e V x 。
六、证明题（10分）
证：(Ⅰ)由于)(x f 在闭区间]1,0[上连续，且)1(2
1
)0(f f <<，有介值定
理，存在一点)1,0(0∈x ，使得2
1
)(0=x f 。
(Ⅱ)由于)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，则在
),0(0x 内存在一点1x ，使得0
00121
0)0()()(x x f x f x f =--=
'；又在)1,(0x 内存在一点2x ，使得)
1(21
1)()1()(0002x x x f f x f -=--='。
所以：
2)1(22)
(1
)(10021=-+='+'x x x f x f 。